dilluns, 31 de gener de 2011

El Darrer Teorema de Fermat: una primmirada introducció

Aquest mes de gener tenia previst dedicar els escassos nous articles d'aquest bloc a l'obra de Simon Singh (podeu veure, si us plau, les dues entrades anteriors: Simon Singh: llibres rodons (I) i   Simon Singh: llibres rodons (II). Los códigos secretos). Quan vaig començar a pensar el tercer escrit "arrodonit", o no, que volia dedicar a un dels primers llibres de Singh , Fermat's Last Theorem, el fet que hi havia llargues observacions a fer en la introducció em van decidir a escriure aquest primmirat text.

Com alguns ja deveu saber, si sou aficionats a les matemàtiques, Pierre de Fermat (1601-1665) va escriure cap el 1637, en un dels marges del llibre II d'un exemplar de l'Arithmetica del matemàtic grec Diofant d'Alexandria, el següent text:

"Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet."

L'anotació al marge de Fermat va ser impresa en edicions posteriors de l'Arithmetica:

Edició de l'Arithmetica de 1670

Generalment l'observació de Fermat es tradueix amb el següent sentit:
"És impossible que un cub sigui la suma de dos cubs, que una potència quarta sigui la suma de dues potències quartes i, en general, que qualsevol nombre que sigui una potència superior a dos sigui la suma de dues potències del mateix valor. He descobert una demostració veritablement meravellosa d'aquesta proposició, però aquest marge és massa petit perquè hi càpiga."

O, en llenguatge matemàtic actual:
"L'equació x n  + y n = z  no té solucions enteres (x, y, z) diferents de zero si n és un nombre natural més gran que 2 (n  > 2)."
Noteu que per a n igual a 2 estem parlant del Teorema de Pitàgores que té infinites solucions enteres.

Aquesta afirmació —de fet és una negació, nega l'existència de solucions enteres— es coneix com el Darrer Teorema de Fermat. Ara bé, fins el 1995, això no era un teorema (una proposició matemàtica de la qual coneixem una demostració), sinó una conjectura (una hipòtesi de la qual no en coneixíem la demostració). I per què el Darrer? Fermat va viure molts anys després d'escriure-la, però com que no sempre demostrava allò que anotava, resulta que era la darrera conjectura de Fermat que quedava per confirmar. Aleshores, hagués estat més correcte dir-ne la Conjectura de Fermat. El 1995, el matemàtic britànic Andrew Wiles (Andrew Wiles a MacTutor o a Viquipèdia) enllesteix i dóna els últims retocs a la seva demostració de la Conjectura de Fermat i, per tant, ja podem parlar del Teorema de Wiles, de Wiles-Fermat o de Fermat-Wiles. Veureu, però, que si feu una cerca en aquesta olla de cols que és la xarxa, continua sent majoritària la referència al Teorema de, només, Fermat. Una afirmació de 1637 que, després de molts intents infructuosos o parcials de demostració, arriba fins a 1995, bé es mereix portar el nom de la persona que la demostra!

Tenia realment Fermat una demostració de la seva conjectura? La majoria d'estudiosos es decanten pel no i diuen que potser sí que s'ho pensava, però que hi hauria errades en el seu raonament. Però realment pensava que la havia aconseguit?  El 16 d'octubre de 2009 estava escoltant una conferència (Sessió Inaugural del DMSEC) de Josep Pla i Carrera, professor universitari de la Universitat de Barcelona i bon coneixedor de la història de les matemàtiques, (podeu veure la presentació que va fer a Tot analitzant un problema matemàtic a l'ombra dels gegants) i ens va sorprendre amb la següent versió de l'anotació de Fermat:


Pla i Carrera va traduir l'assiurément (o assurément?), com segurament, amb la interpretació que Fermat dubtava de tenir realment la demostració. Com que el discurs del professor Pla va ser extens i intens, ningú va fer cap pregunta al respecte al final de la sessió. Com que m'agrada deixar problemes oberts, us diré que sembla que Fermat va fer l'escrit original en llatí, que no sé d'on ha sortit aquesta versió, però a l'article de la Wikipédia francesa (Dernier Théorème de Fermat) hi ha, hores d'ara, una discussió (discussion) sobre si la traducció habitual és correcta (podeu veure també http://franquart.fr/).

Perdoneu aquestes divagacions en espiral (espiral de Fermat) i, tal com vaig apuntar a Felicitacions? matemàtiques o no?, deixeu-me desitjar-vos, per acabar, que tingueu una bona entrada de mes i un feliç febrer!

dissabte, 22 de gener de 2011

Simon Singh: llibres rodons (II). Los códigos secretos

El primer article d'aquest bloc dedicat a aquest escriptor i divulgador britànic és Simon Singh: llibres rodons (I). Com que en l'escrit anterior ja vam fer una introducció a l'autor i a la seva obra, en aquest parlarem de la que, segons el meu criteri, és la seva obra més reeixida, publicada en anglès el 1999: The Code Book, amb el subtítol The Evolution of Secrecy from Mary, Queen of Scots to Quantum Cryptography que es transformà, en les reedicions, en The Code Book: The Science of Secrecy from Ancient Egypt to Quantum Cryptography. Disposem d'una molt bona versió en castellà publicada per l'Editorial Debate, abans de ser absorbida per Random House Mondadori (cada vegada és més complicat saber qui hi ha darrera de les editorials, però em em temo que uns quants grups editorials controlen la major part del "negoci" i deixen de reeditar llibres poc rendibles com aquest). Com passa sovint amb obres estrangeres, els editors espanyols van optar per amanir el títol amb una imaginació més aviat de baixa volada: LOS CÓDIGOS SECR3TOS. També van modificar el subtítol eliminant la referència a la criptografia quàntica, no sigui que algun conciutadà nostre s'ennuegui veient la coberta, i donant-li un toc més "artístic" i d'actualitat (que sempre ven més en les nostres contrades): El arte y la ciencia de la criptografía, desde el antiguo Egipto a la era de Internet. Sortosament, la mà negra dels editors i de la gent de màrqueting no va anar més enllà de la portada i el contingut i la feina del traductor, José Ignacio Moraza, són més que notables.


La paraula criptografia procedeix del grec i ve a significar "escriptura oculta". Generalment, quan s'afina una mica més, es distingueix la criptografia, diguem-ne la ciència d'escriure en codis ocults o l'estudi de la codificació, de la criptoanàlisi que s'ocupa de llegir o de descodificar els missatges. La criptologia seria la ciència que englobaria aquestes dues branques. Si em permeteu un impertinent comentari etimològic —els meus coneixements de llatí són pocs i rovellats i els de grec clàssic, inexistents— puc justificar l'ús de la paraula criptografia (ocult i escriptura) i, amb una mica més de dificultat, el sentit de criptologia (ocult i paraula, si tradueixo -logia per paraula i no per estudi), però criptoanàlisi ja em serveix per anomenar qualsevol ciència que analitzi allò ocult (siguin missatges, fantasmes o el monstre del llac Ness). No sé com n'hauríem de dir si volem que la seva etimologia sigui més correcta.

El llibre s'ocupa de les dues germanes bessones —la criptografia sempre perseguida per la criptoanàlisi— amb alguna referència a la germana petita i entremaliada: l'esteganografia. Amb un cop d'efecte, comença per la condemna a ser decapitada de la reina d'Escòcia, Maria Stuard (un efecte secundari de no utilitzar un codi prou segur pels missatges secrets, pot ser perdre el cap) i fa un repàs, no només històric, sinó també metodològic, de la criptologia en sentit ampli. Per a les persones interessades per la lingúística i les llengües, pot ser interessant el capítol destinat al desxiframent dels jeroglífics egipcis i a la interpretació de l'escriptura lineal B o, també, la detallada explicació de l'ús de la llengüa dels indis navajos per a codificar missatges durant la Segona Guerra Mundial. I clar que no hi podia faltar l'explicació de les tasques dels criptoanalistes àrabs de l'antiguitat, la xifra Vigenère, la màquina Enigma, etc. No cal dir que Singh dedica una atenció especial a l'algorisme RSA d'ús generalitzat en el xifratge de les comunicacions digitals actuals i a les possibles aplicacions de la mecànica quàntica a la criptografia. Només es troba a faltar, però, alguna referència a la criptografia de corba el·líptica (vegeu també: ¿Qué es la criptografía de curva elíptica?).

Los Códigos Secretos dóna una visió amena, entenedora i rigorosa de la història i els mètodes de la criptografia. Malauradament, hores d'ara, la versió castellana està esgotada. A la xarxa en podeu trobar edicions digitals, consulteu, per exemple, el web de l'autor (http://www.simonsingh.net/ ), però jo continuaré fruint de l'exemplar que vaig adquirir ja fa uns anys, en paper de qualitat, ben tipografiat i de tapa dura. I en aquest cas, no envejo els e-books (a propòsit, si voleu veure un vídeo divertit feu clic a Leerestademoda).

dimarts, 11 de gener de 2011

Simon Singh: llibres rodons (I)

La paraula rodons del títol no té, és clar, cap connotació geomètrica —per cert, ara que surt aquest mot i per molt que usem cada vegada un vocabulari més empobrit, rodó/rodona, cercle, circumferència i rotllana no són sinònims. Aquí parlem de llibres rodons; en el sentit de llibres complets, ben acabats, sense defectes. Simon Singh, un escriptor poc prolífic, té la virtut de fer uns excel·lents i rodons llibres de divulgació (evidentment, segons la meva humil , però intento que fonamentada, opinió). De fet, dos dels quatre títols que apareixen en l'apartat "Llibres de matemàtiques interessants" que, de moment, podeu trobar en la columna de la dreta d'aquest bloc, són de Simon Singh. Com que la meva intenció és fer desaparèixer aviat aquest llistat, no m'agraden les llistes i aquesta va ser un exercici que em van proposar quan aprenia els rudiments de la feina  de blocaire, em permeto reproduir aquí aquesta curta enumeració amb algun comentari (si hagués de triar uns quants llibres de divulgació matemàtica, hi sortirien, amb seguretat aquests):
  • Aventuras Matemáticas (Miguel de Guzmán). O qualsevol llibre de Miguel de Guzmán, no n'hi ha cap que m´hagi decebut.
  • El hombre anumérico (John Allen Paulos). Ja n'hem parlat en L'analfabetisme matemàtic i les seves conseqüències.
  • L'enigma de Fermat (Simon Singh)
  • Los códigos secretos (Simon Singh)
Però, per començar, qui és Simon Singh? Simon Singh, nascut el 1964, és doctor en física per la Universitat de Cambridge, però és conegut, principalment, per la seva feina de divulgació de les ciències i, en particular, de les matemàtiques. Si en voleu saber més coses, podeu consultar:

Simon Lehna Singh

Simon Singh a Wikipedia (en anglès)

www.simonsingh.net





Entre d'altres coses si feu clic en els dos enllaços anteriors, comprovareu que ha tingut problemes legals amb els quiropràctics com a conseqüència d'un dels seus llibres (és un efecte col·lateral que es pateix quan es critica un gremi, sigui de científics o de bruixots, i les seves "pràctiques").

El meu propòsit és dedicar els dos propers articles del bloc a les dues obres de Singh que he citat abans:  el primer, el dedicaré a Los códigos secretos —si us interessa la criptografia, no us podeu perdre aquest llibre— i deixaria per més endavant L'enigma de Fermat que parla de la conegudíssima darrera conjectura de Pierre de Fermat (o, després que ha estat demostrada, ja podem parlar del Darrer Teorema de Fermat).

Disculpeu que utilitzi el fàcil recurs de repartir un escrit en diferents lliuraments —salvant les distàncies siderals, també ho feia Alexandre Dumas—, però no vull allargar-me més del compte.