dijous, 30 de juliol de 2015

Recolzeu bé l'escala!


Si cada vegada és menys freqüent que t'assabentis dels acudits per la via boca-orella –deu ser pel predomini dels mitjans digitals o pel superàvit de monologuistes i graciosos professionals–, que et proposin oralment un problema o una qüestió matemàtica, encara és un fenomen més rar. Com que em dedico a la docència de les matemàtiques, i aquest és un vici difícil d'amagar, la probabilitat que em reptin amb algun problema o endevinalla d'aquesta matèria augmenta una mica; però, sovint, ja conec l'enunciat i la resposta. Aleshores, puc fer veure que me'l penso i l'encerto ràpidament, cosa que em permet mantenir la meva minsa reputació de saberut de ment àgil.

Quan la qüestió proposada –gràcies, Tere i Josep!– em ve de nou i, a més, resulta que és substanciosa, bé es mereix una entrada en el blog.  


Escales problemàtiques

Us podria presentar directament l'enunciat, però com que ens diuen que és imprescindible posar-ho tot en un context; i, si pot ser, en el context d'això que anomenen la vida quotidiana (vegeu-ne un exemple, de vida quotidiana), em faré pregar una mica. Us avanço que el nostre problema va d'una escala de mà. D'altres llengües distingeixen diferents tipus d'escala amb un sol mot (stairs, ladder... );  les pobres llengües romàniques hi tenen més dificultats i, fins i tot, cal que els intel·lectuals redactin precisos textos instructius per poder-les utilitzar: vegeu, per exemple,  les Instrucciones para subir una escalera  de Julio Cortázar (escric aquest text des de dalt de tot de l'escala, còmodament assegut en el replà, esperant que es publiquin les instruccions per tal de poder-ne baixar).

Des que Isaac Newton va inventar la gravetat, les escales, de qualsevol tipus, han esdevingut ginys perillosos i cal prendre curoses mesures de seguretat a l'hora d'utilitzar-les.

Mesures de seguretat laboral

En el món escolar, les escales repenjades en una paret són habituals en els problemes introductoris a la trigonometria i no poden faltar en qualsevol llistat d'exercicis de 2n cicle de l'ESO, tal com les escales no falten en les nostres cases (ja se sap que els mediterranis som baixets i amb abundosos deutes i no arribem a tot arreu).

Apa, calculeu l'angle α i l'alçada x! (Font)

Tot i les aparences formals, el problema que us proposaré no és, ni de lluny, tan trivial com aquest que apareix en la imatge anterior.


Uf, ara cerca-li un títol i classifica'l!

Sense entrar en controvèrsies nominalistes,  ja podem anar dient que el nom no fa la cosa! Per exemple, estic convençut que el problema de l'aniversari de la Cheryl no s'hagués difós tan ràpidament per la xarxa sense un títol identificatiu o amb un nom menys modern i exòtic (Cheryl).

De moment, el nostre repte està en pecat i sense batejar, i l'imperatiu Recolzeu bé l'escala! és un recurs fàcil que ja he utilitzar en d'altres ocasions (Problema: No us enfileu a la taula!).

Per la simplicitat del plantejament i el profund rerefons matemàtic que amaga, el Recolzeu bé l'escala! em recorda el problema de l'ovella en un prat circular (vegeu Ovelles, rigor i matemàtiques i L'ovella esgarriada... i retrobada). Així podríem dir que els dos problemes es poden resoldre per mètodes geomètrics, que entendre'ls no requereix grans coneixements de matemàtiques...


Recolzeu bé l'escala! L'enunciat

I després de donar algunes voltes, com els gossos abans d'estirar-se, anem al gra!



Tenim una escala de tres metres recolzada en una paret. En contacte amb el terra i la paret, tenim un cub d'un metre d'aresta que toca l'escala, tal com mostra la següent figura:

Un problema de recolzaments

Com ja heu pogut llegir, es tracta de calcular el punt de contacte de l'escala amb la paret i el punt de contacte amb el terra. És a dir, la longitud del segment OA i la longitud del segment OB.




Advertiments. ¿I la solució?

La qüestió es pot solucionar de forma aproximada, ja sigui utilitzant mètodes de dibuix tècnic o fent provatures amb programes com GeoGebra (o comprant una escala de tres metres i construint un cub d'un metre cúbic). Si voleu anar una mica més enllà, com bons matemàtics, cal trobar la solució exacta: això vol dir de manera analítica i amb radicals.

I com que aquesta solució (jo ja la tinc, però no sé si és única o la més elegant) bé val una nova entrada , no la donaré ara. Si us animeu a fer-me arribar els vostres dubtes, comentaris o solucions, seran benvinguts. Ho podeu fer via comentari en el blog o, com que és difícil d'implementar notació matemàtica en Blogger, també em podeu enviar qualsevol tipus de documents (de text, escanejats...) en el correu iaramatematiques@gmail.com. Si utilitzeu la mateixa notació per als punts clau que apareixen en el gràfic anterior, serà més fàcil compartir idees. Gràcies i poseu-vos a la fresca si el voleu solucionar!

dilluns, 20 de juliol de 2015

Metaproblemes: Com que (no) ho saps, ho sé... (II). L'aniversari de la Cheryl


Aquesta entrada és la continuació de Metaproblemes: Com que (no) ho saps, ho sé... (I). Si no la vau llegir, us hi adreço per tal que pugueu consultar què és un metaproblema i en veieu un exemple (el problema L'edat de les tres filles).


Quan és l'aniversari de la Cheryl? La qüestió, el fenomen viral, la notícia...

Si esteu al dia de les notícies, aparegudes en la premsa o que es difonen pels mitjans digitals, que estan relacionades amb les matemàtiques, segur que coneixeu el problema que comentarem. El vaig descobrir a través de la premsa escrita quan ja era un fenomen viral que despertava controvèrsies en les anomenades xarxes socials. Si no el coneixeu i us hi voleu enfrontar, us recomano que en una primera lectura no cliqueu en els enllaços i aneu directament a l'enunciat (en anglès o en català) que donem més avall.

El problema que ens ocupa va ser proposat, com a qüestió número 24, en les proves SASMO (Singapore and Asian Schools Math Olympiad) del vuit d'abril d'enguany, en el nivell corresponent als estudiants de secundària de 14 a 16 anys (correspondria als nostres alumnes de 3r i 4t d'ESO). A hores d'ara, el web oficial de l'organització no és operatiu, però podeu accedir a la pàgina del Facebook de l'organització (aquí) o, com que és una prova que es desenvolupa en diferents països, podeu consultar alguna web local (per exemple, aquí teniu la de Malàisia).

Sembla que l'extensió viral del repte va començar per la publicació de la qüestió en el Facebook d'un conegut periodista de Singapur (aquí)

Per la xarxa i els mitjans han circulat majoritàriament fotografies maldestres de la pàgina de la prova que contenia la pregunta. Si en voleu una versió més llegívola de l'enunciat original (text i format) en la seva versió anglesa, només heu de llegir el text que conté la següent imatge (amplieu-la si cal):


La "viral" qüestió 24 de la SASMO 2015

L'enunciat no té cap títol, però el problema circula amb l'unànime nom de Cheryl's Birthday Problem o  en la seva traducció a d'altres llengües (el problema de l'aniversari de la Cheryl). Deixarem, però, les matemàtiques (o, més aviat, la lògica) per a més tard i, abans, m'agradaria comentar el tractament periodístic que li ha donat part de la nostra estimada premsa autòctona. La Vanguardia, com sempre, ens permet una crítica molt fàcil i la publicació digital de la notícia del 14 d'abril (¿Sabes la respuesta a esta prueba de matemáticas? Los alumnos de Singapur de entre 14 y 15 años sí) conté totes les errades d'interpretació que hem pogut llegir en la resta de publicacions. En transcric els dos primers paràgrafs:

Singapur siempre sale entre los primeros puestos del informe PISA. Un país minúsculo en el que los esfuerzos en la educación que dan a sus jóvenes parecen dar resultado. Los ranking internacionales insisten una y otra vez en el mismo resultado. Pero, ¿cuáles son las pruebas que afrontan para que podamos decir que, son realmente mejores, por ejemplo, en matemáticas?

Hace pocos días, una de las pruebas que pasan los alumnos singapurenses de entre 14 y 15 años se colgó en Internet. Y la prueba no ha tardado en hacerse viral. ¿Es tan sencilla, difícil o imposible como parece en un primer vistazo?

Però, ai las!, el diari Ara no ho fa gaire millor, el mateix dia amb, quasi el mateix títol (Saps resoldre aquest problema de lògica matemàtica? Els alumnes de 14 anys a Singapur, sí) –Déu meu, la telepatia és possible!– comencen amb:

Una vegada més, el 2014 Singapur va encapçalar l'últim rànquing de l'informe PISA, amb 562 punts en l'apartat de resolució de problemes. En aquest mateix àmbit, Catalunya quedava amb 493 punts, un per sota de la mitjana de l'OCDE (494), i 9 punts per sobre de la mitjana espanyola (484)

L'Ara, si més no, situa, més endavant, la pregunta en el seu context d'olimpíada matemàtica; La Vanguardia ho ven com una prova més general. Tots dos menteixen en el fet que els alumnes de Singapur, tots?, saben solucionar la pregunta. No he vist dades de quants alumnes la van arribar a resoldre! L'únic que sabem es que els hi van proposar la qüestió (com si jo proposés als meus alumnes que demostressin la darrera conjectura de Fermat). Per cert, en les nostres proves Cangur hi he trobat reptes igual de complicats, però sense tant rebombori mediàtic (vegeu, per exemple, Un problema de la Prova Cangur 2014: sumem!).

No penso remenar gaire les referències constants a l'informe Pisa que en els periòdics locals, sense solta ni volta, tornen a sortir arran d'aquesta notícia. Algun dia n'haurem de parlar d'aquest Programa que està sota el paraigua, ben pedagògic, de l'OCDE i de la mala interpretació que se'n fa. Només vull apuntar que, per molt que cantem el magnífic nivell en matemàtiques (si les Pisa realment el detecten) de Singapur, Corea del Sud o el Japó; jo no vull, per als nostres nois i noies, un sistema educatiu i unes pràctiques pedagògiques semblants a les d'aquests països.


Quan és l'aniversari de la Cheryl? El problema

Deixem, ara, el context i anem al problema. En l'article que he citat de l'Ara en feien la traducció al català:



L'Albert i el Bernard s'han fet amics de la Cheryl i volen saber quan és el seu aniversari. La Cheryl els dóna una llista de 10 possibles dates. El 15 de maig, el 16 de maig, el 19 de maig, el 17 de juny, el 18 de juny, el 14 de juliol, el 16 de juliol, el 14 d'agost, el 15 d'agost i el 17 d'agost. La Cheryl diu a l'Albert i el Bernard, separadament, el mes i el dia del seu aniversari, respectivament.

Albert: No sé quan és l'aniversari de la Cheryl, però sé que el Bernard tampoc ho sap.
.
Bernard: Primer no sabia quan era l'aniversari de la Cheryl, però ara sí.

Albert: Aleshores, jo també sé quan és l'aniversari de la Cheryl.

Així doncs, quan és l'aniversari de la Cheryl?


Com que he pogut comprovar, a través dels comentaris a la xarxa, que hi ha persones que no interpreten correctament l'enunciat i s'emboliquen; potser us ajudarà, substituir la primera frase de l'Albert (la que està subratllada) per No puc assegurar quan és l'Aniversari de la Cheryl, però tinc la seguretat que el Bernard tampoc ho sap. Ja sé que les dues frases són lògicament equivalents, però part de la dificultat de la resolució rau en la interpretació correcta d'aquesta afirmació de l'Albert.


Quan és l'aniversari de la Cheryl? La solució

Donarem la solució en dos passos "ocults" (heu de fer clic damunt +/- Mostra/Oculta per tal d'obrir cadascun dels passos) per tal que tots aquells que encara no us heu enfrontat amb el repte d'aquest enunciat ho pugueu fer sense interferències.



Solució a l'Aniversari de la Cheryl (1r pas) (+/- Mostra/Oculta)

El fet d'ordenar les dates possibles en una taula, ens facilitarà la feina:


Recordem que l'Albert només sap el mes de l'aniversari de la seva amiga i analitzem la seva primera frase:
 No sé quan és l'aniversari de la Cheryl, però sé que el Bernard tampoc ho sap.
Si l'Albert sabés que l'aniversari és el maig o el juny no podria fer aquesta afirmació perquè cap la possibilitat que l'aniversari sigui un 18 o un 19. Com que aquests nombres només apareixen una vegada a la taula, si la Cheryl li ha dit a en Bernard qualsevol dels dos, aquest ja sap el dia i el mes de l'aniversari Per tant, ja podem descartar totes les dates del maig i el juny.

En el debat que s'ha generat a la xarxa, moltes persones (en castellà, anglès, francès...) manifesten la seva dificultat a l'hora d'entendre que la primera frase de l'Albert descarti totes les dates dels dos mesos i no només el 18 i el 19. Si encara no ho heu copsat del tot, suposeu que l'Albert sap que l'aniversari és el maig o el juny. Com que no sap el dia però si coneix el llistat de dates possibles, no podria assegurar que en Bernard no sap la resposta. La clau de tot plegat està en pot "assegurar amb tota certesa" que és impossible que en Bernard la sàpiga...

Per als més tossuts que encara no ho veuen, dos consells: "Pareu-vos" a pensar i consulteu les dues entrades del blog (La lògica i el currículum (I) i La lògica i el currículum (II)). Cal dir, però, que el problema de l'Aniversari de la Cheryl, m'ha fet veure que els problemes amb la lògica no són exclusius dels habitants de les nostres contrades!.



Abans d'obrir el 2n pas, estaria bé que miréssiu de trobar la data tot solets!



Solució a l'Aniversari de la Cheryl (2n pas) (+/- Mostra/Oculta)

Ara només ens queden cinc dates possibles:


Necessitem la segona i la tercera frase per acabar de solucionar el problema::
Bernard: Primer no sabia quan era l'aniversari de la Cheryl, però ara sí.
Albert: Aleshores, jo també sé quan és l'aniversari de la Cheryl.
L'afirmació d'en Bernard descarta la possibilitat que l'aniversari sigui un dia 14 que apareix com a possibilitat tant al juliol com a l'agost.

Si l'aniversari fos a l'agost, l'Albert, que recordem que només coneix el mes, no podria saber si és el 15 o el 17. Però al juliol només ens queda una possibilitat, per tant l'aniversari és el 16 de juliol.

Aquí o aquí podeu consultar la "solució oficial".




Però això no és tot. Em sembla que des del problema de Monty Hall que no hi havia tanta gent entossudida en provar que la solució és una altra!



L'Aniversari de la Cheryl. Hi ha solucions alternatives? (+/- Mostra/Oculta)

Només com a petit exemple, si llegiu els comentaris dels lectors de Gaussianos a l'entrada Explicación del problema del cumpleaños de Cheryl, comprovareu que hi ha persones que intenten demostrar que la solució és el 17 de juny o el 17 d'agost. De fet, el fenomen ha estat tan general que l'organització que va proposar el problema, ha emès una rèplica per tal de rebatre la proposta de la solució alternativa del 17 d'agost (aquí)  i Jonathan Lim  se n'ha fet ressò (People are insisting Cheryl’s birthday is on 17 Aug, SASMO clarifies why it’s not) i hi ha afegit la següent imatge:
 
Sorry folks, her birthday is irrefutably on 16 Jul. That's what she said. (Font)
I és que amb la lògica i el sentit comú tothom s'hi atreveix! Si el problema hagués estat de geometria analítica o d'equacions diferencials, segur que ningú hauria presentat solucions alternatives amb tanta seguretat d'haver fet diana.



Per acabar, no està de més dir que el Cheryl's Birthday ja té la seva entrada a Wikipedia!

Nota: Tal com ja he comentat, el web de SASMO no estava operatiu mentre he anat redactant aquest text. Sembla que torna a estar disponible a http://mathsolympiads.org/.