dimarts, 30 de desembre de 2014

Cap al 2015! La darrera felicitació matemàtica de la tríada esfènica


La problemàtica facilitat de felicitar

No hi he estat a temps per Nadal, però no us vull estalviar la "tradicional" entrada del blog que dedico a aquestes entranyables (del visceral plural llatí interanea) dates.

Fa uns anys, per tal de felicitar algú per escrit, calia triar una postal o targeta de Nadal (les més populars eren les ensucrades i artístiques nadales de l'il·lustrador Joan Ferràndiz), escriure-hi a mà els nostres millors desitjos, posar-la en un sobre amb l'adreça del felicitat (també manuscrita), enganxar-hi un gomós segell... i esperar que la diligència del servei de correus permetés que fos lliurada en un temps raonable.

Ara, les eines digitals i la Gran Teranyina ens faciliten la feina de tal manera que no tots actuem amb contenció. I les llistes de correu fan la resta: algun dit poc misericordiós clica ENVIAR i acabes rebent una felicitació d'alguna corporació, empresa o particular que no tens el gust de conèixer o recordar. I Déu ens guardi dels individus (amics, coneguts o saludats) que volen ser originals i utilitzen alguna de les variades aplicacions digitals per fer-nos arribar una simpàtica animació (no hi ha res tant divertit i enginyós com els elfs)! De fet, no he confegit aquesta entrada abans perquè he estat molt ocupat clicant ESBORRAR.

Això sí, ens hem deslliurat d'aquells que ens desitjaven Bon Nadal a canvi de diners (vegeu Ja no ens demanen les estrenes (ni l'aguinaldo)) i de càndides perles gràfiques (Nadals retro) i poètiques:
«Soy factor imprescindible / de higiene y salubridad; / protector indiscutible / de toda la vecindad. / Humilde, trabajador, / os defiendo todo el año / de suciedad y de hedor / que pueden causar gran daño. / Y si os pudiera librar, / igual que de la basura, / del llanto o la desventura, / lo haría sin vacilar. / Una feliz Navidad / y un bienestar duradero / con toda sinceridad / os desea el Basurero» (Font: Más Aguinaldos, El Castellano)
I algú dirà ¿on estan les matemàtiques en aquesta introducció? Va, me'n vaig per la tangent i hi poso –amb calçador– un esquitx matemàtic:

La relació que ve donada pel criteri "felicitar el Nadal a..." no és una relació d'equivalència ja que no compleix cap de les propietats que caldria:
  • Propietat reflexiva. S'ha d'estar molt desesperat o tenir una personalitat múltiple per felicitar-se un mateix.
  • Propietat simètrica. Que "A feliciti B", no implica que "B feliciti A" (B pot ser un maleducat, un misantrop, un despistat...)
  • Propietat transitiva.. No necessàriament els amics dels meus amics són els meus amics!


La improbable Grossa i el desafiament matemàtic d'El País

Però abans d'arribar al 25 de desembre, hem hagut de passar per la celebració d'aquesta mena d'impost encobert que és el sorteig de Nadal. No parlaré ara  de la minsa probabilitat que ens toqui la Grossa (l'estatal o l'autonòmica del 31 de desembre); algú amb criteri matemàtic em deia l'altre dia: que et tornin els diners en un joc d'esperança matemàtica negativa ja és un premi! Com que ja ho vaig comentar amb més detall a L'hem feta grossa! L'anumerisme en probabilitat, ho deixarem aquí i esperem que el Niño li pengi la llufa a la Grossa.

Més probabilitats teniu de trobar la solució del Desafío Extraordinario de Navidad que va proposar el diari El País el 12 de desembre. Els Desafíos són problemes matemàtics que periòdicament, mai millor dit, ens ofereix El País i que, de tant en tant, apareixen en aquest blog (l'última trobada va ser aquest estiu amb El retorn dels "Desafíos matemáticos"). El darrer repte proposat ha estat Superstición... y probabilidad. Si feu clic en l'enllaç anterior, accedireu a l'article que conté un vídeo on ens enuncien el problema i, si no, transcric tot seguit l'enunciat:


Superstición... y probabilidad (El País, 12 de desembre de 2014)

Antes de que llegue el sorteo, quiero tener decorado mi árbol de navidad. Para ello tengo una caja con bolas de color rojo y bolas de color blanco. No recuerdo exactamente cuántas bolas hay, pero sé que no son más de 20. Lo que sí recuerdo – manías de matemáticos – es que al sacar de la caja dos bolas al azar, la probabilidad de que las dos sean blancas es 1/2. El desafío navideño que os proponemos es que nos digáis cuál es la probabilidad de que, al sacar al azar dos bolas de la caja, las dos sean rojas. Como siempre, además del número, os pedimos que nos deis una explicación de cómo habéis llegado a él.


Em sap greu dir-vos que, si no ho vau fer en el seu moment, ja no hi sou a temps d'optar al sorteig d'una biblioteca matemàtica (sic!) entre les persones que van enviar la solució argumentada abans del 19 de desembre. De totes maneres, el problema és prou interessant per dedicar-hi una mica d'atenció i esforç. Si no us en sortiu, us deixo l'enllaç amb la solució (aquí). Jo el vaig resoldre d'una altra manera –amb una agradable equació diofàntica de segon grau– que la proposada en el vídeo explicatiu, però ja us explicaré els detalls un altre dia. De fet, l'article del diari amb la solució ja apunta aquest mètode.


El problema-felicitació d'Ignasi del Blanco

 Molt assequibles, i per a tothom, són els problemes numèrics que, a mode de felicitació i any rere any, ens proposa Ignasi del Blanco i ens ofereix el Creamat. Podeu intentar resoldre el d'enguany fent clic a Bon any 2015 o a través de la següent imatge:


Si resoleu el problema en la versió interactiva de la pàgina del Creamat, podreu llegir un missatge de felicitació. La versió interactiva permet una certa disbauxa irreflexiva, no cal pensar gaire i anem combinant nombres! Però, si sou mandrosos de mena, us l'ofereixo ja fet:


Bon any 2015 (Solució) (+/- Mostra/Oculta)



Algunes particularitats numèriques del 2015

Ja vaig indicar l'any passat (si consulteu Felicitacions matemàtiques. Bons anys esfènics!, veureu que persisteixo en les meves dèries, i no només en les estrictament matemàtiques) que 2015 és un nombre esfènic; és a dir, producte de tres nombres primers diferents (2015 = 5·13·31). A més,  l'any 2015 serà el darrer de tres anys esfènics consecutius. Per a la propera tríada esfènica cal esperar al 2665 i sobreviure fins al 2667; ja cal que tingueu cura amb la dieta i l'estil de vida si voleu arribar-hi! Més proper tenim un any esfènic solitari, el 2022 (2022 = 2·3·337).

Esperava amb delit l'escrit que Rafael Parra Machío, aficionat a les matemàtiques, acostuma a fer per explicar-nos alguna de les propietats del numeral que ens indica el nou any. Us n'he donat l'enllaç d'altres finals d'any, però sembla que enguany no podrà ser. Antonio Roldán ha pres, però, el relleu en aquesta tasca i fa un petit llistat de les propietats i curiositats de 2015 en l'entrada Bienvenida al 2015.

A Cifras y Teclas  trobareu un altre divertiment que pren com excusa el 2015, en aquest cas a càrrec de David Orden, professor de Matemàtica Aplicada : ¡Feliz 2015, número de triángulos rectángulos y año con blue moon!


I per acabar...

Us desitjo que l'any vinent us enfronteu amb reptes matemàtics interessants i que –manllevo la frase de la felicitació de l'Ignasi del Blanco– els problemes, d'altres tipus, que us presenti el 2015 no se us resisteixin gaire. Bon Any!

dilluns, 8 de desembre de 2014

El Premi Abel: jove, poc conegut i ben plantat


Va de premis i crematística!

Aquesta serà la tercera entrada consecutiva del blog dedicada als premis i guardons que estan destinats específicament als investigadors matemàtics –he estat a punt d'escriure creadors matemàtics, però aquesta és una polèmica per a un altre article. En les anteriors, he posat el punt de mira en els guardons que es coneixen popularment amb el nom de Medalles Fields (vegeu, si us plau, Medalles Fields: ¿els premis Nobel de matemàtiques? i Medalles Fields 2014: ¿trencant motllos?); però, encara que fos de passada, ja hi vaig citar el Premi Abel. Aquest premi anual és molt jove (és a dir, de molt recent creació): es va concedir per primera vegada l'any 2003. Té una dotació econòmica més que interessant, semblant a la dels Premis Nobel: 6 milions de corones noruegues (uns 700.000 euros, segons el canvi actual). La niciesa periodística fa que comparteixi amb les Fields l'equiparació de "Premi Nobel de les matemàtiques". Així, el mateix diari pot parlar aquest mateix any de dos premis Nobel de les matemàtiques:

El ruso Yakov G. Sinai gana el premio Abel, el "Nobel" de las matemáticas (26-03-2014) (això vol dir que Sinai ha guanyat el premi Abel)

La iraní Maryam Mirzakhani, primera mujer ganadora del 'Nobel' de las matemáticas (13-08-2014) (aquí anuncien que Mirzakhani ha guanyat una de les medalles Fields).

És allò de "qui no sap de què parla i, a més, no té memòria pot semblar rematadament idiota". Tot plegat em recorda certa premsa esportiva que, a finals del segle passat, tenia la idea recorrent de posar l'afegitó "partit del segle" a dos, tres o més partits de futbol que es jugaven el mateix any.


Per què s'anomena Premi Abel?

L'Abel que dóna nom al premi va ser un matemàtic noruec i no té res a veure amb el seu homònim bíblic, aquell Abel que va ser assassinat per Caïm.  L'aportació a les matemàtiques més coneguda de Niels Henrik Abel (1802-1829) és la demostració de la impossibilitat de trobar una solució general de les  equacions polinòmiques de cinquè grau a partir dels seus coeficients utilitzant les operacions aritmètiques bàsiques i els radicals (podem solucionar d'aquesta manera les equacions de fins a quart grau; vegeu Por qué no hay solución general de la ecuación de quinto grado i la breu Historia de las ecuaciones polinómicas). En els seus estudis Abel va utilitzar les estructures matemàtiques que ara coneixem com a grups commutatius o abelians. Posteriorment el matemàtic francès Évariste Galois (1811-1832) va anar més enllà i va aportar les eines necessàries per estendre la demostració d'aquesta irresolubilitat general a totes les equacions polinòmiques de grau igual o superior a cinc. Tots dos, Galois i Abel, van morir en plena joventut: Galois en un duel i Abel pels efectes de la tuberculosi

Niels H. Abel (Font: MacTutor)

En algunes fonts he llegit que Sophus Lie,  també noruec i matemàtic i "pare" dels grups i àlgebres  de Lie, ja va proposar la creació d'un premi Abel el 1897; potser empès pel fet que Alfred Nobel havia oblidat les matemàtiques en el seu testament i, sobretot, per honorar el seu compatriota Abel. Les vicissituds històriques van fer, però, que el premi no veiés la llum fins els inicis del segle actual.


El perfil del premi i dels premiats

Si voleu informació de primera mà sobre aquest guardó, cal que aneu a la pàgina oficial The Abel Prize. Hi podeu consultar el llistat dels tretze premiats en les onze convocatòries que ja portem del premi (feu clic a Laureates). Excepte el 2004 i el 2008, que hi va haver dos guardonats, en la resta de les edicions hi ha hagut un sol guanyador. En l'Abel no hi  ha limitació d'edat –a diferència de les medalles Fields que no es concedeixen als majors de quaranta any. Això fa que l'Acadèmia Noruega, que concedeix el premi seguint la proposta i recomanació del Comitè Abel (format per matemàtics de diferents nacionalitats), vagi sobre segur i l'atorgui a matemàtics ja grans i de reconegut prestigi. Vaja, un premi jove per a gent gran!

El darrer en rebre'l,  segons l'Acadèmia per les seves "contribucions fonamentals als sistemes dinàmics, a la teoria ergòdica i a la física matemàtica", ha estat Yakov Grigorievich Sinai (1935), matemàtic d'origen rus que actualment resideix a Estats Units i treballa en la Universitat de Princeton. En aquest cas si més no, el premiat amb l'Abel no es dedica a la "matemàtica pura" i podríem dir que treballa en la matemàtica que necessiten els físics. Podeu llegir una breu aproximació divulgativa de la seva feina a El matemático ruso Yakov G. Sinai recibe el Premio Abel 2014 en el magnífic blog La Ciencia de la Mula Francis.

Yakov G. Sinai, Premi Abel 2014 (Font: The Abel Prize)

Els matemàtics que reben l'Abel acostumen a tenir un currículum ja ple d'altres premis notables. Com a mostra, deixeu-me assenyalar que l'Abel del 2013 es va concedir al belga Pierre Deligne (1944) que, entre d'altres mencions important,  ja havia rebut la medalla Fields el 1978 i el Premi Wolf, el 2008 (vegeu Pierre Deligne, Premio Abel 2013).

Pierre Deligne, Premi Abel 2013

Tot i que em queden per comentar premis de matemàtiques més substanciosos, encara més "ben plantats" des del punt de vista econòmic, deixaré descansar els honors i distincions, i les properes entrades aniran en d'altres direccions...

divendres, 7 de novembre de 2014

Medalles Fields 2014: ¿trencant motllos?


Introducció o represa

L'entrada anterior, Medalles Fields: ¿els premis Nobel de matemàtiques?, ve a ser una introducció, amb informació prèvia, que permet posar en context aquest escrit. En resum, hi donava informació sobre aquestes medalles i hi criticava el fet d'identificar-les com a Premis Nobel de les matemàtiques. A diferència dels Nobel, les Fields són quadriennals, tenen una dotació econòmica més minsa i premien una àrea de coneixement, les matemàtiques, oblidades en el testament d'Alfred Nobel. Les atorga la International Mathematical Union (IMU) i el lliurament es fa durant el International Congress of Mathematicians (ICM), un congrés de matemàtics de tot el món que també se celebra cada quatre anys.

Una característica de les Fields que cal destacar, i que pot sobtar, és que els premiats han de ser menors de quaranta anys; de fet, no poden haver complert aquesta edat abans de l'1 de gener previ al Congrés. Aquesta restricció d'edat es justifica amb l'observació que allò que es vol incentivar amb el premi és la futura carrera matemàtica dels guardonats. És ben curiós que hi ha estudis que assenyalen un efecte negatiu en la posterior productivitat matemàtica dels premiats, ho podeu llegir a:

Medalles Fields 2014

Enguany, del 13 al 21 d'agost, es va celebrar el Congrés Internacional de Matemàtics a Seül (Seoul ICM 2014). Els medallistes Fields van ser Artur Avila (Brasil, 1979), Manjul Bhargava (Canadà, 1974), Martin Hairer (Austria, 1975) i  Maryam Mirzakhani (Irán, 1977).

Els premiats amb les autoritats del Congrés. D'esquerra a dreta: Hairer (quart), Bhargava (cinquè),
Mirzakhani (setena) i Avila (nové)

La decisió del jurat ha trencant motllos! El fet que una de les persones premiades sigui el primer sudamericà en rebre la medalla i que una altra sigui la primera dona, i a més iraniana, guardonada, ha fet que els mitjans de comunicació s'hagin ocupat de les Fields més que de costum. Han mantingut, però, amb algunes honroses excepcions, el baix nivell de qualitat que els caracteritza. A tall, d'exemple, l'inefable Ramon Pellicer va despatxar la bona nova, en un Telenotícies de TV3, dient que s'havien atorgat els "Nobel de matemàtiques", que per primera vegada una de les premiades era una dona i que la seva meritòria feina havia consistit en trobar noves maneres de calcular l'àrea de superfícies semblants a les cadires de muntar. No és fàcil transmetre de manera senzilla el treball d'aquests matemàtics i el símil de la cadira de muntar per divulgar el concepte de superfícies riemannianes és freqüent; però els llecs en matemàtiques es devien quedar amb la imatge de Mirzakhani mesurant selles en alguna hípica. Evidentment, aquí, dels altres premiats se n'ha parlat poc o gens... Bé, a Brasil i a França, s'ha parlat d'Avila; i Hairer ha desaparegut de la majoria de notícies, menys a Aústria i Alemanya.


Els premiats

En el web oficial del Congrès celebrat a Seül podeu trobar informació sobre els guardonats i un breu vídeo sobre cada un d'ells (feu clic a Awards). M'he permès triar una fotografia de cadascun i us els presento en rigorós ordre alfabètic:  

Artur Avila

Artur Avila ha treballat a cavall entre Brasil i França. El diari O Globo de Brasil assenyalava en una notícia que alguns mitjans gals parlaven d'ell com d'un èxit de la matemàtica francesa: Imprensa na França comemora Medalha Fields de brasileiro que trabalha em Paris.



Manjul Bhargava

La fotografia que he escollit del canadenc de naixement (i de nacionalitat nord-americana)  Bhargava no és gens formal, però l'he triada perquè m'ha recordat algunes imatges del genial físic Richard Feynman que també tenia debilitat per als instruments de percussió (n'hi ha proves aquí, per exemple). Part del triomf obtingut per Bhargava se l'apunten a l'Índia. Ho podeu llegir a Rediff  (A professor who sees common thread in Sanskrit, music and math).


Martin Hairer

Martin Hairer apareix en la fotografia anterior davant de la inevitable pissarra plena de simbologia destinada a espantar els neòfits en matemàtiques. Pobret! Home i europeu, ha estat el menys mediàtic dels quatre. En el periòdic alemany Die Zeit sí que li dediquen atenció; però, amb un excés d'afany divulgatiu, ens comenten que les seves equacions serveixen per entendre com es crema el paper. Vegeu l'article Die Feuergleichung ("l'equació de foc") que porta el subtitulat "Martin Hairer erklärt, wie Papier verbrennt. Dafür bekommt er die höchste mathematische Auszeichnung" (és a dir, "Martin Hairer explica com es crema el paper...").


Maryam Mirzakhani (Font: Stanford University)

La iraniana Maryam Mirzakhani ha estat la que ha encapçalat més titulars, encara que després del títol es comentin els altres guanyadors (vegeu, per exemple, els articles La iraní Maryam Mirzakhani, primera mujer ganadora del 'Nobel' de las matemáticas o Por primera vez en la historia, una mujer gana la medalla Fields de Matemáticas).

Cal dir que els quatre premiats, malgrat els seus orígens diversos, treballen bàsicament en universitats nord-americanes o europees (com pràcticament tots els guanyadors de les anteriors edicions). Caldria esbrinar si la causa és que aquestes institucions occidentals capten els talents o és que el talent matemàtic només es pot desenvolupar en determinades condicions i àmbits. Cap una tercera hipòtesi malèfica, jo no hi crec: els premis s'atorguen a aquells que treballen en universitats de prestigi i s'obliden els matemàtics d'universitats "perifèriques".


I de les matemàtiques, què!?

Algú em dirà, i amb part de raó: "critiques els redactors de notícies i, a canvi, ens ofereixes poca informació sobre el treball matemàtic d'aquestes quatre persones i, a més, ho acompanyes de fotografies ben banals (fins i tot, una d'ètnica, amb un matemàtic d'aspecte indi tocant el tabla (1) (2))".

Rodejats com estem d'alguns "matematicofòbics", masclistes (en la premsa nostrada he llegit alguns comentaris de lectors argumentant que "Mirzakhani sembla un home"), racistes i d'altres ignorants, la meva  intenció primera era parlar de l'existència de les Medalles i, amb les fotografies, mostrar que els bons matemàtics tenen aspectes físics i procedències diverses.

Per aquells que vulgueu aprofundir en la seva feina us emplaço a consultar l'enllaç Awards de l'ICM que us he donat abans. També podeu consultar un dels articles de Gaussianos i els enllaços que hi apareixen (Las medallas Fields 2014.Adrián Paenza, Premio Leelavati 2014). I segur que a la Xarxa trobareu d'altre informació fiable i entenedora!

Un dels millors escrits que he llegit sobre l'ICM 2014 és un breu article de tres pàgines en la revista Investigación y Ciencia d'aquest novembre de 2014. El signen Ágata Timón i David Fernández que també són els autors d'una notícia que he enllaçat abans. Us dono el link, però el contingut complet no és de consulta lliure: El horizonte visible de las matemáticas. Els autors hi comenten el caire general de les ponències de l'ICM 2014: s'observa una tendència cap a unes matemàtiques més unificades on les especialitats "es barregen", i continuen dominant, en aquesta trobada, les matemàtiques pures versus les aplicades. Hi trobareu també una molt breu i encertada descripció de l'obra dels medallistes Fields d'enguany.

Esperem que el fet d'haver rebut la medalla no els resti creativitat i productivitat!

divendres, 17 d’octubre de 2014

Medalles Fields: ¿els premis Nobel de matemàtiques?


Introducció amb reflexió personal: 'Oh dear! Oh dear! I shall be late!'

Si anés a escriure un assaig, m'estalviaria aquesta reflexió; però, com que qualsevol blog ha de tenir quelcom de quadern de bitàcola personal, no me'n puc estar de començar per aquí. Tinc la impressió, segurament objectivable, que ens falten hores (permeteu-me la primera persona del plural, perquè hi ha més afectats) i que vaig tard i malament.

Quan el 13 d'agost d'enguany, en la cerimònia d'apertura de l'International Congress of Mathematicians,es van anunciar els guardonats amb les medalles Fields del 2014, vaig pensar que era el moment de parlar-ne. Passen els dies i no trobo temps per posar-m'hi (us asseguro que la causa no n'és la procastinació); comença el curs escolar, i encara pitjor! Si aquesta sensació, pròpia del conill amb armilla i rellotge de butxaca d'Alice's Adventures in Wonderland ('Oh dear! Oh dear! I shall be late!'), es restringís a l'àmbit del blog, no em preocuparia massa  –de blogs erms, n'hi ha molts–, però com que la teranyina angoixant s'estén a d'altres àmbits... 'Oh my ears and whiskers, how late it's getting!', que diria el conill que van imaginar Lewis Carroll i John Tenniel.

The White Rabbit (il·lustració de John Tenniel)
 Vaja que jo volia parlar, amb promptitud, de les Fields i ja s'han atorgat els Ig Nobel!


Precedents en el blog. Premis i guardons

Acostumo a dubtar de les casualitats, i també de les causalitats; per tant, em costa interpretar el fet que les medalles Fields apareguin només d'una manera secundària en les entrades anteriors d'aquest blog:


M'hi he resistit llargament, però he acabat sucumbint, i ara en el blog hi ha una etiqueta o categoria intitulada Premis i Guardons ¡Que Grigori Perelman, ell que ha renunciat a premis i distincions, em perdoni! Dedico la categoria a tots aquells que, quan s'anuncien concursos i proves matemàtiques, pregunten ¿i què em donen si guanyo?, sense la més mínima intenció de participar-hi.


Premi Nobel d'economia? Premi Nobel de matemàtiques?

En el seu testament, Alfred Nobel (1833-1896) va deixar força diners –els havia obtingut en el molt lucratiu negoci de la producció d'explosius– per a la creació i manteniment dels premis que porten el seu nom. Proposava cinc premis: Física, Química, Medicina (i Fisiologia), Literatura i aquest que ara coneixem com Premi Nobel de la Pau. El 1968 es va instituir un "altre Premi Nobel", el d'Economia, que va ser atorgat per primera vegada el 1969. Per a mi –i per a d'altra gent, incloent-hi els descendents d'Alfred Nobel– , aquest darrer premi, que concedeix el Sveriges Riksbank (el Banc de Suècia), és un fals Nobel (si feu clic aquí, podeu comprovar que, oficialment, s'anomena The Sveriges Riksbank Prize in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel) que traeix l'esperit que es manifesta en el testament del químic Nobel. És ben curiós el fet que el Premi d'Economia hagi servit per recompensar algun matemàtic com, per exemple, John F. Nash (vegeu l'entrada John F. Nash: la biografia de Sylvia Nasar). Enguany, el Premi d'Economia ha recaigut en Jean Tirole, enginyer de formació, i han estat majoritaris els comentaris i articles periodístics que han parlat, amb la falta de precisió habitual, de Premi Nobel d'Economia.

No cal dir que, si hom repassa el llistat dels premiats de les diferents "disciplines Nobel" ens podem trobar, a banda de molts guardonats egregis, amb alguna sorpresa (per exemple, Winston Churchill va aconseguir el Nobel de Literatura el 1953) que, fins i tot, pot resultar una sorpresa indignant (la concessió a Henry Kissinger del Nobel de la Pau el 1973 és un dels casos més flagrants).

Hi ha qui s'estranya del fet que no hi hagi Premi Nobel de matemàtiques i, clar, les "ments racionals" han de cercar-hi explicacions, algunes classificables en el rang de la fantasia històrica:

  • Una justificació recurrent és que, com la senyora Nobel enganyava al seu marit i tenia un amant matemàtic, Magnus Gösta Mittag-Leffler, el pobre Alfred es va venjar negant a les Ciències Exactes un premi específic. Aquesta història té un caire morbós i atraient! La llàstima és que Nobel no es va casar mai! Una altra versió, sense tragèdia sentimental, consisteix en enemistar en Gösta i l'Alfred per motius menys personals, però tampoc té massa credibilitat. No us vull cansar amb enllaços i fonts prolixes, però si voleu seguir el fil per desacreditar aquesta historieta, trobareu pistes a Why Isn't There a Nobel Prize in Mathematics? En castellà, podeu consultar ¿Por què no se concede el Premio Nobel en Matemáticas? en la revista Números.

  • L'explicació que més agrada a aquells que pateixen fòbia per les matemàtiques –parlo de "patir" perquè aquest rebuig és detectable per neuroimatge–, assegura que Nobel va pensar en premiar només activitats i descobriments útils per a la humanitat i, com que la matemàtica es caracteritza per la seva inutilitat... No crec que el científic Nobel, compartís aquest criteri, però com que tampoc hi ha premi en d'altres ciències, és possible que no considerés les matemàtiques al redactar el seu llistat de guardons.

  • Una tercera opció que he llegit –sembla plausible, però no l'he pogut acabar de contrastar– afirma que en l'època de la creació dels Nobel ja existia algun premi important de matemàtiques (el Premi Escandinau de Matemàtiques?) i que no tenia sentit establir un altre premi semblant.

Sigui com sigui,que els mitjans insisteixin en presentar les Medalles Fields com els Nobel de matemàtiques no té cap més justificació que "fer entenedora i senzilla la notícia" per als que, els redactors i periodistes, deuen suposar persones ignorants i dures d'enteniment. De vegades, ho endolceixen dient "les medalles Fields considerades el premi Nobel de Matemàtiques". Però són ells, els comunicadors i no els matemàtics, que fan aquesta consideració!


Les Medalles Fields

A diferència dels Nobel, que es concedeixen cada any i tenen una dotació econòmica important, les Medalles Fields s'atorguen cada quatre anys i no resulten tan esplèndides. Són dels guardons que tenen més prestigi en el món de les matemàtiques, però hi ha d'altres premis importants. Deixeu-me dir-vos que aquell que té més semblança amb els Nobel (geogràficament, monetàriament, etc.) és el Premi Abel.

John Charles Fields (1863-1932) va ser un matemàtic canadenc que, procedint de manera semblant a la d'Alfred Nobel, va idear i va dotar econòmicament uns premis a l'excel·lència en matemàtiques. Els primers guardonats ho van ser el 1936. A l'inici eren dues les persones premiades i, més tard, van ser quatre, com a màxim. Una de les particularitats que sovint se citen de les Medalles és el fet que els premiats han de tenir menys de quaranta anys. I la limitació d'edat es guarda de manera escrupolosa! Un dels matemàtics actuals més il·lustres, Andrew Wiles, no va poder rebre la Medalla Fields, però si una placa de plata "de consolació", perquè va demostrar la Conjectura de Fermat amb més de 40 anys: va néixer el 1953 i va demostrar el Teorema el 1994 (la demostració definitiva va ser publicada el 1995). Aquest límit d'edat tan estricte no estava en el projecte original de Fields, tot i que la seva intenció sembla que era premiar els joves talents i incentivar la seva feina.

Anvers de la Medalla Fields (Font: Fields Institute)

Com que tinc el projecte de continuar dedicant la següent entrada a les Fields (amb alguna precisió més i una atenció especial als guardonats d'aquesta edició) i aquest text es va allargant i espessint, us deixo amb alguns enllaços per si voleu contrastar o aprofundir:


Revers de la Medalla Fields (Font: Fields Institute)

Problema

Els problemes que proposo en aquest espai són, majoritàriament, de matemàtiques. En aquesta ocasió dedico una pregunta a les també rara avis que saben llatí (si feu clic en les imatges anteriors, veureu millor quins texts estan gravats en les dues cares de la daurada medalla):

En l'anvers de la Medalla Fields hi figura la inscripció: Transire suum pectus mundoque potiri.

En el revers, s'hi pot llegir: Congregati ex toto orbe mathematici ob scrita insignia tribuere.

En podeu fer la traducció? A l'antiga, és clar, amb el diccionari! I deixeu en pau, per un dia, els cercadors!


dilluns, 11 d’agost de 2014

El retorn dels "Desafíos matemáticos"


El retorn

L'any 2011, per tal de commemorar el centenari de la Real Sociedad Matemática Española (RSME), el diari El País va endegar la publicació d'una sèrie de problemes matemàtics, amb l'acompanyament d'un vídeo i periodicitat setmanal, que van batejar amb el nom de Desafíos matemàticos. Des d'aquest blog en vam parlar un parell de vegades: podeu comprovar-ho llegint  Els desafiaments matemàtics d'El País. Comencem pels grafs i Els diaris i les matemàtiques per passar la tarda (II). Aquesta iniciativa semblava que no tindria continuïtat, però els Nadals de 2012 i 2013 ens van proposar sengles Desafíos extraordinarios (no vaig estar massa al cas i només vaig citar el del 2012 en L'hem feta grossa! L'anumerisme en probabilitat). Podeu consultar tots els reptes apareguts des del 2011, i les solucions corresponents, clicant a


Números a la parrilla

Aquest mes d'agost els Desafíos han tornat: aquí podeu veure el primer desafiament i informar-vos de com participar en el sorteig d'un lot de llibres si us engresqueu a enviar la solució d'algun dels problemes proposats. L'enunciat que va inaugurar la nova sèrie de Desafíos, aquest Números a la parrilla proposat pel professor Adolfo Quirós, és alliçonador perquè per solucionar-lo cal utilitzar metodologia d'ús bastant comú per a problemes semblants. Com que sovint vaig tard, la resposta ja ha estat publicada (Una solució a la parrilla) i el premi, adjudicat. Deixeu-me apuntar que algun comentari de l'edició digital del diari ens hauria de sorprendre:
  No me enterado de nada. Ni entendí el objetivo ni las reglas del juego, ni entiendo la solución ahora. Haced ejercicios no más fáciles de resolver sino de entender. Más inteligible a los no matemáticos, así podremos participar el resto de la población. Saludos
No sé si el comentarista és un troll o un d'aquests defensors igualataris de la mediocritat i de la ignorància característics d'aquest trist país; però, per desmentir-lo i com a nota optimista, us remeto a la solució del problema explicada per tres nens (amb l'ajuda del papa i de l'Scracht, és clar!):

  


I els desafiaments continuen!

A hores d'ara, ja s'acosta el tancament del plaç per a respondre el segon problema (El desafío de Dido de Tiro) del qual m'agrada la prohibició de l'ús del càlcul diferencial (és per allò de no matar mosques a canonades).

Encara que no us animeu a participar en el concurs, us recomano que, quan pugueu, doneu una ullada als enunciats dels Desafíos i, si us costen d'entendre o heu d'anar a parar a la solució perquè no us en sortiu, tant de bo!

Per a aquells que vulgueu treure més suc dels problemes (ja sabeu, generalització i abstracció), us podeu donar una volta per Gaussianos on trobareu comentaristes que espremen els enunciats, veieu a tall d'exemple:

dissabte, 5 de juliol de 2014

María J. Wonenburger Planells (1927-2014)


La invisibilitat, tornem-hi!

En una de les primeres entrades d'aquest blog, Qui és el personatge del quadre? La invisibilitat dels matemàtics, ja parlava de la poca presència, social i en els mitjans de comunicació, dels científics i matemàtics. De fet, aquest article del 2010 era un breu exercici de classe que vaig realitzar en un curs d'iniciació als blogs i ja m'hi perdonareu la brevetat maldestra. No em desdic de la forma —els enigmes i els problemes em continuen despertant l'interès— ni del fons — em continua indignant la invisibilitat de moltes persones; no només dels científics i matemàtics, és clar.

Quan una persona és dona, neix a Galícia (o en qualsevol lloc "de provincias") i es vol dedicar a la investigació matemàtica en ple franquisme, està agafant una opció que vindrà acompanyada de dificultats i incomprensions, en el millor dels casos. Allò que és força sorprenent és que, en ple segle XXI, un s'hagi d'assabentar de la mort d'una de les matemàtiques més importants d'aquesta trista península a través d'un butlletí matemàtic que només té difusió entre gent de l'ofici. Gràcies a l'ABEAMNews, publicació periòdica digital de l'associació ABEAM, del 18 de juny d'enguany vaig poder conèixer la mort de María Josefa Wonenburger (cal dir que part de l'informació que citaré ve d'enllaços que figuren en aquest butlletí ABEAMNews num367). Sóc, en bona part, culpable de la meva ignorància: si en lloc de consultar la premsa nostrada (un diari d'àmplia difusió que, des del canvi de director, s'assembla molt a l'Hola,  un altre "tebeo" que ja regala revistes del cor, etc.) hagués fullejat El País, sempre amatent a la informació del món de la ciència, m'hauria estalviat la desinformació.


María Wonenburger, gran dama de las Ciencias Exactas
La primera española en obtener una beca Fulbright tuvo que repetir el doctorado que había obtenido en Yale a su regreso a España


Els titulars dels diaris sempre han de tenir un punt d'artifici i de voler cridar l'atenció, però el titular d'El País, fins i tot amb l'anacrònic "gran dama de las Ciencias Exactas", em sembla assenyat i digne (podeu consultar l'article sencer aquí). L'afirmació dubtosa de "repetir el doctorat" —els doctorats s'atorguen i s'obtenen, no es repeteixen, i en realitat en va aconseguir més d'un— queda explicat en el cos de l'article.

Em limitaré a fer algunes pinzellades de la biografia de la "gran dama". María Josefa Wonenburger Planells va néixer a Montrove (Oleiros, A Coruña) el 1927. El seu primer cognom és herència d'un rebesavi alsacià i el Planells ve de la línia materna valenciana. Que la seva família no responia als estàndards de l'època ho reflecteix molt bé el fet que el seu pare no volia que es dediqués a les matemàtiques, però perquè hauria preferit una filla enginyera!

María J. Wonenburger (fotografia del 2008 que acompanya un article del diari La Opinión)

Wonenburger obté el títol de Llicenciada en matemàtiques per la Universidad Central de Madrid el 1950. El 1953 se li concedeix una beca Fulbright que li permet traslladar-se als Estats Units i aconseguir, el 1957, el doctorat per la Yale University. El títol de Yale no se li va reconèixer a Espanya, segurament per qüestions administratives, i cursa un altre doctorat a la península. La seva segona tesi doctoral es publica el 1960; però, pel que he pogut esbrinar, aquest segon doctorat mai va tenir efectes oficials. La biografia més completa que he consultat, us la recomano, així ho expressa (vegeu María Josefa Wonenburger Planells. Mujer y matemática en La Gaceta de la RSME Vol. 9.2 (2006)).

Wonenburger va centrar les seves investigacions en el camp de l'àlgebra (àlgebres de Clifford, de Kac-Moody i de Lie) i va desenvolupar el gruix de la seva activitat matemàtica al Canadà i als Estats Units. Va treballar sis anys al Canadà, però la seva etapa més fructífera va tenir lloc a Indiana (del 1967 al 1983). El 1983 torna definitivament a Espanya, es fa càrrec de la seva mare malalta i pràcticament abandona la recerca matemàtica.


La descendència matemàtica de María J. Wonenburger

És complicat avaluar la qualitat d'un investigador: que si publicacions, que si citacions... En el cas de la nostra gran dama, n'hi ha prou amb comprovar les tesis que va dirigir i el currículum posterior dels seus deixebles. A la Xarxa podeu consultar una iniciativa interessant, Mathematics Genealogy Project, que presenta "arbres genealògics" dels matemàtics: els fills són els doctorands dirigits;  els néts, els doctorands que han dirigit els fills, etc. Consulteu-hi la genealogia de María (aquí)!

Alguns dels membres de la  família matemàtica de Wonenburger
(podeu consultar els noms si accediu a la font)

La fotografia anterior em va cridar molt l'atenció quan vaig descobrir l'existència de Wonenburger, tot preparant una entrada sobre el matemàtic Puig i Adam (Puig i Adam: les matemàtiques i la seva didàctica). Tot i que no vingués a tomb, no me'n vaig poder estar de citar-la. A diferència del seu contemporani Sunyer i Balaguer,  amb qui coincideix en el poc reconeixement dels seus conciutadans, Wonenburger va tenir força deixebles. Una anàlisi superficial ho atribuiria a la discapacitat de Sunyer i Balaguer, però la diferència fonamental està en el fet que María va fer estudis reglats i va tenir la sort de poder sortir del país (m'estalvio els paral·lelismes amb l'actualitat). De fet, Sunyer i Balaguer va rebre peticions d'estudiants indis per tal de dirigir les seves tesis, però el "Ministerio" de torn no hi va posar cap facilitat.


A mode de conclusió

María Josefa Wonenburger va morir el passat 14 de juny. El reconeixement a la seva tasca i els homenatges (que aquí solen anunciar la mort de l'homenatjat) van arribar tard i van quedar bastant circumscrits a la seva Galícia natal. Sóc bastant refractari a les frases solemnes, i sovint buides, que inclouen la paraula felicitat, però Wonenburger en repetia una que, tot i que no sé si volia ser una descripció del seu caràcter o una declaració d'intencions, podria ser un epitafi intel·ligent: "Tengo tendencia a ser feliz".



També podeu consultar:

Fallecimiento de la Profesora María J. Wonenburger Planells. Article de la Real Sociedad Matemática Española

María Josefa  Wonenburger Planells. Unha figura mundial das matemáticas. En el portal culturagalega.org

María Wonenburger, menuda gigante. El País (31 de juliol de 2011)

María Josefa Wonenburger Planells, na creación de coñecemento. Recull de les intervencions de la jornada que li va dedicar el Consello da Cultura Galega el 28 d'octubre de 2010

 

diumenge, 4 de maig de 2014

Un problema de la Prova Cangur 2014: sumem!


Quan vaig redactar una de les darreres entrades (Miscel·lània: de la Prova CiMs al Cangur, passant per Pi), ja tenia al cap convidar-vos a solucionar algun dels problemes de l'edició del Cangur d'enguany. Si no ho he fet fins ara, ha estat perquè en el web de l'organització de la fase catalana, www.cangur.org, on ja fa dies que es poden consultar les solucions i les puntuacions dels concursants, encara es pot llegir: Els enunciats del Cangur 2014 no es poden publicar a la web fins el dia 25 d'abril. Suposo que aquest secretisme respon al fet, però no ho sé del cert , que els enunciats dels problemes s'utilitzen en les edicions d'altres països. Tot plegat és una mica absurd ja que, des del dia 20 de març en el qual es va celebrar la Prova en més d'un territori, els concursants han pogut fer públics els enunciats per la via que els hi hagi semblat més adient. Suposo que no cometo cap indiscreció si aquí us presento un problema del darrer Cangur. Estem a 4 de maig i els enunciats encara no s'han publicat en el web!

Ah, perdoneu! els que no enteneu de quina prova estic parlant (per cert, corre la llegenda urbana —jo me l'havia cregut— que Kangaroo vol dir "no t'entenc" en alguna llengua australiana i n'acabo de trobar més d'un desmentit, aquí per exemple), podeu llegir, si us abelleix, un dels primers escrits que va aparèixer en aquest blog: Més de 18.000 alumnes catalans de secundària participen en la Prova Cangur 2010. A propòsit dels 18.000, és curiós que, en aquesta era de la informació, la voluntariosa i eficient comissió organitzadora no hagi comunicat el nombre exacte de participants.


El problema triat

A casa nostra, el Cangur s'estructura en quatre nivells i en cadascun dels nivells hi ha 30 problemes. Disposo de 120 enunciats, la majoria molt ben pensats, per triar a quin li dedico l'entrada. Les preguntes més senzilles, valorades amb tres punts cadascuna, no acostumen a donar prou joc si les presentem per separat. Podríeu pensar que les qüestions més interessants estan en les preguntes de cinc punts del quadernet del 4t nivell (2n de Batxillerat)... A mi, en canvi em va semblar magnífic el darrer problema del 1r nivell (3r d'ESO).



Pregunta 30. Nivell 1 (Cangur 2014)

Les lletres de la paraula CANGUR tenen assignat un valor numèric cada una. Sabem que

\(\dfrac { 19 }{ C+1 } +\dfrac { 38 }{ A+2 } +\dfrac { 57 }{ N+3 } +\dfrac { 76 }{ G+4 } +\dfrac { 95 }{ U+5 } +\dfrac { 114 }{ R+6 } =2014\)

Digueu quin és el valor de la suma

\(\dfrac { C }{ C+1 } +\dfrac { A }{ A+2 } +\dfrac { N }{ N+3 } +\dfrac { G }{ G+4 } +\dfrac { U }{ U+5 } +\dfrac { R }{ R+6 }\) 



Aquesta pregunta té dificultat suficient per posar a prova, també, els alumnes de nivells superiors del Cangur. De fet, la vaig proposar a alguns alumnes de 2n de Batxillerat i vaig constatar, amb una relativa sorpresa, que alguns encertaven la resposta correcta pel mètode de descartar les altres, però sense trobar les operacions que hi portaven. Per aquest motiu no he deixat a la vista les cinc respostes possibles (la Prova té un format tipus test). És més interessant solucionar la qüestió sense conèixer les respostes que s'oferien; però, si teniu una vena més empírica o intuïtiva les podeu consultar tot seguit:

Respostes possibles (+/- Mostra/Oculta)

Des del curs passat, l'ordre amb el qual es presenten les possibles respostes varia d'un quadern a un altre per dificultar que els participants es passin els resultats. Cal dir que, almenys pel que jo he anat veient aquests anys, la conducta i la responsabilitat dels alumnes és exemplar i defugen "fer trampes". Us dono les respostes en l'ordre que figuren en el quadern que tinc al davant:

A) -100
B) -2013
C) 106
D) 1908
E) 100
  

Com a darrera pista, abans de desvetllar la solució, no caldria dir que allò que ens demanen és el valor de la suma i no pas que trobem els valors de cadascuna de les lletres!

I si no us en sortiu, feu clic per tal de mostrar la solució...



Solució (+/- Mostra/Oculta)

Hi ha diverses maneres de determinar el valor de la suma. Comento la que em sembla més elegant, però no és el primer mètode que se'm va acudir!
Els numeradors de la primera expressió són tots múltiples de 19. Si traiem 19 com a factor comú queda

\(19·\left(\dfrac { 1 }{ C+1 } +\dfrac { 2 }{ A+2 } +\dfrac { 2 }{ N+3 } +\dfrac { 4 }{ G+4 } +\dfrac { 5 }{ U+5 } +\dfrac { 6 }{ R+6 }\right)=2014\)

Dividim els dos membres de la igualtat per 19 (a la igualtat resultant l'anomenarem (1)):

\(\dfrac { 1 }{ C+1 } +\dfrac { 2 }{ A+2 } +\dfrac { 3 }{ N+3 } +\dfrac { 4 }{ G+4 } +\dfrac { 5 }{ U+5 } +\dfrac { 6 }{ R+6 } =106\)    (1)

Suposem que el valor de la suma de la segona expressió val S (indicarem aquesta igualtat com a (2)):

 \(\dfrac { C }{ C+1 } +\dfrac { A }{ A+2 } +\dfrac { N }{ N+3 } +\dfrac { G }{ G+4 } +\dfrac { U }{ U+5 } +\dfrac { R }{ R+6 } =S\)    (2)

Si efectuem la suma (1) + (2) membre a membre, obtenim

\(\dfrac { C+1 }{ C+1 } +\dfrac { A +2}{ A+2 } +\dfrac { N+3 }{ N+3 } +\dfrac { G+4 }{ G+4 } +\dfrac { U+5 }{ U+5 } +\dfrac { R+6 }{ R+6 }=106+S\)

Per tant:

\(6=106+S\)

i ja tenim que el valor de la suma és

\(S=6-106=-100\)

Crec que pocs alumnes de 3r d'ESO estan en disposició d'utilitzar aquest mètode ja que és més propi de demostracions formals que es fan es cursos més avançats, però col·locar aquesta pregunta com la darrera de les de més puntuació és un bon colofó. 
 



Espero que aquest problema us hagi agradat i que no us hagi semblat ni molt fàcil ni molt difícil...

Una vinyeta de Forges a propòsit d'un estudiant un pèl desorientat


dissabte, 19 d’abril de 2014

Més CiMs: tema amb variacions


Dos problemes pel preu d'un

Una bona part de la humanitat — i m'hi incloc— és bastant més hàbil en l'ús d'expressions lingüístiques que en el d'expressions matemàtiques. El fet de recordar, o fins i tot copiar, una seqüència numèrica o una simple equació se'ns fa, de vegades, difícil i els errors ens passen inadvertits. En aquesta entrada parlaré de com una petita errada — diguem-ne variació—  en la transcripció d'un problema, més que un trasbals, és una oportunitat per fruir de les matemàtiques.

Abans d'entrar en matèria, haig d'agrair els missatges de tres participants de la Prova de selecció CiMs d'enguany (en Jofre, la Lenok i en Martí) que han inspirat aquesta entrada i les comunicacions dels quals acabaran donant lloc a més d'un article!

En Jofre va ser la primera persona que, sense voler-ho, ens va oferir dos problemes pel preu d'un (vegeu Cabres, gallines, coloms... i unes equacions diofàntiques!). Un petit canvi en el preu de venda dels coloms, en l'enunciat que ens proposava i que s'havia de solucionar mitjançant un sistema d'equacions diofàntiques, feia que passés d'admetre tres solucions a tenir-ne només una.

En els comentaris que podeu llegir en la mateixa entrada abans citada, Lenok va fer l'esforç de fer-nos arribar alguns exercicis del CiMs, el mateix dia que havia efectuat la prova de selecció. En Miscel·lània: de la Prova CiMs al Cangur, passant per Pi us vaig presentar un parell d'aquests problemes. El segon, que en una mostra d'enginy vaig anomenar Problema 2, deia:

Determina els nombres naturals que són solució del següent sistema d'equacions:
\(\begin{cases}x · y + z^2 = 161\\x·z - y·z = 7\end{cases}\)

I resulta que el sistema no té solucions en el conjunt dels nombres naturals! Des del punt de vista estrictament matemàtic, això no li restava atractiu al problema. Tan interessant és trobar solucions com demostrar que no existeixen (el Darrer Teorema de Fermat en seria un molt bon exemple). Lenok ens apuntava aquest disset d'abril, en un comentari en el blog, que potser no havia transcrit bé l'enunciat i que no va tenir temps d'acabar aquest exercici...


Problema 2 (variació 2)

Com que l'atenció i l'interès ens lliura de grans errades, Lenok recordava prou bé el sistema i, probablement, només havia canviat un signe en una de les equacions. En Martí, un altre dels aspirants a les Beques CiMs-CELLEX, m'ha enviat per correu electrònic una altra versió del sistema. Em diu que li sembla recordar que en la primera equació no hi havia una suma, sinó una resta, i que d'aquesta manera sí que existia una solució natural. Amb aquest canvi, l'enunciat seria:

Determina els nombres naturals que són solució del següent sistema d'equacions:
\(\begin{cases}x · y - z^2 = 161\\x·z - y·z = 7\end{cases}\)

Si en teniu ganes, mans a l'obra i a solucionar-lo! Si us rendiu, us proposo un dels mètodes de resolució.



Solució del problema 2 (variació 2) (+/- Mostra/Oculta)

Començarem aïllant el producte de la primera equació (1) i traient factor comú de la segona (2):

\(\begin{cases}x · y = 161 + z^2\ (1)\\z·(x -y) = 7\ (2)\end{cases}\)

Si les solucions només poden ser nombres naturals, analitzant (2) és fàcil adonar-se que z només pot agafar dos valors: z = 1 o z  = 7.

Cas 1 (z = 1)

Si passem aquest valor de z a (1), resulta que el producte x·y ha de ser 162 i, per altra banda, la resta x - y ha de valdre 7. Descomponent 162 (162 = 2·34) podem jugar amb els quatre factors, un dos i quatre tresos, per determinar x i y. Per a més claredat, us poso un parell d'exemples:
 
Si agrupem els factors així (2·3·3)·3·3, x = 18 i y = 9. El producte és 162, però, com que no difereixen en set unitats, no compleixen (2).

Si els agrupem (2·3·3·3)·3, ara  x = 54 i y = 3. Encara ens allunyem més del 7 desitjat.

Per a aquest cas, és evident que no tenim cap solució.

Cas 2 (z = 7)
 
Si passem aquest valor de z a (1), resulta que el producte x·y ha de ser 161 + 49 = 210 i la resta x - y ha de ser igual a 1. Descomponent 210 (210 = 2·3·5·7) podem jugar amb els quatre factors, ara tots diferents entre si, per determinar x i y. Ràpidament podem notar que només hi ha un agrupament de factors que compleix les condicions indicades en el sistema:
 
2·3·5·7 = (3·5)·(2·7) , x = 15 i y = 14.

La solució és x = 15,  y = 14 i z = 7.

Notes

És clar que el problema també es pot resoldre per altres mètodes, però em sembla que la manipulació algèbrica de les equacions, per exemple aïllant z de (2) i substituint en (1), només aporta complicacions innecessàries. Entenc, a més, que no cal utilitzar cap mètode sofisticat (vaja, que no cal matar mosques a canonades!).

Per descomptat que si algú, però, troba un altre mètode, més senzill i/o elegant que aquest i ens fa el favor de fer-nos-el arribar, li obrirem, agraïts i de bat a bat, les portes del blog.

Utilitzant aquesta mateixa metodologia es pot demostrar la inexistència de solucions naturals per a la primera versió del problema.





Programari amb poca vista!

I entrem en el capítol de curiositats! En l'entrada en la qual treballava amb la primera versió de l'enunciat, vaig indicar que dos programes-calculadora matemàtics, Wiris i umsolver, determinaven prou bé la solució de la variació 1 del sistema. Ho he provat amb el nou enunciat i umsolver no se'n surt, segurament perquè he utilitzat la seva versió gratuïta, i incompleta. El més sorprenent, o no, és que la calculadora Wiris no troba la solució si escric les equacions en l'ordre amb el qual us les he presentat. Com que vaig tenir la intuïció que aquest software era curt de vista, si em permeteu la metàfora, i atacava el problema donant més importància a la primera equació; vaig canviar l'ordre de les expressions i podeu observar què va passar en la següent captura de pantalla (he editat el format de sortida per encabir-ho tot en una imatge més presentable):


Wiris solucionant el Problema 2 (variació 2)


En el primer "resol", Wiris no troba la solució; després del segon "resol" (amb el canvi d'ordre de les equacions), ens dóna correctament les infinites solucions en el conjunt dels nombres reals entre les quals hi ha l'única solució natural. Allò que copsem fàcilment les persones, la clau per començar a resoldre el sistema és la segona equació, passa desapercebut per al programa. Pobres xips i pobres programadors, no progressen adequadament! Ho podia haver provat amb "paquets informàtics" de més prestigi, com Mathematica o Maxima, però tinc la impressió que estan molt enfocats al càlcul de solucions de sistemes complicats i, per tant, estan més indicats per trobar solucions aproximades que no pas exactes (els enginyers manen!).


diumenge, 30 de març de 2014

Miscel·lània: de la Prova CiMs al Cangur, passant per Pi


Pròleg. A manera de disculpa

Els lectors, més o menys habituals, deveu pensar que tinc el blog abandonat! Enguany, m'havia plantejat ser més regular en la publicació d'entrades, però no me'n surto de fer compatible el dia a dia amb la redacció d'articles. I no serà per falta d'idees! L'anumèrica premsa d'aquest país ja dóna per redactar, si més no, un comentari setmanal: per exemple, tinc previst escriure quatre cosetes sobre probabilitat condicionada i proves de detecció de malalties o sobre les aplicacions de les matemàtiques i la física en la recerca d'avions perduts (un parell de diaris nacionals ho troben extraordinari i, a més, apunten que l'ús pràctic de l'efecte Doppler és innovador!). Per no parlar de temes que he anat apuntant i que resten pendents... Però hi ha molts escrits que requereixen una certa calma, són de cocció lenta i els descarto en certs moments del curs escolar.

Em sabria greu —i això ho recalco — que algunes persones que s'han adreçat al blog amb els seus comentaris, sempre benvinguts, o que s'han deixat caure per aquí a la recerca d'alguna informació, es trobessin amb una patètica falta d'activitat. L'estructura d'aquesta bitàcola digital fa, malauradament, que algunes intervencions recents i valuoses quedin amagades en entrades passades.

Per posar remei a tot plegat, i perquè hi ha més activitat matemàtica que no ens sembla, se m'ha acudit redactar aquesta miscel·lània —espero que no us sembli una macedònia per sortir del pas— al voltant de tres dates d'aquest mes de març.


8 de març. Proves de selecció de les beques CiMs-CELLEX

El segon dissabte del mes, els alumnes aspirants van efectuar les proves de selecció del programa CiMs-CELLEX. Ja he parlat diverses vegades d'aquest projecte (podeu clicar en la categoria corresponent en la columna de la dreta del blog per llegir-ne els articles). Com en anteriors edicions, alguns participants —suposo que, en part, per una certa opacitat informativa dels convocants— s'han passat per aquestes pàgines i ens han fet arribar preguntes i comentaris. Una de les participants, Lenok, ha tingut la gentilesa d'enviar-nos allò que recordava i li semblava rellevant dels continguts de les proves (ho podeu llegir en els comentaris de Cabres, gallines, coloms... i unes equacions diofàntiques!). Transcric i m'esplaio en un parell dels problemes que ens ha fet arribar Lenok. El primer és de mol fàcil solució; el segon... és una altra cosa!



Problema 1

Troba tots els valors naturals possibles per a i b si a·b = 22

Solució del problema 1 (+/- Mostra/Oculta)

La solució és tan evident que l'enunciat sembla pensat com un escalfament per al següent problema.

Descomponem 22:

  22 = 1·2·11.

Tenim quatre solucions per a (a, b): (1, 22), (22, 1), (2, 11) i (11, 2).







Problema 2

Lenok, després de enunciar-nos l'exercici que hem anomenat Problema 1, ens escriu: "el mateix" (entenc que les solucions han de ser naturals) per a:

\(\begin{cases}x · y + z^2 = 161\\x·z - y·z = 7\end{cases}\)

Solució (més aviat comentari) del problema 2 (+/- Mostra/Oculta)

Tempus fugit! He atacat el problema tal com ho faria un informàtic! I deixo per a més endavant una solució més raonada.

Si el sistema d'equacions és diofàntic, cal fixar-se en què 161 = 7·23 i que, si escrivim la segona equació traient factor comú:
\[z·(x -y) = 7\]
podem deduir que els únics valors naturals possibles per a z són 1 i 7; i, per tant, entre x i y la diferència ha de ser, respectivament, de set o una unitats. Amb això, un full de càlcul i amb un senzill i curt atac per força bruta diria que he descartat l'existència de nombre naturals que siguin solució del sistema. Cal dir que la ciència matemàtica optaria per demostrar la inexistència de solucions naturals per mètodes més rigorosos. Pot ajudar en alguna cosa el fet que el producte x·y ha de valdre o bé 160 o bé 112.

Per si encara no em mereixia la meva expulsió del paradís matemàtic, he utilitzat la calculadora Wiris i un simpàtic programa rus que parla (us en dono més referències després) que coincideixen en assenyalar per al problema dues solucions en el conjunt dels nombres reals:
\[x= \dfrac{\sqrt{161}}{23};  y = 0;  z = \sqrt{161}\\  x = -\dfrac{\sqrt{161}}{23};  y = 0;   z = -\sqrt{161}\]
No sé si Lenok ha comés alguna errada en la transcripció del problema o si els organitzadors s'han permès la llicència, tan matemàtica, de proposar un problema que no té solució, almenys en el conjunt dels nombres naturals.




Us comento breument, el programari que he citat en la solució del segon problema:
  • De la calculadora Wiris, ja n'he parlat (aquí). M'ha sorprès favorablement que donés ràpidament les solucions.
  • Desconeixia umsolver (el simpàtic programa matemàtic de procedència russa que parla i determina les solucions pas a pas). La versió completa és de pagament, però us podeu descarregar de franc la part del programa que soluciona equacions i sistemes d'equacions (aquí). L'he provat amb el sistema anterior i amb un sistema d'equacions lineals amb infinites solucions (compatible indeterminat). Funciona prou bé i és força curiós.
Aquests darrers dies de març i el 5 d'abril els alumnes preseleccionats per la Fundació CELLEX estan sent entrevistats per decidir quins seran admesos en el programa.

Nota del 19 d'abril respecte aquest Problema 2: En l'entrada posterior a aquesta Més CiMs: tema amb variacions, podreu llegir informació actualitzada entorn d'aquest enunciat


14 de març. Pi Day

D'altres anys havia dedicat alguna entrada a l'anglosaxó, i una mica nerd, Dia del nombre Pi (vegeu, per exemple El dia de Pi (I). Una invitació). Enguany la celebració m'hauria passat per alt si no hagués estat pels comentaris que un bloguer menorquí, el Capità Tiranya, va escriure en l'entrada que us acabo d'enllaçar. El Capità Tiranya és autor d'un bloc molt recomanable (Kbòries matineres) i va dedicar una enginyosa entrada (Oh hapπ day!) per tal de commemorar aquesta diada. Resto en deute amb el Capità perquè el seu escrit em va servir per posar una nota simpàtica, amb música inclosa, en algunes de les meves classes de secundària del dia 14.


20 de març. Proves Cangur

Potser no ho he sabut trobar, però diria que, aquest curs, els mitjans de comunicació han passat de puntetes i han dedicat molt poca atenció a aquesta festa de les matemàtiques que compta amb la participació de milers d'alumnes de Secundària. Deu ser que els de matemàtiques no ens sabem vendre!

La darrera entrada que vaig dedicar al Cangur va ser Saltem! Del dia de Pi al Cangur 2013. Pensava acabar aquest març, marçot proposant algun dels magnífics problemes d'aquesta edició del Cangur, però la Comissió organitzadora no farà públics els enunciats fins el dia 25 d'abril i trobo que no cal avançar-se. Els qui hi vau participar ja podeu, però, consultar les solucions en el web del Cangur.

I acabo amb una aglomeració de participants en les proves (la fotografia va aparèixer en El Diario de Mallorca i correspon a la convocatòria que es va efectuar a Palma):

Una gentada solucionant problemes de matemàtiques


dissabte, 1 de març de 2014

De l'òpera matemàtica a la cantarella


Introducció (no va de música... i algunes coses que no venen a tomb!)

Haig de començar aclarint l'enjogassat títol d'aquesta entrada, abans que algun amant de les melodies senzilles i sincopades no es faci enrere i deixi de llegir tan aviat lletregi la paraula ò-pe-ra. Avui no penso parlar de música i quan escric òpera, ja em perdonareu la metàfora, vull fer referència al plural opera (nominatiu, acusatiu o vocatiu) del mot llatí opus que significa treball o obra. Així que aquest article va de la feina que fan els matemàtics? No, va de com l'escriuen! Diguem que va de l'estil de comunicació escrita dels investigadors d'aquest àmbit de la ciència. Per cert, estil ve de stilus, un dels instruments que utilitzaven els antics romans per escriure. Amb aquesta introducció, no voldria ser pedant; però ara que, després de carregar-se d'altres coses, ja van per les Humanitats; deixeu-me posar un granet de sorra en favor de l'educació que no entén de la separació de Lletres i Ciències. I amb una mica de sort que el granet vagi a parar a l'ull del ministre! (aquell que primer volia treure l'obligatorietat de cursar matemàtiques en el Batxillerat social, en favor del llatí, i s'acabarà portant per endavant, a envestides, la filosofia i d'altres assignatures perdedores; tot sigui per adoctrinar i amansir els futurs operaris obedients).


L'òpera. Comunicació matemàtica?

Si ja, en general, els articles especialitzats de qualsevol ciència poden ser força críptics, els de matemàtiques guanyen per golejada: la simbologia, la terminologia i el grau d'abstracció —tot per mor del rigor i l'eficiència— fan que, de vegades, el cercle d'especialistes que poden copsar amb profunditat el contingut d'un article, sigui realment reduït. Això sí, només mirant de reüll, la majoria podem reconèixer si un escrit "sembla de matemàtiques"... I amb això hi jugarem, avui!

Terence Tao és un dels matemàtics destacats de l'actualitat. Em perdonareu que citi el seu nom en va, però, ara, allò que m'interessa és l'estil dels seus escrits. Una mica a l'atzar, he triat l'inici d'un dels seus papers, una mica llunyà en el temps (Multi-linear Operators Given by Singular Multipliers, amb la coautoria de Camil Muscalu i Christoph Thiele):

L'inici d'un article de Terence Tao (podeu accedir a la versió completa clicant aquí)

Si comparem l'estil i la tipografia de l'exemple anterior  amb un de més nostrat, un article de Josep M. Burgués per al Butlletí de la Societat Catalana de Matemàtiques, comprovare'm que són germans bessons:

Un fragment d'un article de Josep M. Burgués (podeu accedir a la versió completa clicant aquí)

Cal dir que aquesta uniformitat en l'estil s'ha de valorar de forma positiva: per descomptat, calen unes normes que, a més, estalvien temps, faciliten la lectura i la interpretació. Podem dir que els autors, i els editors!, es guarden la creativitat per al fons i són molt conservadors i primmirats en la forma.


La cantarella. Se li veu el llautó?

I passo a presentar-vos una primícia! Els escrits de Tao i Burgués no han estat escollits a l'atzar com podreu comprovar si llegiu l'autoria i el contingut del paper següent:




Espero que, si heu fullejat l'anterior Scribd , us haureu adonat que el redactat és una cantarella sense sentit i que els suposats autors —uns fantasmagòrics T. Tao, J. Burgues i jo mateix (el més fantasma de tots)— no en som responsables. L'article s'ha generat automàticament i l'única aportació meva ha estat triar els autors. Encara que hi ha qui diu que per Carnaval tot s'hi val, m'ha semblat prudent no barrejar-hi Terence Tao (hi diu T. Tao) ni Josep M. Burgués (en l'article hi figura un tal J. Burgues).

Generar un pseudoarticle matemàtic com l'anterior és molt fàcil amb Mathgen que podreu trobar en el blog That's Mathematics!. Si aneu a Mathgen,  accedireu a una pantalla com aquesta:

Captura de pantalla de Mathgen

Només haureu d'escriure el nom dels "articulistes", clicar a Generate! i tindreu un article d'investigació matemàtica amb tots els ets i uts (només des d'un punt de vista formal, és clar!). Per a mi, la part més divertida de llegir és la bibliografia que figura al final de cada paper.


Les matemàtiques ja tenen el seu escàndol Sokal?

Tot això no seria res més que un entreteniment, si no fos perquè algun d'aquests articles generats de forma aleatòria sembla que han passat el filtre inicial d'alguna editorial (ho podeu comprovar en el mateix That's Mathematics! (Another Mathgen paper accepted, la darrera "relliscada" de moment)  o en l'entrada de Gaussianos titulada “El artículo” de MathGen: la historia de cómo se la han colado a una publicación científica.

Si analitzeu els detalls, veureu que el cas dista bastant de la gravetat de l'anomenat escàndol Sokal que el 1996 va afectar la revista Social Text. Els articles no han estat publicats i el sistema de revisió que tenen les publicacions matemàtiques serioses —no les que intenten fer negoci a costa de l'afany de publicar d'alguns— funciona prou bé. Fins i tot, els responsables de Mathgen neguen la semblança amb el cas Sokal (vegeu Why Marcie Rathke is not Alan Sokal). De totes maneres, cal ser prudent, però no m'imagino blufs del tipus fusió freda o memòria de l'aigua  afectant el món de la recerca matemàtica. Una altra cosa és que a algun matemàtic espanyol se li'n vagi l'olla,  suposadament demostri matemàticament l'existència de Déu i, a més, li publiquin. Però, això ja serà el nostre tema d'un altre dia!


dimarts, 14 de gener de 2014

Cabres, gallines, coloms... i unes equacions diofàntiques!


Introducció. La tercera edició del Programa CiMs-CELLEX

Potser trobareu que no ve massa a tomb, i que aquesta introducció no lliga amb el títol de l'article, però començaré parlant del Programa CiMs-CELLEX. Aquest Programa ofereix la possibilitat de cursar un Batxillerat Internacional científic a l'alumnat de Catalunya. Enguany es convoca la 3a edició del procés per accedir a les beques d'aquests estudis i, per als interessats, cal dir que el període d'inscripció a les proves de selecció va del 23 de gener al 23 de febrer (trobareu la informació de primera mà en el web www.cims-cellex.cat). El curs passat ja vaig escriure un parell d'entrades on explicava aquest projecte i proposava algun problema per als nois i noies que vulguin prendre-hi part (vegeu Les beques CiMs-CELLEX i una demostració trivial  i CiMs-CELLEX: un problema de quadrats; però, de moment, no llegiu els comentaris que apareixen al peu del segon article perquè hi desvetllo algunes pistes d'un parell de problemes que us proposaré tot seguit).

Per descomptat que em sembla un projecte digne d'elogis i necessari, però l'organització ofereix una infomació molt minsa i poc concreta del temari de les proves. Podeu accedir al document original fent clic aquí; però, com que suposo que, en algun moment, la seva aparença i contingut vergonyant farà que se'n corregeixi el format i es detallin degudament el conceptes, n'he fet una captura de pantalla:

El temari de les proves de selecció de les Beques CiMs-CELLEX

A tall d'exemple, ¿algú em pot contestar si el Teorema de Bayes i la probabilitat condicionada entren en l'apartat "Nocions bàsiques de probabilitat i estadística"? En la secundària obligatòria no s'acostuma a treballar de forma sistemàtica aquest contingut, la probabilitat condicionada, però l'any passat sí que va caure un problema, cal dir que bastant clàssic, d'aquest tipus. Clar que això ho sé gràcies a les informacions que m'han fet arribar alguns participants. Desconec si es publiquen les proves ja realitzades, però estaria bé que fossin públiques!

Un temari més detallat i algun manual d'entrenament (com el que es disposa, per exemple, per a la preparació de l'Olímpiada Matemàtica), orientaria els participants i serviria per a fomentar la cultura matemàtica, fins i tot, d'aquells que no acabin participant en el projecte. Mentrestant, molts joves interessats van donant pals de cec i una prova és que, quan reviso quines paraules clau de cerca porten als internautes a aquest blog, em trobo amb molts "CiMs-CELLEX". Una altra prova de càrrec són els comentaris que podeu llegir en els articles que he dedicat a aquesta iniciativa de la Fundació CELLEX: la majoria, d'estudiants de secundària, però, també, d'alguna mare raonablement angoixada. En l'entrada CiMs-CELLEX: un problema de quadrats (ep! recordeu de no llegir-ne la part dels comentaris), un dels interlocutors, en Jofre, estudiant de secundària que vol preparar l'accés a les beques, ens proposava un problema interessant.


Un problema de cabres, gallines i coloms (versió 1)

El problema del qual n'ignoro la font escrita, fa el pes per a proposar-lo en les proves de selecció. Diu així: 
Un home va anar a vendre al mercat cabres, gallines i coloms que en total feien 100 animals venuts. Si les cabres les venia a 25 €; les gallines, a 5 € i els coloms, a 0,20 €, i en total va fer 500 €, ¿quants animals va vendre de cada tipus?

Com la majoria de vegades que presento un problema, us recomano que l'intenteu resoldre abans de clicar la solució. No sigueu gallines i intenteu-ho!


Té raó l'autor del blog Mateolivares quan qualifica aquesta gallina de quasimatemàtica




Solució del problema de cabres, gallines i coloms (versió 1) (+/- Mostra/Oculta)

Si x és el nombre de cabres; y, el de les gallines i z, el dels coloms, podem expressar l'enunciat en dues equacions:
\(\begin{cases}x + y + z = 100\\25x + 5y + 0,20z = 500\end{cases}\)
La primera equació expressa el nombre total d'animals i la segona, el seu preu.

El sistema d'equacions pot ser una mica sorprenent per als estudiants de l'ESO: té tres incògnites i només dues equacions A més, les solucions només poden ser nombres naturals (el nombre de cabres, gallines o coloms no pot ser negatiu, fraccionari o irracional).

Per començar a solucionar el problema aïllem una incògnita de la primera equació:
\(z = 100 - x -y\)
Passem aquest valor a la segona equació i operem:
\(25x + 5y + 0,20 (100 - x - y) = 500\)
\(25x + 5y + 20 - 0,20x - 0,20 y =500\)
\(24,80x + 4,80y  = 480\)
No és necessari —però entenc que té un cert valor pedagògic i permet entendre millor el problema—, el fet d'escriure aquesta darrera equació amb coeficients enters; multipliquem per 10 i després dividim pel mínim comú múltiple 8:
\(248x + 48y  = 4800\)
\(31x + 6y  = 600\)
En aquesta darrera expressió aïllem y:
\(y  = \dfrac { 600 - 31 x }{ 6 } = \dfrac{600}{6} - \dfrac{31x}{6} = 100 - \dfrac{31x}{6}\)
I aquesta darrera equació és la clau per a resoldre el problema! Si la relació entre y i x és
\(y = 100 - \dfrac{31x}{6}\)
i ambdues incògnites només poden prendre valors enters, els valors de x han de ser múltiples de 6.

Descartant x = 0 que significaria que hi ha 100 gallines, sense cabres ni coloms; només hi ha tres solucions amb els tres nombres enters positius (el nombre de coloms es calcula sabent que la suma total d'animals ha de ser 100):

Per a x = 6 cabres, tenim 69 gallines i 25 coloms.

Per a x = 12 cabres, tenim 38 gallines i 50 coloms.

Per a x = 18 cabres, tenim 7 gallines i 75 coloms.

A partir de 24 cabres, sortirien 24 gallines negatives, les solucions deixen de tenir sentit per a aquest enunciat!
 




Un problema de cabres, gallines i coloms (versió 2)

Quan tot cofoi vaig comunicar la solució al proposant del problema, aquest em va escriure "ui, perdó, m'he equivocat, el preu dels coloms no era 0,20 €, sinó 0,25 €". No passa res, ara tenia dos problemes pel preu d'un! Mantenint la resta de dades, ¿com afecta l'encariment del preu dels coloms al problema?





Solució del problema de cabres, gallines i coloms (versió 2) (+/- Mostra/Oculta)

El canvi de preu pot incomodar als compradors, però modifica ben poc el procés per a solucionar el problema. El sistema d'equacions és ara:
\(\begin{cases}x + y + z = 100\\25x + 5y + 0,25z = 500\end{cases}\)
Us estalvio els passos a seguir que són idèntics als de la primera versió. Arribaríem ara a l'equació:
\(99x + 19y  = 1900\)
Com en el cas anterior, aïllem la  y i tenim:
\(y = 100 - \dfrac{99x}{19}\)
i si x i y han de ser nombres naturals, els valors de x han de ser múltiples de 19.

Tornant a descartar x = 0 que significaria que hi ha 100 gallines, sense cabres ni coloms; només hi ha una solució amb els tres nombres enters positius (una altra vegada, el nombre de coloms es calcula sabent que la suma total d'animals ha de ser 100):

Per a x = 19 cabres, tenim 1 solitària gallina i 80 caganers coloms.

Per a x = 38 cabres, sortirien 98 gallines negatives, les solucions deixen de tenir coherència en el context del problema.

Suposo que l'existència d'una única solució deixa més tranquils a la majoria d'estudiants, però trobo més interessant i didàctica la primera versió de l'exercici.
 



Hem resolt equacions diofàntiques!

En l'àmbit amtemàtic s'anomenen equacions diofàntiques aquelles equacions les solucions de les quals només poden ser nombres enters. Les equacions diofàntiques pràcticament no estan presents en l'ensenyament secundari i és més habitual trobar-se equacions on les solucions fraccionàries o irracionals són benvingudes. Les dues versions del problema que acabem de resoldre ens portava a un sistema d'equacions diofàntiques. Ja heu pogut comprovar que, en aquest cas, no calia gaire coneixement dels algorismes per a solucionar aquest tipus d'equacions, però si teniu ganes de saber-ne més, us proposo alguns enllaços:

  • Ecuaciones diofánticas. Equacions diofàntiques lineals explicades pel professor F. J. González de la Universitat de Cádiz


Notes finals

Com que malgrat la crítica feta, que espero que s'entengui com a constructiva, desitjo que el projecte CiMs-CELLEX duri molts anys, he afegit l'etiqueta CiMs-CELLEX en l'índex de categories del blog que podeu llegir en la columna de la dreta. Ja hi anirem afegint entrades!

M'ompliria de satisfacció ("de honda satisfacción") el fet que alguns estudiants de secundària —no cal que siguin majoria—  hagin entès l'acudit de la gallina quasimatemàtica. Per què no és una gallina matemàtica del tot?