diumenge, 7 d’abril de 2013

CiMs-CELLEX: un problema de quadrats


Si desconeixeu el significat del CiMs-CELLEX que apareix en el títol, podeu acudir a una altra entrada d'aquest blog: Les beques CiMs-CELLEX i una demostració trivial.

Em temo que els continguts de les proves per accedir a aquestes beques no es fan públics, cosa que seria desitjable per als possibles candidats de properes edicions. Alguns es podrien preparar millor els continguts que es demanen en el procés de selecció; d'altres, potser, descartarien la seva participació. De totes maneres, m'han arribat, a través del boca-orella, algun dels exercicis matemàtics proposats. Avui us presentaré, pel seu interès, un d'aquests problemes. Faig, però, dos advertiments previs: desconec el redactat exacte de la qüestió (és el que té el boca-orella) i, per altra banda, no feu clic immediatament en els enllaços que consten en el següent apartat (Enunciat(s) del problema) si voleu reflexionar-hi una mica, perquè la majoria inclouen la solució..




Enunciat(s) del problema

Més o menys, devia fer així:

El quadrat d'un nombre té quatre xifres. Les dues primeres són iguals i les dues darreres són iguals (perquè sigui més clar, podem dir que, a l'elevar el nombre al quadrat, resulta un nombre del tipus aabb).Quin és el nombre original i quant val el seu quadrat?

Sense entrar en valoracions de la seva oportunitat, la pregunta és escassament original, tot i que pot sorprendre als nostres estudiants de secundària. No he fet una cerca exhaustiva, però a la xarxa se'n poden trobar versions més literàries. En reprodueixo una, textualment:
Dos amigos, que saben muchas matemáticas, paseando tranquilamente por la calle observan un accidente y el coche se da a la fuga. No recuerdan la matrícula (de cuatro cifras) pero sí que las dos primeras cifras eran iguales, las dos últimas también eran iguales y que el número era un cuadrado perfecto. Con estos datos, ¿cómo pudieron reconstruir la matrícula?
(No utilizaron ordenadores ni calculadoras)
Aquesta darrera versió és de la Gacetilla matemática i la podeu llegir (atenció, com he indicat abans, si voleu dedicar una estona a pensar-hi, no feu, ara, clic en tots aquests enllaços perquè també contenen la solució) en La matrícula del coche. Un redactat semblant, en castellà i en eusquera, el teniu a La matrícula de mi coche o Nere automobilaren matrikulak (és el problema dos del pdf):
Nere automobilaren matrikulak daukan lau zifratako zenbakia karratu perfektu da, bere bi lehen zifrak berdinak dira eta azken biak berdinak dira ere. Zein da zenbakia?
I, per no cansar-vos, acabo amb aquest llistat de Problemas on també hi figura un enunciat semblant (amb el títol La matrícula i l'any 1998 com a data de la proposta).



Cliqueu si voleu accedir a la solució comentada (+/- Mostra/Oculta)

Eines i solució

El problema es pot resoldre, sense massa dificultat, per "força bruta". Proveu-ho, per exemple, en un full de càlcul, només cal que feu un llistat dels nombres del 32 al 99 (que són els que tenen quadrats de quatre xifres) i n'obtingueu els quadrats. Però suposo que això no és el que volien els examinadors!

Es pot arribar a la solució utilitzant algunes "eines" matemàtiques elementals i d'ús habitual quan es treballa amb problemes numèrics d'aquest tipus. En atenció als alumnes de secundària, ho aniré detallant.


1. Com es pot expressar algèbricament un nombre escrit en base 10?

Em permeto un exemple introductori en honor dels matemàtics Hardy i Ramanujan:

1729 = 1·1000 + 7·100 + 2· 10 + 9

Per tant, un nombre qualsevol xyzt es podrà escriure com 1000·x + 100·y  + 10·z + t.

I el nombre aabb del problema que ens ocupa serà: 1000·a + 100·a + 10·b + b


2. Utilitzem els criteris de divisibilitat

Amb la generalització de l'us de la calculadora, molts estudiants han deixat d'aplicar els criteris de divisibilitat i s'han passat al mètode d'"anem provant". Però, ara veureu la utilitat d'aquests criteris. Si operem l'expressió algèbrica del nostre quadrat:

n2 = 1000·a + 100·a + 10·b + b = 1100·a + 11·b = 11·(100·a + b)

Observem que 100·a + b és un nombre del tipus a0b que, a més, ha de ser múltiple d'11 ja que, si és un quadrat perfecte, n211·(100·a + b) = 112 · k2  (tornarem a utilitzar aquesta igualtat en l'apartat 4). Com que és un múltiple d'11, la suma de les xifres alternes a i b ha de ser 11 (repasseu el criteri de divisibilitat per 11). Per tant, ja tenim que:

 a + b = 11


3. En quines xifres pot acabar un quadrat perfecte?

El quadrat d'un nombre enter només pot acabar en 0, 1, 4, 5, 6 i 9. És impossible que l'últim dígit de n2 sigui 2, 3, 7 o 8 (per a més informació, vegeu, per exemple, Números cuadrados). Per tant, els possibles valors de b són:  0, 1,  4, 5, 6, 9. Com que, a més, sabem que a + b = 11. Les possibilitats que tenim són:

abn2 (aabb)a0ba0b/11
11  0absurd

101absurd

747744  704  64
65665560555
56556650646
29229920919


4. n2 ha de ser el producte de dos quadrats perfectes!

Ara és fàcil de calcular, després de tota aquesta garbellada, quin dels quatre nombres que ens resten (2299, 5566, 6655 i 7744) és el nostre quadrat. Si afinem una mica més, com que n2 és múltiple d'11 i la seva arrel quadrada és entera, ha de ser múltiple de 112 i d'un altre quadrat perfecte; és a dir, tornem-hi, n2 = 11· k2.
Si mireu la darrera columna de la taula anterior, 7744 = 112 · 82 és l'únic nombre que compleix el requisit, i  el nombre n és 11 · 8 = 88. Vet aquí la solució, 882 = 7744. Una estranya matrícula per a un cotxe!


Darreres observacions i agraïments

He intentat donar una explicació detallada perquè els raonaments que he utilitzat, tot i  ser elementals, de vegades són desconeguts i es poden aplicar en d'altres problemes. La llarga explicació  no hauria de donar la falsa impressió que l'enigma era llarg de resoldre. Un "solucionador" amb una certa pràctica i experiència hauria de fer tot el raonament anterior de forma ràpida i automàtica.

Els coneixements que hem hagut d'aplicar són propis de l'ensenyament secundari i els lectors més experts ho poden trobar trivial. Ni tan sols hem hagut d'utilitzar "armes de calibre mitjà" de la Teoria de nombres (verbigràcia, l'aritmètica modular i les congruències). Una altra cosa, és que aquest tipus d'exercicis no són massa freqüents a les aules.

Per acabar, vull fer palès el meu reconeixement a tots els estudiants de secundària que porten el seu interès per les matemàtiques uns mica més enllà del currículum i participen en iniciatives com aquesta de les beques CiMs-CELLEX. I en particular, agrair la informació dels continguts de les proves i del seu desenvolupament que m'han fet arribar alguns dels participants.

L'anumerisme de Homer Simpson

23 comentaris:

  1. Francesc,
    Enhorabona pels teus articles. Em semblen molt interesants :)
    Estic preparant-me per les probes Cims-Cellex i voldria saber si saps on puc trobar més problemes que ja hagin sortit a les probes.
    Gràcies!!

    ResponElimina
  2. Hola Dani, i gràcies per l'elogi!

    Tinc el mateix problema que tu, no sé on trobar d'altres problemes que hagin sortit a les proves (no em puc estar de corregir-te l'ortografia: són "proves" i no pas "probes". Compte que en la selecció també comproven els coneixements de llengua!).

    En el blog, de moment, he parlat de dues qüestions que ja han sortit, però ha estat perquè me les han fet arribar alguns participants. En tinc algunes més al tinter (una de probabilitat, una altra d'una equació un xic estranya...), que ja intentaré resoldre-les aquí quan tingui temps, però no són moltes. Ja he comentat que estaria bé que la fundació CELLEX donés més pistes a aquells que us voleu presentar, però...

    En alguns enllaços que apareixen en aquest article hi ha més problemes semblants. Tanmateix, em fa por recomanar-te algun llistat de problemes i que després els exercicis que posin vagin per un altre camí.

    A veure si tenim sort i algun lector del blog que hi hagi participat es decideix a donar-nos més informació! M'apunto la teva demanda i intentaré esbrinar alguna cosa més.

    Per altra banda, si em dius quin curs estàs fent, podré afinar una mica més a l'hora de recomanar-te continguts de preparació.

    Sort, en general, i amb les matemàtiques, en particular!

    ResponElimina
  3. Hola, m'estic preparant per les proves Cims-Cellex i m'agradaria que em diguessis algun problema com l'estil de l'anterior, no cal que sigui de les proves, només per practicar...
    Gràcies, Jofre.

    ResponElimina
    Respostes
    1. Hola Jofre,

      A part del poc que es pot llegir al web de l'organització, tota la informació que tinc de les proves m'ha arribat a través d'un parell d'alumnes de la meva escola que hi han participat. Els problemes que m'han comentat són bastant heterogenis, de dificultat diversa (n'hi ha de solucionar equacions, de probabilitat condicionada) i no acabo de veure per on van els organitzadors i, per tant, no m'atreveixo a recomanar-te cap llistat de problemes per practicar. Ja he comentat que estaria bé disposar d'un temari transparent per preparar les proves, però em temo que l'entitat organitzadora tendeix a una certa improvisació i, m'agradaria equivocar-me, a una certa endogàmia.

      Si encara no has anat a l'altra entrada del meu blog que parla de les beques (Les beques CiMs-CELLEX i una demostració trivial ), clica a l'enllaç que hi trobaràs un altre problema.

      Gràcies, sort i que mantinguis l'interès en les matemàtiques!

      Elimina
    2. Ve, gràcies per la resposta, ara et voldria comentar una cosa del problema anterior, per què a+b = 11? Ho he cercat a internet i deia que la diferència dels nombres alterns és zero o múltiple d'onze, no deia res de això... Ve, potser és que faig 3r d'Eso actualment i encara no ho he estudiat...

      Elimina
    3. Com bé dius, el raonament sorgeix dels criteris de divisibilitat d'un nombre entre onze. Llegeix amb deteniment la solució comentada i ho entendràs. Una cerca ràpida per internet no ens ajuda, moltes vegades, a resoldre els problemes: cal agafar aire, un bolígraf i posar-se a escriure i a pensar. Ah, i si vols optar a les beques no et refïis del temari de l'ESO, que les preguntes van un xic més enllà. Segur que el teu professor de matemàtiques et pot orientar. Ànims, que et queda temps per anar preparant les proves!

      Elimina
  4. En la resposta que em vas donar sobre els problemes per practicar vas dir alguna cosa sobre uns problemes de probabilitat condicionada, com és que surt això i no ho diu en el temari?

    ResponElimina
    Respostes
    1. Hola de nou!

      Quan parles del temari suposo que et refereixes a aquest document poc detallat que apareix en el web de l'organització: Temari. Hi podem llegir "Nocions bàsiques de probabilitat i estadística"! Suposo que aquí es pot incloure la probabilitat condicionada i el Teorema de Bayes, però crec que l'interès que desperten les proves es mereixeria més concreció i que la migrada redacció d'aquest "temari" és força impresentable.

      Elimina
  5. Sí, jo em referia a això, crec que faltaria més detall...

    ResponElimina
  6. Bon any igualment! Una cosa, ahir buscant problemes per practicar vaig trobar un problema que deia així:

    Un home va anar a vendre al mercat cabres, gallines i coloms que en total feien 100 animals venguts, si les cabres les venia a 25€, les gallines a 5€ i els coloms a 0,20€ i en total va fer 500€ quants animals va vendre de cada un?

    Jo, aquest problema ja l'he resolt però m'agradaria saber si hi ha alguna manera de fer-lo però sense fer suposicions... També m'agradaria saber com el resoldria un matemàtic i si es podria fer gràficament...

    Moltes gràcies i si no et va bé no cal que ho fagis, només era per curiositat...

    ResponElimina
    Respostes
    1. El problema és interessant per dos aspectes: dóna lloc a dues equacions lineals amb tres incògnites (en el temari de matemàtiques de l'ESO es treballa només amb dues incògnites) i les solucions han de ser nombres enters. Quan en una equació només s'admeten solucions enteres es parla d'equació diofàntica (fes clic aquí per veure'n una definició). Evidentment, els matemàtics s'han preocupat de cercar mètodes per tal de solucionar els diferents tipus d'equacions diofàntiques.

      M'enganxes preparant la tornada a classe i ara no hi puc dedicar massa temps, però és un bon problema per encapçalar alguna entrada del blog i prometo fer-ho en el futur. He cercat a internet algun document sobre com solucionar equacions diofàntiques per tal de donar-te l'enllaç, però, de moment, no n'he trobat cap amb un llenguatge adequat per als alumnes de secundària. Si vols trobar tu mateix més informació, pensa que les paraules clau han de ser "equacions diofàntiques" i "dues incògnites" (en el problema n'hi ha tres, d'incògnites; però, com que et donen dues equacions, pots resumir l'enunciat en una única equació de dues incògnites).

      Ànims i fins aviat!

      Elimina
  7. Com es pot resumir en dues incògnites?

    ResponElimina
    Respostes
    1. Si x és el nombre de cabres; y, el de les gallines i z, el dels coloms, pots expressar l'enunciat en dues equacions:

      x + y + z = 100

      25x + 5y + 0,20z = 500

      Aïllem z de la 1a equació ( z = 100 - x - y), ho passem a la 2a i operem:

      25x + 5y + 0,20·(100 - x - y) = 500

      25x + 5y + 20 - 0,2x - 0,2 y = 500

      24,8x + 4,8y = 480

      Ara ja tens una equació amb només dues incògnites!

      Elimina
  8. Però l'enllaç que he trobat diu que per poder resoldre equacions diofàntiques (a·x+b·y=c) a, b i c han de ser números enters i l'equació de dues incògnites que tenim l'A i la B no són números enters...

    ResponElimina
    Respostes
    1. Tens la impaciència d'un futur bon matemàtic! La propera entrada del blog, que espero redactar aquests dies, va d'aquest problema. Si vols avançar feina: multiplica per 10 els dos membres de l'equació i simplifica els coeficients que en resultin. D'aquesta manera podràs treballar només amb nombres enters i amb l'equació simplificada.

      Per cert, avui he tingut un momentet lliure i he comprovat que per arribar a les solucions, en aquest cas, no cal cap algorisme (mètode) massa elaborat. T'ho comento aviat!

      Elimina
    2. Per cert, Jofre, series tan amable de donar-me la referència detallada d'on has trobat aquest problema i quin enllaç has trobat per resoldre equacions diofàntiques. Vull redactar una entrada i no m'agrada fer-ho sense citar-ne les fonts. Gràcies!

      Elimina
  9. Bé, aquest problema me'l va dir el meu tiet i a ell li he preguntat i diu que és un problema que coneix des de fa molt temps però no se n'enrecorda d'on la sentit...
    Per l'enllaç de les equacions diofàntiques l'he trobat aquí: http://www.sangakoo.com/ca/temari/equacions-diofantiques .
    Espero que et serveixi d'alguna cosa!

    ResponElimina
  10. Gràcies Jofre! He estat cercant el problema per internet i no en trobo cap de semblant. Potser ha estat publicat en algun llibre, però el fet que els preus estiguin en euros indica que, almenys l'adaptació de l'enunciat, és relativament recent. Ja coneixia el web de Sangakoo i acabo de donar una ullada a l'apartat d'equacions diofàntiques, que no està malament, però no sé si pot ajudar a solucionar equacions d'aquests tipus a algú que no n'ha sentit a parlar. De totes maneres, com ja he dit en un altre comentari, el problema que ens ocupa no precisa de cap algorisme complicat.

    Estic començant a redactar un article sobre aquest problema. Per cert, ahir que m'hi vaig poder posar una mica seriosament, vaig comprovar que hi ha tres solucions coherents amb l'enunciat:

    6 cabres, 69 gallines i 25 coloms

    12 cabres, 38 gallines i 50 coloms

    18 cabres, 7 gallines i 75 coloms

    Com a redactor de blog, sóc una mica lent, però a veure si aquesta propera setmana us ho acabo d'aclarir...

    ResponElimina
  11. Aiii, m'he equivocat no era coloms 0,20€ sinó que era 0,25 €... PERDÓ! !!

    PD en teoria era amb pessetes però el resultat és el mateix. ..

    ResponElimina
  12. Mira, així tinc dos problemes pel preu d'un! Ara sí que, amb les noves dades i si no m'equivoco, només hi ha una solució amb els tres nombres enters i positius: 19 cabres, 1 gallina i 80 coloms. És aquesta la solució a la qual has arribat?

    ResponElimina