dilluns, 18 de febrer de 2013

Les beques CiMs-CELLEX i una demostració trivial


Des del curs passat, la fundació privada CELLEX, presidida pel químic i empresari Pere Mir (si en desconeixeu l'obra, podeu llegir "Mecenas en el hospital" i Mecenes per a la Ciència), ofereix el Programa CiMs-CELLEX que atorga una beca a 24 alumnes de secundària de Catalunya que els permet cursar un Batxillerat Internacional en Ciències i Tecnologia en el centre Aula Escola Europea (Barcelona) o en l'Institut Jaume Vicens Vives (Girona). Em sembla un projecte interessant ja que, a part d'oferir un batxillerat 'avançat' en ciències i matemàtiques per a estudiants que el poden, i volen, aprofitar, inclou estades d'estiu en centres de recerca. El diari La Vanguardia va publicar, el 13 de gener d'enguany, la notícia "Aventureros matemáticos" on es parlava del lliurament de les beques als alumnes del curs actual i de la convocatòria del procés de selecció per al curs vinent. TV3 també es va fer ressó de la notícia, ho podeu comprovar en el vídeo Beques a l'excel·lència.

Si heu fet clic en el darrer enllaç i heu vist el vídeo, permeteu-me una digressió. Quan he passat aquestes imatges en alguna de les meves classes, passant diverses vegades per l'entrada del professor a l'aula (només per provocar), alguns alumnes m'han dit "Que vols que ens aixequem quan entris?". Evidentment, no crec que aquesta qüestió formal sigui important, però el rerefons és un altre. Tal com va indicar un professor de secundària en una carta al director —crec que en La Vanguàrdia (en una polèmica, a propòsit del tractament de vostè, l'aixecar-se al començament de les sessions de classe, etc.), però no he pogut trobar la referència—, és impossible que els alumnes es posin dempeus perquè per fer-ho, haurien d'estar asseguts i atents a l'entrada d'algú, i això no acostuma a passar.

Tornem al tema principal! Si sou alumnes de 4t d'ESO i voleu optar a alguna d'aquestes escasses beques, encara hi sou a temps! Us podeu inscriure, de fet ho han de fer els vostres pares, fins el 24 de febrer. Compte, però, que sembla que les proves són exigents —no podria ser d'una altra manera. Una alumna de batxillerat que va partipar en el procés de l'any passat, recordava que li van demanar la següent demostració:



Els nombres imparells i els múltiples de vuit

Demostreu que, si al quadrat de qualsevol nombre imparell li restem 1, el nombre resultant és múltiple de vuit.

Demostració (28 de febrer de 2013) (+/- Mostra/Oculta)

Com que ja han passat deu dies des de la publicació de l'entrada, procedeixo a donar la demostració.

Els nombres imparells es poden indicar, algèbricament, de la següent manera: 2n + 1, amb n = 0, 1, 2, 3...

Els múltiples de 8 prenen la forma 8k, amb k = 0, 1, 2, 3...

(1) Volem demostrar que (2n + 1)2 – 1 =  8k

(2) Desenvolupem el quadrat: 4n2 + 4n + 1 1 = 8k

(3) Dividim l'expressió resultant per 4: n2 + n  = 2k

(4) Traiem n factor comú, en el primer membre: n · (n + 1) = 2k

La majoria d'alumnes de secundària es queden "enganxats" en aquest darrer pas i, de fet, no cal fer cap més operació! Només hem de raonar!

Si la igualtat (4) és una identitat (és a dir, és certa per a qualsevol valor de n), com que totes les igualtats són equivalents (un matemàtic les podria enllaçar amb el símbol ⇔), podem tornar cap amunt, anar de (4) a (1), i, per tant, (1) també serà certa per a tot valor de n.

I és evident que (4) és una identitat! n · (n + 1) és el producte de dos nombres consecutius (el primer ha de ser parell i l'altre senar o a l'inrevés) i 2k és un nombre parell. L'expressió (4) ens indica, ni més ni menys, que el producte de dos nombres consecutius és un nombre parell. Com que això és cert sempre, (1) també ha de ser-ho, quod erat demonstrandum
.

Una altra demostració (29 de juliol de 2013) (+/- Mostra/Oculta)

Podeu llegir una altra demostració en un dels comentaris d'aquesta entrada. Me l'ha enviat un tal Ferdinand, amb data 29 de juliol, i la trobo senzilla i elegant. Com que és possible que en l'apartat de comentaris us passi desapercebuda, la incloc, amb data 3 d'octubre de 2013, en el cos de l'article.

(1) Desenvolupem l'expressió (2n + 1)2 – 1:

(2n + 1)2 – 1 = 4n2 + 4n + 1 1  =  4n2 + 4n = 4n · (n + 1)

(2) Tal com explica Ferdinand, procedim a la distinció de casos:

  • Si n és parell, 4n · (n + 1) és múltiple de 8 (4n ho és).
  • Si n és imparell, 4n · (n + 1) és múltiple de 8 (4 (n + 1) ho és).

I de nou, quod erat demonstrandum!
   



A mi, la demostració em sembla senzilla, quasi trivial. Però, quan em vaig parar a pensar amb més deteniment, em vaig adonar d'una mena d'estafa continuada de l'educació matemàtica a secundària: la majoria dels nostres adolescents no s'han hagut d'enfrontar a classe amb una pregunta semblant. Fem matemàtiques, però no els deixem gaudir del mètode matemàtic, ni en el seu nivell més senzill. He proposat aquesta qüestió a alumnes de 4t d'ESO i la primera reacció és de sorpresa. Ho hem de demostrar per a TOTS els nombres imparells! Després alguns són çapaços d'avançar-hi força, utilitzant el llenguatge algèbric, però incapaços d'arribar al final perquè se'ls escapa una evidència que tenen davant del nas.

Com que no us vull privar, almenys, de l'intent, deixaré passar uns dies abans de donar-vos una demostració. M'agradaria rebre comentaris d'aquells que ho aconsegueixen o es troben en un atzucac. Si us plau, no sigueu massa explícits i no expliqueu detalls importants del vostre mètode.

Nota bene: El temari d'enguany en la prova de selecció d'aquestes beques sembla que es restringeix al temari oficial de l'ESO (ho podeu veure en el web CiMs- CELLEX en l'apartat temari). Segurament això voldria indicar que quedarien descartades qüestions semblants a aquesta que us he proposat.

dilluns, 11 de febrer de 2013

Hem pintat la façana!


Fa uns anys, el filòsof José Pablo Feinmann va provocar una certa polèmica a l'Argentina quan va afirmar que "cualquier pelotudo tiene un blog" (podeu veure Feinmann fent aquesta declaració en el vídeo Feinmann ataca). Molts blocaires se li van llençar a la jugular i no els faltava part de raó: podia haver dit "boludo" o "huevón", però es va decantar —amb la precisió terminològica típica de filòsofs i matemàtics— pel més agressiu "pelotudo". La meva intenció no és iniciar un curs de dialectologia, però si voleu escatir les subtileses de l'ús d'aquests tres mots feu clic aquí.

Deixem-nos de bromes i anem al gra: no sé dins de quina tipologia blocaire em classificaríeu, però aquest pobre bloc pateix un cert abandó. I no serà per falta d'idees! Però la feina diària, i que les entrades em surten cada vegada més recargolades, fan que els escrits vagin degotant — permeteu-me el castellanisme— de Pasqües a Rams. A més, l'aparença del I ara! Matemàtiques? no ha canviat des dels seus inicis. El nen se'ns ha fet gran, però encara porta el mateix vestidet!

Així el vèiem des del 2010

Com que el Sr. Google ens facilita molt el canvi d'aspecte (de plantilla, dirien els tècnics), he decidit que d'avui no passa i m'he posat a pintar la façana del bloc. Ja em direu si això fa que l'edifici sembli nou. És una petita renovació formal que hauria d'anar acompanyada d'altres millores que, al pas que vaig, cauran poc a poquet. Comprovareu que he fugit de fons de pantalla cridaners i de colors llampants, i he optat per una estètica austera i freda... Escrivint aquestes darreres paraules he recordat aquella frase, sempre trossejada i sovint mal traduïda, de Bertrand Russell: "Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty — a beauty cold and austere, like that of sculpture..." Però d'això ja en parlarem un altre dia, que ara no toca!

Posats a netejar-li la cara al bloc, m'he carregat la presentació que, omnipresent, ens acompanyava en la lectura dels articles i que insereixo aquí per a la posteritat:

Presentació primigènia del bloc

N'haig de redactar una altra i posar-la en un lloc més discret, però no facis avui allò que puguis fer demà! Comentar alguna cosa més de Russell, per exemple.