dissabte, 31 d’agost de 2013

La simbologia i la notació matemàtica: una virtut i algunes servituds


Si doneu una ullada a les entrades anteriors d'aquest blog, comprovareu que tenen un aspecte que podríem qualificar de "poc matemàtic": en general, el contingut que s'hi tracta no requereix massa simbologia o notació matemàtica i això fa que no hi apareguin massa expressions o equacions aparatoses. Tampoc no he parlat gaire dels aspectes més formals del llenguatge matemàtic i, quan ho he fet, ha estat a partir de l'anècdota (vegeu, per exemple, John F. Nash: la pel·lícula de Ron Howard (II) on podreu llegir alguns comentaris sobre la notació matemàtica que apareix en aquest film i el doble del protagonista que van haver de contractar per escriure-la i donar versemblança a les escenes).

He estat temptat de parlar en aquest escrit de les virtuts —així, en plural— de la simbologia i la notació de la matemàtica contemporània; però quan he entrat en matèria, m'he adonat que, fer un llistat enciclopèdic d'avantatges i comentar-los, seria massa extens i podria avorrir, fins i tot, el lector més voluntariós.


Una virtut: la universalitat

Donant-li voltes, triant i remenant a la xarxa i a la meva biblioteca, deixarem les virtuts més evidents per a futures entrades i ens fixarem en la universalitat de la notació matemàtica. Vegeu sinó, la següent imatge:

  
Qualsevol persona que tingui un nivell preuniversitari de matemàtiques, independentment de les llengües que parli, podria seguir les operacions que apareixen en la pissarra completa, identificar com a equació d'una el·lipse l'expressió que apareix tallada en la part superior de la fotografia \(\dfrac {x^{2}} {a^{2}}+\dfrac {y^{2}} {b^{2}}=1\) i apuntar que, en l'exercici que està resolent el jove de mirada desafiant, hi intervé una integral definida (Leibniz és el culpable que indiquem aquestes integrals com  \(\int _{a}^{b}f\left( x\right)\ dx\)). No tots els símbols que s'utilitzen en matemàtiques són universals i n'existeixen variants, però si hi ha una "llengua" que pràcticament abasti tot el món, després de la solfa musical, deu ser aquesta. Ara que parlem d'integrals i de la universalitat dels símbols, els àrabs poden escriure el signe integral a l'inrevès i procedir de dreta a esquerra (no sé, però, si aquest ús és gaire comú i en l'article de la wikipedia àrab que correspon a integració només hi fan una breu referència).

I per jugar una mica amb això de les variants simbòliques, us proposo un petit enigma: analitzant el contingut de la pissarra no és possible deduir en quin lloc geogràfic es desenvolupa l'escena; però, amb una probabilitat alta, podem descartar algunes regions del planeta. Per exemple, podem pràcticament assegurar que el nostre protagonista no es troba en l'altiplà castellà, però sí que es podria trobar a Catalunya (si no tenim en compte, alguns detalls tipogràfics o el lloc on s'ha escrit límit inferior d'integració, el zero, en el símbol integral). Per què? 



Solució a l'enigma geogràfic (+/- Mostra/Oculta)


En la línia immediatament inferior a la integral hi veiem escrita l'expressió ab sin2θ. L'abreviatura de la raó trigonomètrica sinus és "sin" en la majoria d'idiomes, però en castellà, italià o portuguès, que l'anomenen "seno", escriurien, preferentment ab sen2θ ja que s'acostuma a utilitzar la notació "sen". Per cert en anglès també s'indica "sin", però la paraula sencera és sine, pronunciada ['sain].

 



Rushmore, la pel·lícula

L'estudiant  de les ulleres és de fet l'actor Jason Schwartzman i la imatge és un fotograma que correspon a la seqüència inicial de la pel·lícula Rushmore (Wes Anderson, 1998). Com que aquesta seqüència resulta interessant des del punt de vista matemàtic, us proposo un parell d'enllaços per tal que la pugueu gaudir sencera: seqüència inicial en anglès (si teniu problemes amb l'anglès, la teniu doblada al castellà aquí). Per cert, en el web de la Universitat de Harvard hi trobareu un interessant recull de Mathematics in Movies.

El problema que soluciona el nostre fantasiós protagonista, en somnis, no és un problema gaire complicat: si voleu un comentari matemàtic acurat us recomano que consulteu les pàgines 16 a 18 de l'article Algunos momentos matemáticos del cine d'Alfonso Jesús Población Sáez (ja havia citat aquest autor i aquest article en Les matemàtiques en el cinema).


Algunes servituds

La notació matemàtica no és una sopa de lletres i símbols per impressionar i atemorir els profans, és imprescindible per practicar les matemàtiques i presenta molts avantatges. De vegades, trobar la notació adequada és el primer pas i la porta de la solució d'un problema. Una servitud és que l'aprenentatge de la simbologia requereix un cert esforç i un cert rigor. Si en una classe escric a la pissarra \(\forall a\in \mathbb{R} \ldots \) — i fins aquí només és per pura economia del llenguatge— sempre hi ha alumnes que, tot i conèixer els símbols, prefereixen apuntar "per a qualsevol nombre a que pertany al conjunt dels nombres reals...". Cal dir que tota aquesta simbologia, fins i tot la més bàsica que s'utilitza en l'aritmètica i l'àlgebra dels cursos de l'ensenyament obligatori, mal assolida, provoca errades greus que ja comentarem en una altra entrada.

A part d'aquests peatges pedagògics, aquells que ens dediquem a l'ensenyament i a la divulgació de les matemàtiques hem de patir per tal de portar als suports digitals o escrits tota aquesta faramalla simbòlica (serà per això que encara apreciem les pissarres, on el símbol més recargolat pot ser traçat de forma immediata). Si heu arribat fins aquí, potser no us heu adonat que en aquest article hi consten algunes expressions matemàtiques escrites en LaTeX (sent estrictes, hauríem de dir que en TeX): per exemple,  la trista equació de l'el·lipse del segon paràgraf, abans de ser interpretada, ve a ser alguna cosa com \dfrac {x^{2}} {a^{2}}+\dfrac {y^{2}} {b^{2}}=1. Continuament hem de treballar amb editors d'equacions, modificar les plantilles de Blogger de tant en tant, vigilar la compatibilitat de llenguatges i formats... I en el cas de la xarxa, no tenim la seguretat que tots els navegadors interpretin correctament les expressions. En aquest sentit us voldria demanar que, si llegint tot això a la pantalla, detecteu algun problema en la visualització de les expressions matemàtiques, feu-m'ho saber, si us plau.

Cal fer constar, però, que les "ja no tan noves tecnologies" han simplificat molt el fet d'escriure matemàtiques (us ho diu algú que havia fet algun treball universitari amb màquina d'escriure!), però a molts alumnes —són els altres damnificats— encara els costa defendre's amb els editors d'equacions més senzills.


I un parell d'exercicis (per a aquells que saben integrar a un nivell elemental)

Aprofito que he adaptat la plantilla del blog per tal de poder escriure en notació matemàtica, per proposar-vos la resolució de dues de les meves integrals preferides:

  1. \( \int e^{x^{2}}dx\)

  2. \(\int \frac{sin\,x}{x}dx\)

Per als més rigorosos i primmirats, cal dir que en la segona cal suposar \(x\neq 0\). Disculpeu, tots, que no m'hagi parat a respectar les molt estètiques normes de la tipografia en l'edició de les expressions, però de la tècnica i l'estètica de l'edició ja n'anirem parlant.

dilluns, 12 d’agost de 2013

El Teorema (o axioma) del punt gros

 
He dedicat unes quantes entrades a les diferents geometries (vegeu, per exemple, I les altres geometries?) i, en algun escrit, he apuntat alguna cosa sobre les dimensions superiors a tres (Més enllà de la tercera dimensió: l'hipercub (I)) amb la promesa de tornar-hi. Haig de dir que, en general, les geometries no euclidianes i les dimensions extres no acostumen a ser ben rebudes per les persones alienes al món de la matemàtica. En canvi, la geometria euclidiana s'accepta de manera immediata com si, tanmateix, fos una creació de Déu o una realitat irrefutable del nostre univers. Tothom creu saber què és un punt, una recta o un pla i troba que aquests conceptes són d'allò "més naturals". Euclides comença els seus Elements de geometria (Els Elements d'Euclides) amb una sèrie de definicions (un punt és allò que no té parts, una línia és una longitud sense amplada, els extrems d´una línia són punts, una recta és una línia que esdevé igual respecte de tots els seus punts, una superfície és allò que només té longitud i amplada, etc.) que ens poden semblar evidents  o, fins i tot, podem opinar que el pobre Euclides se les podia haver estalviat. Si ens parem a pensar, el salt d'un concepte a l'altre, més que evident, és màgic i ens hauria de generar un cert rebuig: un punt no té dimensions, però un conjunt de punts poden generar una recta que té una dimensió? si posem moltes rectes juntetes, una al costat de l'altra, obtenim una superfície de dues dimensions? D'on surten aquestes dimensions extres? És clar que l'objectiu d'aquestes observacions no és que renegueu de la utílissima geometria euclidiana i, a més, avanço que us hauríeu d'agafar aquest escrit amb una actitud reflexiva, però no massa seriosament.


El cinquè postulat

En el seu Llibre I, Euclides, després de 23 definicions, introdueix els seus cinc famosos postulats o axiomes (Postulats). De la negació del controvertit cinquè postulat, neixen les geometries no euclidianes. En el seu format original, degudament traduït al català, el cinquè postulat afirma que "Si una secant talla a dues rectes formant a un costat angles interiors la suma dels quals és menor que dos angles rectes; les dues rectes, suficientement allargades es tallen en el mateix costat".

El cinquè postulat d'Euclides expressat gràficament.
(La imatge ha estat extreta d'aquí )


En la imatge explicativa anterior, com que la suma dels angles m i n és menor de 180º (dos angles rectes), els segments AB i CD es tallen, si es prolonguen, per la dreta.

De fet, aquest postulat és més conegut en una versió diferent, però equivalent, a la que va donar Euclides: "Per un punt exterior a una recta es pot traçar una única recta paral·lela".

Versió artística i gràfica de l'enunciat alternatiu del 5è postulat.
(La fotografía és de Pepe E. Carretero i la podeu veure en el seu blog)



El Teorema del punt gros (TPG)

Hi ha una versió hispànica —només n'he trobat referències en castellà i algunes en català— que substitueix i contradiu aquest cinquè postulat, però és una proposició més intuïtiva i evident. Es coneix com el "Teorema del punto gordo", però seria més correcte dir-ne postulat o axioma. Com totes les grans veritats, admet més d'una formulació, a mi m'agrada aquesta:

Per un punt exterior a una recta passen diverses rectes paral·leles el nombre de les quals depèn del gruix del punt.

Teorema del punt gros. Pel punt P passen tres rectes paral·leles a la recta r... o més!

Alguns autors catalans, que prefereixen la traducció Teorema del punt gran, opten pel següent enunciat:

Dues rectes paral·leles es tallen en un punt, sempre que el punt sigui suficientment gran.


Aquesta imatge "provatòria" ha estat extreta d'aquí,
però la font original és Inciclopedia.

Fonemato, l'alter ego de Rafael Cabrejas, ha dedicat un imprescindible vídeo a aquest Teorema. Aprofito per recomanar-vos també la resta de vídeos d'aquest autor, aquests sí, útils i seriosos (però no tots gratuïts): vídeos de Fonemato.


Aplicacions del TPG en el Dibuix Tècnic

Com que sou lectors intel·ligents, ja fa estona que us haureu adonat de la presa de pèl: els punts grossos contradiuen la definició d'Euclides que afirma que els punts no tenen dimensions. El saberut Fonemato, al final del seu vídeo-broma, certifica la inexistència dels punt grossos. Però algú és capaç de dibuixar un punt sense dimensions? I si algú fos capaç de tal proesa, la resta de la humanitat, el podríem veure? Els físics que estan acostumats a simplificar les situacions i no s'immuten quan en un problema comencen amb "Suposant que la Terra és una massa puntual...", ho arreglarien ràpidament dient que les dimensions dels punts són negligibles..., però no ens enganyem, la física no és una ciència prou seriosa.

Sigui com sigui, els punts grossos tenen nombroses aplicacions: la majoria d'elles relacionades amb el dibuix tècnic. Els aprenents que comencen a practicar aquesta disciplina es troben sovint que, després d'una llarga construcció, després de traçar tangents, perpendiculars i paral·leles, el resultat no és el desitjat: una línia no passa, per poc, per un determinat punt perquè no han estat prou destres i acurats en els passos previs. Doncs bé, existeixen dues solucions per tal de no haver de repetir tot el procés: o fem el punt més gros o optem per una línia flàccida o peluda (algú s'atreveix a parlar de "rectes astutes"). Per la importància d'aquesta aplicació el gran Tito Eliatrón es refereix al TPG com a Teorema Fundamental del Dibujo Técnico. Consulteu també, si us plau, el Teorema del Punto Gordo y la Línea Flácida.

Cal dir que el TPG també s'ha aplicat en l'anàlisi d'algunes jugades de futbol, aquest esport pedestre, i que això ha donat lloc a algunes crítiques vehements (Riera, cuéntenos...).


Apunts lingüístics

Els traductors catalans es mostren dubitatius: cal traduir "gordo" com a gros, gran o gruixut? Si consultem l'autoritat pertinent, el DIEC, i anem a les definicions de grosgran i gruixut, ens pot semblar que "gros" no és la paraula adequada. Però "gordo", en castellà i en aquest cas, tampoc és lingüísticament escaient, si bé té un matís còmic que s'adiu al nostre teorema. Aquells que encara esteu per apreciar aquestes distincions i fugiu de comunicar-vos amb  rugits i brams fareu bé de consultar: Bricollengua o Racó Català. Jo m'he decidit per traduir "punt gros", però he estat temptat d'optar pel més càrnic i simpàtic "punt molsut".

Espero que no acabeu pensant que avui us he venut gat per llebre o, en una versió més suau, que he fet passar bou per bèstia grossa. Per cert, a aquesta darrera frase feta no li acabo de trobar el sentit: vol denotar un cert tipus d'engany, però no té un punt de tautologia? Els bous no pertanyen al conjunt de les bèsties grosses?