dimecres, 30 de desembre de 2015

A complicar-nos les festes! 2016, un nombre anodí?


Tot i la meva falta de productivitat bloguera d'enguany (aquí quedaria millor blogaire, i hi podem incloure una negació), no me'n puc estar d'escriure la tradicional entrada a tall de felicitació per tal de complicar-vos les festes; que, d'altres, ja s'ocuparan de marejar la perdiu (o millor, d'emprenyar la gata).


Making of o com-s'ha-fet

En una felicitació matemàtica d'Any Nou, un recurs fàcil és aprofitar alguna de les propietats numèriques de la xifra que indicarà l'any a estrenar.
 
No us penseu que idear aquesta entrada ha estat fàcil! Els darrers anys ho he enllestit, en bona part, amb l'excusa de la tríada esfènica (vegeu Cap al 2015! La darrera felicitació matemàtica de la tríada esfènica), però el recurs de l'esfenicitat no torna a ser vàlid fins al solitari esfènic 2022 (2022 = 2 · 3 · 337).

Per començar, i com que això de la descomposició factorial sempre aporta alguna sorpresa aprofitable, ho he provat amb el 2016: el resultat ha estat decebedor (2016 = 25 · 32 · 7). Ja no tenia gaire esperances –2016 té un aspecte trist propi de la majoria de nombres parells–, però la corrua de dosos, els dos tresos i el 7, m'han deixat desarmat.

Una alternativa era treure partida del calendari (com que 2016 és divisible per 4, però no per 100, l'any vinent serà de traspàs). Una altra, de molt pràctica, era esperar a veure quines idees felices publicaven d'altres, manllevar-les i adaptar-les... o confiar en l'atzar i els cops de sort. Per cert, i parlant de sort, no cal que li pregunteu al Sr. Punset a quina loteria –aquest impost encobert que paguen els pobres– jugar: no llenceu els diners i amb els dinerons que estalvieu us preneu una xocolata amb xurros o, per a fer.ho més a joc amb l'exministre, un suís amb melindros o una orxata amb fartons! Ah! Podríem començar parlant de la Loteria de Nadal...

Com que l'escrit final ha estat un poti-poti de tot plegat, anem a pams...


Comencem per la Loteria: el Desafío matemático de El País

Tot i que en d'altres aspectes el diari El País ha perdut el nord (joc: feu com a mínim quatre interpretacions diferents d'aquesta part de la frase), continua publicant interessants desafiaments matemàtics. El darrer ha estat presentat el 17 de desembre, com a repte matemàtic especial de Nadal. Ja no podeu optar al premi, però com que el contingut és de probabilitat, a més de probabilitat condicionada, –una de les meves flaqueses–, us dono els enllaços a l'enunciat i a la solució, tot seguit:

Continuem pel calendari

Hi ha qui veu en la creació del calendari gregorià, el que utilitzem actualment, un prodigi de càlcul matemàtic. Si rasquem una mica, hi trobarem també les petjades de la història... que poden ser, si més no, curioses: que juliol i agost es diguin així, que els dos mesos siguin consecutius i de 31 dies i que febrer en tingui només 28 o 29, té més relació amb rivalitats imperials que amb la pura utilitat del càlcul del temps.

Sí que és veritat que el calendari està força ajustat al període de translació de la Terra al voltant del Sol; però, com que aquest període és d'una mica més de 365 dies, cal afegir, de tant en tant, un dia extra (o si s'espera gaire, unes setmanes extres), si volem que la primavera i les al·lèrgies caiguin sempre en les mateixes dates. I l'any vinent, celebrem-ho (o no), té un dia més.

El criteri per decidir si un any és de traspàs (també en podem dir, bixest) pot semblar estrany:

El criteri per decidir els anys de traspàs (Font: Disfruta las matemàticas)

En la mateixa web d'on he tret la captura de pantalla anterior, podeu trobar una explicació entenedora del rerefons d'aquesta regla (cliqueu en Años Bisiestos).


I ara... la ja tradicional felicitació-problema d'Ignasi del Blanco

Enguany, el professor Ignasi del Blanco ha optat per un exercici numéric obert (en aquest mateix blog i en les entrades de desembres anteriors, podreu comprovar que, d'altres anys, el problema proposat tenia solució única). Insereixo la imatge amb l'enunciat:

Problema proposat per Ignasi del Blanco (Font: Cesire-Creamat)

Com podeu llegir (si no, feu clic damunt la imatge), es tracta d'aconseguir 2016 com a resultat d'operar els dígits de l'1 al 9, que només poden aparèixer una vegada. Mentre escric això, ja s'han rebut 65 solucions en el web del Creamat (feu clic a Bon Any 2016 si les voleu gaudir).


2016? Un nombre bonic! Anton Aubanell ho demostra

Salvant les distàncies siderals, quan no vaig trobar cap qualitat remarcable en el 2016, vaig fer el trist paper de G. H. Hardy en la coneguda anècdota, recurrent en aquest blog, del 1729. Aquí, Anton Aubanell, jugant el paper de Ramanujan en una enginyosa i treballada felicitació, ens descobreix i desenvolupa algunes curioses propietats del 2016:

Les "dues cares" de la felicitació d'Anton Aubanell

Efectivament, 2016 és un nombre triangular de la mateixa família que l'egrègia Tetraktys pitagòrica. De fet, 2016 és el nombre triangular que fa 63 (T63 = 2016 = (63 · 64)/2) i, com ens fa notar Aubanell, està flanquejat de T62 = 1953 = (62 · 63)/2 i de T64 = 2080 = (64 · 65)/2.

Però, a més, 2016 és suma de potències de 2 consecutives: 2016 =  25 · 26 · 27 · 28 · 29 ·  210. Que sigui suma de potències de dos és una obvietat (vegeu una demostració de que qualsevol nombre natural no nul es pot escriure com a suma de potències de dos a Métodos de demostración. Inducción o cómo pensar para no trabajar), allò que és remarcable és que els exponents són consecutius.

Si voleu més detalls, el millor és que consulteu la font primària: podeu veure la piulada original d'aquesta felicitació en el twitter de l'Associació MMACA (Museu de Matemàtiques de Catalunya), i no us perdeu l'extens document explicatiu que l'acompanya (aquí).


Continuarà...

I encara em queda material per a una propera entrada terrorífica... Que tingueu un Bon Any!