divendres, 29 de març de 2013

Més enllà de la tercera dimensió: l'hipercub (I)


Introducció

En l'entrada immediatament anterior a aquesta (Més enllà de la tercera dimensió: notes inicials) vaig avançar que, en la següent, parlaria de l'hipercub. Només començar a escriure ja se'm presenten problemes terminològics: per a alguns un hipercub és només un cub de quatre dimensions; d'altres, generalitzen el concepte i parlen d'hipercubs n-dimensionals o n-cubs (així l'hipercub de quatre dimensions és el 4-cub). Com que, ara per ara, els articles de les viquipèdies peninsulars fan tentines en aquest tema, us dono l'enllaç a la Wikipedia anglesa: Hypercube.

La confusió no acaba aquí, alguns anomenen tesseractis (teseracto, en castellà; o tesseract, en anglès) al 4-cub, per a d'altres, el tesseractis només és el desenvolupament tridimensional del cub (l'anàleg al desenvolupament pla d'un cub o 3-cub). El desenvolupament pla d'un cub està format per sis quadrats que doblegats en l'espai formen un cub; el desenvolupament del 4-cub consta de vuit cubs que plegats en un espai de quatre dimensions formen un hipercub.


Desenvolupament d'un 3-cub i d'un 4 cub (extret de Matemáticas en el instituto)


Una mica d'història i d'art

El matemàtic i escriptor anglès Charles Howard Hington (1853-1907) sembla ser el responsable d'anomenar tesseractis (tesseract) a l'hipercub. Va crear un mètode per tal que la gent aconseguís visualitzar la quarta dimensió i van córrer rumors que algú va embogir intentant-ho (espero que els meus escrits no provoquin els mateixos efectes). Posats a llegir sobre dimensions, prefereixo l'imprescindible Flatland: A Romance of Many Dimensions  d'Edwin Abbott Abbot (1838-1926). Però no comento res més del llibre d'Abbot que es mereix una entrada sencera.

Més recentment,el  pintor Salvador Dalí (1904-1989), intel·ligent i llest com era (va arribar a declarar per televisió: "Si fuera menos inteligente, pintaría mucho mejor"), fa una clara referència a un hipercub en una de les seves obres. Com que, a més, és un quadre molt adient per a un Divendres Sant, no me n'estic d'inserir-ne la imatge:

Cruxifixion o Corpus Hypercubus (Salvador Dalí, 1954)

Aquest quadre de Dalí, datat el 1954, es troba actualment en el Metropolitan Museum of Art (Nova York). En el sorprenent blog Turisme matemàtic en podreu trobar una referència (Hipercub dalinià a NY). Lògicament, l'artista no pinta un hipercub, sinó una representació bidimensional del desenvolupament tridimensional d'aquest cos! Per cert, la semblança d'aquesta creu amb la creu gaudiniana de quatre braços (coneguda també com a creu tridimensional) no sé si només és fruit de la casualitat.
  
I com a darrera referència artística podríem citar una pel·lícula: Cube 2: Hypercube (Sekula, 2002), però no l'he vista i en desconec la qualitat.


Proper lliurament de la sèrie

El meu propòsit inicial era incloure en aquest escrit una aproximació matemàtica a l'hipercub (euclidiana, cartesiana...); però, com que és tard i vol ploure (i això s'allargaria massa), ho deixo per a una propera entrada.

dilluns, 25 de març de 2013

Més enllà de la tercera dimensió: notes inicials


Introducció

En un comentari a l'article I les altres geometries?, un lector habitual del blog reconeixia la seva perplexitat quan s'havia d'enfrontar amb el concepte de dimensió: "(...) per a mi, la 4a dimensió ve a ser com la 3a Persona ST." Això de comparar una dimensió suplementària amb una de les persones de la Santíssima Trinitat (hi poso un enllaç per a aquells jovencells que poden confondre el dogma catòlic amb una illa del Carib), em va semblar ben trobat i vaig prometre que dedicaria una entrada al concepte de dimensió. Ai, no sabia pas què deia! Han passat els mesos, hi he anat pensant, una cosa porta a l'altra... i tinc idees i material per dedicar-hi, no unes quantes entrades, sinó un blog sencer o una obra enciclopèdica d'un estil semblant a aquella que Edward Gibbon va dedicar a la caiguda de l'Imperi Romà.

En la meva resposta al comentari, em vaig atrevir a insinuar que al meu interlocutor li podia dirigir aquelles mateixes paraules que, en la immortal obra de Shakespeare, Hamlet dirigeix a Horaci: "There are more things in heaven and earth, Horatio, than are dreamt of in your philosophy." I aquí, a més i des del punt de vista de les ciències exactes, que "una cosa" tingui existència terrenal o celestial no és una condició necessària perquè la puguem estudiar i estructurar matemàticament. Une altre assumpte, és que un sigui capaç de visualitzar el concepte. I ara demanaré el testimoni de Stephen Hawking! En el seu llibre Història del temps. del Big Bang als forats negres, traduït magníficament al català pel físic i escriptor David Jou, escriu:

Sovint resulta útil imaginar les quatre coordenades d'un esdeveniment com si especifiquéssim la seva posició en un espai quadridimensional denominat espai-temps. És impossible imaginar un espai quadridimensional anomenat espai-temps, o cap altre espai quadridimensional. Personalment, em resulta difícil fins i tot visualitzar espais tridimensionals!
Història del temps

Curiosament, un altre físic i matemàtic que ha treballat amb S. Hawking, Roger Penrose, ens sorprèn afirmant que ell si que ha pogut visualitzar la quarta dimensió (almenys així ho escriuen aquí, si hi feu clic no us perdeu els comentaris).


La paraula dimensió és polisèmica!

Si hem de moblar una habitació i parlem de les dimensions que ha de tenir l'armari, no hi ha polisèmia que valgui! Tothom entén que donant tres nombres i on el posarem, ja ens podem fer una idea de com quedarà aquest moble en l'habitatge i si disposarem de gaire espai lliure per fer acrobàcies. Ah! però quan utilitzem aquesta paraula em matemàtiques o física, o el context ens dóna una pista o hem d'especificar molt bé de què estem parlant (vegeu, per exemple, l'entrada dimensió a Viquipèdia). Estem acostumats a parlar de les tres dimensions de l'espai físic, però les dimensions d'aquest "espai" són discutilbles i discutides. Hi ha algunes teories físiques actuals que parlen d'un univers hologràfic de dues dimensions (i nosaltres ens il·lusionem amb la tercera!), hi ha l'espai més clàssic de tres dimensions que a Kant (a priori) l'encantava, tenim les quatre dimensions de l'espai-temps relativístic, i ens meravellem de les 10 o les 26 dimensions de la teoria de cordes. Però no cal preocupar-se, en les versions més habituals d'aquesta darrera teoria, les dimensions suplementàries estan "cargolades" i per això no les detectem! Us deixo amb el primer vídeo de la sèrie 10 Dimensions Universe (Explanation) per tal que comenceu a fer bullir l'olla:





Si deixem els conills que els físics teòrics es treuen del barret,  dit això amb tot el respecte, i tornem a les matemàtiques, aquí no cal ni que les dimensions siguin enteres! (vegeu dimensió fractal). A més, per exemple, en anàlisi matemàtica, en càlcul vectorial, o en general  en àlgebra lineal, és habitual anar més enllà de les tres dimensions. De fet,  no cal imaginar-se les dimensions com quelcom físic: quan intento, generalment de forma poc reeixida, que els meus alumnes deixin de relacionar els vectors amb el pla o amb l'espai, els proposo que construeixin un vector amb les seves qualificacions i així obtenen un vector d'uns deu o onze components (un per a cada assignatura).

Sento que algú em diu "Alto! Estàs fent trampes! Nosaltres volíem que ens  parlessis de quatre o més dimensions geomètriques i ens surts amb tirallongues d'onze nombres i dimensions recargolades que no podem veure!" No patiu que en la propera entrada parlaré de la quarta dimensió "geomètrica" i intentarem acostar-nos a la visualització d'un hipercub (el cos equivalent a un cub, però en quatre dimensions!)

diumenge, 17 de març de 2013

Saltem! Del dia de Pi al Cangur 2013


1. El dia de Pi

El passat dijous m'hagués agradat dedicar algun breu escrit al Dia de Pi, però a la feina estàvem acabant el trimestre i els tancaments d'avaluació de secundària no són els millors moments per a la creativitat ni per a la lírica. Per als llecs en els calendaris cerimonials matemàtics, comentaré que el 14 de març —mig en broma— se celebra el Dia de Pi perquè, tal com s'indiquen les dates als Estats Units (mes/dia/any), 3/14 coincideix amb els tres primers dígits de Pi. El Senyor Pi em sabrà perdonar si té a bé considerar els molts escrits que ja li he dedicat (vegeu, per exemple, El dia de Pi (III). Posem-hi música).

D'altres, més destres, li van fer els honors que es mereix. Em permeto recomanar-vos tres enllaços:

L'algorisme de Chudnovsky

A Gaussianos, el meu web de capçalera, ens van parlar de l'algorisme dels germans Chudnovsky per calcular decimals del nombre Pi (El algoritmo de Chudnovsky, o cómo se calculan los decimales de Pi en el siglo XXI). Aquest impressionant algorisme permet calcular catorze decimals exactes d'aquest nombre irracional en cada "iteració" (sóc conscient que aquí utilitzo "iteració" en un sentit no massa rigorós). Ja havia explicat alguns mètodes de càlcul dels decimals de Pi en Com es poden calcular els decimals de Pi? i en El dia de Pi (II). El determinisme de l'atzar, però la potència del mètode dels Chudnovsky deixa enrera la majoria dels mètodes dels quals he parlat (que d'altra banda, són més fàcils de justificar teòricament).

Algunes propostes per al dia de Pi

A microsiervos adopten un to més festiu i, després de proposar algunes boges activitats per al dia de Pi (¡Feliz día de pi!), ens indiquen com podem aproximar Pi amb bales (de les de jugar! d'aquelles que en castellà en diuen "canicas" i a La Garriga, "caliues").

I que no falti la música!

Sense demanar perdó als melòmans, El espejo lúdico ens proposa una cançó a Feliz día de PI.

Per acabar aquest apartat, jo sí que demano perdó, si els he ofès en alguna cosa, als creients en Tau (The Tau Manifesto) que els heretges, corrent majoritari, coneixem com 'dosPi'.  


2. La Prova Cangur 2013

I fent un saltet, de cangur i de set dies, anem del Dia de Pi al dijous 21 de març que celebrarem a casa nostra la Prova Cangur. Com que d'aquesta  festa de les matemàtiques  n'he escrit a bastament en aquest bloc (o blog), us emplaço a que, si la desconeixeu, cliqueu en la categoria Cangur  per informar-vos, si us plau.

Cartell del Cangur 2013

Ah! i deixeu-me dir als milers d'alumnes de 2n cicle d'ESO i de Batxillerat de Catalunya que hi participaran: passeu-vos-ho bé! I si encara voleu fer una mica d'entrenament per a la prova, recordeu que en el web del Cangur hi ha, a part de les preguntes i solucions d'altres edicions, unes variades Propostes diverses per tal de practicar el raonament matemàtic.