dissabte, 19 d’abril de 2014

Més CiMs: tema amb variacions


Dos problemes pel preu d'un

Una bona part de la humanitat — i m'hi incloc— és bastant més hàbil en l'ús d'expressions lingüístiques que en el d'expressions matemàtiques. El fet de recordar, o fins i tot copiar, una seqüència numèrica o una simple equació se'ns fa, de vegades, difícil i els errors ens passen inadvertits. En aquesta entrada parlaré de com una petita errada — diguem-ne variació—  en la transcripció d'un problema, més que un trasbals, és una oportunitat per fruir de les matemàtiques.

Abans d'entrar en matèria, haig d'agrair els missatges de tres participants de la Prova de selecció CiMs d'enguany (en Jofre, la Lenok i en Martí) que han inspirat aquesta entrada i les comunicacions dels quals acabaran donant lloc a més d'un article!

En Jofre va ser la primera persona que, sense voler-ho, ens va oferir dos problemes pel preu d'un (vegeu Cabres, gallines, coloms... i unes equacions diofàntiques!). Un petit canvi en el preu de venda dels coloms, en l'enunciat que ens proposava i que s'havia de solucionar mitjançant un sistema d'equacions diofàntiques, feia que passés d'admetre tres solucions a tenir-ne només una.

En els comentaris que podeu llegir en la mateixa entrada abans citada, Lenok va fer l'esforç de fer-nos arribar alguns exercicis del CiMs, el mateix dia que havia efectuat la prova de selecció. En Miscel·lània: de la Prova CiMs al Cangur, passant per Pi us vaig presentar un parell d'aquests problemes. El segon, que en una mostra d'enginy vaig anomenar Problema 2, deia:

Determina els nombres naturals que són solució del següent sistema d'equacions:
\(\begin{cases}x · y + z^2 = 161\\x·z - y·z = 7\end{cases}\)

I resulta que el sistema no té solucions en el conjunt dels nombres naturals! Des del punt de vista estrictament matemàtic, això no li restava atractiu al problema. Tan interessant és trobar solucions com demostrar que no existeixen (el Darrer Teorema de Fermat en seria un molt bon exemple). Lenok ens apuntava aquest disset d'abril, en un comentari en el blog, que potser no havia transcrit bé l'enunciat i que no va tenir temps d'acabar aquest exercici...


Problema 2 (variació 2)

Com que l'atenció i l'interès ens lliura de grans errades, Lenok recordava prou bé el sistema i, probablement, només havia canviat un signe en una de les equacions. En Martí, un altre dels aspirants a les Beques CiMs-CELLEX, m'ha enviat per correu electrònic una altra versió del sistema. Em diu que li sembla recordar que en la primera equació no hi havia una suma, sinó una resta, i que d'aquesta manera sí que existia una solució natural. Amb aquest canvi, l'enunciat seria:

Determina els nombres naturals que són solució del següent sistema d'equacions:
\(\begin{cases}x · y - z^2 = 161\\x·z - y·z = 7\end{cases}\)

Si en teniu ganes, mans a l'obra i a solucionar-lo! Si us rendiu, us proposo un dels mètodes de resolució.



Solució del problema 2 (variació 2) (+/- Mostra/Oculta)

Començarem aïllant el producte de la primera equació (1) i traient factor comú de la segona (2):

\(\begin{cases}x · y = 161 + z^2\ (1)\\z·(x -y) = 7\ (2)\end{cases}\)

Si les solucions només poden ser nombres naturals, analitzant (2) és fàcil adonar-se que z només pot agafar dos valors: z = 1 o z  = 7.

Cas 1 (z = 1)

Si passem aquest valor de z a (1), resulta que el producte x·y ha de ser 162 i, per altra banda, la resta x - y ha de valdre 7. Descomponent 162 (162 = 2·34) podem jugar amb els quatre factors, un dos i quatre tresos, per determinar x i y. Per a més claredat, us poso un parell d'exemples:
 
Si agrupem els factors així (2·3·3)·3·3, x = 18 i y = 9. El producte és 162, però, com que no difereixen en set unitats, no compleixen (2).

Si els agrupem (2·3·3·3)·3, ara  x = 54 i y = 3. Encara ens allunyem més del 7 desitjat.

Per a aquest cas, és evident que no tenim cap solució.

Cas 2 (z = 7)
 
Si passem aquest valor de z a (1), resulta que el producte x·y ha de ser 161 + 49 = 210 i la resta x - y ha de ser igual a 1. Descomponent 210 (210 = 2·3·5·7) podem jugar amb els quatre factors, ara tots diferents entre si, per determinar x i y. Ràpidament podem notar que només hi ha un agrupament de factors que compleix les condicions indicades en el sistema:
 
2·3·5·7 = (3·5)·(2·7) , x = 15 i y = 14.

La solució és x = 15,  y = 14 i z = 7.

Notes

És clar que el problema també es pot resoldre per altres mètodes, però em sembla que la manipulació algèbrica de les equacions, per exemple aïllant z de (2) i substituint en (1), només aporta complicacions innecessàries. Entenc, a més, que no cal utilitzar cap mètode sofisticat (vaja, que no cal matar mosques a canonades!).

Per descomptat que si algú, però, troba un altre mètode, més senzill i/o elegant que aquest i ens fa el favor de fer-nos-el arribar, li obrirem, agraïts i de bat a bat, les portes del blog.

Utilitzant aquesta mateixa metodologia es pot demostrar la inexistència de solucions naturals per a la primera versió del problema.





Programari amb poca vista!

I entrem en el capítol de curiositats! En l'entrada en la qual treballava amb la primera versió de l'enunciat, vaig indicar que dos programes-calculadora matemàtics, Wiris i umsolver, determinaven prou bé la solució de la variació 1 del sistema. Ho he provat amb el nou enunciat i umsolver no se'n surt, segurament perquè he utilitzat la seva versió gratuïta, i incompleta. El més sorprenent, o no, és que la calculadora Wiris no troba la solució si escric les equacions en l'ordre amb el qual us les he presentat. Com que vaig tenir la intuïció que aquest software era curt de vista, si em permeteu la metàfora, i atacava el problema donant més importància a la primera equació; vaig canviar l'ordre de les expressions i podeu observar què va passar en la següent captura de pantalla (he editat el format de sortida per encabir-ho tot en una imatge més presentable):


Wiris solucionant el Problema 2 (variació 2)


En el primer "resol", Wiris no troba la solució; després del segon "resol" (amb el canvi d'ordre de les equacions), ens dóna correctament les infinites solucions en el conjunt dels nombres reals entre les quals hi ha l'única solució natural. Allò que copsem fàcilment les persones, la clau per començar a resoldre el sistema és la segona equació, passa desapercebut per al programa. Pobres xips i pobres programadors, no progressen adequadament! Ho podia haver provat amb "paquets informàtics" de més prestigi, com Mathematica o Maxima, però tinc la impressió que estan molt enfocats al càlcul de solucions de sistemes complicats i, per tant, estan més indicats per trobar solucions aproximades que no pas exactes (els enginyers manen!).