dijous, 11 d’agost de 2016

Recolzeu bé l'escala! Solució (2)


Aquesta és la tocardana continuació de Recolzeu bé l'escala! Solució (1) que començava a esbossar la solució del problema plantejat en Recolzeu bé l'escala! M'estalvio de tornar a enunciar-lo; fent clic en els enllaços anteriors, en veureu els detalls i l'inici del plantejament algebraic.

Ho havíem deixat en el sistema:

Una interpretació geomètrica

Abans d'abordar la solució algebraica, és interessant fer una lectura geomètrica de les dues equacions: són dues expressions implícites de dues còniques. Si representem els punts del pla que compleixen la primera igualtat (x2 + y2 = 9), obtenim una circumferència centrada en l'origen de radi 3. Si fem el mateix amb la segona expressió, apareixeran les dues branques d'una hipèrbola. Els nostres estudiants de batxillerat potser veuran més clar que (x – 1)· (y – 1) = 1 correspon a una hipèrbola si escrivim la segona condició en forma explícita: només cal multiplicar, i aïllar la y després de treure-la com a factor comú per arribar a y = x/ (x  – 1). El sistema d'equacions es converteix –no per art de màgia– en el gràfic que podeu veure a continuació i que ha estat elaborat servint-se de GeoGebra:

Les dues còniques associades al problema (captura de GeoGebra)

Tal com podem observar, el sistema té quatre solucions reals (corresponen a les coordenades dels punts vermells de la imatge anterior), però només els dos punts del primer quadrant són solucions de l'enunciat geomètric ja que necessitem que, tant la coordenada x com la y, siguin positives. Però què passa si representem l'escala de 3 metres i el cub en el gràfic?

Les dues maneres de recolzar l'escala (captura de GeoGebra)

Les dues possibles posicions de l'escala estan representades pels segments A'I i B'G. Suposo que no cal entrar en detalls i que és fàcil deduir que les coordenades del punt A, per exemple, són (A', I)...

Els antics grecs donarien el problema per solucionat i els enginyers primmirats, que s'haguessin resistit a fer un simulació del problema amb l'escaleta i el cub, també. Les dues solucions aproximades són les simètriques:

x ≈ 1,67 m; y ≈ 2,49 m
x ≈ 2,49 m; y ≈ 1,67 m


La solució analítica exacta

Però nosaltres, com a bons matemàtics postpitagòrics, volem la solució exacta amb totes les expressions radicals que calguin!

Partirem del sistema inicial, però amb l'incògnita y ja aïllada de la segona equació:

\begin{cases}x^2 + y^2 =9\\y = \dfrac { x }{ x-1 }\end{cases}
Substituïm aquest valor de y a la primera equació, operem (amb molt de compte amb les identitats notables!) i ens trobarem amb l'equació:

\(x^4-2x^3 -7x^2 +18 x -9 = 0\)

Nota i proposta d'exercici: Per a la majoria dels nostres alumnes de secundària passar del sistema a aquesta equació ja és un exercici prou complicat. Volgudament, m'he estat d'indicar-ne els passos detallats per si algú, agosarat, accepta el repte de reconstruir el procés.

Si voleu solucionar aquesta equació de quart grau a mà i de forma exacta, el mètode és un pèl pesat i treballós (podeu escatir el mètode a aplicar en aquesta entrada de Gaussianos, per exemple; o, amb més deteniment, si us descarregueu el document d'Arnold Oostra d'aquí). Una vegada tenim els valors de x, determinar els valors de y corresponents, és força senzill. Jo vaig tirar pel dret i vaig utilitzar el programa d'origen rus  UMS que –tot i la cantarella, en l'idioma que triiïs, que acompanya, el procés de resolució– va arribar correctament a les solucions exactes. Les que ens interessen, x i y positives, són:

\(x =\dfrac{1+\sqrt{10}-\sqrt{5}+ \sqrt{2}}{2}; y =\dfrac{1+\sqrt{10}+\sqrt{5}- \sqrt{2}}{2} \)

i l'altra solució, amb els valors intercanviats:

\(x =\dfrac{1+\sqrt{10}+\sqrt{5}- \sqrt{2}}{2}; y =\dfrac{1+\sqrt{10}-\sqrt{5}+ \sqrt{2}}{2} \)

Una altra nota amb proposta d'exercici: En  Recolzeu bé l'escala! Solució (1) ja vaig indicar un mètode alternatiu que proposa Lenok, comentarista d'aquest blog. Ella arriba, utilitzant WolframAlpha per solucionar el sistema, a unes solucions d'aparença diferent:

\(x =1 + \dfrac{1}{2}(-1+\sqrt{10}+ \sqrt{7-2 \sqrt{10}})\)
\(y =1 + \dfrac{1}{2}(-1+\sqrt{10}- \sqrt{7-2 \sqrt{10}})\)

Podeu demostrar que les solucions són idèntiques a les obtingudes amb el programa anterior (UMS)?
Pista: Negligiu la part racional de les dues solucions, aparentment diferents, i eleveu al quadrat la resta de l'expressió per tal de comprovar-ne la identitat.

I fins a la propera entrada...

Déu n'hi do el que dóna de si un problema amb un enunciat tan simple! A més, ens queda feina pendent: demostrar que és possible solucionar-lo amb equacions biquadrades,  seguir la pista d'aquest enunciat a la xarxa...

De moment, però, ho deixarem aquí. Acabeu de passar un bon estiu!