dissabte, 29 de desembre de 2012

I les altres geometries?

Introducció: comencem per l'anècdota

Fa algunes setmanes, en una classe de física de segon de batxillerat, estava comentant per enèsima vegada, que els coneixements matemàtics ens fan més planer l'aprenentatge de la física i que, si no es dominen alguns procediments matemàtics (en aquell moment estàvem derivant una equació de posició), és impossible poder avançar. Aleshores, un inspirat alumne —que, en certa manera, fugia d'estudi— em va fer l'esquemàtica i telegràfica pregunta: ¿que són primer les matemàtiques o la física? Amb aquell sisè sentit que et dóna haver interpretat d'altres qüestions més críptiques —i cal dir que amb l'aclariment posterior de l'inquiet interpel·lant—, vaig entendre que l'interessava saber si primer sorgien els conceptes i tècniques matemàtics i després s'aplicaven a la física o, si era la resolució dels problemes físics, la que provocava l'aparició de nous conceptes a matemàtiques.

La pregunta requeria una classe, o tot un llibre!, per contestar-la. Però com que el temari apressa, vaig fer una intervenció comentant que trobaríem exemples en els dos sentits, vaig parlar dels departaments de matemàtiques aplicades (on de vegades, primer és el problema i després les matemàtiques) i en algun moment vaig citar les geometries no euclidianes amb relació a la Teoria de la Relativitat d'Einstein (on, simplificant, primer és la Geometria de Riemann i després la seva aplicació a la física). Vaig anar en compte de no dir Riemann, però se'm va escapar geometries no euclidianes i, més tard, geometria fractal. Fins i tot algun alumne que s'estava endormiscant, ja que havia intuït que tot allò "no entrava en l'examen", es va remoure al seient i uns quants van interrogar alhora, com el cor d'una tragèdia grega: ¿NO EUCLIDIANES? ¿FRACTALS?

Havia oblidat que en els nostres temaris només existeix una geometria i que la relativitat i la mecànica quàntica, que ja han complert un centenar d'anyets, són física moderna (on moderna té el mateix significat de l'adjectiu que s'aplicava a la música jove, moderna o yé-yé, els anys seixanta). No ho comento en el sentit que els alumnes de secundària hagin de cursar geometria diferencial, però estaria bé que tinguessin algunes nocions de "en quin punt estan" les matemàtiques i la física contemporànies (i no n'hi ha prou de recomanar que els professors se'n preocupin si després no s'avalua).

Matemàtiques i matemàtica i, en canvi, geometria (en singular)?

És ben curiós que, en castellà i en català, s'hagi optat majoritàriament pel plural matemàtiques (si us interessen les erudicions podeu llegir Un fantasma de la lexicografía hispánica ¿matemática, o matemáticas?) i, en canvi, costi de trobar el plural de geometria en els llibres. No és només un problema de terminologia: quan el pèndol pedagògic ha retornat de l'àlgebra i la teoria de conjunts a la geometria, hem tornat a alabar les meravelles de l'Antiga Grècia i els Elements d'Euclides (i cal dir que valoro moltíssim els Elements, com podeu veure aquí), hem conservat els continguts de geometria analítica (alabat sia Descartes), però no hem avançat gaire més en el temps.

Per tot això, a l'hora d'escriure una categoria o etiqueta per a entrades com aquesta en el bloc, m'he decidit pel plural geometries que em sembla que reflecteix millor la pluralitat que estic defensant.

Les geometries no euclidianes

La recurrent frase, dogma de fe a secundària, "els tres angles interiors d'un triangle sumen 180º" hauria de portar la condició o afegitó "en geometria euclidiana" o "si l'espai és pla". Només cal comprovar si el teorema funciona, per exemple, pels "triangles" traçats a la superfície terrestre (llegiu-ho a La importancia de los "ámbitos de validez "en ciencia, d'on he tret la imatge que figura a continuació).


Els tres angles d'un triangle sumen 270º!


La majoria dels nostres estudiants ignoren, a més, que estan treballant una determinada geometria, la geometria euclidiana. Els passa com a aquell personatge de Molière, Jourdain, que es sorprèn quan se n'adona que porta més de quaranta anys parlant en prosa sense saber-ho (permeteu-me la digressió literària: ho podeu llegir a Le Bourgeois Gentilhomme, acte segon, escena quarta).

Les geometries no euclidianes neixen de la negació del cinquè postulat d'Euclides. D'altres ho han explicat prou bé, us convido a consultar:

La geometria fractal

Tal com vaig fer en la classe de la qual he parlat en la introducció, la millor manera de presentar la geometria fractal és cedir-li la paraula a un dels seus pares, Benoît Mandelbrot (1924-2010). En una fantàstica conferència TED del 2010, que no us podeu perdre, Mandelbrot ens parla de la seva obra (he triat els subtítols en català, però els podeu treure o escollir d'altres idiomes):


Com que ja ha sonat el timbre i hem d'acabar la classe, prometo que de Mandelbrot i dels fractals en tornaré a parlar en exclusiva i amb l'atenció que es mereixen.

dilluns, 24 de desembre de 2012

Felicitacions problemàtiques

Amb una certa mandra i per continuar la traïció (no és un lapsus calami) del bloc, em decideixo a escriure una nadalenca entrada. Podeu llegir també, segurament són més lluïdes, les dels dos darrers anys:
Aviso que seré escassament original i aprofitaré algunes felicitacions corporatives que m'han anat arribant (és allò de reciclar els regals que et fan, per obsequiar a d'altres persones; això sí, amb la molèstia de tornar-los a embolicar, els regals vull dir).

Des d'ABEAM m'informen que el CREAMAT (ja em perdonareu la ràfega de sigles) preocupat per "fer Nadal" ens adreça les següents observacions i propostes:

1. 2013, 2014 i 2015 són nombres que tenen la particularitat de ser el producte de només tres nombres primers: 2013 = 3·11·61; 2014 = 2·19·53; 2015 = 5·13·31. Hi afegeixen 2012  = 2·2·503, però com que el dos hi està repetit, trobo que no es pot posar en el mateix sac.

2. Ens feliciten l'any amb una nova endevinalla numèrica que m'ha semblat interessant, però endimoniada i feixuga de resoldre, d'Ignasi del Blanco:


Si en voleu veure una versió interactiva que us evitará agafar el llapis, feu clic aquí.



Addenda del 16 de febrer de 2013

Si heu fet clic en el darrer enllaç, haureu comprovat que ja no està operatiu (coses del CREAMAT!). De moment, però, rebuscant, he trobat la versió interactiva en una altra ubicació (v. interactiva).

Una alumna de batxillerat em va renyar, una mica, per això que vaig escriure sobre l'endevinalla de "endimoniada i feixuga de resoldre". Ella la va trobar assequible i no massa complicada (avantatges de tenir les neurones joves). No me'n puc estar de donar-vos una pista i la solució, si, a hores d'ara, encara li esteu donant voltes...

Pista (+/- Mostra/Oculta)

L'associació ABEAM va enviar inicialment aquesta felicitació amb unes dades extres, tal com podeu veure en la següent imatge:


El 25 de la primera fila simplifica força el procés de trobar la solució.


Solució (+/- Mostra/Oculta)

Si no queda més remei, aquí teniu la resposta:




3. Ens faciliten un llistat de llibres de matemàtiques per comprar, regalar o demanar per aquestes dates (Al Nadal regala mates). A mi, col·legues, em molesta la paraula "mates" en un web de matemàtiques i es nota una certa desídia quan l'enllaç a la pàgina acaba amb les paraules llibreestiu. Per altra banda, abstingueu-vos de regalar aquests llibres a persones que no els hi agradin les matemàtiques... encara que siguin els vostres fills! Us sorprendria el nombre de joves que de petits no suportaven les matemàtiques, els seus pares els hi van regalar El dimoni dels nombres o El diablo de los números, i ara estan estudiant Filologia Semítica.

Si sou més de "posar l'arbre", passeu-vos pel Árbol navideño matemático ("taco de chulo") del sevillà Instituto Profesor Tierno Galván.

I si l'únic que us preocupa d'aquestes festes és què us portaran els Reis, llegiu:

LA PROPIEDAD CONMUTATIVA:
¿A qué distancia está Nueva York de Philadelphia?
A unas 120 millas.
¿Y a qué distancia está Philadelphia de Nueva York?
No lo sé.
Pues lo mismo, 120 millas. Por la propiedad conmutativa.
No necesariamente ¡De Navidad a Reyes hay 10 días, pero de Reyes a Navidad hay casi un año!


El text anterior l'he tret d'aquí (la majoria de gracietes que hi surten no us faran somriure si no teniu uns mínims coneixements de continguts matemàtics).


En fi, més que pacients lectors, Bon Nadal i Bon any!

Viñetas navideñas 2012 a La ciencia no se rinde

dimarts, 18 de desembre de 2012

L'hem feta grossa! L'anumerisme en probabilitat

Un tipus d'anumerisme que pot afectar greument les nostres decisions, les nostres opinions i ens pot foradar les butxaques és aquell que fa referència als continguts de probabilitat. Com que aquest dissabte 22 de desembre se celebra el tradicional "Sorteo Extraordinario de Navidad", centraré els meus primers comentaris en aquest joc d'atzar que tant afavoreix  "las arcas del Estado". El primer premi d'aquesta loteria, conegut popularment com "la grossa" (atenció! en castellà li canvien el gènere i s'anomena "el Gordo"), ocuparà les portades dels diaris i les primeres notícies dels informatius de televisió i ràdio. Veurem els posseïdors dels dècims premiats fent saltironets i cridant davant les càmeres, ruixant-se amb alguna beguda alcohòlica espumosa i, més tard, parats com estaquirots amb la butlleta premiada a les mans. Els periodistes formularan l'enginyosa pregunta ¿Què pensa fer amb els diners que li han tocat?, diran que el premi ha estat molt repartit, que ha tocat en una barriada molt necessitada...

Un dècim de la grossa del sorteig de l'any passat

Moltes persones no s'hi jugarien tants diners si tinguessin assolit i interioritzat el següent

Lema fonamental

L'esperança matemàtica de qualsevol joc d'atzar que s'utilitzi amb finalitats comercials és negativa.

Per als no versats en la terminologia estadística, cal indicar que l'esperança matemàtica no és ni una noia llicenciada en aquesta ciència ni una virtut pròpia dels professors de matemàtiques, situada entre la fe en els seus alumnes i la caritat a l'hora de corregir. En podeu veure la definició i algun càlcul d'exemple clicant en esperança matemàtica. En qualsevol joc d'atzar on s'hi juguin diners (com les loteries, les travesses, la ruleta, etc.) equival al guany mitjà per jugada. Que aquesta magnitud estadística sigui negativa per als jugadors que hi participen, indica que de mitjana pateixen pèrdues econòmiques. Evidentment, l'esperança dels organitzadors del joc és positiva.

Falses creences

Moltes persones que han comprat algun dècim de la loteria de Nadal tenen algunes falses creences que van des de conceptes erronis sobre la probabiltat fins als més absurds pensaments màgics. En cito algunes:

1. Determinades administracions de loteria tenen més sort i, per tant, ens afavoreix comprar els números allà. Alguns, per exemple, es desplacen expressament fins a Sort per adquirir els seus dècims a l'establiment La Bruixa d'or. I és que en aquesta administració, i en algunes altres, hi cauen més premis... senzillament perquè hi venen més participacions!

2. Accions com passar el número per la panxa d'una embarassada, l'esquena d'un geperut, o fregar-lo en el nas o en l'escombra de la bruixa que tenen a la porta de l'administració, no modifiquen la probabilitat que ens toqui.

3. N'hi ha que creuen que els números que s'adquireixen en ciutats que han patit algun desastre tenen més probabilitat de sortir; pensant que existeix una estranya llei de compensació!

4. Hi ha números "macos": els que acaben en set, els capicua, els que corresponen a alguna data assenyalada... N'hi ha que costen de vendre: els que són molt petits o molt grans...

5. Que un número hagi estat premiat un any, no modifica la probabilitat que torni a sortir. En d'altres loteries diàries, la gent no vol un número que ha estat premiat el dia anterior (no saben que les boles que s'utilitzen per fer el sorteig no tenen memòria). Molts no s'ho acaben de creure, però si llancem una moneda equilibrada i ens han sortit quatre cares consecutives, la probabiltat d'obtenir cara en la cinquena tirada continua sent 0,5 (o, si ho preferiu, d'un 50%).

A propòsit de tot això, us convido a llegir l'assenyat i encertat article Colas de lotería y anumerismo en el web La Ciencia y sus demonios.

Una darrera creença que de vegades han expressat en veu alta els meus alumnes: conèixer les lleis de la probabilitat no facilita guanyar en la majoria de jocs d'aquest tipus. Sí que us puc dir, que aquest coneixement —i no vull entrar ara en raons ètiques o morals (si confoneu ètica i moral, cliqueu aquí)— dóna motius per no jugar-hi! De totes maneres, som animals contradictoris, podeu llegir Juego a la lotería aunque matemáticamente no debería

Un impagable, i improbable, acudit de Forges

Per acabar, un repte matemàtic i un sorteig

No disposeu de gaire temps si hi voleu participar, fins el dia 21 d'aquest mes de desembre: amb l'excusa del sorteig del 22, el diari El País i La Real Sociedad Matemática Española proposen un problema matemàtic anomenat Números bonitos, números feos (si feu clic en el títol anterior, accedireu a la proposta). Ah, els encertants poden guanyar una magnífica col·lecció de llibres. Això sí, si resulten afavorits després d'un sorteig!

divendres, 7 de desembre de 2012

No fa gràcia, fa por: l'anumerisme

El mot "anumerisme" no m'acaba d'agradar, però no trobo cap paraula més ajustada per definir la ignorància en l'aplicació dels continguts matemàtics més bàsics. Diria que es va començar a utilitzar a partir de la publicació dels llibres de John Allen Paulos en la seva traducció castellana (vegeu L'analfabetisme matemàtic i les seves conseqüències en aquest mateix bloc) i ha arribat als títols d'algun article periodístic (podeu llegir, per exemple, l'interessant El 'anumerismo' también es incultura de Bernardo Marín publicat en El País el 6 d'abril de 2011). Per què no m'acaba de fer el pes aquesta paraula? Perquè sembla que reflecteix una certa visió de les matemàtiques com a la ciència de manipular els nombres, i la matemàtica és força més que un "numerisme". La solució "analfabetisme matemàtic" és més llarga i té una connotació de dificultat en la lectoescriptura matemàtica, i no es tracta d'això. Sigui com sigui, he decidit incorporar l'etiqueta anumerisme a les categories d'aquest bloc i, per desgràcia, tinc material per escriure més d'una entrada.

L'anumerisme ja s'ha convertit, de fet, en l'eix de diversos llibres de divulgació matemàtica. A casa nostra, el matemàtic Claudi Alsina ja ha publicat dos llibres comentant exemples flagrants d'anumerisme (ell parla d'assassinats matemàtics!): Asesinatos matemáticos i Los asesinos matemáticos atacan de nuevo (si feu clic en els títols, en podreu llegir una ressenya). Això d'assassinats matemàtics té una certa gràcia, però pot ser més que una metàfora: ja descriuré, un altre dia, algun cas d'homicidi per anumerisme.

Asesinatos matemáticos (ISBN 978-84-344-6920-4)

Vegem un parell de casos recents, i incruents, d'ignorància matemàtica:
 
La calculadora embruixada...

Si disposar d'un corrector ortogràfic en un processador de textos, no assegura el domini de la llengua escrita; podríem dir que tenir una calculadora a les mans, no proporciona la destresa necessària per fer els càlculs més senzills. En dóna fe el següent vídeo que correspon a una escena "còmica" del programa Saber Vivir que s'emet pel primer canal de TVE. L'emissió és del 5 de novembre d'enguany. Una periodista, Mariló Montero, i un col·laborador del programa, el metge Luis Gutiérrez, no se'n surten quan intenten posar un exemple de com es calcula l'índex de massa corporal (IMC).


Si penseu que la periodista és més anumèrica que el saberut doctor, deixeu-me indicar que:

1. El doctor Gutiérrez s'equivoca en el càlcul mental de l'IMC de la Sra. Montero, que no arriba ni a 20 (si no amaga pes i /o exagera l'alçada).

2. Les errades que comet la calculista són, bàsicament, de jerarquia de les operacions o d'entrada de dades (quan es carrega les comes perquè li molesten!?) i el doctor se'n podria adonar i corregir-les.

3. Impagable l'afirmació del doctor sobre les unitats de l'IMC: kg/m2? Com la pressió? Aquest home, en algun moment de la seva vida, haurà afirmat allò tan simplista de "jo sóc de ciències"?

Veient això no m'estranya que alguns alumnes de les meves classes defensin un resultat equivocat amb la inquietant frase "m'ho ha dit la calculadora". I és que les calculadores les carrega el diable!

El nostres polítics... o els seus assessors

La següent fotografia recull un moment estelar de la intervenció de la política Alícia Sánchez-Camacho en un debat en el canal 8 TV durant la darrera campanya de les eleccions al Parlament de Catalunya:


Mostra una suma bastant senzilla 700 + 500 + 118... i li dóna 1.218! No res, una errada de 100 milions d'euros! Segons ens expliquen en el diari Ara (vegeu la notícia), la Sra. Sánchez-Camacho va dir el resultat correcte, però la captura de la pantalla i l'ànonim assessor que li va preparar el rètol passaran a la història. Els seus contrincants dels altres partits polítics, no se'n van adonar de l'errada?

I avui ho deixarem aquí, ja tindrem temps, més endavant, de parlar del Teorema de Zapatero.