dissabte, 31 de desembre de 2016

A complicar-nos les festes! 2017, el darrer primer del primer quart


Tancarem l'any  només amb quatre entrades! Qüestions de salut m'han mantingut allunyat dels teclats; però, després de la intercessió de Santa Llúcia i/o dels moderns seguidors d'Hipòcrates, sembla que haureu de patir el tradicional article de cap d'any.


Festes i festetes

Em fan força mandra el reguitzell de festes i diades d'aquest desembre gens congelat i, en d'altres ocasions, m'he confessat (una micona) Ebenezer Scrooge (podeu  llegir les Felicitacions matemàtiques. Bons anys esfènics! del 2013). Sap greu, però, que es perdin tradicions nostrades i punyeteres com el dia del Innocents. Per cert, José A. Prado-Bassas, més conegut a la xarxa com Tito Eliatron, podria haver provocat el caos mundial –si els blogs de matemàtiques els llegissin els polítics (no els entendrien) o els economistes (es pensarien que els haurien entès)– amb l'article Números primos y decimales de π. L'escrit d'Eliatron, al qual va afegir més tard que es tractava d'una innocentada, no devia enredar ningú amb una mínima cultura matemàtica, però val la pena llegir-lo i la bromada es basa en un fet cert: la seguretat informàtica (i per tant de les comunicacions, operacions bancàries, etc.) recau, en bona part, en la dificultat (actual!) de factoritzar nombres grans.

Digueu-me aixafaguitarres, si us sembla bé, però em trobo més a gust posant a prova la credulitat de la gent com Eliatron, que no pas buscant les pessigolles al nombre 2017 per trobar un motiu amb el qual desitjar un molt bon any (com si no sabéssim que n'hi ha prou amb 365 dies perquè passi alguna desgràcia).

Per cert, espero que no acabeu l'any sense trobar-vos amb l'Home dels Nassos!


Remenant el nombre 2017

Un recurs fàcil per a una felicitació matemàtica d'Any Nou és cercar alguna propietat de la xifra que indica el nou any (en Annus Domini, per descomptat) i aprofitar-la, amb més o menys gràcia.

Si comencem per aquí, 2017 és el darrer any primer del primer quart de segle (2003, 2011 han estat els altres dos). Haurem d'esperar deu anys, fins al 2027, per al proper primer. Però, ja em perdonareu, aquesta referència és un recurs fàcil pròpia de periodistes (com les alineacions de planetes, les pluges d'estels, els eclipsis i els nombrosos partits de futbol del segle).

En d'altres ocasions, he anat a parar a la pàgina  de Tania Khovanova cercant propietats d'algun nombre concret, però en aquesta ocasió no hi veig res rellevant:

Les propietats de 2017 (Font: http://www.numbergossip.com/2017)

He pensat també en matemàtics més propers per manllevar els seus articles... I allò que passa, he trobat una bona entrada sobre las matemáticas del 2016.

Això sí, sempre hi ha algú (que no nosaltres) que es mereix una matrícula d'honor: David Orden ha trobat una relació interessant entre els poliòminos de vuit peces i el 2017 (vegeu ¡Feliz 2017, número de poliominós convexos por columnas!).


Ignasi del Blanco no falla mai

Deixant de cercar en va, he recordat que Del Blanco ens felicita les festes, des de fa uns quants anys, amb un repte numèric. El d'enguany el podeu llegir, entre d'altres llocs, al CREAMAT (Bones festes i bon 2017), a l'ABEAMFamílies...

El problema-felicitació d'Ignasi del Blanco d'enguany

Si hi voleu jugar us aconsello que aneu al CREAMAT a cercar l'endevinalla perquè, almenys hores d'ara, hi ha un aplicatiu que fa l'assaig-error més còmode de negociar.


Reflexions sobre aquest problema numèric
 
Amb aquests tipus d'exercicis sempre em quedo amb ganes d'esbrinar si hi ha algun mètode efectiu per resoldre'l, més enllà de l'anar provant! Quines "matemàtiques" hi ha al darrera? Evidentment, hi ha productes de nombres de dues xifres que excedeixen en molt la quantitat demanada (53 x 42 = 2226), d'altres es queden molt curts  (54 x 32 = 1728) i alguns s'hi acosten però no ens porten enlloc (65 x 31 =2015); però, m'agradaria saber si algú hi troba un mètode eficaç (ep, sense ordinador!).

De totes maneres, no és difícil arribar a la solució encara que sigui amb un mètode no massa satisfactori:


Bon any 2017 (Solució) (+/- Mostra/Oculta)


I per acabar...

De debò que no calen passis màgics i cerimònies per invocar la sort... proveu de somriure!


...

dijous, 11 d’agost de 2016

Recolzeu bé l'escala! Solució (2)


Aquesta és la tocardana continuació de Recolzeu bé l'escala! Solució (1) que començava a esbossar la solució del problema plantejat en Recolzeu bé l'escala! M'estalvio de tornar a enunciar-lo; fent clic en els enllaços anteriors, en veureu els detalls i l'inici del plantejament algebraic.

Ho havíem deixat en el sistema:

Una interpretació geomètrica

Abans d'abordar la solució algebraica, és interessant fer una lectura geomètrica de les dues equacions: són dues expressions implícites de dues còniques. Si representem els punts del pla que compleixen la primera igualtat (x2 + y2 = 9), obtenim una circumferència centrada en l'origen de radi 3. Si fem el mateix amb la segona expressió, apareixeran les dues branques d'una hipèrbola. Els nostres estudiants de batxillerat potser veuran més clar que (x – 1)· (y – 1) = 1 correspon a una hipèrbola si escrivim la segona condició en forma explícita: només cal multiplicar, i aïllar la y després de treure-la com a factor comú per arribar a y = x/ (x  – 1). El sistema d'equacions es converteix –no per art de màgia– en el gràfic que podeu veure a continuació i que ha estat elaborat servint-se de GeoGebra:

Les dues còniques associades al problema (captura de GeoGebra)

Tal com podem observar, el sistema té quatre solucions reals (corresponen a les coordenades dels punts vermells de la imatge anterior), però només els dos punts del primer quadrant són solucions de l'enunciat geomètric ja que necessitem que, tant la coordenada x com la y, siguin positives. Però què passa si representem l'escala de 3 metres i el cub en el gràfic?

Les dues maneres de recolzar l'escala (captura de GeoGebra)

Les dues possibles posicions de l'escala estan representades pels segments A'I i B'G. Suposo que no cal entrar en detalls i que és fàcil deduir que les coordenades del punt A, per exemple, són (A', I)...

Els antics grecs donarien el problema per solucionat i els enginyers primmirats, que s'haguessin resistit a fer un simulació del problema amb l'escaleta i el cub, també. Les dues solucions aproximades són les simètriques:

x ≈ 1,67 m; y ≈ 2,49 m
x ≈ 2,49 m; y ≈ 1,67 m


La solució analítica exacta

Però nosaltres, com a bons matemàtics postpitagòrics, volem la solució exacta amb totes les expressions radicals que calguin!

Partirem del sistema inicial, però amb l'incògnita y ja aïllada de la segona equació:

\begin{cases}x^2 + y^2 =9\\y = \dfrac { x }{ x-1 }\end{cases}
Substituïm aquest valor de y a la primera equació, operem (amb molt de compte amb les identitats notables!) i ens trobarem amb l'equació:

\(x^4-2x^3 -7x^2 +18 x -9 = 0\)

Nota i proposta d'exercici: Per a la majoria dels nostres alumnes de secundària passar del sistema a aquesta equació ja és un exercici prou complicat. Volgudament, m'he estat d'indicar-ne els passos detallats per si algú, agosarat, accepta el repte de reconstruir el procés.

Si voleu solucionar aquesta equació de quart grau a mà i de forma exacta, el mètode és un pèl pesat i treballós (podeu escatir el mètode a aplicar en aquesta entrada de Gaussianos, per exemple; o, amb més deteniment, si us descarregueu el document d'Arnold Oostra d'aquí). Una vegada tenim els valors de x, determinar els valors de y corresponents, és força senzill. Jo vaig tirar pel dret i vaig utilitzar el programa d'origen rus  UMS que –tot i la cantarella, en l'idioma que triiïs, que acompanya, el procés de resolució– va arribar correctament a les solucions exactes. Les que ens interessen, x i y positives, són:

\(x =\dfrac{1+\sqrt{10}-\sqrt{5}+ \sqrt{2}}{2}; y =\dfrac{1+\sqrt{10}+\sqrt{5}- \sqrt{2}}{2} \)

i l'altra solució, amb els valors intercanviats:

\(x =\dfrac{1+\sqrt{10}+\sqrt{5}- \sqrt{2}}{2}; y =\dfrac{1+\sqrt{10}-\sqrt{5}+ \sqrt{2}}{2} \)

Una altra nota amb proposta d'exercici: En  Recolzeu bé l'escala! Solució (1) ja vaig indicar un mètode alternatiu que proposa Lenok, comentarista d'aquest blog. Ella arriba, utilitzant WolframAlpha per solucionar el sistema, a unes solucions d'aparença diferent:

\(x =1 + \dfrac{1}{2}(-1+\sqrt{10}+ \sqrt{7-2 \sqrt{10}})\)
\(y =1 + \dfrac{1}{2}(-1+\sqrt{10}- \sqrt{7-2 \sqrt{10}})\)

Podeu demostrar que les solucions són idèntiques a les obtingudes amb el programa anterior (UMS)?
Pista: Negligiu la part racional de les dues solucions, aparentment diferents, i eleveu al quadrat la resta de l'expressió per tal de comprovar-ne la identitat.

I fins a la propera entrada...

Déu n'hi do el que dóna de si un problema amb un enunciat tan simple! A més, ens queda feina pendent: demostrar que és possible solucionar-lo amb equacions biquadrades,  seguir la pista d'aquest enunciat a la xarxa...

De moment, però, ho deixarem aquí. Acabeu de passar un bon estiu!

dissabte, 16 d’abril de 2016

Actualitat matemàtica... en diferit!


Tempus fugit

Si l'Ara que apareix en el nom d'aquest blog fos un simple adverbi de temps –en lloc d'una paraula que forma part d'una exclamació–, caldria eliminar-lo per mentider. Quan comento qualsevol notícia de l'actualitat matemàtica, ja han passat setmanes des que es va produir: vet aquí la paradoxa! Fa uns anys, encara aconseguia una certa promptitud en la redacció d'algunes entrades; però, darrerament, se m'acumulen les novetats i, quan en parlo, ja han deixat de ser-ho. Dec repapiejar, perquè això mateix ja ho he escrit d'altres vegades: si us passeu per Miscel·lània: de la Prova CiMs al Cangur, passant per Pi, ho comprovareu.

Qui no cerca cònsol és perquè no vol... i podria ser pitjor! En els enllaços recomanats, en la columna de la dreta del blog,  hi podeu trobar un  blog força correcte, anomenat Actualidad matemática, amb una darrera entrada del 21 de novembre de 2011. I a casa nostra tenim un diari que s'anomena Avui –que, evidentment i en el millor dels casos, dóna, les notícies d'ahir– i un altre, encara més agosarat, que es diu Ara (que competeix amb un servidor en les cerques de Google que contenen les paraules ara i matemàtiques). Clar que hi ha casos més eloqüents de "deixadesa temporal": La Vanguardia, que porta un nom que només es pot justificar per motius històrics, és capaç d'il·lustrar una notícia de l'Olimpíada matemàtica d'enguany amb un problema d'aquesta competició, però del 2012 (ja ho comentaré amb més detall).

Aquells que esteu amatents a les activitats i notícies que fan referència a les matemàtiques –feina àrdua en aquest país si ho heu de fer a través dels mitjans d'informació generalistes–  podeu trobar que el contingut d'aquest article ja ha caducat; però, per aquells altres que us interessen les matemàtiques, tot i no estar-hi directament implicats,  em sabria greu no deixar constància d'alguns fets rellevants del mes passat i del mes en curs.


Ara va de bo. Llistat de notícies i activitats (en ordre cronològic)



5 de març. CiMs-CELLEX: les inquietuds desateses

El 5 de març van tenir lloc les proves de selecció per a les beques que concedeix la fundació CELLEX a les quals poden optar els alumnes de 4t d'ESO (si desconeixeu de què estem parlant podeu consultar l'entrada del blog Les beques CiMs-CELLEX i una demostració trivial o anar directament a http://www.cims-cellex.cat/). Si no hagués conegut la convocatòria prèviament, me n'hauria adonat per les nombroses consultes que s'han produït en aquest blog a partir de les cerques relacionades amb les paraula CELLEX, i per algun comentari que m`ha arribat via digital a propòsit de les entrevistes que durant el mes d'abril tenen els alumnes preseleccionats. Jo hi he dedicat alguns articles, però alguna cosa falla en la comunicació d'aquesta fundació quan les persones interessades acaben anant a parar a aquest blog. La concreció del temari d'aquestes proves continua sent molt pobre, la transparència en els continguts dels exàmens és nul·la, etc. Crec que la inquietud i l'interès que desperta aquest programa es mereix una mica més d'atenció. Em sembla que es desaprofita una ocasió per promocionar les matemàtiques més enllà dels afortunats, espero, alumnes que accedeixen a cursar aquest Batxillerat Internacional. L'organització sí que ha donat a conèixer els estudis que cursen els alumnes que ja han acabat (feu clic a promocions anteriors).


14 de març. El dia de Pi (enguany, dels enginyers)

El 14 de març de cada any se celebra, de manera extraoficial (la ONU ens té abandonats), el dia de Pi. Si voleu saber el motiu d'aquesta festa tradicional, podeu consultar El dia de Pi (I). Una invitació. Si passem la data del 14 de març de 2016 (14-3-16) a la notació nord-americana 3-14-16 o 3,1416, podem dir que aquest any teníem un dia de Pi especial: 3,1416 és un dels arrodoniments d'aquest nombre irracional més utilitzats. Perdoneu-me la broma de dir que ha estat el dia de Pi dels enginyers, que en tenen prou amb les aproximacions.

No crec que els del Creamat hagin pensat en mi quan ho van publicar, però va bé saber que hi ha dies de Pi alternatius per si no estem al cas i no el celebrem com cal el dia 14:


Alternatives al dia de Pi (Font: Creamat)


15 de març. S'atorga el Premi Abel a Andrew Wiles

Andrew Wiles, un dels grans matemàtics contemporanis (sens dubte!), va aconseguir merescudament el Premi Abel. De Wiles i de la demostració de la conjectura de Fermat ja n'he escrit algunes entrades i ja he comentat com, per poc (quan es va confirmar la validesa de la seva demostració tenia una mica més quaranta anys), no va aconseguir la medalla Fields. El 15 de març es va fer pública la concessió del Premi a Wiles (vegeu-ho al web de The Abel Prize, us recomano que us hi passegeu una mica perquè hi ha informació interessant). Sorprenentment, ha estat l'únic premiat d'enguany: generalment hi ha més d'un guardonat. Quan he vist la foto de Wiles, que ja és grandet, m'ha sorprès una mica, com passa el temps! (De fet, el temps "no passa", però ara no entraré en el tema).

Sir Andrew J. Wiles (Font: The Abel Prize)


31 de març a 3 d'abril. 52a Olimpíada Matemàtica Espanyola

La fase espanyola de l'Olímpiada matemàtica es va celebrar a Barcelona (aquí teniu el web oficial). Aquesta vegada ha estat notícia per a la premsa nacional i, fins i tot, han publicat algun problema:

Un problema de successions (Font: La Vanguardia)

Clar que el títol de la notícia era digne de la premsa més nostrada (¿Serías capaz de resolver este problema matemático?), la majoria dels comentaris dels lectors ratllaven l'estupidesa més absoluta,  força habitual en aquesta publicació,  i el problema era de l'edició del 2012 (això ho vaig descobrir més tard); però, el problema em va semblar tan interessant que em vaig posar immediatament a gargotejar un intent de solució en el paper que tenia més a prop. Ja us n'informaré amb més detall...


7 d'abril. Unes Proves Cangur ben multitudinàries!

El Cangur 2016, que es va desenvolupar el 7 d'abril, ha abastat més cursos que mai, des de 5è de primària fins a segon de batxillerat i, a l'espera de les dades oficials, segur que la participació ha estat multitudinària. Espero fer-ne una anàlisi més detallada, però, mentrestant, us deixo un parell de fotografies que mostren que la diversitat d'escenaris de la prova tenen en comú la concentració dels participants.

Responent a la Prova Cangur en una de les sales de l'Institut d'Estudis Catalans


El Cangur 2016 al Palma Arena (Font: twitter SBM-XEIX)

Espero poder aprofundir en alguna d'aquestes notícies més endavant... i que no sigui amb tanta dilació!

dimarts, 5 de gener de 2016

A complicar-nos les festes! De vegades, veig logaritmes


Aquesta entrada és la continuació "terrorífica" del darrer escrit de l'any passat (A complicar-nos les festes! 2016, un nombre anodí?). Prometo a Ses Majestats els Reis, que a partir d'aquests escrit, em portaré bé, deixaré d'utilitzar l'excusa de les festes i festetes,  i tornaré a les matemàtiques més serioses.

Recapitulem


En el post anterior ja vaig explicar que em va costar Déu i ajut, trobar alguna propietat destacable del nombre 2016. Maldestre com sóc, vaig treure partit de les aportacions d'altres, però encara me'n vaig deixar algunes de rellevants:


Arriba el terror logarítmic


En aquest blog he anat tocant tots els gèneres, però faltava el terror. I la sola menció dels logaritmes suscita la por, i algun esbufec, en bona part dels nostres desvagats estudiants de Batxillerat.

De vegades, veig logaritmes! Fotograma de The Sixth Sense (M. Night Shyamalan, 1999)

Però, els temuts logaritmes també es poden utilitzar per felicitar les festes: l'amic Frederic em va fer saber que una felicitació logarítmica i nadalenca es multiplicava de forma exponencial a través del núvol i facilitava la feina dels felicitadors poc creatius (ufff!). M'he posat a investigar i, a part d'aquella imatge que em va mostrar, n'hi ha, com a mínim, una altra de semblant. Us ho presento en forma de problema:

Problema 1

Cal aconseguir un Merry Christmas (de fet, un merry = x – mas) operant matemàticament l'expressió següent:

Aquí hi diu Merry Christmas?

Problema 2

Una proposta una mica més aparatosa! Aquí, partint de la següent igualtat, cal arribar a Happy New Year (en realitat, un Happy = New – year):

Un Happy New Year una mica friqui!

Comentari i solucions


Per la xarxa aquestes felicitacions no corren en forma de problema, sinò amb tot el desenvolupament ja fet. Com que no fan cap referència a una xifra concreta, tenen l'avantatge de servir per a qualsevol any. Cercant una mica, he trobat que el 2013, com a mínim ja eren nades (al final de l'entrada, a complements, us en dono algunes referències).

Solució 1

En corren moltes versions, n'insereixo una que utilitza la notació loge per indicar els logaritmes neperians, o en base e (és més usual indicar-los, tal com hem fet abans, amb ln):

Una solució-felicitació manuscrita


Solució 2

Aquí cal fer un ús més exhaustiu i acurat de les propietats de les operacions amb logaritmes:



Complements