dissabte, 16 de maig de 2015

Metaproblemes: Com que (no) ho saps, ho sé... (I)


Definició problemàtica

Ja em perdonareu el garbuix del títol – com que (no) ho saps, ho sé–; però és la millor aproximació que se m'ha acudit per tal d'incloure alguns metaproblemes en les entrades d'aquest blog.

Podem trobar una bona definició de metaproblema en el Diccionario Filosófico de Mario Bunge (aquí trobareu una biografia més extensa de l'autor i, si voleu consultar una de les seves obres, feu clic a La ciencia. Su método y su filosofía):

La definició de metaproblema segons Mario Bunge

Ja veieu que la definició abasta un camp molt més ampli que no pas l'estrictament matemàtic. En el més conegut Diccionario de Filosofía de Josep Ferrater i Mora –per acabar-ho d'adobar i complicar-nos la introducció– el metaproblema no té entrada pròpia i comparteix la glòria amb els problemes, enigmes i misteris.

Com que el nom no fa la cosa, el gran divulgador de la lògica que és Raymond Smullyan es permet dedicar parts senceres dels seus llibres als metaproblemes sense intentar-ne una definició (consulteu, per exemple,  Problemas y metaproblemas, la segona part del seu recomanable llibre Satán, Cantor y el infinito).

I si passegeu per boscos virtuals, us podeu trobar articles sobre metaproblemes que s'allunyen força dels que comentarem en aquestes pàgines (a tall d'exemple, li podeu donar una ullada al breu article Meta-problems in Mathematics).


Un exemple prou conegut de metaproblema matemàtic... I la gran toca el piano!

No sé si intentar definir metaproblema és un metametaproblema; però, i això no és propi de la metodologia matemàtica a l'ús, trobo que amb un exemple em podré explicar millor. De fet, només vull parlar d'un tipus bastant concret de metaproblemes que estan a cavall de la lògica i les matemàtiques.

L'exemple que posaré forma part del folklore matemàtic, que diria John Allen Paulos, i que a la pràctica vol dir que, si et compres cinc llibres de divulgació, apareix en tres. Alguns atribueixen l'enunciat del problema a Albert Einstein; però, com que també se li atribueix la dislèxia, la síndrome d'Asperger, un trastorn obsessiu-compulsiu, una certa dificultat per a les matemàtiques i un gran quocient d'intel·ligència... no n'hem de fer massa cas.

N'he llegit múltiples versions: diria que la primera devia ser en un dels calendaris matemàtics de la valenciana  Societat d'Educació Matemàtica Al-Kwharizmi, però no n'estic segur. La majoria de les versions coincideixen des del punt de vista matemàtic; un possible enunciat seria el següent:



Problema: L'edat de les tres filles
“Dos amics estan parlant de les respectives famílies:

–Per cert, quants anys tenen cada una de les teves tres filles? –preguntà un dels dos–.

– El producte de les seves edats és 36, i la seva suma, casualment, coincideix amb el número de casa teva.

Després de reflexionar una estona, el que ha formulat la pregunta diu:

–No puc saber les seves edats.

– Tens raó –diu l’altre–. Havia oblidat dir-te que la meva filla gran toca el piano.

–Ara ja et puc dir les seves edats!

Quines edats tenen les tres filles?”


Si no coneixíeu aquest problema i el voleu intentar solucionar sense pistes, haureu  de posposar la lectura de la resta de l'entrada.

***

Fa poc vaig proposar aquest problema a l'alumnat d'una classe de segon de batxillerat, i la resposta més immediata d'alguns va ser "I què hi té a veure que la gran toqui el piano!" I tenien raó, per solucionar el problema, també ens serviria que ens diguessin que a la gran li agraden les magdalenes. La clau rau en el fet que, amb el el número de la casa, no es pot saber la solució...

I si us rendiu, us dono la resposta tot seguit!




Solució a l'Edat de les tres filles (+/- Mostra/Oculta)

Sabem que el producte de les edats és 36. Per trobar les diferents possibilitats, el millor és descompondre 36 en factors primers, incloent-hi l'1 (36 = 1·2·2·3·3), i anar-los combinant per obtenir les tres edats. D'aquesta manera obtenim vuit possibles respostes:

Totes les possibilitats que donen un producte igual a 36

És evident que, qui ha de resoldre l'enigma, coneix el número de casa seva. El fet que, amb aquesta dada, no sàpiga encara la resposta, descarta totes les possibilitats que donen una única suma diferent i podem saber que viu en el número 13. Resten els dos casos marcats amb un asterisc –(1, 6, 6) i (2, 2, 9)– i ja podem saber que l'amic té bessonetes. Quan se'ns diu que la gran toca el piano, podem desestimar la possibilitat de dues filles grans de la mateixa edat (1, 6, 6) i sabem que les edats són 2, 2 i 9!

D'aquest problema m'encanta el fet següent: si amb el número de casa seva, l'amic interpel·lat en tingués prou per saber la resposta, i no hi hagués la informació addicional de la filla pianista, nosaltres no podríem determinar les tres edats.
 

Si heu llegit la solució, espero que ara s'entengui el "Com que (no) ho saps, ho sé" del títol. En properes entrades comentaré d'altres problemes d'aquesta mateixa tipologia (n'hi ha un que fa poques setmanes ha provocat un cert rebombori a la xarxa!).