diumenge, 14 d’abril de 2013

Fons i forma. Bloc o Blog?


Parlem d'aspectes formals

Fa un parell de mesos que aquest blog va canviar d'aspecte. Si aneu a l'entrada Hem pintat la façana! per a llegir-ne els detalls, veureu que no hi ha massa comentaris valoratius del nou format. Sí que, per d'altres vies, m'han arribat diferents opinions. En la primera part d'aquest escrit, vull analitzar-ne una que té aspectes interessants; un dels meus alumnes em fa arribar  per mail les següents propostes:

1. El text de les entrades quedaria més formal i tindria una millor estètica si estigués justificat.
2. L'aspecte milloraria amb una imatge de fons i n'envia, com exemple, una que ha dissenyat ell.


Una proposta de fons

Com que aquests dos punts poden ser d'interès per a d'altres bloguers (abans "blocaires", després en parlarem), anem a pams! La qüestió de justificar o no el text és controvertida. El meu parer és que, si bé s'han de justificar els textos de llibres i treballs, és desaconsellable justificar el text dels blogs i dels webs (o de les presentacions informàtiques). Els motius són diversos, però la majoria es basen en el fet que la distribució del text d'una mateixa entrada pot variar segons el navegador que s'utilitzi, el format de pantalla, etc. i que justificar-lo només n'agreuja els problemes de lectura i pot deixar grans espais buits entre paraules. A la xarxa es poden trobar opinions a favor o en contra de la justificació; però, per exemple,  Nacho Dodero presenta raons força fonamentades en ¿Justificar el texto en mi web? No. De moment, en I ara! Matemàtiques? només estan justificats els comentaris i això és així perquè no tinc esma de tornar-me a barallar amb la plantilla de Blogger per tal de desfer-ho.

Si passem als fons dels blogs, generalment no hi aporten res, acostumen a distreure'n la lectura i la majoria tenen una dubtosa estètica; tot i que,  per a una determinada tipologia temàtica (cuina, viatges...), poden tenir una certa gràcia. A més, els fons també transmeten alguns missatges que no sempre s'adiuen al contingut del blog. Per exemple, si haig de valorar la proposta de fons que teniu més amunt, he de dir que és bonica per la seva senzillesa, però traspua una idea de les matemàtiques com a "ciència dels nombres", que pot ser la idea més comuna entre la gent, però no la que hauria de tenir algú que apreciï i conegui l'abast i els continguts reals d'aquesta ciència.

Alguns blogs de matemàtiques utilitzen el fons que us mostro i comento a continuació:


Un fons "matemàtic"

Si tenim tirada per la matemàtica més analítica, ens pot semblar adequat; d'altres fons, utilitzen motius més geomètrics o imatges més plàstiques de fractals o corbes; però molts opten per l'austeritat i l'absència de fons. Per altra banda, la transparència que mostra la imatge de la plantilla anterior i el desenfocament de les expressions matemàtiques en blau, a mi, em resulten molestos.

No voldria acabar aquesta primera part sense agrair els suggeriments i comentaris que, com aquest que ha iniciat aquesta entrada, m'heu fet arribar. 


De bloc i blocaire a blog, bloguer, bloguera

La paraula blog té, en anglès, un origen més aviat espuri; és una fusió de les paraules web i log. Quan el TERMCAT va adaptar-la, ja fa uns quants anys, a la llengua catalana van decantar-se per la metafòrica paraula "bloc" (i el seu derivat "blocaire"). En bona part ho justificaven perquè l'ús de "bloc" s'havia estès entre els internautes catalans. Alguns filòlegs van mostrar el seu desacord amb aquesta decisió. A tall d'exemple llegiu, si us plau, l'article «Bloc» o «Blog»? que el filòleg Gabriel Bibiloni va publicar el 2005. Carregat de raons, Bibiloni defensava mantenir l'ortografia anglesa.

Doncs bé, l'Institut d'Estudis Catalans (IEC), a petició del TERMCAT, ha revisat aquest cas i, el mes de novembre de l'any passat, ha rectificat en favor de "blog" i els seus derivats. El més sorprenent és que ara s'addueix que "blog" és d'ús més generalitzat (vegeu-ho a La finestra neològica). Començo dient que tant el TERMCAT com l'IEC fan una molt bona feina en favor de la llengua catalana, però aquesta apel·lació a l'ús generalitzat per tal de justificar el canvi, fa una certa por (ja podrem dir "reflexar" per "reflectir", com fan la majoria de periodistes de la nostrada TV3? serà correcte "m'he donat compte"?). D'acord, en aquest cas es tracta d'un neologisme! Però ja ho era quan es va optar per la forma catalanitzada! I d'aquí ve un altre temor: la caducitat dels diccionaris! Com que el diccionari del DIEC es publica en línia, hi ha llistats de canvis bastant freqüents (vegeu les vint-i-dues pàgines d'esmenes del febrer de 2013 on s'accepta "blog"). Es pot matisar assenyalant que la majoria de canvis són de redactat i no de definició, però ¿caldrà estar constantment consultant els canvis per tal de no "fer faltes"? Tot plegat, "m'enerva" una mica (des del febrer, "enervar" ja té com a significat principal "posar nerviós" quan abans significava just el contrari).

De fet, tot i que la meva intenció inicial va ser la de portar la contrària, ja he canviat algunes etiquetes o categories del blog (ara diuen "Blogs" o "Sobre aquest blog"). I dat i debatut, raons filològiques a part, he pensat que la majoria d'habitants d'aquest planeta escriuen "blog" en el cercador quan busquen pàgines com aquesta. Ara, però, no em posaré a corregir tots els "blocs", i derivats, que han aparegut en els redactats!

Ah! I la fonètica? Els parlants de català oriental diran "blugué" o es decantaran per la pronúncia a l'anglesa (això sí amb l'erra final ben vibrant)?

diumenge, 7 d’abril de 2013

CiMs-CELLEX: un problema de quadrats


Si desconeixeu el significat del CiMs-CELLEX que apareix en el títol, podeu acudir a una altra entrada d'aquest blog: Les beques CiMs-CELLEX i una demostració trivial.

Em temo que els continguts de les proves per accedir a aquestes beques no es fan públics, cosa que seria desitjable per als possibles candidats de properes edicions. Alguns es podrien preparar millor els continguts que es demanen en el procés de selecció; d'altres, potser, descartarien la seva participació. De totes maneres, m'han arribat, a través del boca-orella, algun dels exercicis matemàtics proposats. Avui us presentaré, pel seu interès, un d'aquests problemes. Faig, però, dos advertiments previs: desconec el redactat exacte de la qüestió (és el que té el boca-orella) i, per altra banda, no feu clic immediatament en els enllaços que consten en el següent apartat (Enunciat(s) del problema) si voleu reflexionar-hi una mica, perquè la majoria inclouen la solució..




Enunciat(s) del problema

Més o menys, devia fer així:

El quadrat d'un nombre té quatre xifres. Les dues primeres són iguals i les dues darreres són iguals (perquè sigui més clar, podem dir que, a l'elevar el nombre al quadrat, resulta un nombre del tipus aabb).Quin és el nombre original i quant val el seu quadrat?

Sense entrar en valoracions de la seva oportunitat, la pregunta és escassament original, tot i que pot sorprendre als nostres estudiants de secundària. No he fet una cerca exhaustiva, però a la xarxa se'n poden trobar versions més literàries. En reprodueixo una, textualment:
Dos amigos, que saben muchas matemáticas, paseando tranquilamente por la calle observan un accidente y el coche se da a la fuga. No recuerdan la matrícula (de cuatro cifras) pero sí que las dos primeras cifras eran iguales, las dos últimas también eran iguales y que el número era un cuadrado perfecto. Con estos datos, ¿cómo pudieron reconstruir la matrícula?
(No utilizaron ordenadores ni calculadoras)
Aquesta darrera versió és de la Gacetilla matemática i la podeu llegir (atenció, com he indicat abans, si voleu dedicar una estona a pensar-hi, no feu, ara, clic en tots aquests enllaços perquè també contenen la solució) en La matrícula del coche. Un redactat semblant, en castellà i en eusquera, el teniu a La matrícula de mi coche o Nere automobilaren matrikulak (és el problema dos del pdf):
Nere automobilaren matrikulak daukan lau zifratako zenbakia karratu perfektu da, bere bi lehen zifrak berdinak dira eta azken biak berdinak dira ere. Zein da zenbakia?
I, per no cansar-vos, acabo amb aquest llistat de Problemas on també hi figura un enunciat semblant (amb el títol La matrícula i l'any 1998 com a data de la proposta).



Cliqueu si voleu accedir a la solució comentada (+/- Mostra/Oculta)

Eines i solució

El problema es pot resoldre, sense massa dificultat, per "força bruta". Proveu-ho, per exemple, en un full de càlcul, només cal que feu un llistat dels nombres del 32 al 99 (que són els que tenen quadrats de quatre xifres) i n'obtingueu els quadrats. Però suposo que això no és el que volien els examinadors!

Es pot arribar a la solució utilitzant algunes "eines" matemàtiques elementals i d'ús habitual quan es treballa amb problemes numèrics d'aquest tipus. En atenció als alumnes de secundària, ho aniré detallant.


1. Com es pot expressar algèbricament un nombre escrit en base 10?

Em permeto un exemple introductori en honor dels matemàtics Hardy i Ramanujan:

1729 = 1·1000 + 7·100 + 2· 10 + 9

Per tant, un nombre qualsevol xyzt es podrà escriure com 1000·x + 100·y  + 10·z + t.

I el nombre aabb del problema que ens ocupa serà: 1000·a + 100·a + 10·b + b


2. Utilitzem els criteris de divisibilitat

Amb la generalització de l'us de la calculadora, molts estudiants han deixat d'aplicar els criteris de divisibilitat i s'han passat al mètode d'"anem provant". Però, ara veureu la utilitat d'aquests criteris. Si operem l'expressió algèbrica del nostre quadrat:

n2 = 1000·a + 100·a + 10·b + b = 1100·a + 11·b = 11·(100·a + b)

Observem que 100·a + b és un nombre del tipus a0b que, a més, ha de ser múltiple d'11 ja que, si és un quadrat perfecte, n211·(100·a + b) = 112 · k2  (tornarem a utilitzar aquesta igualtat en l'apartat 4). Com que és un múltiple d'11, la suma de les xifres alternes a i b ha de ser 11 (repasseu el criteri de divisibilitat per 11). Per tant, ja tenim que:

 a + b = 11


3. En quines xifres pot acabar un quadrat perfecte?

El quadrat d'un nombre enter només pot acabar en 0, 1, 4, 5, 6 i 9. És impossible que l'últim dígit de n2 sigui 2, 3, 7 o 8 (per a més informació, vegeu, per exemple, Números cuadrados). Per tant, els possibles valors de b són:  0, 1,  4, 5, 6, 9. Com que, a més, sabem que a + b = 11. Les possibilitats que tenim són:

abn2 (aabb)a0ba0b/11
11  0absurd

101absurd

747744  704  64
65665560555
56556650646
29229920919


4. n2 ha de ser el producte de dos quadrats perfectes!

Ara és fàcil de calcular, després de tota aquesta garbellada, quin dels quatre nombres que ens resten (2299, 5566, 6655 i 7744) és el nostre quadrat. Si afinem una mica més, com que n2 és múltiple d'11 i la seva arrel quadrada és entera, ha de ser múltiple de 112 i d'un altre quadrat perfecte; és a dir, tornem-hi, n2 = 11· k2.
Si mireu la darrera columna de la taula anterior, 7744 = 112 · 82 és l'únic nombre que compleix el requisit, i  el nombre n és 11 · 8 = 88. Vet aquí la solució, 882 = 7744. Una estranya matrícula per a un cotxe!


Darreres observacions i agraïments

He intentat donar una explicació detallada perquè els raonaments que he utilitzat, tot i  ser elementals, de vegades són desconeguts i es poden aplicar en d'altres problemes. La llarga explicació  no hauria de donar la falsa impressió que l'enigma era llarg de resoldre. Un "solucionador" amb una certa pràctica i experiència hauria de fer tot el raonament anterior de forma ràpida i automàtica.

Els coneixements que hem hagut d'aplicar són propis de l'ensenyament secundari i els lectors més experts ho poden trobar trivial. Ni tan sols hem hagut d'utilitzar "armes de calibre mitjà" de la Teoria de nombres (verbigràcia, l'aritmètica modular i les congruències). Una altra cosa, és que aquest tipus d'exercicis no són massa freqüents a les aules.

Per acabar, vull fer palès el meu reconeixement a tots els estudiants de secundària que porten el seu interès per les matemàtiques uns mica més enllà del currículum i participen en iniciatives com aquesta de les beques CiMs-CELLEX. I en particular, agrair la informació dels continguts de les proves i del seu desenvolupament que m'han fet arribar alguns dels participants.

L'anumerisme de Homer Simpson