dimarts, 29 de setembre de 2015

Recolzeu bé l'escala! Solució (1)


La majoria de les entrades d'aquest blog en les quals hi proposo un problema, ja incorporen la solució raonada –de vegades, oculta i a l'abast d'un clic–, de manera que els lectors impacients no han d'esperar  per comprovar-ne la resposta. Excepcionalment, quan la resolució es mereix un comentari detallat i té un alt "contingut matemàtic", cal dedicar-li tota una entrada, o més! Aquest és el cas del problema inclòs en l'entrada del passat 30 de juliol: Recolzeu bé l'escala!


Recordant l'enunciat

Encara sou a temps d'intentar resoldre el problema, però penseu que aquí en desvetllaré la solució i no s'hi val llegir l'article fins al final si voleu posar la vostra ment a prova.

Torno a inserir l'enunciat (els que vau llegir l'entrada anterior, perdoneu-me la repetició):




Tenim una escala de tres metres recolzada en una paret. En contacte amb el terra i la paret, tenim un cub d'un metre d'aresta que toca l'escala, tal com mostra la següent figura:

Un problema de recolzaments

Com ja heu pogut llegir, es tracta de calcular el punt de contacte de l'escala amb la paret i el punt de contacte amb el terra. És a dir, la longitud del segment OA i la longitud del segment OB.




Primers passos per a una solució analítica

El fet de voler obtenir uns resultats exactes, i no pas aproximats, ens condiciona el mètode a seguir. Un bon dibuix i una bona notació sempre ajuden. El primer que farem es situar tots els elements del problema en uns eixos cartesians (gràcies Monsieur Descartes per la vostra gran idea!):


Si situem el punt O en l'origen de coordenades, el punt A es pot indicar com (x, 0) i el punt B, com (0, y).
En el triangle "gran" (OAB) podem aplicar el Teorema de Pitàgores ja que és un triangle rectangle:

OA2 + OB2 = 32 que també podem escriure com x2 + y2 = 32 (1)

El triangle blau ((BQR) i el triangle vermell (APQ) són triangles semblants, per tant han de ser proporcionals (o, si voleu, podem dir que hi aplicarem ell Teorema de Tales). La base del blau mesura 1 i la seva altura és el segment BR, que mesura y – 1; la base del vermell és el segment AP que val x –1 i la seva altura és 1. Aplicant la raó de proporcionalitat tenim que:

( x –1)/1 = 1/(y – 1) que equival a l'equació ( x –1)·(y – 1) = 1 (2)

I ja tenim les dues equacions, (1) i (2), que ens permeten resoldre el problema:


Només ens resta solucionar el sistema d'equacions anterior que té un aspecte ben innocent!


I ara arriba el moment de posar deures!

En quan a la resolució, ho deixarem aquí (I will stop here, tal com va dir Andrew Wiles, ja l'he citat d'altres vegades en va!); no m'agradaria privar-vos del plaer d'avançar en aquest repte. Deures, per a qui en tingui ganes:
  • Podeu solucionar el sistema? Arribareu a una equació completa de 4t grau (no cal que us escarrésseu per solucionar-la a mà, tenim mitjans informàtics que s'adapten a les "manies" dels matemàtics, allò de les solucions exactes)
  • Hi ha algun plantejament que ens eviti el tràngol d'aquesta equació amb tots els coeficients diferents de zero? Només una pista: una equació biquadrada ens aportaria una certa comoditat.
  •  Podem mirar-nos el problema des d'una òptica geomètrica? Els antics grecs, en lloc d'escriure les equacions, les haurien dibuixat.
  No patiu que, com que l'exercici s'ho val, en continuarem parlant en propers articles.


Plantejaments alternatius i un agraïment!

Lenok, una de les comentaristes habituals d'aquest bloc, ja ens va indicar en l'entrada anterior que, en el procés de resolució, havia arribat a una equació de 4t grau. Més tard, em va enviar el seu plantejament comentat a l'adreça iaramatematiques@gmail.com (si m'heu de fer arribar documents escrits a mà o amb editor d'equacions és la millor opció, els comentaris del blog no ens permeten subtileses en les notacions).

Lenok arriba a un sistema d'equacions semblant, però no idèntic, per raonaments de geometria clàssica (Teorema de Pitàgores i semblança de triangles) i també incorpora mètodes de càlcul vectorial en el seu escrit. El sistema que proposa és el següent:

Més que correcte, ni millor ni pitjor! En el meu plantejament em queda una segona equació "lletja", amb els uns restant, i el plantejament de Lenok té una primera equació "incòmoda" amb dues identitats notables.

Gràcies Lenok i felicitats per haver trobat les solucions! A més el teu document ens donarà joc en les properes entrades dedicades a aquest enunciat.

Per a la resta de lectors: a veure si fem bullir l'olla! Espero els vostres comentaris...