divendres, 29 de març de 2013

Més enllà de la tercera dimensió: l'hipercub (I)


Introducció

En l'entrada immediatament anterior a aquesta (Més enllà de la tercera dimensió: notes inicials) vaig avançar que, en la següent, parlaria de l'hipercub. Només començar a escriure ja se'm presenten problemes terminològics: per a alguns un hipercub és només un cub de quatre dimensions; d'altres, generalitzen el concepte i parlen d'hipercubs n-dimensionals o n-cubs (així l'hipercub de quatre dimensions és el 4-cub). Com que, ara per ara, els articles de les viquipèdies peninsulars fan tentines en aquest tema, us dono l'enllaç a la Wikipedia anglesa: Hypercube.

La confusió no acaba aquí, alguns anomenen tesseractis (teseracto, en castellà; o tesseract, en anglès) al 4-cub, per a d'altres, el tesseractis només és el desenvolupament tridimensional del cub (l'anàleg al desenvolupament pla d'un cub o 3-cub). El desenvolupament pla d'un cub està format per sis quadrats que doblegats en l'espai formen un cub; el desenvolupament del 4-cub consta de vuit cubs que plegats en un espai de quatre dimensions formen un hipercub.


Desenvolupament d'un 3-cub i d'un 4 cub (extret de Matemáticas en el instituto)


Una mica d'història i d'art

El matemàtic i escriptor anglès Charles Howard Hington (1853-1907) sembla ser el responsable d'anomenar tesseractis (tesseract) a l'hipercub. Va crear un mètode per tal que la gent aconseguís visualitzar la quarta dimensió i van córrer rumors que algú va embogir intentant-ho (espero que els meus escrits no provoquin els mateixos efectes). Posats a llegir sobre dimensions, prefereixo l'imprescindible Flatland: A Romance of Many Dimensions  d'Edwin Abbott Abbot (1838-1926). Però no comento res més del llibre d'Abbot que es mereix una entrada sencera.

Més recentment,el  pintor Salvador Dalí (1904-1989), intel·ligent i llest com era (va arribar a declarar per televisió: "Si fuera menos inteligente, pintaría mucho mejor"), fa una clara referència a un hipercub en una de les seves obres. Com que, a més, és un quadre molt adient per a un Divendres Sant, no me n'estic d'inserir-ne la imatge:

Cruxifixion o Corpus Hypercubus (Salvador Dalí, 1954)

Aquest quadre de Dalí, datat el 1954, es troba actualment en el Metropolitan Museum of Art (Nova York). En el sorprenent blog Turisme matemàtic en podreu trobar una referència (Hipercub dalinià a NY). Lògicament, l'artista no pinta un hipercub, sinó una representació bidimensional del desenvolupament tridimensional d'aquest cos! Per cert, la semblança d'aquesta creu amb la creu gaudiniana de quatre braços (coneguda també com a creu tridimensional) no sé si només és fruit de la casualitat.
  
I com a darrera referència artística podríem citar una pel·lícula: Cube 2: Hypercube (Sekula, 2002), però no l'he vista i en desconec la qualitat.


Proper lliurament de la sèrie

El meu propòsit inicial era incloure en aquest escrit una aproximació matemàtica a l'hipercub (euclidiana, cartesiana...); però, com que és tard i vol ploure (i això s'allargaria massa), ho deixo per a una propera entrada.

11 comentaris:

  1. Espero que dins la sèrie no oblidaras una aproximació a la hiperesfera i la conjetura de Poincaré.

    ResponElimina
  2. Ja es veia a venir, amics, que LES quatre dimensions acabarien sent les de sempre (com Les Quatre Estacions o els quatre genets): les 4D del cinema més fantàstic de totes les èpoques; les 4D pretesament homogènies d'aquesta mena d'espai ampliat que els seus defensors prescriuen –contra tota evidència intuitiva: com ara 3P– ; les 4D que a mi m'atabalen, vaja...
    I aquí acaben també els meus comentaris, no sense demanar a aquells que hagin tingut la santa paciència –molt pròpia d'aquesta setmana– d'arribar fins aquí que si un dia d'aquests veuen alguns dels seus veïns d'escala plegant llençols –o llits sencers, for that matter– en un espai de quatre dimensions m'ho facin saber, sisplau.

    ResponElimina
    Respostes
    1. He mirat l'enllaç dels llits, ..., realment interessant, una botiga prop de El Cairo però la gent de les fotos semblen més aviat propers a Oslo. Això si que és un plegament de l'espai !!!!

      Elimina
  3. M'apunto a l'enquesta de la bugada: si algú "veu" les tres dimensions del plegament de llençols, demano que se'm faci saber i, a més, ofereixo un premi d'un milió de dòlars a qui doni fe d'aquest prodigi de la percepció.

    En Frederic, a sobre, em mana feina! "Veient" la bondat dels comentaristes habituals, no sé si parlarè d'hiperesferes o com Grigori Perelman me n'aniré a buscar bolets o, donada l'època de l'any, a fregir espàrrecs.

    ResponElimina
  4. Espero poder provar els espàrrecs amb un bon vi del priorat, en tric prou amb una sola direcció del plat o del got a la gola !!!!

    ResponElimina
  5. Encara estàs amb els Priorat! I encara bo que no tries un Ribera del Duero! Prova un Montsant o un Costers del Segre, fes-m'he cas! Per cert, Hawking afirma que no poden existir animals bidimensionals perquè el canal digestiu els partiria per la meitat.

    ResponElimina
    Respostes
    1. Aquí el senyor Hawking s'equivoca el menjar també pot ser en una o dues dimensions.
      A la meva "extensa" bodega hi han tot tipus de vins i he de dir que cada vegada soc menys de negres i més de blancs, tipus Riesling, i bons rosats, deu ser la edat !!!

      Elimina
    2. El tema dels espàrrecs i del vi m'interessa -terrenal com sóc-. Estic d'acord que el Montsant ha millorat molt i econòmicament -per unes butxaques retallades i en crisi com les nostres- està molt bé -i que duri-. Ara bé, un bon Priorat -digues-li "Les Terrasses" digues-li "GinéGiné", digues-li...- noi quin plaer!. Pel que fa als Costers del Segre em són més desconeguts, però podria fer l’aportació d’algun Jumilla (digues-li "Cràpula") que no té res a envejar a cap dels anteriors. Sigui com sigui, fes-me cas Francesc (no dic “fes-m’he” cas com tu per no crear confusió o fins i tot errar-la “ortogramaticalment”): totes les opcions són molt bones per degustar amb uns bons espàrrecs (com diu en Frederic) ja sigui amb truita, ja sigui amb una bona pasta, ja sigui... i... tot “plegat” directament cap a la gola.

      Elimina
    3. Se'm gira feina! I no sé si caldrà encetar un altre blog, perquè tot això, de "matemàtic" ja no en té gaire!

      A l'amic Frederic li haig de dir que allò que ens mengem sempre té, com a mínim, tres dimensions. El raonament de Hawking és impecable: si un animal bidimensional tingués un canal digestiu que el travessés, aquest el partiria en dos. Ah! i si has de beure blanquets del nord, prova els Gewürztraminer alsacians!

      Benvinguda de nou Maria! Només recordo un altre comentari teu en el bloc (en l'apartat vaixella o "plats enigmàtics"). El "fes-m'he" no té perdó (tanmateix Freud podria explicar el lapsus) i, si llegiu els darrers comentaris d'altres entrades amb atenció, comprovareu que també se m'han escapat algunes "falàcies" (per fal·làcies). Vaja que necessitem una filòloga de guàrdia (i algun altre comentarista, tota la secció filològica de l'IEC). Per cert, tinc pendent una entrada sobre si "bloc" o blog (si ens marejaran amb els neologismes!).

      Elimina
    4. Un individu de dues dimensions no pot agafar menjar de tres dimensions !!!!
      La filòloga MMM a mi no em corregueix, ..., no tinc solució !!!

      Elimina
    5. No, que ets incorregible, ja ho sabem! A més fas un ús pervers de la lògica: comento que Hawking ha escrit que no poden existir animals amb canal digestiu de dues dimensions i em surts amb que, si existissin, no podrien alimentar-se de menjar de tres dimensions!?

      Bé, imaginem una fabulosa mandonguilla esfèrica (d'aquestes de l'Ikea que van retirar) que entra en una superfície de dues dimensions habitada per uns afamats cercles. La mandonguilla ha tingut mala sort i va entrant damunt d'un d'aquests cercles que l'anirà tallant en infinits cercles alimentaris, cada vegada de diàmetre més gran fins arribar al pla equatorial (i continuarà després si té més gana fins arribar al puntet que està just en el pol nord de la mandonguilla). No sé si Euclides o Zenó tindrien alguna cosa a dir d'aquest procés de talls infinits que es podria realitzar en un temps finit!

      Ah! em diràs que el cercle devorador no es pot engreixar! Bé, fora del pla, no. Però, sempre pot augmentar el seu radi!

      Elimina