dimarts, 5 de gener de 2016

A complicar-nos les festes! De vegades, veig logaritmes


Aquesta entrada és la continuació "terrorífica" del darrer escrit de l'any passat (A complicar-nos les festes! 2016, un nombre anodí?). Prometo a Ses Majestats els Reis, que a partir d'aquests escrit, em portaré bé, deixaré d'utilitzar l'excusa de les festes i festetes,  i tornaré a les matemàtiques més serioses.

Recapitulem


En el post anterior ja vaig explicar que em va costar Déu i ajut, trobar alguna propietat destacable del nombre 2016. Maldestre com sóc, vaig treure partit de les aportacions d'altres, però encara me'n vaig deixar algunes de rellevants:


Arriba el terror logarítmic


En aquest blog he anat tocant tots els gèneres, però faltava el terror. I la sola menció dels logaritmes suscita la por, i algun esbufec, en bona part dels nostres desvagats estudiants de Batxillerat.

De vegades, veig logaritmes! Fotograma de The Sixth Sense (M. Night Shyamalan, 1999)

Però, els temuts logaritmes també es poden utilitzar per felicitar les festes: l'amic Frederic em va fer saber que una felicitació logarítmica i nadalenca es multiplicava de forma exponencial a través del núvol i facilitava la feina dels felicitadors poc creatius (ufff!). M'he posat a investigar i, a part d'aquella imatge que em va mostrar, n'hi ha, com a mínim, una altra de semblant. Us ho presento en forma de problema:

Problema 1

Cal aconseguir un Merry Christmas (de fet, un merry = x – mas) operant matemàticament l'expressió següent:

Aquí hi diu Merry Christmas?

Problema 2

Una proposta una mica més aparatosa! Aquí, partint de la següent igualtat, cal arribar a Happy New Year (en realitat, un Happy = New – year):

Un Happy New Year una mica friqui!

Comentari i solucions


Per la xarxa aquestes felicitacions no corren en forma de problema, sinò amb tot el desenvolupament ja fet. Com que no fan cap referència a una xifra concreta, tenen l'avantatge de servir per a qualsevol any. Cercant una mica, he trobat que el 2013, com a mínim ja eren nades (al final de l'entrada, a complements, us en dono algunes referències).

Solució 1

En corren moltes versions, n'insereixo una que utilitza la notació loge per indicar els logaritmes neperians, o en base e (és més usual indicar-los, tal com hem fet abans, amb ln):

Una solució-felicitació manuscrita


Solució 2

Aquí cal fer un ús més exhaustiu i acurat de les propietats de les operacions amb logaritmes:



Complements

6 comentaris:

  1. Un xic tard... Però molt bona entrada! Espero impacient algun post sobre la "massacre cangur", com alguns l'hem anomenada... :D

    ResponElimina
    Respostes
    1. L'entrada va arribar tard, és del cinc de gener, però el teu comentari tampoc ha estat immediat ;-) Tant se val, bon any i gràcies per passar-te per aquí!

      M'enganxes preparant una nova entrada sobre novetats ja caducades: el dia de Pi, les proves de selecció de la CELLEX, la fase espanyola de l'Olimpíada Matemàtica, etc. Serà una entrada telegràfica amb tot el llistat, i més endavant ja m'estendré en alguns d'aquests assumptes. Si vas entrant en el blog, pots comprovar que no tinc massa temps per publicar-hi res. Per cert, encara us dec la continuació del problema de l'escala recolzada: és força específic i concret, requereix ser acurat en les equacions, ho tinc tot en paper... i em fa mandra barallar-me amb la "plasmació digital" de tot això.

      Ja veus, però, que intento respondre als escassos comentaris de forma immediata (el darrer va ser d'una mare preocupada per les entrevistes als seleccionats per a les beques CELLEX).

      Aquest any, malauradament, m'he mantingut a distància del Cangur, però en vull parlar. Em pots aclarir això de la massacre?

      Ah, i perdona la xafarderia, com ha anat el TR sobre laberints?

      Elimina
    2. Hahaha! Les meves visites són força esporàdiques... El Cangur em va fer recordar les entrades assegurades amb motiu d'algun problema interessant (perquè sempre n'hi algun)

      I, en realitat, per molt contents que l'any passat estiguéssim amb l'"exacte" dia Pi 3/14/15, aquest any ens hi hem acostat força més (3,14159...).

      Pel problema de l'escala, és cert que publicar-ho en un blog sembla treballós... Fins i tot amb l'editor d'equacions de Word és una murga fins que no t'hi acostumes.

      Per la massacre, és una broma entre els qui hem fet el cangur a la nostra escola. Ens ha semblat força més difícil que els altres anys, encara que segurament això sigui per la manca de preparació (2n de Batx és un frenesí, buf!). De tota manera, ens ho vam passar molt bé. Ara ja tinc els quatre pins, que és el que importa.

      Gràcies per la resposta ràpida i preguntar pel TR! Vaig acabar fent dues implementacions del laberint, una "cutre" i utilitària, i una amb la matriu d'adjacència. Després, per la matriu, vaig programar dos algorismes més o menys senzills de generació, i un solucionador que utilitzava la cerca en profunditat (DFS) en el graf. Ho vaig amanir amb una interfície d'usuari i estic bastant satisfeta amb el resultat. Potser t'interessaria saber que t'he inclòs en els agraïments del treball ("A en Francesc Montasell, autor del blog “I ara! Matemàtiques?”, per una valuosa pista de seixanta paraules.").

      Elimina
    3. De fet, i en un principi, quan vas començar el comentari amb "un xic tard", em vaig pensar que anava per mi. Ben mirat, les teves visites són tan esporàdiques com els meus escrits.

      Sobre el problema de l'escala: més que les dificultats de notació matemàtica (que es poden solucionar amb editors i capturant imatges, amb l'editor de TeX o LaTeX implementat al blog o amb l'HTML), fa mandra el procés de pensar com s'han d'escriure els passos per tal que el lector mitjà no es perdi. La feina és treballosa, no és tan automàtica com l'escriptura manual (ara que ningú no ens sent: no hi ha res com una pissarra o un full) i requereix molta atenció per tal de no fer errades.

      Sobre el Cangur d'enguany: el nivell 4 del Cangur és el més "tècnic" i, de llarg, requereix més coneixements matemàtics que els altres. Si us mireu les puntuacions d'edicions anteriors, veureu que els primers classificats de 3r d'ESO acostumen a assolir els 150 punts màxims, i els primers classificats de 2n de Batxillerat acostumen a puntuar molt per sota. N'he parlat amb d'altres professors i coincidim en què, en el temps assignat, és molt difícil respondre totes les preguntes. Parlo de memòria i igual m'equivoco, em sembla recordar que algú de l'organització que va parlar amb un alumne de 4t nivell amb la puntuació màxima, comentava que aquest noi reconeixia que en algunes respostes d'"últim moment" va utilitzar la intuïció (vaja, les matemàtiques a l'estil de Ramanujan). De totes maneres, jo no en canviaria la dificultat, són les preguntes que més gaudeixo... i, de vegades, hi haig de destinar molt temps.

      El teu darrer paràgraf sobre el TR és interessant. Estava a punt de posar enllaços en aquest comentari sobre DFS i matrius d'adjacència, per si algú s'ha perdut, però el Sr. Google em renyaria per una resposta tan llarga. Si no ho heu fet ja, podeu valorar amb el teu tutor/a del treball el fet de presentar-lo a algun premi (p. ex. Premi Poincaré). Gràcies, moltes gràcies, per la dedicatòria: és veritat que el paràgraf-pista del comentari tenia unes 60 paraules! Si fas públic el treball, seria un honor poder-lo llegir!

      Per si no et passes per aquí abans: ànims, sort i molt bon final de curs!

      Elimina
    4. Potser no hi ha res com un full, però a mi em venen ganes d'aprendre a LaTeX, sembla que la majoria de documents matemàtics mínimament seriosos el fan servir i queda molt maco! A sobre, resta la preocupació de fer una maquetació original.

      Sembla que el Cangur ha estat en la seva línia... La puntuació màxima és la mateixa que la de l'any passat... Tot i això, és l'any que menys puntuació he tret, però més amunt en el rànquing he quedat (per poc no em convidaran a l'entrega! :'(). Tanmateix crec que l'important, més que la puntuació, que ha sortit d'encertar força preguntes de manera dubtosa, és la satisfacció d'haver-ne fet algunes rigorosament. Recordo que quan vaig començar amb el cangur no m'hi feia gens ni mica, amb l'estil! Si n'encertava era per descartar, o substituir la solució.

      El meu tutor em va dir de presentar el treball en algun concurs, de moment l'he enviat a l'Argó i al Poincaré. Per ara no tinc pensat fer-lo públic, però si el vols llegir, te l'envio per correu.

      I ànims per a tu també amb el final de curs! Sempre és estressant per alumnes i professors. Encara que ara a nosaltres se'ns llança a sobre l'omnipresència assassina de la Selectivitat...

      Elimina
    5. LaTeX és feixuc, però és molt versàtil i pràcticament imprescindible si vols publicar algun article en alguna publicació matemàtica.

      Acabo de consultar les millors puntuacions del Cangur d'enguany i quedar dels vint primers classificats és una molt bona puntuació: felicitats! No m'he mirat encara els enunciats, però he consultat les puntuacions dels diferents nivells i estan en consonància amb les de les edicions anteriors.

      Presentar el teu treball als Poincaré i als Argó és una bona elecció. Una altra possibilitat són els Premis de Recerca Jove (CIRIT). M'ha sorprès favorablement que no tenen les matemàtiques oblidades (pots consultar els treballs premiats els darrers cursos).

      Em faria molta il·lusió llegir el teu treball. Evidentment, si tens a bé enviar-me'l, tens el meu compromís de no fer-lo públic. I menys si esteu en el procés de presentar-lo a concurs.

      Gràcies pels ànims, que els necessitarem tots!, però no pateixis per selectivitat (no hi ha assassinats). Si, com sospito, has fet un bon batxillerat, és un darrer tràmit. En el cas que necessitis nota per accedir als estudis que has triat, el més recomanable és mantenir la serenor durant les proves i evitar els empatxos de continguts d'última hora.

      Elimina