diumenge, 4 de maig de 2014

Un problema de la Prova Cangur 2014: sumem!


Quan vaig redactar una de les darreres entrades (Miscel·lània: de la Prova CiMs al Cangur, passant per Pi), ja tenia al cap convidar-vos a solucionar algun dels problemes de l'edició del Cangur d'enguany. Si no ho he fet fins ara, ha estat perquè en el web de l'organització de la fase catalana, www.cangur.org, on ja fa dies que es poden consultar les solucions i les puntuacions dels concursants, encara es pot llegir: Els enunciats del Cangur 2014 no es poden publicar a la web fins el dia 25 d'abril. Suposo que aquest secretisme respon al fet, però no ho sé del cert , que els enunciats dels problemes s'utilitzen en les edicions d'altres països. Tot plegat és una mica absurd ja que, des del dia 20 de març en el qual es va celebrar la Prova en més d'un territori, els concursants han pogut fer públics els enunciats per la via que els hi hagi semblat més adient. Suposo que no cometo cap indiscreció si aquí us presento un problema del darrer Cangur. Estem a 4 de maig i els enunciats encara no s'han publicat en el web!

Ah, perdoneu! els que no enteneu de quina prova estic parlant (per cert, corre la llegenda urbana —jo me l'havia cregut— que Kangaroo vol dir "no t'entenc" en alguna llengua australiana i n'acabo de trobar més d'un desmentit, aquí per exemple), podeu llegir, si us abelleix, un dels primers escrits que va aparèixer en aquest blog: Més de 18.000 alumnes catalans de secundària participen en la Prova Cangur 2010. A propòsit dels 18.000, és curiós que, en aquesta era de la informació, la voluntariosa i eficient comissió organitzadora no hagi comunicat el nombre exacte de participants.


El problema triat

A casa nostra, el Cangur s'estructura en quatre nivells i en cadascun dels nivells hi ha 30 problemes. Disposo de 120 enunciats, la majoria molt ben pensats, per triar a quin li dedico l'entrada. Les preguntes més senzilles, valorades amb tres punts cadascuna, no acostumen a donar prou joc si les presentem per separat. Podríeu pensar que les qüestions més interessants estan en les preguntes de cinc punts del quadernet del 4t nivell (2n de Batxillerat)... A mi, en canvi em va semblar magnífic el darrer problema del 1r nivell (3r d'ESO).



Pregunta 30. Nivell 1 (Cangur 2014)

Les lletres de la paraula CANGUR tenen assignat un valor numèric cada una. Sabem que

\(\dfrac { 19 }{ C+1 } +\dfrac { 38 }{ A+2 } +\dfrac { 57 }{ N+3 } +\dfrac { 76 }{ G+4 } +\dfrac { 95 }{ U+5 } +\dfrac { 114 }{ R+6 } =2014\)

Digueu quin és el valor de la suma

\(\dfrac { C }{ C+1 } +\dfrac { A }{ A+2 } +\dfrac { N }{ N+3 } +\dfrac { G }{ G+4 } +\dfrac { U }{ U+5 } +\dfrac { R }{ R+6 }\) 



Aquesta pregunta té dificultat suficient per posar a prova, també, els alumnes de nivells superiors del Cangur. De fet, la vaig proposar a alguns alumnes de 2n de Batxillerat i vaig constatar, amb una relativa sorpresa, que alguns encertaven la resposta correcta pel mètode de descartar les altres, però sense trobar les operacions que hi portaven. Per aquest motiu no he deixat a la vista les cinc respostes possibles (la Prova té un format tipus test). És més interessant solucionar la qüestió sense conèixer les respostes que s'oferien; però, si teniu una vena més empírica o intuïtiva les podeu consultar tot seguit:

Respostes possibles (+/- Mostra/Oculta)

Des del curs passat, l'ordre amb el qual es presenten les possibles respostes varia d'un quadern a un altre per dificultar que els participants es passin els resultats. Cal dir que, almenys pel que jo he anat veient aquests anys, la conducta i la responsabilitat dels alumnes és exemplar i defugen "fer trampes". Us dono les respostes en l'ordre que figuren en el quadern que tinc al davant:

A) -100
B) -2013
C) 106
D) 1908
E) 100
  

Com a darrera pista, abans de desvetllar la solució, no caldria dir que allò que ens demanen és el valor de la suma i no pas que trobem els valors de cadascuna de les lletres!

I si no us en sortiu, feu clic per tal de mostrar la solució...



Solució (+/- Mostra/Oculta)

Hi ha diverses maneres de determinar el valor de la suma. Comento la que em sembla més elegant, però no és el primer mètode que se'm va acudir!
Els numeradors de la primera expressió són tots múltiples de 19. Si traiem 19 com a factor comú queda

\(19·\left(\dfrac { 1 }{ C+1 } +\dfrac { 2 }{ A+2 } +\dfrac { 2 }{ N+3 } +\dfrac { 4 }{ G+4 } +\dfrac { 5 }{ U+5 } +\dfrac { 6 }{ R+6 }\right)=2014\)

Dividim els dos membres de la igualtat per 19 (a la igualtat resultant l'anomenarem (1)):

\(\dfrac { 1 }{ C+1 } +\dfrac { 2 }{ A+2 } +\dfrac { 3 }{ N+3 } +\dfrac { 4 }{ G+4 } +\dfrac { 5 }{ U+5 } +\dfrac { 6 }{ R+6 } =106\)    (1)

Suposem que el valor de la suma de la segona expressió val S (indicarem aquesta igualtat com a (2)):

 \(\dfrac { C }{ C+1 } +\dfrac { A }{ A+2 } +\dfrac { N }{ N+3 } +\dfrac { G }{ G+4 } +\dfrac { U }{ U+5 } +\dfrac { R }{ R+6 } =S\)    (2)

Si efectuem la suma (1) + (2) membre a membre, obtenim

\(\dfrac { C+1 }{ C+1 } +\dfrac { A +2}{ A+2 } +\dfrac { N+3 }{ N+3 } +\dfrac { G+4 }{ G+4 } +\dfrac { U+5 }{ U+5 } +\dfrac { R+6 }{ R+6 }=106+S\)

Per tant:

\(6=106+S\)

i ja tenim que el valor de la suma és

\(S=6-106=-100\)

Crec que pocs alumnes de 3r d'ESO estan en disposició d'utilitzar aquest mètode ja que és més propi de demostracions formals que es fan es cursos més avançats, però col·locar aquesta pregunta com la darrera de les de més puntuació és un bon colofó. 
 



Espero que aquest problema us hagi agradat i que no us hagi semblat ni molt fàcil ni molt difícil...

Una vinyeta de Forges a propòsit d'un estudiant un pèl desorientat