dimecres, 28 de desembre de 2011

Googlejant "Felicitacions matemàtiques"

Fa alguns dies, en una sessió de preparació del Cangur, un alumne de 3r d'ESO preguntava si els professors de matemàtiques aprofitàvem les vacances de Nadal per resoldre problemes d'aquesta assignatura. Resolent problemes, potser no; però sembla que un cert nombre d'aficionats i professionals de les ciències exactes tenen una certa dèria per trobar felicitacions nadalenques amb motius matemàtics. Poc abans de Nadal, comprovant les paraules clau de cerca que menen els nàufrags d'internet a aquest bloc, vaig poder veure que 46 persones hi havien arribat teclejant "felicitacions matemátiques" en el cercador (googlejant "felicitacions matemàtiques" si em permeteu el neologisme). Efectivament, aquesta estranya associació de paraules els portava, i més si les posaven entre cometes, a l'article Felicitacions? matemàtiques o no? que vaig escriure l'any passat per aquestes dates. El problema estrella d'aquella entrada era una creació del professor Ignasi del Blanco, i el creamat (centre de recursos per ensenyar i aprendre matemàtiques) n'havia fet una versió interactiva per al seu web. Com que, hores d'ara, no sé on para aquella versió —és una llàstima que les felicitacions tinguin data de caducitat a la xarxa — torno a inserir la versió que en vaig fer:


La solució la trobareu en un dels comentaris de l'abans citat Felicitacions? matemàtiques o no?.

Enguany el creamat repeteix jugada i ens desitja un feliç any 2012 amb un altre problema d'Ignasi del Blanco. No sé quant durarà la versió interactiva que ofereixen en les seves pàgines, pot ser que, quan cliqueu l'enllaç anterior passat festes, us trobeu que ja ha desaparegut. Per tant, espero que ni el creamat ni el senyor del Blanco trobin inconvenient que us posi aquí la següent captura de pantallla:


Aquest repte és molt més senzill que el de l'any 2011, però si se us resisteix la solució...

Solució al problema Feliç any 2012 (+/- Mostra/Oculta)


Una iniciativa per portar a terme a les escoles i instituts que ens pot proporcionar felicitacions matemàtiques a dojo, és convocar un concurs entre l'alumnat. L'únic exemple, però, que he sabut trobar a la xarxa és del 2006 (concurs de felicitacions matemàtiques a l'Institut Jaume I). Podem trobar d'altres felicitacions un pèl extravagants i en clau:


La imatge anterior l'he tret del curiós bloc La covacha matemática i és de l'any 2009 (Wallpapers matemático-navideños). Aquest mateix missatge, en format més casolà, el podeu veure a DesEquiLIBROS. Javier Omar, l'editor de La covacha, persisteix i ens felicita les festes d'enguany amb Las festividades al estilo matemático. Més atrevits encara, a + plusmagazine llencen la casa per la finestra i fan un calendari d'Advent (The 2011 Plus advent calendar)!

I un servidor que volia aportar el seu granet de sorra s'ha quedat amb la descomposició factorial de 2012 (2012 = 2 x 2 x 503). M'he adonat que és interessant perquè 503 és un nombre primer relativament gran i he pensat que, en els habituals problemes del Cangur on utilitzen la xifra corresponent a l'any de la prova, això pot donar un cert joc... però, d'aquí a obtenir-ne una felicitació original! De totes maneres ja no hi sóc a temps de desitjar-vos un Bon Nadal, avui és el dia dels Innocents... i m'excuso, mira que en sóc d'intercultural!, dient que el dia 1 de gener ni l'any hebreu (5772) ni l'any islàmic (1433, ¡ep, un altre nombre primer!) canviaran el seu darrer dígit. Us desitjo, això sí, un bon inici del proper any gregorià 2012.

dissabte, 10 de desembre de 2011

Les sobtades aparicions dels problemes de Sam Loyd (III)

En l'article anterior (titulat evidentment Les sobtades aparicions dels problemes de Sam Loyd  (II)) us vaig presentar un dels més famosos trencaclosques de Loyd de només tres peces: el Trick Donkeys Puzzle. A la seva difusió va contribuir el fet que Phineas Taylor Barnum (1810-1891) l'utilitzès, rebatejant-lo amb el nom de P. T. Barnum's Trick Mules, per fer publicitat del seu circ.

En el web Deceptology hi trobareu diverses versions d'aquest puzzle, i un d'anterior amb dos gossos en lloc dels cavalls,  (feu clic a Two deceptive 19th Century puzzles: The Trick Mule Puzzle, and The Dead Dog Puzzle), entre d'altres hi ha el disseny estilitzat i asèptic que apareix a Wikipedia:





Recordeu que volem obtenir la següent figura, amb els cavalls al galop:





Trick Donkeys Puzzle (Solució)

Sigui quina sigui la versió que utilitzeu (diria, però, que la manera de presentar les peces pot influir en el temps que necessitem per solucionar el problema), cal tenir una certa flexibilitat mental i trencar alguna regla de percepció per tenir èxit i no és, en absolut, un problema de matemàtiques. Es tracta, suposo, de fer ús d'allò que en diuen "pensament lateral" (en aquesta època de substantivar i adjectivar, no se'n salven ni el pensament ni la intel·ligència).

Per visualitzar com s'han d'encaixar les peces, aneu al següent enllaç i, quan s'obri, feu clic damunt del Show me! que apareix entre els dos cavalls: http://users.dickinson.edu/~richesod/horses.html

Si sou observadors i intenteu aplicar la solució en la versió del puzzle que vaig presentar en l'entrada anterior, comprovareu que per aconseguir el model que es demana hem de superar un problema de quiralitat. És a dir, hem obtingut la disposició que mostrem abaix a l'esquerra i volem la de la dreta:



No n'hi ha prou amb girar el puzzle, com ho farem per tal que el genet que va cap a l'esquerra vagi cap a la dreta i viceversa?

Solució al problema de la quiralitat (+/- Mostra/Oculta)

Sempre que he proposat aquest problema porto, degudament amagat, un petit mirall que aconsegueix per reflexió la imatge correcta. En una ocasió, abans de treure el mirallet, un alumne em va donar una altra resposta enginyosa: va agafar les peces degudament muntades i les va posar a contrallum per la cara no impresa! Per cert, una enganyosa pregunta clàssica: per què els miralls canvien dreta per esquerra i no fan el mateix amb la part de dalt i la de baix?


Em guardo per a una altra entrada, el repte de Loyd que més desesperació i més maldecaps va provocar. I aquesta vegada sí que té un rerefons veritablement matemàtic.

dimarts, 22 de novembre de 2011

Les sobtades aparicions dels problemes de Sam Loyd (II)

En Les sobtades aparicions dels problemes de Sam Loyd (I) ja vaig fer una petita introducció a la recreativa i matemàtica obra d'aquest nord-americà. En l'escrit anterior vaig proposar un dels originals problemes de Loyd: The Ferry Boat Problem. Algun dels seguidors del bloc ja el va solucionar, però no estar de més donar-hi algunes voltes.


The Ferry Boat Problem (Solució)

Com que no puc millorar les explicacions que m'he anat trobant, us dono alguns enllaços:
  • Podeu veure un dibuixet aclaridor amb la solució si feu clic aquí.
    •  No us perdeu els comentaris de l'enllaç Enigma del domingo: "otro clásico de Sam Loyd". Hi ha qui soluciona el problema aplicant l'àlgebra més clàssica; d'altres, Krenek Kovalsky (?), refuten alguna observació repelosa amb arguments de vell llop de mar: "Como marino debo responder. No se considera cruce entre embarcaciones hasta que sus costados por cuaderna maestra coinciden. Por ello y teniendo en cuenta que los barcos deben ciabogar para volver a atracar de popa, la eslora de los barcos no es significativa. Ya sé que hay ferries de doble popa de desembarque, pero aún así ciabogarán por el sentido de las hélices." 
    • I evidentment podem consultar la resposta original que dóna el propi Loyd en la pàgina 349 de la seva The Cyclopedia of Puzzles (cliqueu la imatge per poder-la llegir i disculpeu-ne la baixa qualitat):




    La ubiqüitat dels problemes de Sam Loyd és sorprenent. Hi ha un petit trencaclosques (de només tres peces!) que em van passar  fa uns quants anys en una fotocòpia i sense massa referències (més tard, n'he descobert l'origen). L'he utilitzat en alguna de les meves classes per omplir aquelles estones que d'altra manera es perdrien i l'interès que desperta és notable. Semblaria que un puzzle de només tres peces s'ha de resoldre en un instant, però no és així si la idea se li ha acudit a Sam Loyd!



    Trick Donkeys Puzzle

    N'hi ha versions més artístiques, però us en mostro una de casolana que és, amb alguna modificació, la primera que vaig veure:


    Podeu fer clic a la imatge, imprimir i retallar per les línies negres que enquadren les figures si hi voleu jugar. El requadre de l'esquerra, amb els dos genets al galop, és el model; és a dir, quin és el resultat final que hem d'obtenir ajuntant les altres tres peces (n'hi ha dues d'idèntiques, amb un cavall, i una altre, amb dos genets). Les peces no s'han de doblegar ni augmentar-ne el seu nombre amb hàbils talls, però podeu provar d'engrescar els cavalls amb un "arri, arri", a veure si s'animen!


    Samuel Loyd



    No patiu que, si no us en sortiu, ja donaré la solució i explicarem alguna cosa més d'aquest i d'altres problemes proposats per Mr. Loyd en properes entrades. Penseu que la culpa de tot plegat la té aquest senyor tan seriós de la fotografia de l'esquerra.

    dimecres, 2 de novembre de 2011

    James Randi: màgia, escepticisme... i neurociències

    La trajectòria vital del canadenc, nacionalitzat nord-americà, James Randi (Toronto, 1928) té molt poc a veure amb les matemàtiques; però, si em calgués alguna justificació, podria dir que li dedico aquest escrit perquè ha treballat en física recreativa i aplicada (en les vessants: il:lusionisme i investigació de "fenòmens estranys") o perquè era amic i col·laborador de Martin Gardner — en l'entrada d'aquest bloc que vol ser un homenatge a aquest darrer ja apareix el seu nom de passada, vegeu Martin Gardner (1914-2010). Randi, el seu nom autèntic és Randall James Hamilton Zwinge, és més famós per les seves activitats en contra de les pseudociències i per la seva feina de "desemmascarament" de les interpretacions paranormals d'alguns fenòmens que no pas per la seva faceta d'il·lusionista. Va ser membre, com Gardner, del CSICOP (actualment Commitee for Skeptical Inquiry o CSI), però les disputes legals amb el "doblegaculleres" Uri Geller van fer que deixés d'estar-ne associat per a no perjudicar el CSICOP (Geller havia presentat demandes legals que afectaven aquesta organització a més de a Randi). Randi també és conegut perquè ha ofert un premi d'un milió de dòlars a qualsevol persona capaç de demostrar la possessió de poders paranormals, sobrenaturals o ocults en un experiment dut a terme sota unes condicions acordades per totes dues parts. Si us animeu a presentar-vos-hi o si sou persones curioses, feu clic a


    i a continuació us podeu passejar pel web de la James Randi Educational Foundation (per a més informació, vegeu.també Fundación Educativa James Randi).

    Si voleu més dades biogràfiques, podeu consultar aquestes fonts que estan al costat de la fotografia de Mr. Randi:

     

    James Randi a Wikipedia
      








     Aquest escèptic empedreït (parlem d'escepticisme científic, no d'escepticisme filosòfic) ha estat a Espanya aquest any, a principis de maig, per tal de participar en la trobada Neuromagic: los engaños de la mente que va reunir professionals de la màgia i de les neurociències (vegeu la breu explicació que apareix a Fundación Illa de San Simón, en la columna esquerra d'aquesta pàgina web podreu descarregar una nota de premsa en format pdf). No sé si l'intercanvi de coneixements va ser profitós o ha permès algun avanç important en les teories de la cognició (ho dubto), però si que ens ha deixat alguns vídeos curiosos: un és Magia y neurociencia, manual para "engañar" al cerebro. I no em puc estar d'insertar-ne un altre, que no us podeu perdre (i que de fet ha estat el detonant que m'ha portat a escriure tot això):



    Aquest darrer vídeo el trobareu també en la notícia La magia puede ayudar al conocimiento del cerebro. Ah! i si una nit d'insomni teniu la temptació de trucar a un tarotista o a un endeví d'aquests que proliferen tant per les nostres contrades, val més que li doneu una ullada a Skeptical Inquirer.

    dimarts, 11 d’octubre de 2011

    Les sobtades aparicions dels problemes de Sam Loyd (I)

    Ja he comentat en un altre lloc (vegeu Problemes per passar un pont (I)) alguns danys col·laterals que patim, gustosament, els professors de matemàtiques: tothom es veu amb cor de proposar-nos problemes matemàtics o d'enginy i ens veiem obligats, per amics i familiars, a repassar comptes en tot tipus de comerços. Ara he recordat, encara que no faci massa al cas, una anècdota que explicava Pilar Bayer: quan en una botiga a la qual hi anava amb freqüència (diria que era una peixateria, però parlo de memòria), la persona que l'atenia es va assabentar que es dedicava a la matemàtica, li va dir tot seguit: així, vostè deu fer sumes molt llargues, oi?

    Tornem als danys, repeteixo que gustosament patits, amb un exemple. El curs passat, durant una classe de 2n de batxillerat, un alumne em va posar a prova amb dos reptes matemàtics (va aprofitar que els seus companys encara es barallaven amb alguns exercicis mecànics i vull creure que ell ja els havia acabat): un era un anodí, però elegant, problema de trigonometria (me'l guardo per a una altra ocasió), però l'altre, en aparença senzill, em va desconcertar. En resum l'enunciat d'aquest venia a dir:


    Problema dels dos viatjants

    Un viatjant surt d'un edifici A i es dirigeix cap a l'edifici B. Un altre viatjant surt de B i va cap a A. Els dos es troben a 720 metres d'A i continuen fins el seu destí. Passat un cert temps, surten simultàniament (*) de cadascun dels edificis i fan el trajecte invers, ara es troben a 400 metres de B. Si sabem que van a velocitats constants i el trajectes són en línia recta, quina distància separa els dos edificis?

    (*) Correcció del 15 d'octubre de 2011
    Aquest enunciat era una excusa per introduir el problema original (The Ferry Boat Problem) que trobareu més avall  i he comès un error important en la redacció del problema al no posar-hi la deguda atenció. Com podreu comprovar, si llegiu els comentaris que acompanyen aquest article, m'ho ha fet notar en Frederic, comentarista habitual del bloc. El surten simultàniament que està marcat en negreta canvia de forma decisiva la situació. En descàrrec de l'alumne que me'l va explicar, diré que ell no va afegir aquesta condició en la tornada. Com que ha passat força temps, no recordo les paraules exactes, però anaven en el sentit de: els dos viatjants passen un cert temps en cadascun dels edificis i quan tornen es troben a 400 metres de B... sense la simultaneïtat de la meva transcripció maldestra. Per tant, si us poseu a solucionar el problema agafeu la versió dels ferrys que està escrita més avall.

    Però aprofito l'ocasió per demanar-vos:

    Pregunta sobre aquesta versió apòcrifa del problema dels dos viatjants
    Si no en canviem el redactat i la tornada es fa simultàniament, quina és la solució?

    El problema no té solució perquè, amb les condicions que s'hi donen, és impossible que es trobin en l'anada a 720 metres d'A i a la tornada a 400 metres de B. Si els dos viatjants van sempre a velocitats constants i surten simultàniament en les dues ocasions, com que mesurem primer la distància des d'A i després des de B, aquestes dues distàncies haurien de ser idèntiques (o 720 metres les dues vegades o 400 metres les dues).


    Jo que sóc una persona curiosa i, perquè negar-ho, m'estava fent un embolic amb els viatjants que em feia enyorar el final de la famosa obra d'Arthur Miller, vaig decidir fer una cerca per la xarxa. Devia escriure alguna cosa semblant a 400 720 problema i el cercador em va descobrir que l'enunciat del problema original era de Sam Loyd! Com haureu llegit si heu fet clic en l'enllaç anterior, el nord-americà Samuel Loyd (1841-1911) va ser un jugador d'escacs que es va dedicar també a la matemàtica recreativa. De fet, sense ser matemàtic, podeu llegir la seva biografia en el web dedicat a la història de la matemàtica MacTutor (vegeu Samuel Loyd a MacTutor).

    Un fill de Sam Loyd va publicar el 1914, quan ja havia mort el seu pare, un recull de l'obra paterna amb el títol de Sam Loyd's Cyclopedia of 5000 Puzzles, Tricks and Conundrums (si voleu veure aquest llibre escanejat, paga la pena, feu clic a The Cyclopedia of Puzzles o si voleu dirigir-vos directament a la portada i anar passant pàgines digitals, cliqueu aquí). Hi trobareu el problema dels viatjants en la versió original, amb el nom de:


    The Ferry Boat Problem


     En aquesta edició, el problema està a la pàgina 80 (veieu-lo en l'anglès original). Si voleu una traducció en castellà que correspon a l'edició espanyola d'un recull de l'obra de Loyd a cura de Martin Gardner, us la dono tot seguit (disculpeu que no ho tradueixi al català):

    "Dos ferrys se ponen simultáneamente en marcha en márgenes opuestas del río Hudson. Uno de ellos va de New York a Jersey City, y el otro de Jersey City a New York. Uno es más rápido que el otro, de modo que se encuentran a 720 yardas de la costa más próxima.
    Tras llegar a destino, ambas embarcaciones permanecen diez minutos en el muelle para cambiar el pasaje, y luego emprenden el viaje de regreso. Vuelven a encontrarse esta vez a 400 yardas de la otra costa. ¿Cuál es la anchura exacta del río?
    El problema muestra que la persona normal, que sigue las reglas rutinarias de la matemática, quedará perpleja ante un problema simple que requiere tan sólo un conocimiento superficial de aritmética elemental. Un niño podría resolverlo y, no obstante, me atrevo a arriesgar la opinión de que noventa y nueve de cada cien hombres de negocios no lograrían resolverlo en una semana. ¡De eso sirve aprender matemática por medio de reglas en vez de hacerlo por medio del sentido común, que siempre nos da una razón!"


    No estic massa d'acord amb l'apel·lació al sentit comú o a l'aritmètica elemental ni tampoc en l'afirmació que un nen pot resoldre el problema, però és veritat que no calen massa coneixements matemàtics per resoldre'l... o sí, si ens agrada matar mosques a canonades! A mí de vegades m'agraden les canonades: ara que ja sé la solució pel mètode curt, em deleixo per aconseguir-la a partir de les fredes equacions de la cinemàtica elemental.


    Com va dir Andrew Wiles (però no espero aplaudiments): Crec que ho deixaré aquí! Ja tornarem a invocar a Sam Loyd i Martin Gardner en una altra ocasió. I la solució? Au va! no caigueu en la temptació d'acudir al cercador i a veure si la trobeu tot solets!

    diumenge, 25 de setembre de 2011

    Fotografia matemàtica

    Les teories i les activitats matemàtiques requereixen definicions precises i acurades. Els aprenents d'aquesta disciplina s'estranyen que conceptes força intuïtius es presenten de forma molt abstracta (veieu a tall d'exemple: Sobre la definició de límit d'una funció en el bloc Apunts matemàtics) o, a l'inrevés, que les definicions són tan abstractes que costa fer-se'n una idea intuïtiva (cliqueu subespais vectorials i no us espanteu si no sou de l'ofici).

    Ara em veig en el dilema de voler parlar de fotografia matemàtica i de ser incapaç de fer-ne una precisa i acurada definició. ¿Es convoquen arreu concursos de fotografia matemàtica i els membres del jurat són incapaços de donar una bona definició d'allò que s'ha de presentar per optar a un premi? Podeu llegir diversos intents de definició en el web Fotografia matemàtica o veure la presentació Fotografía matemática que van fer en una escola de la Comunitat de Madrid (Escuelas Pías de Aluche) i comencereu a intuir de què vull parlar.

    Em sembla que el problema rau en què, en els concursos de fotografia matemàtica, no es premien només les fotografies! Permeteu-me un exemple:


    Aquesta fotografia, que ignoro si ha participat en algun certamen, és de Laura Martín Escribano i la podeu trobar en Cocina y Matemàticas o en Matemágicas. En aquest cas arquetípic, les quatre llimones, un pèl passades, i les dues mandarines no conformen una fotografia matemàtica acceptable sense l'enginyós títol. Per cert, no ens fem un fart de dir a les classes que les fraccions s'han de simplificar! Per què no "un tercio de dulzura"? Un cas semblant el protagonitzen els publicistes de la Damm Lemon 6-4, que dominaran l'anglès, però cauen en el mateix parany i no saben o no volen simplificar (Per què Damm Lemon 6-4 i no 3-2?).

    En molts casos, aquestes fotografies estan més a prop de l'art del genial Joan Brossa que de les matemàtiques: us recomano una passejada pel web Joan Brossa. Poeta,  cliqueu en l'apartat Obra i ja em direu si la poesia visual o els poemes objecte no tenen trets en comú amb les fotografies matemàtiques. De totes maneres, sóc un ferm defensor d'aquests certàmens perquè fomenten una manera de mirar, diguem-ne mirada matemàtica (apa! una altra definició quasi impossible).

    Per cert, ABEAM  organitza, ja fa anys, un concurs de fotografia matemàtica (en el seu web hi podeu llegir una ponència de Santi Vilches i Carles de Cubas sobre el concurs (X anys de fotografia matemàtica) i veure la presentació d'aquesta ponència. Aquesta presentació és especialment interessant perquè, entre d'altres coses, mostra exemples de bones fotografies d'aquest tipus i assenyala, discutint casos concrets, la importància del títol en la valoració d'aquestes obres.

    Si us animeu a participar en algun concurs com aquest: trieu un bon tema, feu-ne una bona fotografia (ja sabeu: enquadrament, llum, etc.) i... penseu-vos bé el títol. Espero que els enllaços que he anat donant serveixin per entendre què és una fotografia matemàtica i que us ajudin a percebre el món de forma més polièdrica.

    dilluns, 29 d’agost de 2011

    Els diaris i les matemàtiques per passar la tarda (II)

    Addenda del 27 d'agost de 2012

    Per als benvolguts internautes que estan cercant informació sobre El Cervell matemàtic de La Vanguardia: Si us plau podeu llegir l'entrada, però l'encertareu més si feu clic a El Cervell matemàtic.

    En el darrer escrit, Els diaris i les matemàtiques per passar la tarda (I), comentava l'entreteniment que amb el nom d'El cervell matemàtic apareix cada dia d'aquest mes, de fet va començar a finals de juliol i acabarà a principis de setembre, en el diari La Vanguardia. El País va endegar des del mes de març d'enguany, amb la col·laboració de la Real Sociedad Matemática Española, una iniciativa molt més ambiciosa: Los desafíos matemáticos (des d'aquest bloc ja vam donar notícia del "primer desafío" en Els Desafiaments matemàtics d'El País. Comencem pels grafs). La secció de La Vanguardia és modesta i vergonyant; com anècdota, l'adaptació dels exercicis de l'adolescent Prova Cangur adaptades a un hipotètic, anumèric i llec lector: si els resultats són irracionals no apareixen en forma d'arrel, com en les preguntes originals per als alumnes de secundària, sinó en forma de nombre decimal aproximat o, en un repte recent, se'ns indicava com a pista que la diagonal d'un quadrat de costat una unitat és aproximadament 1,4 (ja se sap que el Teorema de Pitàgores pertany al món de les matemàtiques avançades)...

    Els "desafíos" s'han anat presentant setmanalment en format de vídeo a l'edició digital d'El País i els lectors hi poden participar enviant les seves respostes. Si voleu accedir als problemes proposats i a les solucions, feu clic a:


    La presentació dels enunciats va a càrrec de persones de diferents àmbits relacionats amb les matemàtiques. A tall d'exemple, podeu veure el desafiament número 13 que va ser presentat per dues noies que cursaven 3r d'ESO a Catalunya i que havien participat en el projecte Estalmat:

    Problema: Una camiseta bordada en zigzag



    Si després de pensar-hi una estona llarga, potser una tarda?, voleu comprovar la solució, feu clic a Una camisa bordada en ángulo de...  Pot ser curiós i interessant llegir, en el mateix País digital, els comentaris dels internautes abans i després de fer pública la solució. En aquest problema concret hi ha qui es queixa del fet que la solució exacta del problema, amb les condicions donades, és impossible; qui protesta perquè aquestes noies no haurien de saber la trigonometria necessària per aconseguir la solució (han comès el crim d'avançar-se al currículum de 3r d'ESO!); qui troba que donar un resultat aproximat és impropi del món matemàtic, etc.

    Per cert, l'incansable professor Manuel Sada ha inclòs en el seu web unes simulacions amb GeoGebra que faciliten trobar les solucions d'aquests desafiaments (cliqueu, si us plau, a Simulaciones con GeoGebra). 

    dimarts, 23 d’agost de 2011

    Els diaris i les matemàtiques per passar la tarda (I)

    De tant en tant, la curiositat em porta a consultar quines són les paraules que han teclejat els internautes en el cercador abans d'accedir a aquest bloc. Em temo que, de vegades, tot i que intenten introduir una seqüència de paraules que creuen molt específica, el motor de cerca els mena a aquest lloc on no trobaran allò que desitgen. A tall d'exemple, els qui van teclejar dibuixos igualtat de gènere (el senyor Google, apartat imatges, va respondre amb un esquema de la construcció d'un rectangle auri!) o algú ha tingut problemes amb la doble correcció de la selectivitat a Catalunya (a aquest darrer li haurien d'explicar algunes de les subtileses de la cerca a la xarxa) no es van trobar amb la informació que volien. En d'altres ocasions, aquestes paraules clau m'han animat a escriure a alguna entrada i en aquest article concret m'han donat part del títol: no sé si una o dues persones van arribar aquí després de teclejar matemàtiques per passar la tarda o matemàtiques per passar una tarda.

    Aquesta necessitat de trobar alguna activitat per passar la tarda, per passar el temps o, més radical encara, per matar el temps em sembla que és específicament humana (l'home deu ser l'únic animal que s'avorreix!). Així una de les seccions habituals que no pot faltar en la premsa escrita és la de Passatemps. A part dels habituals, mecànics i previsibles sudokus, enguany dos diaris de prestigi, La Vanguardia i El País, han volgut donar un toc de matemàtiques a les seves pàgines. De la iniciativa d'El País ja n'he parlat en Els desafiaments matemàtics d'El País. Comencem pels grafs. No sé si per mimetisme, La Vanguardia va iniciar, des del passat 24 de juliol, una reduïda secció diària titulada El cervell matemàtic que finalitzarà el 4 de setembre. M'agradaria comparar aquestes dues iniciatives perquè ens donen una pista del tractament de les matemàtiques en aquestes dues publicacions periòdiques.

    Podeu consultar, l'exemplar del 24 de juliol de La Vanguardia en el servei d'Hemeroteca digital d'aquest diari (això sí, si no sou subscriptors, només en la seva versió castellana). Si voleu veure el primer article de la sèrie feu clic a El cerebro matemático i desplaceu-vos fins al final de la pàgina que s'obrirà. Us transcric el títol i la primera frase de la introducció a aquest passatemps en la seva versió catalana que he consultat en paper:

    Un estiu amb passatemps matemàtics

    Qui va dir que les matemàtiques són avorrides?

    Ras i curt, ja van començar malament amb aquesta pregunteta retòrica i tòpica. Més endavant ens diuen:

    Són passatemps extrets de les proves Canguro (sic, aquí els ha fallat la traducció automàtica).
    Per resoldre'ls, més que càlculs i fórmules, fan falta enginy i intuïció.

    Resumint, no patiu que són pseudo-matemàtiques de fàcil digestió. Em quedo amb el dubte de qui va dir que les matemàtiques són avorrides! Si consulteu els reptes proposats pel nostrat diari veureu que, com la majoria de les preguntes de les proves Cangur, es poden solucionar amb uns minutets sense avorrir-se, i tenim l'avantatge que l'endemà ens donen i expliquen la solució . Està bé que es dediqui un raconet a les matemàtiques i, més encara, que sigui en aquest diari, que havia tingut uns magnífics suplements de ciència, però que ja fa anys que ha perdut el nord pel que fa al periodisme científic, a la divulgació de les ciències i al tractament numèric i infogràfic de les notícies (us en donaria exemples, però m'indignaria escrivint-los i, tot plegat, és el pa de cada dia en la majoria de la premsa escrita o audiovisual). Com aspectes positius d'aquests passatemps apuntaria la col·laboració de la Societat Catalana de Matemàtiques amb un diari d'àmbit estatal i la divulgació dels reptes de les proves Cangur... ah! i si voleu participar en el Cangur, El cervell matemàtic us pot servir d'entrenament (en l'Hemeroteca digital que abans he esmentat podeu consultar qualsevol exemplar del diari quan ja han passat trenta dies de la seva publicació).

    Com que l'escrit s'està fent llarg, parlarem d'El País, que guanya per golejada amb la seva secció de reptes matemàtics, en la propera entrada.

    divendres, 15 de juliol de 2011

    L'INE EXPLICA estadística

    La majoria de vosaltres ja deveu saber que l'INE (Instituto Nacional de Estadística) és un organisme de l'Administración General del Estado que es dedica a fer tots els estudis estadístics oficials d'abast estatal (censos de població i electorals, càlcul de l'IPC, enquestes de població activa, etc.).


     www.ine.es



    Fa poc l'INE ha obert un portal divulgatiu de nom EXPLICA. Des del mateix INE, en una carta de presentació, comenten:

    "El objetivo de esta iniciativa es ayudar a entender algunos conceptos básicos que se manejan en el trabajo estadístico y la actividad que realiza el INE. Hemos buscado que los contenidos sean accesibles a un público no experto a través de actividades sencillas, videos y aplicaciones fáciles de entender.
     

    Al desarrollar este sitio web, nuestra intención ha sido el de incrementar la cultura estadística en la sociedad y favorecer así el buen uso de la información estadística.
     

    Queda mucho trabajo por hacer, sobre todo centrado en estudiantes y profesores. Por este motivo, estamos deseosos de recibir ideas y propuestas sugerentes."


    A dia d'avui, tenen molta raó quan reconeixen que els queda molta feina per fer: els continguts són pobres i no aprofiten gens ni l'entorn digital ni la interactivitat que els ofereix la xarxa. Compareu aquesta iniciativa amb l'aprenestadistica  que ja vam comentar en l'entrada La Ventafocs del currículum: Probabilitat i estadística (II); l'enfocament pedagògic i el profit que se'n pot treure a les classes d'aquesta proposta de l'Idescat és molt superior. I em sembla que el problema de l'EXPLICA no se soluciona ampliant els materials disponibles, sinó canviant l'orientació i la metodologia de l'experiència.

    diumenge, 10 de juliol de 2011

    Física: context, "espectacle" i Walter Lewin

    Malgrat que comparteixo la docència de les matemàtiques amb la docència de la física, fins ara he dedicat poques frases i només una entrada a aquesta disciplina (2001: una odissea de l'espai i algunes lectures de física). En part per ser fidel al títol del bloc, però com que la física és la ciència experimental més propera a les matemàtiques (la que més aviat va treure profit de les ciències exactes) no trobo dessassenyat que li dediquem una nova entrada. Aprofito a més que encara ressona l'eco de les vuvuzeles.

    Bona part de l'alumnat que s'ha examinat de Selectivitat (o sigui de les PAU) enguany a Catalunya haurà entés la referència al sorollós instrument que ens va acompanyar, insuportablement, durant el mundial de futbol de Sud-àfrica del 2010. Per als qui ignoreu que tenen a veure les vuvuzeles amb la Selectivitat us convido a llegir el següent problema proposat a les PAU de Catalunya:

    Física PAU 2010-2011. Sèrie 1. Opció A. Problema 3.
    (+/- Mostra/Oculta)

    En l'últim campionat mundial de futbol, la vuvuzela, un instrument musical d'animació molt sorollós, atesa la forma cònica i acampanada que té, va despertar una gran controvèrsia per les molèsties que causava. Aquest instrument produeix el so a una freqüència de 235 Hz i crea uns harmònics, és a dir, sons múltiples de la freqüència fonamental (235 Hz), d'entre 470 Hz i 1 645 Hz de freqüència. La vuvuzela és molt irritant, perquè els harmònics amb freqüències més altes són els més sensibles per a l'oïda humana.

    NOTA: Considereu que el tub sonor és obert pels dos cantons.

    a) Amb les dades anteriors, calculeu la longitud aproximada d'una vuvuzela.
    b) Un espectador es troba a 1 m d'una vuvuzela i percep 116 dB. Molest pel soroll, s'allunya fins a una distància de 50 m. Quants decibels percep, aleshores?

    DADES: vso a l’aire =340 m/s; I0=10–12 W/m2.

    He ocultat l'enunciat per tal que els examinands afectats d'estrès posttraumàtic puguin decidir en quin moment volen tornar-lo a veure. Aquest examen va provocar una certa polèmica entre el jovent i ha propiciat la creació d'algun grup al facebook amb un nom, certament escatològic, amb la paraula vuvuzela com a centre d'atenció. Aprofito per comentar que no caldria exagerar la importància informativa de les xarxes socials: el diari La Vanguardia va publicar un parell d'articles, dies enrere, comentant que molts estudiants estaven descontents amb la correció de l'examen de filosofia (la font d'informació eren les entrades que els periodistes havien llegit al facebook!). De fet, els nostres estudiants són cada dia més ocurrents; com a demostració només cal que consulteu a Youtube la variada videografia de Frank-Einstein de la Facultad de Física de Sevilla (cal dir que la qualitat d'aquesta és desigual, però això també es pot dir de la filmografia d'Almodóvar). Tornant a l'escatologia, apareix una nota en el sorollós problema que diu Considereu que el tub sonor és obert pels dos cantons, cosa que ens porta a consideracions sobre l'anatomia dels vuvuzelistes o a postular l'existència de fantasmes o àngels bufadors no-corporis.

    A Gaussianos fa poc que ha aparegut un divertit article sobre Cuando un profesor saca su vena friki..., parlant d'enunciats d'exàmens de matemàtiques, però en el cas de les PAU de física no es tracta de frikisme. D'uns anys ençà, professors i alumnes, estem avisats que els enunciats dels problemes faran referència a un context real. Cosa que em sembla lloable i adequada, però que, a la pràctica, fa que puguem prescindir de la lectura de, com a mínim, les dues o tres primeres línies dels enunciats, que els alumnes s'enfrontin amb elements distractors o que es dediquin a dibuixar unes realistes vuvuzeles en lloc de començar a operar. En el fons, el conjunt d'aquest examen era criticable per altres motius i l'instrument musical (!?) n'ha estat l'anècdota...

    Anem a l'espectacle! El maig passat es va jubilar i va fer la seva darrera classe el professor de física Walter Lewin del Massachusetts Institute of Technology (MIT) (vegeu La última clase del Profesor de física más divertido del mundo). Lewin és força conegut per les experiències i experiments que feia en les seves classes i que estan penjades a la xarxa:



    No sé si era el professor de física més divertit del món (alguns d'aquests espectacles els han fet d'altres a classe), però és evident que, després de sorprendre els alumnes, li calia comentar la més rigorosa i matemàtica teoria si realment volia impartir física. No ha aconseguit, però, el desig, expressat en alguna entrevista, de "quiero morir en una clase" (tot i que penjar-se d'un pèndol a segons quina edat n'augmenta la probabilitat).

    Si sou professors de física i teniu dificultats amb la  direcció de l'institut per tal que us instal·lin un pèndol a classe, la solució és acudir a internet i cercar algun vídeo. Cal, però, triar-los amb una certa cura. Us poso l'exemple de tres vídeos molt semblans sobre la conservació de l'energia i el pèndol:

    1r exemple: Ben explicat el principi de conservació i amb un professor amb bons reflexos (cliqueu, si us plau, conceptual physics Conservation of Energy)

    2n exemple: Una bona explicació, però diria que la persona que hi apareix no acaba d'esta convençuda de l'exactitud de les lleis físiques i pateix per la integritat de la seva anatomia (feu clic, si us plau, a Nose Basher)

    3r exemple: No té cap explicació, és massa curt, però té l'encant de les pel·lícules de por antigues (cliqueu, si us plau, Pendulum of Death)

    No cal que us digui quin dels tres causa més impressió a les classes de batxillerat (fins i tot provoca algun crit ofegat dels alumnes que pateixen pel nas de la protagonista), el tercer! En el fons no explica res, però és el més divertit... Ep, a mí també m'agrada!

    dissabte, 25 de juny de 2011

    Selectivitat 2011: I les solucions?

    En La Ventafocs del currículum: Probabilitat i estadística (I) vaig comentar un aspecte puntual dels exàmens de matemàtiques de selectivitat actuals: l'absència de continguts de probabilitat i estadística en les proves. Avui vull fer referència a un aspecte formal que em té perplex i del qual fa temps que espero l'explicació de les autoritats competents (en alguna ocasió l'he demanat, l'explicació, però com que tinc roba estesa, m'estalviaré els detalls). Abans de continuar faig un aclariment semàntic, la selectivitat s'anomena oficialment Proves d'Accés a la Universitat, però em resisteixo a utilitzar aquest eufemisme. L'obra de Kafka hauria estat més extensa si hagués gaudit de bona salut i hagués viscut en aquest país en l'actualitat, només que s'hagués fixat en la estructura i terminologia del món educatiu. Penseu que, per exemple, els fins fa poc Programes de Garantia Social (PGS) s'anomenen ara Programes de Qualificació Professional Inicial (PQPI). Això fa que contínuament ens estiguem ennuegant en una sopa de sigles i que hagi sentit dir a alguns pobres pares que el seu fill estudiava per a GPS (almenys el pobre nano no perdrà el nord!).

    Passo a comentar el motiu de la meva perplexitat i desassossec (i així, amb aquesta darrera paraula, ajunto Pessoa i Kafka, dos dels escriptors que ens fan pam-i-pipa des del més enllà). Per als que ignoreu el procés, us diré que enguany la selectivitat a Catalunya ha tingut lloc els dies 15, 16 i 17 de juny. D'algunes matèries examinades (català, castellà, història, biologia, química, dibuix tècnic...), es podia consultar per internet una detallada plantilla de correcció a les poques hores d'acabat l'examen. Així els alumnes es van poder assabentar el mateix dia de la prova, per exemple, que l'expressió "terrible esperanza" era un "oxímoron" i no una "antítesis" per als correctors de l'examen de Lengua Castellana y Literatura. En canvi, per altres matèries (matemàtiques, matemàtiques aplicades a les ciències socials, física...) si cliquem, a hores d'ara, els criteris específics de correcció trobarem, per exemple, l'aclaridor text següent:

    Criteris de correcció comuns per a totes les sèries.
    (1) L'examen consta de 6 qüestions de 2 punts, de les quals cal respondre’n cinc.
    (2) La nota final de l’examen s’obtindrà sumant les puntuacions parcials i arrodonint a mitjos punts.
    (3) Els alumnes han d'explicar el per què de totes les seves respostes. Un problema o una qüestió amb resultat correcte sense explicació pot ser valorada amb un 0 si el corrector no és capaç de veure d'on ha tret l'alumne aquell resultat.
    (4) Les qüestions i problemes que no estiguin resolts completament s'han de valorar en funció de les parts realitzades i mai en funció dels apartats no solucionats correctament. Si la qüestió o problema està dividit en apartats independents, un error en un d'aquests apartats, encara que sigui molt greu,
    no ha d'influir en la qualificació dels altres.
    (5) En preguntes de caràcter conceptual en les que les explicacions de l'alumne no siguin correctes el corrector ha d'intentar discernir si l'alumne té clars els conceptes o no. En cap cas els correctors han de posar l'èmfasi en el rigor formal de les respostes.
    (6) Les qüestions i problemes no demanen, per regla general, la realització de càlculs molt llargs. Per tant,  els errors de càlcul no s'haurien de produir. Les errades de càlcul es tindran en compte, doncs, en la puntuació total, encara que amb una importància relativa.

    Aquests són els criteris específics (sic) de correcció de la prova de matemàtiques. Pregunto:
    • Per què unes matèries fan públiques ben aviat les solucions i d'altres, no?
    • Vol dir això que hi ha correctors que disposen d'una plantila de correcció comuna i d'altres, no?
    • Quins motius —m'estalvio de fer hipòtesis— fan que algunes correccions només es facin públiques quan ja ha acabat tot el procés?
    Algú pot replicar que els mateixos professors de les matèries podem resoldre els exàmens, però cal dir que ignorem si tal errada baixa 0,5 punts o 0,25 punts. Si els alumnes poguessin veure la ultrasecreta plantilla, potser evitaríem alguna demanda de reclamació o doble correcció (ara Kafka balla un vals, tot sol, disfressat de buròcrata).

    La iniciativa privada, un centre d'estudis i el professor Toni Gregori, ens permet, però, trobar les solucions d'alguns exàmens a la xarxa:
    Com sempre, val més que ens ho agafem amb humor.


    Addenda del 7 de juliol de 2011

    Diuen que no hi ha mal que cent anys duri: avui quan he entrat al portal de la Generalitat de Catalunya a l'apartat Exàmens i informació de les matèries, m'han rebut, totes cofoies, les correccions de totes les proves de les PAU de juny d'enguany (incloses les de matemàtiques! Les de Disseny, Química i Electrotècnia no estan en aquesta pàgina, de moment, però es van publicar en un altre lloc del web). No sé quants dies hi porten les de matemàtiques i física, però em temo que no són gaires. Això sí, a hores d'ara (afanyeu-vos a veure-ho, que ho corregiran), en la plantilla de correcció de matemàtiques hi figura un paradoxal "pautes de correcció, no públiques". L'acudit és bo, però no supera la sorpresa aritmètica, de fa bastants  anys, quan alguns alumnes espavilats van descobrir que sumant les puntuacions atorgades a les qüestions i problemes de l'examen de selectivitat de matemàtiques arribaven a 11 punts sobre 10. Felicitem-nos i agraïm la publicació de les correccions! A veure si, per al curs vinent, totes les matèries segueixen el mateix calendari a l'hora de fer-les públiques.

    dimarts, 14 de juny de 2011

    El dia de Pi (III). Posem-hi música

    El 14 de març d'enguany vam encetar una sèrie d'escrits dedicats al nombre Pi. En el primer (El dia de Pi (I). Una invitació), a més d'explicar perquè el 14 de març se santifica, extraoficialment, el nombre π, ens vam posar uns quants deures. Alguns ja han estat acomplerts (El càlcul dels decimals del nombre Pi mitjançant mètodes en els quals hi intervé l'atzar, per exemple, el vam comentar a El dia de Pi (II). El determinisme de l'atzar), però ens quedava pendent, entre d'altres:
    • El nombre Pi i la música. Un divertimento sense solta ni volta: Com sonen, o com podem fer sonar, els decimals de Pi?
      Amb això de sense solta ni volta ja us aviso que no us trobareu una entrada de rigorosa matemàtica, però, si més no, espero que us sembli entrentinguda i curiosa. A més no hi ha festa ni diada assenyalada, sense música.

      Em sembla —no ho puc assegurar— que la primera vegada que vaig sentir els decimals de π va ser en una conferència de Claudi Alsina. El sorprenent professor de matemàtiques va prémer el botó d'un vell magnetòfon i van començar a sonar unes atzaroses notes que corresponien (en el sentit de correspondència matemàtica) als decimals del nombre π. El mètode era molt senzill: a cada dígit del 0 al 9 li feiem correspondre sempre la mateixa nota i els decimals anaven sonant tots amb la mateixa durada. Podeu reproduir  aquesta experiència clicant en l'enllaç Pi10k. El funcionament d'aquest programa és molt senzill: només heu de fer clic a Begin π i després triar escala, triar deu notes o deixar que l'atzar decideixi quines deu notes representaran cada dígit (Randomize). El resultat (podeu "sentir" els primers 10.000 decimals del nombre, d'aquí ve el nom Pi10k) és escassament artístic: el fet que la distribució numèrica sigui aleatòria i totes les notes tinguin la mateixa durada no pot donar un producte gaire melòdic!

      Amb més sentit estètic, el músic Lars Erickson, als inicis del noranta del segle passat, va compondre una Pi Symphony on, a més, hi va embolicar un altre nombre trascendent, el nombre e. Podeu trobar una breu explicació de l'estructura de la simfonia en el web d'un altre músic, Michael John Blake (Michaeljohnblake), vegeu Explanation of Pi Symphony en Youtube o en el web de Blake. El mateix Blake ha utilitzat alguns fragments en el divertit, quasi infantil, What Pi sounds like.

      Posats a triar em quedo, però, amb la inquientant A piece of Pi (violin music for Pi Day), us recomano que l'escolteu.

      I no acabaríem! A The world of Pi hi ha un apartat com aquest:


      I un altre apartat amb continguts semblants el podeu trobar a The Joy of π.

      En alguns dels exemples que he posat, els més elaborats, els decimals del nombre π s'han utilitzat com a motiu numèric. Els motius, generalment més les lletres que els nombres, s'han utilitzat recurrentment en música. El mateix Johann Sebastian Bach es va permetre jugar amb la correspondència de les lletres del seu cognom B-A-C-H que en notació musical alemanya equivalen a si bemoll (B), la (A), do (C) i si natural (H) (motiu Bach). Clar que de la seva inspiració i proesa tècnica va treure de B-A-C-H, per exemple, el Contrapunctus XIV de l'Art de la Fuga (Die Kunst der Fuge) i no una "riuada" (valgui l'acudit, si sabeu alemany) de notes sense sentit.

      Ah, no me n'havia adonat però avui és dia 14 i fa tres mesos exactes del dia de Pi!

      dimarts, 7 de juny de 2011

      La Ventafocs del currículum: Probabilitat i estadística (II)

      En una entrada anterior, La Ventafocs del currículum: Probabilitat i estadística (I), comentàvem amb quina poca consideració es tracten els continguts de probabilitat i estadística en l'ordenació curricular de l'ensenyament secundari i de la seva absència en les proves d'accés a la universitat. Malgrat el títol d'aquest article, no continuarem amb les lamentacions i, tal com apuntàvem en l'anterior, parlarem d'alguns materials disponibles en línia que poden ajudar al professorat a tractar aquests continguts a l'aula o que poden ser útils als alumnes; per exemple, a l'hora de realitzar el seu treball de recerca.

      Si ens centrem a casa nostra, hi ha alguns webs de visita obligada que contenen exercicis i material divers per treballar tot el currículum (no només la probabilitat i l'estadística), per exemple:
      • XTEC (La Xarxa Telemàtica Educativa de Catalunya). Hi podeu trobar força recursos de Matemàtiques.
      •  ARC (Aplicació de Recobriment Curricular). Magnífica iniciativa que abarca també d'altres matèries de secundària.

      Un web imprescindible i dedicat només a les dades estadístiques, però no des d'un punt de vista pedagògic, és el de l'Institut Estadístic de Catalunya (idescat). Aquest organisme oficial ens proporciona dades diverses sobre Catalunya que es poden utilitzar amb profit per introduir l'ús del full de càlcul (Calc o Excel) entre els alumnes de secundària.


      Des del mateix Institut Estadístic va sorgir, fa uns anys, la bona idea de dedicar un espai a l'aprenentatge de l'estadística. Us aconsello, si encara no el coneixeu, que us hi passegeu una mica: aprenestadistica.gencat.cat


      Com que no m'acaba d'agradar això de convertir un article en un índex de recursos, deixeu-me finalitzar amb una reflexió "gràfica" per als refractaris a la ciència estadística (feu clic damunt de la imatge si no voleu forçar la vista):


      Que n'és de difícil fugir-ne!

      diumenge, 22 de maig de 2011

      La proporció àuria, la bellesa, els rostres i el treball de recerca

      En un comentari a l'entrada immediatament anterior a aquest article, l'Anna, una alumna de primer de batxillerat, ens comunica que està fent el seu treball de recerca sobre la "possible" presència de la proporció àuria en la bellesa facial humana. El treball de recerca (TR) és un dels fets diferencials del sistema educatiu català: tots els alumnes de Catalunya l'han de fer obligatòriament i val un 10% de la nota de batxillerat (cosa que em sembla raonable, però l'alumnat d'altres comunitats autònomes se l'estalvien!).

      Ja he dedicat d'altres entrades al nombre auri. A hores d'ara, els escrits més consultats d'aquest bloc són, per aquest ordre:

      Com dibuixar rectangles auris

      La Gioconda, enigmàtica?

      L'Home de Vitruvi

      Tots tres fan referència a la raó àuria! Cal dir que no tothom ha arribat a aquests escrits, suposo, cercant informació sobre la proporció, però em sembla que és significatiu i una demostració que el mite del nombre d'or és dels més estesos dels mites matemàtics. En aquest sentit, m'hauria agradat més que el rànquing dels més llegits estigués encapçalat per El mite del nombre d'or on hi ha un enllaç a un article periodístic d'imprescindible lectura (El mito del número de oro).

      Demano disculpes, abans de continuar, a alguns llegidors habituals d'aquest bloc (si no han desistit encara) perquè en un comentari a L'Home de Vitruvi  ja se'm fa saber (amb música de Bob Dylan) que:

      Quantes entrades caldrà dedicar al nombre auri
      Abans d'engegar a pastar fang els seus impostors

      Espero que la vehemència dels versos no faci defallir l'Anna o a d'altres alumnes que dediquen el seu TR a la divina proporció: un bon TR no acaba, necessàriament, validant la hipòtesi.

      En qualsevol investigació, un dels passos imprescindibles és la recerca documental: no podem començar de zero ni tornar a fer el mateix camí que ja ha estat recorregut. Els investigadors professionals  ja saben que car es paga el fet d'arribar segon o d'obviar informació que ja han aportat d'altres. En el cas que ens ocupa —diguem-ne d'iniciació a la recerca—  podem començar per consultar Mr Google: proposo les paraules clau "treball de recerca" auri OR auria (les cometes i l'OR són importants). Ens assegurem així de poder comprovar si s'han fet recerques semblants en aquest nivell. Trobem, per exemple, que Camille Ausseill (La proporció àuria i la seva aplicació en les proporcions humanes) en les seves conclusions hi fa constar un significatiu i ocurrent "no es oro todo lo que reluce".

      També cal dedicar molta atenció a la metodologia. No podem començar a mesurar rostres sense unes nocions básiques d'antropometria. Sense dedicar-hi massa temps i a la xarxa (recomano biblioteques i especialistes!), he trobat:

      Antropometría aplicada (I). Generalidades  No parla gens de rostres, però està bé per entrar en matèria.

      Estructuración y estandarización de la antropometría facial en función de proporciones  No és un escrit tan generalista com sembla pel títol, però els especialistes en cirurgia estètica tenen el seu punt de vista.

      No em puc estar d'indicar algunes dificultats que té aquesta recerca (en alguns comentaris ja les he citat). El nombre auri (Φ) és irracional i, forçosament, les mesures que prenem nosaltres són racionals, com podem distingir a la pràctica Φ de cinc terços o de vuit cinquens? És mesurable la bellesa? Hi ha unes proporcions objectivament belles? El concepte de rostre bell depèn de les cultures, ha anat variant en el temps i la variabilitat externa dels humans és considerable. Unes imatges a tall d'exemple: 

      Hyo-Sun Lim
      Batoma Diallo












      Quin rostre té unes proporcions més perfectes? El de la pianista coreana Hyo-Sun Lim o el de Batoma Diallo, cantant de Mali? Des del nostre eurocentrisme, a algú li pot semblar que Lim té els ulls petits i Diallo els llavis massa molsuts. Si en lloc de fer referència al rostre, parlem de craniometria, que és més proporcionat un crani dolicocèfal, un de mesocèfal o un braquicèfal?

      Ah, i una cara quadrangular, molt allunyada dels nostres ovals occidentals:


      Una altra dificultat recau en què el concepte de bellesa, modes i cultures a part, té una part individual i biogràfica intransferible. El filòsof racionalista Descartes es va enamorar de petit d'una noia guenya o estràbica (he ratllat la primera paraula, no sigui que la policia d'allò politícament correcte em denunciï) i, sempre més, va trobar atractius els rostres que tenien aquest mateix defecte. Si us sembla estrany a Balzac i als antics maies (a tots!?), diuen que els passava el mateix.

      S'ha postulat que determinades característiques del rostre sí que tindrien un valor universal que els faria més agradables. Aquí hauríem de citar la simetria i l'aspecte saludable (sigui el que sigui aquesta darrera cosa). De totes maneres, no hi cap cara totalment simètrica i l'excés de simetria provoca efectes perversos (A Study of Asymmetry of Faces).

      Ara hauríem de passar a dissenyar el treball de camp...

      Sé, perquè he atutorat uns quants TR, que les consideracions, dubtes, crítiques i preguntes incomoden els estudiants, però la ciència es construeix a partir d'incerteses (allò del dubte metòdic que diria Descartes) i d'afirmacions falsables (que diria Karl Popper). Catalans i catalanes (que diria qualsevol polític actual) que curseu el batxillerat, ànim i que tingueu un bon treball de recerca!

      dissabte, 23 d’abril de 2011

      La Ventafocs del currículum: Probabilitat i estadística (I)

      Ja vam comentar alguna de les mancances del currículum de l'ensenyament secundari en l'entrada La Lògica i el currículum (I). Avui m'agradaria parlar del currículum de matemàtiques, de la seva Ventafocs: la probabilitat i l'estadística (els més rigorosos diran que són dues disciplines diferents i per complaure'ls només caldrà posar en plural l'article i escriure les Ventafocs) i del temari de Selectivitat. Abans d'entrar en matèria, cal dir que, per edat com a únic mèrit, he sobreviscut els diferents canvis de temari i d'orientació de l'assignatura de matemàtiques. Com alumne vaig viure l'auge de l'ensenyament de l'anomenada matemàtica moderna i, de ben petit, distingia correctament les relacions d'ordre de les d'equivalència i el conjunt complementari de la intersecció de conjunts (per horror dels més grans que, encertadament, opinaven que sumar en base tres no ens faria homes de profit). Més tard, uns quant anys de quasi autoaprenentatge i posades en comú, emplenant fitxes d'ordenació complicada (en una setmana calia fer les fitxes 4-1 a 4-6 de matemàtiques, de la 3-6-1 a la 3-6-4 de naturals...) i pràcticament sense llibres (això que ara és tan avançat). I després el batxillerat d'aleshores: el BUP (la P de l'acrònim era de polivalent, com ho són les navalles suïsses si et llegeixes amb deteniment les instruccions) amb explicacions detallades de com utilitzar les taules de logaritmes i funcions trigonomètriques. En la meva etapa de professor els canvis han estat constants i us n'estaviaré els detalls, deixeu-me dir, però, que ara que ja sabíem diferenciar els conceptes dels procediments, hem de programar per competències i que, després d'una epidèmia d'àlgebra, correm el risc de patir-ne una de geometria (a l'ESO, si més no). Ironies a part, canvis i recanvis m'han angoixat més aviat poc i m'han molestat més les explicacions i sortides per la tangent dels encarregats de justificar-ho tot plegat: recorrent cada vegada més a arguments d'autoritat ("ens ho demana Pisa" o "així ho ha fixat Madrid", mira que en tenen d'autoritat aquestes dues senyores, Pisa i Madrid!).

      Però parlem de la pobreta Ventafocs! En els exàmens de Selectivitat  —ui, perdó! no volia ser políticament incorrecte, volia dir en les Proves d'Accés a la Universitat (PAU)— de Matemàtiques o de Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials (les darreres sis paraules són el nom d'una assignatura) no hi trobàreu cap pregunta de probabilitat i estadística. Per quina raó? Senzillament per una "raó legal", els reials decrets que regulen les PAU (Reial Decret 1892/2008 i Reial Decret 558/2010) afirmen que el temari examinable és el de segon de batxillerat i, ai las!, la probabilitat i estadística són del temari de primer curs. Per d'altres raons legals, els exàmens de selectivitat de l'antic COU (la O és d'orientació, però no em demaneu cap on assenyalava la brúixola) contenien preguntes de probabilitat, a Matemàtiques I, i l'estadística tenia molt de pes, a Matemàtiques II. Algun idealista em replicarà que els continguts estan encara en el temari, però amb només dos cursos, el temari sobrecarregat i uns continguts que no surten a les PAU no cal que us digui quins són els coneixements mitjans (va, us deixo dir competències) de probabilitat i estadística dels nostres batxillers. Algun dia caldrà parlar dels efectes, perversos o virtuosos, d'algunes proves externes necessàries (anava a parlar d'Estats Units i la importància que s'acaben donant a unes poques assignatures, però el problema és força més complex (podeu consultar, però la tria d'aquest document no ha estat massa meditada ni fruit d'una recerca exhaustiva, La educación secundaria en los Estados Unidos)).

      Si voleu donar una ullada als exàmens de matemàtiques, i de les altres assignatures, de les PAU a Catalunya:
      • Gencat (per a exàmens recents)
      • Selecat (si voleu viatjar a un passat una mica més remot)

      Deixeu-me aclarir allò dels arguments d'autoritat del primer paràgraf, ara que he parlat una mica més de la situació. Us podrà semblar anecdòtic, però em sembla que és significatiu. Fa uns quants anys, recordo en una reunió de selectivitat que un dels sots-coordinadors de la prova i els  professors assistents vam comentar i debatre si el temari de batxillerat més adequat per a futurs estudiants universitaris de Ciències de la Salut hauria d'incloure més estadística (potser no era el lloc on fer-ho, però això demostrava una certa actitud). Darrerament, les preguntes es dirigeixen directament a què "entra" i s'ha convertit en resposta pragmàtica i recorrent, donat l'estat de l'educació, però, no cal culpabilitzar a ningú, "no entra perquè és del temari de primer". Si em demaneu quins arguments justifiquen que determinats contiguts ara estiguin a primer, ara a segon (a física, tres quarts del mateix), els ignoro completament (les apel·lacions al compliment de les lleis, no em semblen arguments "raonables").

      M'he centrat en comentar l'estat de la matèria al Batxillerat, però em temo que a l'ESO el panorama no és gaire millor. Cal dir, és una apreciació i no puc aportar dades objectives, que l'estadística no té massa prestigi ni és massa valorada entre els mateixos matemàtics i això pot explicar part de la situació. 


      L'estadística i la probabilitat és la branca de les matemàtiques que té una presència més àmplia en els estudis universitaris, forma part dels coneixements bàsics de l'alfabetització matemàtica (podeu llegir L'analfabetisme numèric i les seves conseqüències) i els seus abusos serveixen per entabanar ciutadans, contribuents i jugadors més o menys compulsius (suposo que, per això, dediquem més temps del curs a la geometria analítica). Acabo aquest panegíric queixós amb l'anunci que en el proper escrit seré més constructiu i parlaré d'algun material interessant per treballar la probabilitat i l'estadística disponible a la xarxa.

      dilluns, 18 d’abril de 2011

      Macrobotellón... matemàtic: Prova Cangur 2011

      Perdoneu-me la barreja d'idiomes del títol: segons ésAdirEl portal lingüístic de la Corporació Catalana de Mitjans Audiovisuals (CCMA), no hem de traduir la paraula botellón (ho deuen considerar un fenomen antropològic propi d'altres cultures). De fet, el Macrobotellón de l'encapçalament vol ser una expressió d'èxit, una queixa i un esquer. Una expressió d'èxit, perquè el passat 17 de març una multitud de 18.464 alumnes catalans de secundària van participar en la Prova Cangur de matemàtiques d'enguany, demostrant una vegada més la bona salut d'aquesta experiència (podeu veure la notícia Més de 18.000 alumnes catalans de secundària participen en la Prova Cangur 2010 sobre l'edició de l'any passat). Una queixa, perquè de nou els mitjans de comunicació quasi no s'han fet ressó de tal diada i, en canvi, no els costa gaire parlar d'altres expressions culturals com "botellons" i "raves" (llegiu aquesta darrera paraula en anglès si us plau, no parlo d'hortalisses!). I un esquer, potser algun despistat cercador de "macrobotellons" a Google entra per equivocació a llegir aquesta entrada i allarguem la vida d'alguna de les seves sinapsis neuronals. Per altra banda, tinc l'esperança que, el fet d'incloure el mot Macrobotellón en el títol, augmentarà el nombre de lectors d'aquest bloc.

      Anem pel ressó mediàtic. En una comunicació interna de l'associació de professors de matemàtiques ABEAM s'aportaven dos enllaços a notícies sobre el Cangur. Una era un breu ressenya al portal InfoK de TV3 amb un vídeo d'uns dos minuts que no té preu: els periodistes juguen amb la idea de com pot ser que algú es presenti voluntari a un examen de mates? Passarem per alt, l'ús de mates per matemàtiques —és més significatiu d'allò que pot semblar— i la cantarella pseudoinfantil dels cronistes. Un dels nois entrevistats justifica la seva presència amb un "et puja la nota i caus millor al profe" (ja sabem que el fet que t'agradin les matemàtiques o pensar no és megaxaxiguai i cal amagar-ho). Us asseguro que els alumnes de les meves classes que hi van participar no tindran una pujada col·lateral de la nota ni em cauran ni millor ni pitjor que abans d'anar-hi (tinc l'obligació professional que els alumnes "no em caiguin").  Més digne, equilibrat i sense currículum ocult, em sembla el tractament de la notícia al canal televisiu barceloní BTV: Les proves Cangur de matemàtiques busquen despertar l'interès de l'alumnat. El més gratificant per als que d'alguna manera participem en l'organització no és, però, que se'n parli públicament, sinó l'interès i seriositat amb què els concursants es prenen el Cangur.

      A les Illes Balears, la Prova va tenir lloc el mateix dia 17 de març i la participació va ser de 4671 alumnes, com bé podeu llegir al web de Xeix (Societat Balear de Matemàtiques). Encertadament, Xeix ha fet un recull de Les Proves Cangur a la televisió, la ràdio i els diaris.  L'aspecte que presentava el Palma Arena amb 2471 participants mallorquins és una de les imatges singulars de la jornada:


      Els més tocatardans van ser els nostres companys del País Valencià, amb més de 4300 participants (Cangur-2011 al País Valencià), que van celebrar la prova el 24 de març ja descansats de les falles. El canvi de data va obligar a utilitzar uns enunciats diferents dels de Catalunya, Balears i Andorra.

      Podeu accedir a les solucions dels diferents nivells, llistes dels millors classificats, etc. fent clic a Prova Cangur 2011. Felicitats a tothom que hi ha participat!

      diumenge, 10 d’abril de 2011

      Els desafiaments matemàtics d'El País. Comencem pels grafs

      El passat 18 de març el diari El País va encetar una atrevida iniciativa per commemorar el centenari de la Real Sociedad Matemática Española (RSME): una sèrie de trenta problemes de matemàtiques que apareixerien en format vídeo, un cada setmana, en la seva versió digital, amb l'al·licient del sorteig d'una col·lecció de llibres (Las matemáticas que nos rodean, una reedició de la col·lecció El mundo es matemático de RBA) per als qui enviïn una resposta correcta.  No us penseu que vull fer publicitat de la col·lecció de llibres: el primer volum, com no, parla de la proporció aúria, ja he dedicat alguns articles a aquest esotèric assumpte (El mite del nombre d'or) i això no és un bon començament (cal dir que altres títols semblen interessants i d'autors contrastats); però els problemes proposats fins ara tenen un encant especial. El primer problema el va enunciar Adolfo Quirós, membre de la RSME i professor de la Universidad Autónoma de Madrid:

      Un problema de ciudades y carreteras



      Que el primer problema fos de teoria de grafs, la disciplina que segons l'ortodoxia comença amb la solució d'Euler al problema dels set ponts de Königsberg, em va semblar molt encertat. Aquesta part de la matemàtica és bastant desconeguda i pràcticament ignorada en l'educació secundària i, en canvi, quan he passat el vídeo anterior en algunes classes de batxillerat molts alumnes han començat, espontàniament i amb interès, a cercar la solució. Ja fa dies que es va presentar aquest problema, era el primer i em sembla que ja en van quatre; però, si en desconeixeu la solució, només heu de clicar:

      Solució del problema de ciudades y carreteras
      (+/- Mostra/Oculta)

      Curiosament, en les tres classes en les quals vaig passar aquest vídeo, sempre algun agosarat alumne va saltar immediatament amb "ja tinc la solució". I la solució és que aquest problema no té solució! (Demostrar que un problema és insoluble és molt productiu i freqüent en matemàtiques i ens pot fer estalviar molt de temps). El mateix Quirós ho explica en un altre vídeo d'una manera força entenedora i sense utilitzar sofisticacions de la teoria de grafs: feu clic a Solución del primer desafío matemático. Si voleu veure la notícia completa en l'edició digital del diari, vegeu Y la solución es...no hay solución.

      Si heu vist la solució proposada i la trobeu "poc matemàtica", podeu consultar el bloc Combinatórica.

      Per concloure aquest article cedeixo novament la veu a Adolfo Quirós, parlant ara d'un desafiament i d'un problema real: Los españoles presumen de no saber matemáticas.

      dimarts, 5 d’abril de 2011

      El dia de Pi (II). El determinisme de l'atzar

      En l'article que vam dedicar el passat 14 de març al dia de Pi (El dia de Pi (I). Una invitació), ja avançàvem, entre diversos temes que volíem tractar, el càlcul dels decimals del nombre Pi mitjançant mètodes en els quals hi intervé l'atzar. Van ser nombrosos els articles apareguts en la blogosfera dedicats a Pi en el seu dia i alguns parlaven de la relació d'aquest nombre amb l'atzar. Us recomano, per exemple i per curiosa, l'entrada Cómo encontrar a π en una baldosa (espero que no feu massa cas de l'advertència de Sant Agustí que hi apareix) que va participar en el Carnaval de Matemáticas explicant algunes curiositats del mètode aleatori per calcular Pi conegut com l'agulla de Buffon.

      El mètode de Buffon és força interessant, però jo me n'aprecio més un altre —va ser una de les primeres simulacions que vaig programar, i funcionava!— que es basa en fer un recompte de punts disposats aleatòriament en una figura geomètricament molt senzilla (un cercle inscrit en un quadrat). Com que la probabilitat que un punt estigui en el cercle depèn de la raó entre les àrees del cercle i  del quadrat, amb els càlculs adequats i un bon nombre de punts, podem tenir una aproximació de Pi. Per consultar els detalls d'aquest càlcul i comprovar-ne la bondat de l'estimació (que dirien els estadístics), podeu consultar la pàgina web de José María Gómez Aroca (si voleu accedir directament a la secció que s'ocupa d'aquest tema feu clic a Cálculo de Pi con probabilidades). Més bèl·lica és la simulació i l'explicació de Luis Pabón que trobareu a Calculando Pi a cañonazos.


      Calculando Pi a cañonazos

      Que l'atzar es pugui utilitzar per obtenir bones aproximacions numèriques, pot arribar a sorprendre a més d'un. Però més sorprenent pot semblar — sobretot per als que creuen en la sort i en les casualitats afortunades—  que molts professors de matemàtiques, quan volem exemplificar que la probabilitat d'obtenir una cara en una moneda no trucada és 0,5, convidem als alumnes a llançar una moneda unes desenes de vegades per tal que vegin que la freqüència relativa de cares s'aproxima a 0,5 (un 50%). No en conec cap que pensi, abans de realitzar l'experiència, "a veure si avui no em surt bé i obtenim una freqüència de cares de 0,75". Perdoneu-me la paradoxa i l'abús semàntic, però d'això en diria el determinisme de l'atzar (ja sé que n'hauria de dir Llei dels grans nombres).

      Amb aquesta breu entrada obro en aquest blog una nova categoria o etiqueta de Probabilitat i Estadística. Els més saberuts potser hauríeu preferit que hagués parlat de si existeix un atzar ontològic i un altre d'epistemològic o de, si no fóssim uns ignorants, la física hauria de ser determinista (Einstein dixit) o de quin paper juga la teoria del caos en el dilema atzar-determinisme. Però m'ha fet una mandra...