dilluns, 18 d’abril del 2022

El problema de Nadal, per Pasqua!


A sants i minyons, no els prometis si no els dons 

Hi ha un refrany en castellà que diu que "lo prometido es deuda". Els catalans, més rigorosos en les condicions, tenim que "A sants i minyons, no els prometis si no els dons" (en diverses versions, és cert, però a mi m'agrada aquesta). Com que suposo que els migrats llegidors del blog no sou ni sants ni minyons, m'haureu de perdonar el retard en acomplir la promesa que us vaig fer en l'entrada Felicitacions matemàtiques: Cap al 2022! Anem fent! Allà us comentava que, en breu, us faria arribar "el problema de Nadal". Avui, dilluns de Pasqua ("el dia de la mona" a TV3!), us faig el present.


El problema de Nadal d'Ignasi del Blanco

Per a més inri, el problema no és meu, però ja he fet meva la tradició d'incorporar-lo al blog. Infatigable, com sempre, Ignasi del Blanco va proposar un problema numèric per Nadal de l'any passat. En d'altres ocasions se li havia fet una presentació més lluïda, però aquesta vegada només el vaig saber trobar en forma de tuit a @matesAbeam (cliqueu en l'enllaç anterior i el veureu en el seu estat primigeni).

En faig una captura:

Felicitació de Nadal de 2021 (Carme i Ignasi del Blanco)

























No és massa complicat, però, si voleu fer més senzill el procés de càlcul,  us recomano que implementeu un full de càlcul amb les operacions indicades.


I la solució és..

Dono per fet que, si ho intentat, l'haureu trobat; però, per a ànimes vagarívoles, no em costa res incorporar la solució a l'entrada:


Bon any 2022 (Solució) (+/- Mostra/Oculta)
Aquí la teniu:





Amb tot el retard acumulat, l'entrada de Setmana Santa arribarà, com a molt d'hora, el mes de maig (hi parlarem d'alguns magnífics problemes de les proves Cangur d'enguany).

Espero que hàgiu passat una Bona Pasqua!


divendres, 31 de desembre del 2021

Felicitacions matemàtiques: Cap al 2022! Anem fent!


Introit
 
No patiu que només escriuré la paraula virus i la paraula malaltia en aquesta introducció. El primer virus que es va identificar, a finals del segle XIX, va ser el virus del mosaic del tabac (TMV) que provoca la malaltia anomenada mosaic en les plantes del tabac (no cal dir que si l'haguéssim descobert ara, li hauríem adjudicat un nom més pompós: amb tot de numerets i majúscules). Com que jo no fumo, ho deixarem aquí. Algun saberut, em dirà que el TMV també afecta a les tomaqueres i a d'altres solanàcies, però això no ens farà perdre el son, ara que els tomàquets ja no suquen.
 
Això sí, en la felicitació matemàtica del 2019 (Felicitacions matemàtiques: cap al 2019. Anar-hi anant!) vaig optar per un profètic "anar-hi anant" i enguany em conformo amb un "anem fent". Algú em replicarà que són expressions gairebé sinònimes. Els catalans, modestets i prudents, contestem amb aquest "anem fent" a la pregunta ¿Què tal? (en general, la resta de cultures són més optimistes).
 
Les propietats del nombre 2022
 
Anem per feina! Com d'altres anys comencem pel recurs matemàtic més senzill, ¿quines propietats numèriques té la xifra que ens indicarà el proper any? La descomposició factorial no sembla massa remarcable:


Descomposició factorial de 2022 (Aplicació: OnlineMSchool)

Com d'altres any, he acudit als webs de Tanya Khovanova a la recerca d'ajuda per tal de conèixer les característiques destacables de la xifra 2022:


Les propietats numèriques comunes més destacables de 2022 (Font: Number Gossip)

Khovanova en destaca, però, una propietat única:

Unique Properties of 2022
2022 is the smallest number n such that n, n+1, n+2, and n+3 have the maximal exponents in prime factorization equal 1, 2, 3, and 4 correspondingly

Si ho desxifrem, vol dir que com:

n = 2022 = 2 ·3 · 377

n +1 = 2023 = 7 · 172

n + 2 = 2024 = 23 · 11 · 23

n + 3 = 2025 = 34 · 52

 
els màxims exponents dels factors de la descomposició són, respectivament, 1, 2, 3 i 4, i que 2022 és el nombre més petit amb aquesta propietat.

Més curiós i interessant em sembla el comentari d'Amadeo Artacho (2022 y las ternas pitagóricas), us ho resumeixo en una imatge de la mateixa entrada:
 
2022 i les ternes pitagòriques. Font primigènia: Antonio Roldán?

Si cliqueu en la font de la imatge anterior, podreu accedir al recomanable Twitter "Con números" d'Antonio Roldán.

Addenda de l'1 de gener de 2022

Algun ocellot m'ha fet arribar algunes correccions i observacions a aquest apartat i cal agrair-li amb aquest afegitó.
 
Primera esmena: No he fet constar que 2022 és un any esfènic. Aquesta condició té relació amb que és un nombre lliure de quadrats, però és més específica. Tot i ser esfènic, no està rodejat d'esfènics! Si us perdeu amb l'embarbussament, podeu consultar Felicitacions matemàtiques. Bons anys esfènics! Si ho feu, us quedarà clar que no penso tornar a parlar d'aquesta propietat subsidiària fins el 2665 .
 
Segona esmena: Això m'ha passat per córrer i per confiar en les xarxes (canalla, no us refieu d'Internet o del que diuen els mestres!). És veritat que 2022 forma part de dues ternes pitagòriques, però n'hi ha unes tres més de possibles. Podeu completar aquesta informació a, per exemple, ¡¡Felices Fiestas y Feliz Año Esfénico 2022!!   
 
 
 
Que no tindrem problemes?
 
 
Deixaré per a una propera entrada el problema més nostrat de Cap d'Any: el que proposa, infatigable, l'Ignasi del Blanco. Tinc el d'enguany resol, però no tinc prou marge per escriure'n la solució.
 
Per anar fent boca, en lloc d'ennuegar-vos amb el raïm, us proposo els reptes matemàtics del The Guardian:
  
 
 
Ritu de comiat
 
 
Prometo que abans de tornar al tripalium, si els vents em són propicis, us castigo amb la continuació d'aquesta entrada. Mentrestant:
 
Bon Any, Pau i estigueu bonets!

dilluns, 4 de gener del 2021

Venim de l'any emmascarat i comencem el 2021!


Introducció i divertiment


Ni en els meus pitjors desvaris enfebrats m'hagués imaginat que, quan vaig escriure la darrera entrada d'aquest bloc (Ha arribat el 2020! Que Janus us sigui propici!), tindríem un any 2020 tan emmascarat! Emmascarat, en les dues accepcions del diccionari (DIEC):

emmascarar1

v. tr. [LC] Embrutar amb carbó, amb sutge. Tocant la paella s’ha emmascarat les mans.

emmascarar2

v. tr. [LC] Cobrir amb una màscara.

Vist que com a harúspex no em puc guanyar la vida, he continuat en la docència (presencial, online o per osmosi) i aquest fet no m'ha deixat temps per escriure una trista entrada en aquest bloc... quan hi he tornat, el Senyor Google o el mateix Satanàs han canviat la interfície de Blogger per complicar-nos una mica més l'experiència.
 
I ara tornem a enfilar un canvi d'any...
-“The distinction between the past, present and future is only a stubbornly persistent illusion.” (Albert Einstein)
-D'acord, Herr Einstein, però podrà entendre que la resta de mortals, necessitem representar-nos el temps de forma circular (com les societats agrícoles), de forma lineal o, si molt em forceu, com una cicloide!

Telegrafio un intent de felicitació...

2021, un nombre semiprimer


Si factoritzem 2021, ens adonarem que és un nombre semiprimer; és a dir, producte de dos nombres primers (amb la particularitat de la seva proximitat):

Descomposició factorial de 2021 (Aplicació: OnlineMSchool)

 
Com en els darrers anys, he demanat ajuda virtual als webs de Tanya Khovanova per tal de conèixer les característiques destacables de la xifra 2021:

Les propietats numèriques més destacables de 2021 (Font: Number Gossip)

I com sempre, hi ha algú que té la mateixa idea (tampoc és per tirar coets el fet de diseccionar numèricament la xifra que representa l'any entrant) i la porta a terme abans i d'una forma més elegant: vegeu ¡¡Felices Fiestas y Feliz Año Semiprimo 2021!! al meu bloc de capçalera Gaussianos.

2021, felicitació problemàtica


L'inesgotable Ignasi del Blanco ens proposa un nou repte-felicitació amb la xifra 2021 com a resultat de les operacions aritmètiques bàsiques:

Font:@matesAbeam

No és un problema complicat i s'agraeixen les condicions: a mi m'ha ajudat particularment la que diu que "el resultat de la fila quarta és superior en una unitat al de la fila segona". He trobat a faltar l'aplicació que facilitava els càlculs, però, si us voleu estalviar el llapis i el paper, és molt ràpid introduir les fórmules de les operacions en un senzill full de càlcul.

Si hi heu passat prou estona i no l'heu solucionat o us fa mandra treballar-hi, us dono la solució:



Bon any 2021 (Solució) (+/- Mostra/Oculta)




I per acabar...

Manllevo les paraules de Pep Mita, jo no ho sabria dir amb tanta concisió i elegància:
  

trio la lluna

i m’oblido del cove

de tant somiar

Salut i pau!


divendres, 3 de gener del 2020

Ha arribat el 2020! Que Janus us sigui propici!


Sempre han tingut bec les oques

Mai m'han agradat els jocs d'atzar, però, preparant aquest text, m'he adonat que aquest 2019 que acabem de traspassar me l'he passat jugant al joc de l'Oca. Ep! em refereixo a la frenètica activitat d'aquest bloc: ni una trista entrada. No és tan sols un "d'oca a oca i tiro perquè em toca": durant les vacances d'estiu vaig començar a redactar un article que s'iniciava amb un comentari sobre la canícula estival, però em va fer mandra continuar-lo. Més aviat hem arribat a un "de pont en pont i tiro perquè em correspon"...

Per als que que no coneixeu l'antiquíssim joc de l'oca (us recomano la lectura de Història i simbolisme del Joc de l'Oca), la casella del pont ens permet passar de la casella 6 a la 12 i tornar a tirar. Metafòricament, m'ha passat ben bé això: del 2019 (Felicitacions matemàtiques: cap al 2019. Anar-hi anant!) hem saltat al 2020.

Però deixem l'Oca i anem per feina, fins i tot en el parxís hi juga menys l'atzar.


Janus, el déu al que no li calen girs de 180º

Per acabar-ho d'adobar no us puc desitjar una bona entrada d'any perquè, si porteu velocitats semblants a la meva, ja fa dies que, per a vosaltres, el Cap d'Any correspon al passat.Per tant, us desitjo un bon gener i un millor febrer! I com que el mes de gener està dedicat al déu Janus, aprofito per convidar-vos a prendre una petita píndola de cultura clàssica:

JANO. Jano es un dios romano arcaico y elemental. Es el dios de la puerta -ianua- y el que dio su nombre al mes que inicia el año: ianuarius (enero). Es el dios del paso de uno a otro ámbito. De ahí que se le represente con doble rostro, mira hacia atrás y hacia adelante; bifronte y sin espalda, su cabeza se alza sobre un pilar cuadrangular o sobre un mojón de los que mar- can las lindes. Guardián de los caminos y protector de los nuevos tiempos. Era venerado en Roma con un gran santuario en el Foro, que mantenía su entrada abierta. Su templo sólo se cerraba, de modo ostentoso, en tiempo de paz total, algo que no fue nada frecuente en la belicosa República romana. El emperador Augusto mandó cerrar las puertas del templo de Jano con un gesto simbólico de propaganda: bajo su égida comenzaba un áureo tiempo de paz, la pax augusta.

No hay mitos sobre Jano, que es, como las divinidades romanas arcaicas, un dios funcional: el guardián de las puertas, relacionado con los momentos peligrosos del cruce de un sitio a otro, un movimiento que para una mentalidad supersticiosa y primitiva aparece como arriesgado, el señor del umbral que conviene cruzar con buen pie y bajo buenos augurios. Por eso el dios mira hacia adelante y hacia atrás al mismo tiempo. Puede ser visto como un símbolo también del presente, que es sólo un momento decisivo de tránsito entre el pasado y el futuro. En ese simbolismo se agota la función crucial de Jano, dios romano y sin antecedente griego.
(Carlos García Gual, Diccionario de mitos)

El déu Janus en els Museus Vaticans (Font: Wikimedia Commons)
  
2020: un nombre autobiogràfic de descomposició elegant

La descomposició factorial de 2020 no té cap particularitat interessant (2020 = 22·5·101), però si ens fixem en els successius quocients de la divisió (2020, 1010, 505, 101, 1) hi podem trobar una simetria interessant.

Descomposició factorial de 2020 (Aplicació: OnlineMSchool)

Com en els darrers anys, he demanat ajuda virtual als webs de Tanya Khovanova per tal de conéixer les característiques destacables de la xifra 2020:

Les propietats més destacables de 2020 (Font: Number Gossip)

En d'altres fonts (vegeu, per exemple, ¡¡FELIZ NAVIDAD Y FELIZ AÑO AUTOBIOGRÁFICO 2020!!) destaquen, a més que 2020 és un nombre autobiogràfic (prefereixo, però, el terme "autodescriptiu"): el seu primer dígit, 2, indica quants zeros té; el segon, 0, quants uns té; el tercer, 2, quants dosos té i, el tercer, ens indica el nombre de tresos (qui no té feina, el gat pentina!). Quin serà el proper any autodescriptiu? I el darrer?

I per si no teniu problemes...

Tal com ha passat els darrers anys en el web del CESIRE han publicat un problema-felicitació del professor Ignasi del Blanco (Bones festes i bon any 2020).

El problema d'Ignasi del Blanco per encetar l'any

Si hi heu passat prou estona i no l'heu solucionat, us dono un cop de mà:



Bon any 2020 (Solució) (+/- Mostra/Oculta)

Aquí la teniu:




Per acabar...

Bon Any! I prometo no fer cap entrada tan pedant com aquesta fins el 43·47.

dilluns, 24 de desembre del 2018

Felicitacions matemàtiques: cap al 2019. Anar-hi anant!


Anar-hi anant!?


La darrera felicitació de Nadal i Any Nou d'aquest blog portava l'encapçalament Sense complicar-nos les festes! La felicitació matemàtica de final d'any. En aquella entrada explicàvem que veníem d'uns darrers anys de complicar-nos les festes amb problemes matemàtics. Enguany vull fer un pas més amb aquest anar-hi anant (el podeu pronunciar amb la musicalitat de narinàn, narinàn, narinàn; si us plau, sense cercar-hi missatges ocults). En el web Rodamots (a l'entrada anar a la seva), vaig llegir-hi:


Em va semblar una bona proclama a favor dels diferents estils i "velocitats" amb els quals ens podem enfrontar a la resolució d'un problema matemàtic, que no sempre són prou respectats a les aules –la meva deformació professional, que em porta a fer interpretacions d'aquests tipus, ratlla el freakisme! Ep! una altra cosa és la desídia d'esperar que un altre ens resolgui el problema...

Les propietats del nombre 2019


Com d'altres vegades, una solució fàcil per trobar propietats d'un determinat nombre (amb la calculadora no he anat més enllà de la descomposició factorial 2019 = 3 x 673) és acudir a les pàgines web de la matemàtica Tanya Khovanova:
Les propietats de 2019 (Font: http://www.numbergossip.com/2019)

Si cliquem damunt del nom de les tipologies numèriques obtenim un quadre més entenedor (feu clic al damunt per poder-lo llegir que n'he fet una captura maldestra):

Les propietats del 2019 "en tot el seu esplendor"

He llegit aquí, per primera vegada, la definició de nombre apocalíptic (un nombre n és apocalíptic si el desenvolupament de 2n conté la seqüència 666). Una bestiesa com qualsevol altre (en aquest blog ja he comentat la falsa relació bíblica del 666 amb qualsevol suposat dimoni, però no he trobat la referència). De totes maneres, com a curiositat, aquí teniu totes les xifres de 22019:

2 elevat a 2019 (Font: l'autor amb l'ajuda del programa Mathematica)

He subratllat el 666 i la presència del 652, tres vegades, que em sembla més interessant!

El problema-felicitació d'Ignasi del Blanco


En el web del CESIRE-CREAMAT hi podeu trobar el problema-felicitació d'enguany de l'infatigable Ignasi del Blanco. Té un format semblant al d'altres anys:


Problema creat per Ignasi del Blanco (Font: Cesire-Creamat)
Us convido a fer-lo, no és gens complicat i el fet que, de moment, l'acompanyi una pàgina interactiva que fa els càlculs per nosaltres (cliqueu aquí), ens permet solucionar-lo amb més comoditat. Per als més mandrosos, deixo una solució:


Bon any 2019 (Solució) (+/- Mostra/Oculta)
Aquí la teniu:


I per acabar...


Us desitjo un Bon Nadal, unes bones festes i un Bon Any. I, sobretot, aneu-hi anant, i que les matemàtiques us acompanyin!