El Darrer Teorema de Fermat: una primmirada introducció

Aquest mes de gener tenia previst dedicar els escassos nous articles d'aquest bloc a l'obra de Simon Singh (podeu veure, si us plau, les dues entrades anteriors: Simon Singh: llibres rodons (I) i   Simon Singh: llibres rodons (II). Los códigos secretos). Quan vaig començar a pensar el tercer escrit "arrodonit", o no, que volia dedicar a un dels primers llibres de Singh , Fermat's Last Theorem, el fet que hi havia llargues observacions a fer en la introducció em van decidir a escriure aquest primmirat text.

Com alguns ja deveu saber, si sou aficionats a les matemàtiques, Pierre de Fermat (1601-1665) va escriure cap el 1637, en un dels marges del llibre II d'un exemplar de l'Arithmetica del matemàtic grec Diofant d'Alexandria, el següent text:

"Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet."

L'anotació al marge de Fermat va ser impresa en edicions posteriors de l'Arithmetica:

Edició de l'Arithmetica de 1670

Generalment l'observació de Fermat es tradueix amb el següent sentit:
"És impossible que un cub sigui la suma de dos cubs, que una potència quarta sigui la suma de dues potències quartes i, en general, que qualsevol nombre que sigui una potència superior a dos sigui la suma de dues potències del mateix valor. He descobert una demostració veritablement meravellosa d'aquesta proposició, però aquest marge és massa petit perquè hi càpiga."

O, en llenguatge matemàtic actual:
"L'equació x ⁿ  + y ⁿ = z ⁿ  no té solucions enteres (x, y, z) diferents de zero si n és un nombre natural més gran que 2 (n  > 2)."
Noteu que per a n igual a 2 estem parlant del Teorema de Pitàgores que té infinites solucions enteres.

Aquesta afirmació —de fet és una negació, nega l'existència de solucions enteres— es coneix com el Darrer Teorema de Fermat. Ara bé, fins el 1995, això no era un teorema (una proposició matemàtica de la qual coneixem una demostració), sinó una conjectura (una hipòtesi de la qual no en coneixíem la demostració). I per què el Darrer? Fermat va viure molts anys després d'escriure-la, però com que no sempre demostrava allò que anotava, resulta que era la darrera conjectura de Fermat que quedava per confirmar. Aleshores, hagués estat més correcte dir-ne la Conjectura de Fermat. El 1995, el matemàtic britànic Andrew Wiles (Andrew Wiles a MacTutor o a Viquipèdia) enllesteix i dóna els últims retocs a la seva demostració de la Conjectura de Fermat i, per tant, ja podem parlar del Teorema de Wiles, de Wiles-Fermat o de Fermat-Wiles. Veureu, però, que si feu una cerca en aquesta olla de cols que és la xarxa, continua sent majoritària la referència al Teorema de, només, Fermat. Una afirmació de 1637 que, després de molts intents infructuosos o parcials de demostració, arriba fins a 1995, bé es mereix portar el nom de la persona que la demostra!

Tenia realment Fermat una demostració de la seva conjectura? La majoria d'estudiosos es decanten pel no i diuen que potser sí que s'ho pensava, però que hi hauria errades en el seu raonament. Però realment pensava que la havia aconseguit?  El 16 d'octubre de 2009 estava escoltant una conferència (Sessió Inaugural del DMSEC) de Josep Pla i Carrera, professor universitari de la Universitat de Barcelona i bon coneixedor de la història de les matemàtiques, (podeu veure la presentació que va fer a Tot analitzant un problema matemàtic a l'ombra dels gegants) i ens va sorprendre amb la següent versió de l'anotació de Fermat:

Pla i Carrera va traduir l'assiurément (o assurément?), com segurament, amb la interpretació que Fermat dubtava de tenir realment la demostració. Com que el discurs del professor Pla va ser extens i intens, ningú va fer cap pregunta al respecte al final de la sessió. Com que m'agrada deixar problemes oberts, us diré que sembla que Fermat va fer l'escrit original en llatí, que no sé d'on ha sortit aquesta versió, però a l'article de la Wikipédia francesa (Dernier Théorème de Fermat) hi ha, hores d'ara, una discussió (discussion) sobre si la traducció habitual és correcta (podeu veure també http://franquart.fr/).

Perdoneu aquestes divagacions en espiral (espiral de Fermat) i, tal com vaig apuntar a Felicitacions? matemàtiques o no?, deixeu-me desitjar-vos, per acabar, que tingueu una bona entrada de mes i un feliç febrer!