diumenge, 27 de març de 2011

Problemes per passar un pont (II)

En una entrada anterior, Problemes per passar un pont (I), ja vam exposar el problema de quatre persones per passar d'una riba a l'altra riba d'un riu en la versió del matemàtic i divulgador argentí Adrián Paenza. En podem trobar d'altres versions, més o menys literàries o divertides, que no en canvien el fons, però són interessants o, si més no, curioses de conèixer.

En una versió de 2005, anterior a l'edició del llibre de Paenza, les quatre persones es diuen Pepe, Pablo, Felipe i Juan (feu clic a Cuatro amigos y un puente per veure'n la versió). Juan té la cama enguixada per justificar que tarda deu minuts per completar el recorregut i, per fer més assequible el problema, primer se'ns demana de quina manera poden passar el pont en dinou minuts.

Una de les variacions més estranyes, no sabem si forma part d'alguna campanya "humanitària" o crematística, hi fa participar els membres del grup de rock U2 (la podeu veure, entre d'altres llocs, a DivulgaMAT i a MathNerds). El redactat que apareix a DivulgaMAT és el següent:


El grupo U2 (DivulgaMAT)

"El grupo U2 ofrece un concierto que comenzará en 17 minutos pero los miembros del grupo deben cruzar un puente para llegar al lugar del concierto. Los cuatro componentes están en el mismo lado del puente. Es de noche. Sólo hay una linterna. Sólo pueden cruzar el puente un máximo de dos personas a la vez. Siempre que se cruce el puente debe llevarse la linterna para ver el camino. La linterna no puede lanzarse al otro lado ni alumbrar desde lejos. Cada miembro de la banda puede caminar a distinta velocidad. Cuando vayan dos juntos, la velocidad que lleven será la del más lento. Sabiendo que Bono tarda 1 minuto en cruzar, Edge tarda 2 minutos en cruzar, Adam tarda 5 minutos en cruzar y Larry tarda 10 minutos en cruzar, ¿cómo conseguirán llegar a tiempo al concierto?"



Si heu anat consultant els enllaços que hem donat, heu pogut llegir diverses vegades la solució al problema. Per als més mandrosos o per als encuriosits que volen llegir com la dóna Adrián Paenza en el seu llibre Matemática... ¿estás ahí? Episodio 3,14, la teniu a continuació en la seva versió original en castellà (recordem que Mujer 1 tarda un minut per passar el pont; Mujer 2, dos minuts; Mujer 3, cinc minuts i Mujer 4, deu minuts):

Solució del problema de passar un pont
(+/- Mostra/Oculta)

Solución al problema de las cuatro mujeres y el puente
Primer viaje: van las mujeres 1 y 2. En total usaron 2 minutos.
Segundo viaje: vuelve la mujer 2 con la linterna. Pasaron 4
minutos.
Tercer viaje: van las mujeres 3 y 4. Ellas tardan 10 minutos, más
los 4 que se habían usado antes, suman 14.
Cuarto viaje: vuelve la mujer 1 con la linterna (que había quedado
en la otra orilla luego del primer viaje). Total consumido: 15
minutos.
Quinto (y último) viaje: van las mujeres 1 y 2. Tardan 2 minutos
en este viaje, y en total, 17 minutos.
MORALEJA: no interesa si a usted se le ocurrió la solución o la leyó.
No importa. Lo que sí interesa es que descubra por qué le costó trabajo.
Piense: ¿usted no intentó todas las veces que las mujeres que tardan
más (5 y 10 minutos) vayan juntas de una orilla a la otra? Casi
seguro que sí. Pero, ¿dónde estuvo la diferencia? Es que en la solución
se advierte que una de las dos mujeres que tardan menos (las
de 1 y 2 minutos) ¡estaba ya esperando en la otra orilla para traer la
linterna de vuelta! De esa forma, uno ahorra minutos y no necesita
usar más ni a la de 5 ni a la de 10 minutos.
Y ésa es la clave. Haber hecho viajar a las de 1 y 2 minutos primero,
para que una de las dos (no importa cuál) se quede allá para
traer la linterna cuando hayan llegado las de 5 y 10 minutos. La manera
distinta de pensar el problema pasó por ahí.
Pero claro, como en la vida, ahora que uno sabe la solución, todo
es más fácil.

En la primera entrada dedicada a aquest enunciat ja vam discutir amb un comentarista el "caràcter matemàtic" o no del problema. Si voleu llegir uns comentaris assenyats sobre com arribem a la solució i la dificultat, diguem-ne "extramatemàtica", d'arribar-hi, feu clic a Solución del acertijo de las mujeres y el puente. Hi trobareu també una referència a com solucionar-lo per "força bruta" o, per a no ofendre els matemàtics discrets, per combinatòria.

dilluns, 14 de març de 2011

El dia de Pi (I). Una invitació

Espero que hagueu passat un molt bon dia de Pi! Posats a celebrar festivitats que ens vénen de fora: Sant Valentí, Halloween, etc. —sempre amb un vessant comercial—, no veig perquè no hauríem de dedicar una diada a honorar Pi. No té res a veure amb la festa que té lloc a Centelles (en un comentari a un article d'aquest bloc, l'amic Frederic ja ens va proporcionar unes magnífiques fotografies de la Festa del Pi), ara estem parlant del nombre, de π.

Si coneixeu com es donen les dates en el món anglosaxó, té una fàcil explicació el fet que avui trobem una excusa per parlar de π. En lloc d'escriure les dates seguint el nostre esquema dia/mes/any, nord-americans, britànics i associats utilitzen mes/dia/any. Tots els catorze de març els escriuen 3/14 i, com que π ≈ 3,14, ja està tot explicat. No sé com va començar aquesta curiosa animalada —si m'heu anat llegint, ja sabreu que sóc bastant crític, però tolerant, amb les festivitats per sincronitzar la tribu (caps d'any, per exemple)—, però aquesta em sembla una ocurrència divertida. En vaig tenir notícia a través de Gaussianosque enguany li torna a dedicar un article (Celebrando el día de Pi con matemáticos nacidos ese mismo día).

Quan vaig parlar del Pi Day en una de les meves classes, un alumne em va comentar que el dia de Pi del 2015 seria especial (3/14/15 i π = 3,1415...). Em sap greu no haver estat prou ràpid per contestar-li que més especial va ser el 14 de març de 1592 (3/14/1592 i π = 3,141592..).

Hagués desitjat fer una entrada més reeixida en una jornada com aquesta, havia pensat escriure bàsicament d'algunes qüestions com:

  • El càlcul dels decimals del nombre Pi mitjançant mètodes en els quals hi intervé l'atzar (els matemàtics en parlen de mètodes de Monte Carlo).
  • El nombre Pi i la música. Un divertimento sense solta ni volta: Com sonen, o com podem fer sonar, els decimals de Pi?
Però com que sóc un desafortunat mortal de temps escàs, ho deixarem per més endavant. De moment, permetem que Pi ens lliuri una targeta  d'invitació a la seva festa, mostrant-nos els seu encants (que són il·limitats):


Si feu clic damunt de la imatge, copsareu millor els detalls.

I volia parlar de més coses inútils:
  • Tots els dígits tenen la mateixa freqüència en els decimals de Pi? És a dir, és un nombre normal?
  • Algunes de les seves propietats depenen de la base de numeració que utilitzem. És possible expressar-lo de manera que puguem alliberar-lo de les esclavituds de les bases de numeració?
  • ...
Ho haurem de deixar per a una altra ocasió i ja m'ho faré venir bé per a no haver d'esperar el dia de Pi de l'any vinent!

*He etiquetat aquesta entrada com Humor. No perquè faci riure, però es ben anecdòtica —tot i que hi ha algun apunt matemàtic seriós— i no vull crear una categoria com Bestieses diverses.

dissabte, 5 de març de 2011

Problemes per passar un pont (I)

El fet de dedicar-se a la docència de les matemàtiques i la física ocasiona que sovint et proposin problemes, enigmes i endevinalles més o menys relacionades amb aquestes dues ciències. S'hi atreveixen els alumnes, però també els amics, saludats i coneguts que diria Josep Pla (l'escriptor, no el matemàtic). Com que la bateria de qüestions d'aquesta mena que circulen entre el gran públic és limitada, amb freqüència pots donar la solució sense haver de pensar, perquè és l'enèsima vegada que et plantegen el repte, cosa que produeix el fals efecte que estàs en possessió d'una ment prodigiosa. Això provoca un augment del teu quocient d'intel·ligència virtual i del teu prestigi que cauen ràpidament quan et pares a pensar més de dos minuts davant d'una pregunta de la qual no et saps la solució de memòria (que són les que realment ens agraden). L'altre dany col·lateral de la professió —aquest sí que és molest— és veure's pràcticament obligat a calcular, mentalment o amb llapis i paper, qualsevol compte de la vida quotidiana. Suposem que, després d'un opípar sopar en un restaurant, arriba el cambrer amb el compte, suposem que formem part d'un grup nombrós (posem unes tretze persones, no per res, sinó perquè és un nombre primer) i que cal dividir el cost del banquet entre els comensals, indefectiblement totes les mirades es dirigeixen a tu i algú salta dient "doneu-li paper i bolígraf que és de mates!". No sabem si confonen les matemàtiques amb la comptabilitat de factura més clàssica, però alguns companys meus de docència han optat per portar sempre una calculadora al damunt per evitar-se el tràngol.

Fa pocs dies a classe, de fet en una sessió de preparació del Cangur, em van proposar un problema que desconeixia (després he comprovat que és molt popular). No sé si va ser per posar-me a prova o perquè, mentre el professor pensa un problema, se n'oblida de posar-ne. Siguem ben pensats i diguem que els alumnes ho fan perquè saben que m'agrada pensar i solucionar qüestions d'aquesta mena. El problema va de quatre persones que han de passar per parelles d'una riba d'un riu a l'altra mitjançant un pont. Tarden temps diferents (1, 2, 5 i 10 minuts), com que és fosc han de portar necessàriament una llanterna per orientar-se i només en tenen una... quina és l'estratègia a seguir si ho volen fer en disset minuts? Si seguiu llegint, exposarem d'una manera més rigorosa l'enunciat. Tan divertit va ser el fet de solucionar el problema com el fet d'esbrinar d'on havia sortit i si n'existien versions diferents. Amb les dades que us he donat, podeu fer una petita investigació de la seva presència a Internet. Googlejant vaig comprovar que moltes de les referències provenien de l'Argentina i, tot i que el problema deu ser un clàssic, apareixia en un dels llibres del matemàtic argentí Adrián Arnoldo Paenza. Els llibres de divulgació de Paenza estan disponibles en format electrònic, per a ús no comercial, en el web del Departamento de Matemática de la Universidad de Buenos Aires (Libros de Divulgación publicados por Adrián Paenza). El problema en qüestió apareix en Matemática... ¿estás ahí? Episodio 3,14 (feu clic per accedir directament a la versió electrònica d'aquest llibre):

MATEMÁTICA... ¿ESTÁS AHÍ?
EPISODIO 3,14... 
Adrián Paenza
Colección: CIENCIA QUE LADRA
Dirigida por: Diego Golombek
Copyright 2007, Siglo XXI Editores Argentina S.A.
ISBN 978-987-629-017-3




Paenza titula el problema Las cuatro mujeres y el puente (ignoro perquè els personatges d'aquesta versió són totes dones). Us n'ofereixo el redactat original en castellà:


Las cuatro mujeres y el puente (Adrián Paenza)

"Hay cuatro mujeres que necesitan cruzar un puente. Las cuatro empiezan del mismo lado del puente. Sólo tienen 17 (diecisiete) minutos para llegar al otro lado. Es de noche y sólo tienen una linterna. No pueden cruzar más de dos de ellas al mismo tiempo, y cada vez que hay una (o dos) que cruzan el puente, necesitan llevar la linterna. Siempre.

La linterna tiene que ser transportada por cada grupo que cruza en cualquier dirección. No se puede “arrojar” de una costa hasta la otra. Eso sí: como las mujeres caminan a velocidades diferentes, cuando
dos de ellas viajan juntas por el puente, lo hacen a la velocidad de la que va más lento.
Los datos que faltan son los siguientes:
Mujer 1: tarda 1 (un) minuto en cruzar
Mujer 2: tarda 2 (dos) minutos en cruzar
Mujer 3: tarda 5 (cinco) minutos en cruzar
Mujer 4: tarda 10 (diez) minutos en cruzar.

Por ejemplo, si las mujeres 1 y 3 cruzaran de un lado al otro, tardarían 5 minutos en hacer el recorrido. Luego, si la mujer 3 retorna con la linterna, en total habrán usado 10 minutos en cubrir el trayecto.
Con estos elementos, ¿qué estrategia tienen que usar las mujeres para poder pasar todas –en 17 minutos– de un lado del río al otro?"


Com que el material que he anat trobant a la xarxa dóna per a un altre article, ho deixarem, de moment, aquí (si no sou massa destres, haureu d'esperar una pròxima entrada per saber la solució). Com sempre, tots els comentaris són benvinguts, però en aquest cas —per permetre que tothom pugui fruir amb la recerca de la resposta— em perdonareu que no en publiqui cap que doni explícitament la solució.