dissabte, 16 de maig de 2015

Metaproblemes: Com que (no) ho saps, ho sé... (I)


Definició problemàtica

Ja em perdonareu el garbuix del títol – com que (no) ho saps, ho sé–; però és la millor aproximació que se m'ha acudit per tal d'incloure alguns metaproblemes en les entrades d'aquest blog.

Podem trobar una bona definició de metaproblema en el Diccionario Filosófico de Mario Bunge (aquí trobareu una biografia més extensa de l'autor i, si voleu consultar una de les seves obres, feu clic a La ciencia. Su método y su filosofía):

La definició de metaproblema segons Mario Bunge

Ja veieu que la definició abasta un camp molt més ampli que no pas l'estrictament matemàtic. En el més conegut Diccionario de Filosofía de Josep Ferrater i Mora –per acabar-ho d'adobar i complicar-nos la introducció– el metaproblema no té entrada pròpia i comparteix la glòria amb els problemes, enigmes i misteris.

Com que el nom no fa la cosa, el gran divulgador de la lògica que és Raymond Smullyan es permet dedicar parts senceres dels seus llibres als metaproblemes sense intentar-ne una definició (consulteu, per exemple,  Problemas y metaproblemas, la segona part del seu recomanable llibre Satán, Cantor y el infinito).

I si passegeu per boscos virtuals, us podeu trobar articles sobre metaproblemes que s'allunyen força dels que comentarem en aquestes pàgines (a tall d'exemple, li podeu donar una ullada al breu article Meta-problems in Mathematics).


Un exemple prou conegut de metaproblema matemàtic... I la gran toca el piano!

No sé si intentar definir metaproblema és un metametaproblema; però, i això no és propi de la metodologia matemàtica a l'ús, trobo que amb un exemple em podré explicar millor. De fet, només vull parlar d'un tipus bastant concret de metaproblemes que estan a cavall de la lògica i les matemàtiques.

L'exemple que posaré forma part del folklore matemàtic, que diria John Allen Paulos, i que a la pràctica vol dir que, si et compres cinc llibres de divulgació, apareix en tres. Alguns atribueixen l'enunciat del problema a Albert Einstein; però, com que també se li atribueix la dislèxia, la síndrome d'Asperger, un trastorn obsessiu-compulsiu, una certa dificultat per a les matemàtiques i un gran quocient d'intel·ligència... no n'hem de fer massa cas.

N'he llegit múltiples versions: diria que la primera devia ser en un dels calendaris matemàtics de la valenciana  Societat d'Educació Matemàtica Al-Kwharizmi, però no n'estic segur. La majoria de les versions coincideixen des del punt de vista matemàtic; un possible enunciat seria el següent:



Problema: L'edat de les tres filles
“Dos amics estan parlant de les respectives famílies:

–Per cert, quants anys tenen cada una de les teves tres filles? –preguntà un dels dos–.

– El producte de les seves edats és 36, i la seva suma, casualment, coincideix amb el número de casa teva.

Després de reflexionar una estona, el que ha formulat la pregunta diu:

–No puc saber les seves edats.

– Tens raó –diu l’altre–. Havia oblidat dir-te que la meva filla gran toca el piano.

–Ara ja et puc dir les seves edats!

Quines edats tenen les tres filles?”


Si no coneixíeu aquest problema i el voleu intentar solucionar sense pistes, haureu  de posposar la lectura de la resta de l'entrada.

***

Fa poc vaig proposar aquest problema a l'alumnat d'una classe de segon de batxillerat, i la resposta més immediata d'alguns va ser "I què hi té a veure que la gran toqui el piano!" I tenien raó, per solucionar el problema, també ens serviria que ens diguessin que a la gran li agraden les magdalenes. La clau rau en el fet que, amb el el número de la casa, no es pot saber la solució...

I si us rendiu, us dono la resposta tot seguit!




Solució a l'Edat de les tres filles (+/- Mostra/Oculta)

Sabem que el producte de les edats és 36. Per trobar les diferents possibilitats, el millor és descompondre 36 en factors primers, incloent-hi l'1 (36 = 1·2·2·3·3), i anar-los combinant per obtenir les tres edats. D'aquesta manera obtenim vuit possibles respostes:

Totes les possibilitats que donen un producte igual a 36

És evident que, qui ha de resoldre l'enigma, coneix el número de casa seva. El fet que, amb aquesta dada, no sàpiga encara la resposta, descarta totes les possibilitats que donen una única suma diferent i podem saber que viu en el número 13. Resten els dos casos marcats amb un asterisc –(1, 6, 6) i (2, 2, 9)– i ja podem saber que l'amic té bessonetes. Quan se'ns diu que la gran toca el piano, podem desestimar la possibilitat de dues filles grans de la mateixa edat (1, 6, 6) i sabem que les edats són 2, 2 i 9!

D'aquest problema m'encanta el fet següent: si amb el número de casa seva, l'amic interpel·lat en tingués prou per saber la resposta, i no hi hagués la informació addicional de la filla pianista, nosaltres no podríem determinar les tres edats.
 

Si heu llegit la solució, espero que ara s'entengui el "Com que (no) ho saps, ho sé" del títol. En properes entrades comentaré d'altres problemes d'aquesta mateixa tipologia (n'hi ha un que fa poques setmanes ha provocat un cert rebombori a la xarxa!).

 

4 comentaris:

  1. Ostres! Jo que et volia deixar un comentari amb el problema de l'aniversari...
    D'altra banda, sembla que dels metaproblemes no ens en lliurem. Faig el TR sobre laberints i matemàtiques i m'he acabat trobant amb un munt de metaproblemes i tipus de problemes i complexitat de problemes i un munt de problemes per decidir si els problemes es podien resoldre o no... Interessant però complicat.

    ResponElimina
    Respostes
    1. El "problema de l'aniversari" havia de ser la continuació d'aquesta entrada! Segurament, abans, dedicaré un article-dedicatòria a John Nash, mort en un accident de cotxe fa pocs dies. Uff! ens deu passar a la majoria, que tenim més idees i projectes que temps per a desenvolupar-los? Ara per ara, amb la finalització del curs, haig d'atendre d'altres prioritats de la feina, i quan parli de Nash i d'aniversaris ja no seran notícies "d'actualitat".

      Enhorabona pel tema que has escollit per al treball de recerca. Els laberints són adequats per introduir molts conceptes matemàtics: grafs, matrius... I per descomptat, saber si un laberint és resoluble mitjançant un determinat algorisme és un metaproblema. Vés per on! Una altra qüestió pendent per a tractar en el blog...

      Elimina
    2. Sí, per això ho deia... Ja és estrany la popularitat que va tenir de sobte, suposo que en part perquè és fàcil d'entendre i no s'ha de "calcular " res. I espero que puguis escriure aviat l'entrada de Nash, encara que no sigui de rabiosa actualitat :)

      Respecte el TR, de moment només estic treballant grafs, no hem fet matrius encara ni sé com aplicar-les... A recercar, doncs!

      Elimina
    3. L'àlgebra matricial l'estudiareu a segon i tal com està en el temari de batxillerat costa relacionar-la amb les seves aplicacions.

      He estat cercant per internet algun article planer sobre matrius i laberints i, en una primera cerca, no n'he trobat cap que sigui entenedor (i que no estigui condicionat per la visió dels programadors informàtics). Recordo d'haver llegit alguna cosa de divulgació "comprensible" en algun llibre, però diria que no el tinc a mà.

      Per donar-te una pista: un laberint es pot caracteritzar per un graf (això ja ho saps de sobres) i un graf es pot caracteritzar per una matriu d'adjacència (pots trobar una definició correcta d'aquest tipus de matrius a Viquipèdia). Si el pas a la matriu, a part de la representació del laberint, ens permet sortir-ne, seria la segona part...

      A veure si a partir de la setmana que ve em puc dedicar una mica més al blog (a Nash, al problema de l'aniversari i a alguna cosa més).

      Salutacions i espero que hagis tingut un bon final de curs!

      Elimina