dissabte, 29 de desembre de 2012

I les altres geometries?

Introducció: comencem per l'anècdota

Fa algunes setmanes, en una classe de física de segon de batxillerat, estava comentant per enèsima vegada, que els coneixements matemàtics ens fan més planer l'aprenentatge de la física i que, si no es dominen alguns procediments matemàtics (en aquell moment estàvem derivant una equació de posició), és impossible poder avançar. Aleshores, un inspirat alumne —que, en certa manera, fugia d'estudi— em va fer l'esquemàtica i telegràfica pregunta: ¿que són primer les matemàtiques o la física? Amb aquell sisè sentit que et dóna haver interpretat d'altres qüestions més críptiques —i cal dir que amb l'aclariment posterior de l'inquiet interpel·lant—, vaig entendre que l'interessava saber si primer sorgien els conceptes i tècniques matemàtics i després s'aplicaven a la física o, si era la resolució dels problemes físics, la que provocava l'aparició de nous conceptes a matemàtiques.

La pregunta requeria una classe, o tot un llibre!, per contestar-la. Però com que el temari apressa, vaig fer una intervenció comentant que trobaríem exemples en els dos sentits, vaig parlar dels departaments de matemàtiques aplicades (on de vegades, primer és el problema i després les matemàtiques) i en algun moment vaig citar les geometries no euclidianes amb relació a la Teoria de la Relativitat d'Einstein (on, simplificant, primer és la Geometria de Riemann i després la seva aplicació a la física). Vaig anar en compte de no dir Riemann, però se'm va escapar geometries no euclidianes i, més tard, geometria fractal. Fins i tot algun alumne que s'estava endormiscant, ja que havia intuït que tot allò "no entrava en l'examen", es va remoure al seient i uns quants van interrogar alhora, com el cor d'una tragèdia grega: ¿NO EUCLIDIANES? ¿FRACTALS?

Havia oblidat que en els nostres temaris només existeix una geometria i que la relativitat i la mecànica quàntica, que ja han complert un centenar d'anyets, són física moderna (on moderna té el mateix significat de l'adjectiu que s'aplicava a la música jove, moderna o yé-yé, els anys seixanta). No ho comento en el sentit que els alumnes de secundària hagin de cursar geometria diferencial, però estaria bé que tinguessin algunes nocions de "en quin punt estan" les matemàtiques i la física contemporànies (i no n'hi ha prou de recomanar que els professors se'n preocupin si després no s'avalua).

Matemàtiques i matemàtica i, en canvi, geometria (en singular)?

És ben curiós que, en castellà i en català, s'hagi optat majoritàriament pel plural matemàtiques (si us interessen les erudicions podeu llegir Un fantasma de la lexicografía hispánica ¿matemática, o matemáticas?) i, en canvi, costi de trobar el plural de geometria en els llibres. No és només un problema de terminologia: quan el pèndol pedagògic ha retornat de l'àlgebra i la teoria de conjunts a la geometria, hem tornat a alabar les meravelles de l'Antiga Grècia i els Elements d'Euclides (i cal dir que valoro moltíssim els Elements, com podeu veure aquí), hem conservat els continguts de geometria analítica (alabat sia Descartes), però no hem avançat gaire més en el temps.

Per tot això, a l'hora d'escriure una categoria o etiqueta per a entrades com aquesta en el bloc, m'he decidit pel plural geometries que em sembla que reflecteix millor la pluralitat que estic defensant.

Les geometries no euclidianes

La recurrent frase, dogma de fe a secundària, "els tres angles interiors d'un triangle sumen 180º" hauria de portar la condició o afegitó "en geometria euclidiana" o "si l'espai és pla". Només cal comprovar si el teorema funciona, per exemple, pels "triangles" traçats a la superfície terrestre (llegiu-ho a La importancia de los "ámbitos de validez "en ciencia, d'on he tret la imatge que figura a continuació).


Els tres angles d'un triangle sumen 270º!


La majoria dels nostres estudiants ignoren, a més, que estan treballant una determinada geometria, la geometria euclidiana. Els passa com a aquell personatge de Molière, Jourdain, que es sorprèn quan se n'adona que porta més de quaranta anys parlant en prosa sense saber-ho (permeteu-me la digressió literària: ho podeu llegir a Le Bourgeois Gentilhomme, acte segon, escena quarta).

Les geometries no euclidianes neixen de la negació del cinquè postulat d'Euclides. D'altres ho han explicat prou bé, us convido a consultar:

La geometria fractal

Tal com vaig fer en la classe de la qual he parlat en la introducció, la millor manera de presentar la geometria fractal és cedir-li la paraula a un dels seus pares, Benoît Mandelbrot (1924-2010). En una fantàstica conferència TED del 2010, que no us podeu perdre, Mandelbrot ens parla de la seva obra (he triat els subtítols en català, però els podeu treure o escollir d'altres idiomes):


Com que ja ha sonat el timbre i hem d'acabar la classe, prometo que de Mandelbrot i dels fractals en tornaré a parlar en exclusiva i amb l'atenció que es mereixen.

dilluns, 24 de desembre de 2012

Felicitacions problemàtiques

Amb una certa mandra i per continuar la traïció (no és un lapsus calami) del bloc, em decideixo a escriure una nadalenca entrada. Podeu llegir també, segurament són més lluïdes, les dels dos darrers anys:
Aviso que seré escassament original i aprofitaré algunes felicitacions corporatives que m'han anat arribant (és allò de reciclar els regals que et fan, per obsequiar a d'altres persones; això sí, amb la molèstia de tornar-los a embolicar, els regals vull dir).

Des d'ABEAM m'informen que el CREAMAT (ja em perdonareu la ràfega de sigles) preocupat per "fer Nadal" ens adreça les següents observacions i propostes:

1. 2013, 2014 i 2015 són nombres que tenen la particularitat de ser el producte de només tres nombres primers: 2013 = 3·11·61; 2014 = 2·19·53; 2015 = 5·13·31. Hi afegeixen 2012  = 2·2·503, però com que el dos hi està repetit, trobo que no es pot posar en el mateix sac.

2. Ens feliciten l'any amb una nova endevinalla numèrica que m'ha semblat interessant, però endimoniada i feixuga de resoldre, d'Ignasi del Blanco:


Si en voleu veure una versió interactiva que us evitará agafar el llapis, feu clic aquí.



Addenda del 16 de febrer de 2013

Si heu fet clic en el darrer enllaç, haureu comprovat que ja no està operatiu (coses del CREAMAT!). De moment, però, rebuscant, he trobat la versió interactiva en una altra ubicació (v. interactiva).

Una alumna de batxillerat em va renyar, una mica, per això que vaig escriure sobre l'endevinalla de "endimoniada i feixuga de resoldre". Ella la va trobar assequible i no massa complicada (avantatges de tenir les neurones joves). No me'n puc estar de donar-vos una pista i la solució, si, a hores d'ara, encara li esteu donant voltes...

Pista (+/- Mostra/Oculta)

L'associació ABEAM va enviar inicialment aquesta felicitació amb unes dades extres, tal com podeu veure en la següent imatge:


El 25 de la primera fila simplifica força el procés de trobar la solució.


Solució (+/- Mostra/Oculta)

Si no queda més remei, aquí teniu la resposta:




3. Ens faciliten un llistat de llibres de matemàtiques per comprar, regalar o demanar per aquestes dates (Al Nadal regala mates). A mi, col·legues, em molesta la paraula "mates" en un web de matemàtiques i es nota una certa desídia quan l'enllaç a la pàgina acaba amb les paraules llibreestiu. Per altra banda, abstingueu-vos de regalar aquests llibres a persones que no els hi agradin les matemàtiques... encara que siguin els vostres fills! Us sorprendria el nombre de joves que de petits no suportaven les matemàtiques, els seus pares els hi van regalar El dimoni dels nombres o El diablo de los números, i ara estan estudiant Filologia Semítica.

Si sou més de "posar l'arbre", passeu-vos pel Árbol navideño matemático ("taco de chulo") del sevillà Instituto Profesor Tierno Galván.

I si l'únic que us preocupa d'aquestes festes és què us portaran els Reis, llegiu:

LA PROPIEDAD CONMUTATIVA:
¿A qué distancia está Nueva York de Philadelphia?
A unas 120 millas.
¿Y a qué distancia está Philadelphia de Nueva York?
No lo sé.
Pues lo mismo, 120 millas. Por la propiedad conmutativa.
No necesariamente ¡De Navidad a Reyes hay 10 días, pero de Reyes a Navidad hay casi un año!


El text anterior l'he tret d'aquí (la majoria de gracietes que hi surten no us faran somriure si no teniu uns mínims coneixements de continguts matemàtics).


En fi, més que pacients lectors, Bon Nadal i Bon any!

Viñetas navideñas 2012 a La ciencia no se rinde

dimarts, 18 de desembre de 2012

L'hem feta grossa! L'anumerisme en probabilitat

Un tipus d'anumerisme que pot afectar greument les nostres decisions, les nostres opinions i ens pot foradar les butxaques és aquell que fa referència als continguts de probabilitat. Com que aquest dissabte 22 de desembre se celebra el tradicional "Sorteo Extraordinario de Navidad", centraré els meus primers comentaris en aquest joc d'atzar que tant afavoreix  "las arcas del Estado". El primer premi d'aquesta loteria, conegut popularment com "la grossa" (atenció! en castellà li canvien el gènere i s'anomena "el Gordo"), ocuparà les portades dels diaris i les primeres notícies dels informatius de televisió i ràdio. Veurem els posseïdors dels dècims premiats fent saltironets i cridant davant les càmeres, ruixant-se amb alguna beguda alcohòlica espumosa i, més tard, parats com estaquirots amb la butlleta premiada a les mans. Els periodistes formularan l'enginyosa pregunta ¿Què pensa fer amb els diners que li han tocat?, diran que el premi ha estat molt repartit, que ha tocat en una barriada molt necessitada...

Un dècim de la grossa del sorteig de l'any passat

Moltes persones no s'hi jugarien tants diners si tinguessin assolit i interioritzat el següent

Lema fonamental

L'esperança matemàtica de qualsevol joc d'atzar que s'utilitzi amb finalitats comercials és negativa.

Per als no versats en la terminologia estadística, cal indicar que l'esperança matemàtica no és ni una noia llicenciada en aquesta ciència ni una virtut pròpia dels professors de matemàtiques, situada entre la fe en els seus alumnes i la caritat a l'hora de corregir. En podeu veure la definició i algun càlcul d'exemple clicant en esperança matemàtica. En qualsevol joc d'atzar on s'hi juguin diners (com les loteries, les travesses, la ruleta, etc.) equival al guany mitjà per jugada. Que aquesta magnitud estadística sigui negativa per als jugadors que hi participen, indica que de mitjana pateixen pèrdues econòmiques. Evidentment, l'esperança dels organitzadors del joc és positiva.

Falses creences

Moltes persones que han comprat algun dècim de la loteria de Nadal tenen algunes falses creences que van des de conceptes erronis sobre la probabiltat fins als més absurds pensaments màgics. En cito algunes:

1. Determinades administracions de loteria tenen més sort i, per tant, ens afavoreix comprar els números allà. Alguns, per exemple, es desplacen expressament fins a Sort per adquirir els seus dècims a l'establiment La Bruixa d'or. I és que en aquesta administració, i en algunes altres, hi cauen més premis... senzillament perquè hi venen més participacions!

2. Accions com passar el número per la panxa d'una embarassada, l'esquena d'un geperut, o fregar-lo en el nas o en l'escombra de la bruixa que tenen a la porta de l'administració, no modifiquen la probabilitat que ens toqui.

3. N'hi ha que creuen que els números que s'adquireixen en ciutats que han patit algun desastre tenen més probabilitat de sortir; pensant que existeix una estranya llei de compensació!

4. Hi ha números "macos": els que acaben en set, els capicua, els que corresponen a alguna data assenyalada... N'hi ha que costen de vendre: els que són molt petits o molt grans...

5. Que un número hagi estat premiat un any, no modifica la probabilitat que torni a sortir. En d'altres loteries diàries, la gent no vol un número que ha estat premiat el dia anterior (no saben que les boles que s'utilitzen per fer el sorteig no tenen memòria). Molts no s'ho acaben de creure, però si llancem una moneda equilibrada i ens han sortit quatre cares consecutives, la probabiltat d'obtenir cara en la cinquena tirada continua sent 0,5 (o, si ho preferiu, d'un 50%).

A propòsit de tot això, us convido a llegir l'assenyat i encertat article Colas de lotería y anumerismo en el web La Ciencia y sus demonios.

Una darrera creença que de vegades han expressat en veu alta els meus alumnes: conèixer les lleis de la probabilitat no facilita guanyar en la majoria de jocs d'aquest tipus. Sí que us puc dir, que aquest coneixement —i no vull entrar ara en raons ètiques o morals (si confoneu ètica i moral, cliqueu aquí)— dóna motius per no jugar-hi! De totes maneres, som animals contradictoris, podeu llegir Juego a la lotería aunque matemáticamente no debería

Un impagable, i improbable, acudit de Forges

Per acabar, un repte matemàtic i un sorteig

No disposeu de gaire temps si hi voleu participar, fins el dia 21 d'aquest mes de desembre: amb l'excusa del sorteig del 22, el diari El País i La Real Sociedad Matemática Española proposen un problema matemàtic anomenat Números bonitos, números feos (si feu clic en el títol anterior, accedireu a la proposta). Ah, els encertants poden guanyar una magnífica col·lecció de llibres. Això sí, si resulten afavorits després d'un sorteig!

divendres, 7 de desembre de 2012

No fa gràcia, fa por: l'anumerisme

El mot "anumerisme" no m'acaba d'agradar, però no trobo cap paraula més ajustada per definir la ignorància en l'aplicació dels continguts matemàtics més bàsics. Diria que es va començar a utilitzar a partir de la publicació dels llibres de John Allen Paulos en la seva traducció castellana (vegeu L'analfabetisme matemàtic i les seves conseqüències en aquest mateix bloc) i ha arribat als títols d'algun article periodístic (podeu llegir, per exemple, l'interessant El 'anumerismo' también es incultura de Bernardo Marín publicat en El País el 6 d'abril de 2011). Per què no m'acaba de fer el pes aquesta paraula? Perquè sembla que reflecteix una certa visió de les matemàtiques com a la ciència de manipular els nombres, i la matemàtica és força més que un "numerisme". La solució "analfabetisme matemàtic" és més llarga i té una connotació de dificultat en la lectoescriptura matemàtica, i no es tracta d'això. Sigui com sigui, he decidit incorporar l'etiqueta anumerisme a les categories d'aquest bloc i, per desgràcia, tinc material per escriure més d'una entrada.

L'anumerisme ja s'ha convertit, de fet, en l'eix de diversos llibres de divulgació matemàtica. A casa nostra, el matemàtic Claudi Alsina ja ha publicat dos llibres comentant exemples flagrants d'anumerisme (ell parla d'assassinats matemàtics!): Asesinatos matemáticos i Los asesinos matemáticos atacan de nuevo (si feu clic en els títols, en podreu llegir una ressenya). Això d'assassinats matemàtics té una certa gràcia, però pot ser més que una metàfora: ja descriuré, un altre dia, algun cas d'homicidi per anumerisme.

Asesinatos matemáticos (ISBN 978-84-344-6920-4)

Vegem un parell de casos recents, i incruents, d'ignorància matemàtica:
 
La calculadora embruixada...

Si disposar d'un corrector ortogràfic en un processador de textos, no assegura el domini de la llengua escrita; podríem dir que tenir una calculadora a les mans, no proporciona la destresa necessària per fer els càlculs més senzills. En dóna fe el següent vídeo que correspon a una escena "còmica" del programa Saber Vivir que s'emet pel primer canal de TVE. L'emissió és del 5 de novembre d'enguany. Una periodista, Mariló Montero, i un col·laborador del programa, el metge Luis Gutiérrez, no se'n surten quan intenten posar un exemple de com es calcula l'índex de massa corporal (IMC).


Si penseu que la periodista és més anumèrica que el saberut doctor, deixeu-me indicar que:

1. El doctor Gutiérrez s'equivoca en el càlcul mental de l'IMC de la Sra. Montero, que no arriba ni a 20 (si no amaga pes i /o exagera l'alçada).

2. Les errades que comet la calculista són, bàsicament, de jerarquia de les operacions o d'entrada de dades (quan es carrega les comes perquè li molesten!?) i el doctor se'n podria adonar i corregir-les.

3. Impagable l'afirmació del doctor sobre les unitats de l'IMC: kg/m2? Com la pressió? Aquest home, en algun moment de la seva vida, haurà afirmat allò tan simplista de "jo sóc de ciències"?

Veient això no m'estranya que alguns alumnes de les meves classes defensin un resultat equivocat amb la inquietant frase "m'ho ha dit la calculadora". I és que les calculadores les carrega el diable!

El nostres polítics... o els seus assessors

La següent fotografia recull un moment estelar de la intervenció de la política Alícia Sánchez-Camacho en un debat en el canal 8 TV durant la darrera campanya de les eleccions al Parlament de Catalunya:


Mostra una suma bastant senzilla 700 + 500 + 118... i li dóna 1.218! No res, una errada de 100 milions d'euros! Segons ens expliquen en el diari Ara (vegeu la notícia), la Sra. Sánchez-Camacho va dir el resultat correcte, però la captura de la pantalla i l'ànonim assessor que li va preparar el rètol passaran a la història. Els seus contrincants dels altres partits polítics, no se'n van adonar de l'errada?

I avui ho deixarem aquí, ja tindrem temps, més endavant, de parlar del Teorema de Zapatero.

diumenge, 14 d’octubre de 2012

Estimacions numèriques: prodigis atlètics, Fermi i els afinadors de piano

En el llibre "El hombre anumérico", el matemàtic i divulgador John Allen Paulos assenyala, com a símptoma de l'analfabetisme matemàtic ("mathematical illiteracy"), la dificultat per estimar o comprendre la magnitud de les grans i petites quantitats. De fet, he pogut comprovar que molts alumnes de secundària tenen problemes greus per fer estimacions numèriques, o "fer-se una idea", de magnituds relativament modestes. Com que la majoria de professors els hem acostumat als problemes de resultat únic i exacte, no ens hauria d'estranyar aquesta circumstància. Avanço ja que, en aquest escrit, no parlaré estrictament d'estimacions numèriques i que se'm podrà objectar que confonc estimació, apreciació i visualització. Si som rigorosos, del concepte matemàtic, més tècnic, d'estimació, no en parlaré (vegeu la definició d'estimació numèrica o d'estimació estadística). De fet, el meu objectiu és comentar alguns procediments sovint oblidats a les classes de física o matemàtiques.

Mesurar el temps o la longitud a ull ("a ojo de buen cubero" que dirien en castellà)

Recordo que quan cursava algun dels darrers cursos de l'extingida EGB, en una classe que no devia ser de matemàtiques, el mestre ens va proposar la següent activitat: ens havíem de treure i guardar el rellotge, si en portàvem (comento per als més joves que el rellotge era un aparell que servia per a mesurar el temps i que els únics mòbils que coneixíem, alguns, eren els d'Alexander Calder), esperar la seva indicació per iniciar l'experiència i aixecar-nos de la cadira quan consideréssim que havia passat un minut des del seu senyal. La majoria ens vam alçar quan havia transcorregut, més o menys, mig minut, en una clara demostració que érem culs de mal seient (en català és preferible parlar de ser o semblar el cul d'en Jaumet). L'estimació del temps és, però, un assumpte per parlar-ne amb calma i hi ha estudis que indiquen que aquesta apreciació varia, entre d'altres factors, amb l'edat.

Ens hauria de sorprendre més la dificultat que tenen moltes persones (i, en particular, tots els àrbitres de futbol quan, en una falta, han de col·locar la tanca defensiva a 9,15 metres de la pilota) per estimar mesures de longitud. Alguna vegada he fet les següents preguntes a l'aula:
  • L'atleta cubà Javier Sotomayor té l'actual record de salt d'alçada masculí (des del 1993!): 2,45 metres (veure vídeo). Si hagués fet aquest salt en aquesta classe, s'hauria estampat contra el sostre? (no totes les aules tenen la mateixa alçada, però en tot cas els alumnes queden sorpresos, quan fan l'esforç d'imaginar-s'ho, per la "magnitud" del salt).


  • El nord-americà Mike Powell va fer una marca de 8,95 metres en salt de longitud l'any 1991 (i encara és el record mundial!) (veure vídeo). Algú pot indicar, sense aixecar-se, dos punts de l'aula que distin, aproximadament, uns 9 metres?
Cubiquem! Quants litres d'aigua caldrien per...?

Cubicar és, entre d'altres accepcions, "determinar el volum d'un cos coneixent les seves dimensions". En la següent qüestió que es pot portar a l'aula hi intervenen els conceptes de volum i capacitat i els canvis d'unitats:
  • Quantes ampolles d'aigua d'un litre caldrien per omplir un volum equivalent al d'aquesta classe?
Totes les vegades que he plantejat aquesta pregunta en una aula de secundària, preferentment en les primeres classe d'un curs de primer de batxillerat, i de forma oberta (hi ha d'altres maneres de fer-ho més adequades, pedagògicament parlant) he observat, entre d'altres, els següents fenòmens:
  1. Alguns alumnes contesten immediatament sense parar-se a pensar i acostumen a equivocar-se greument en l'ordre de magnitud (en tenen prou amb uns pocs milers d'ampolles); la majoria, sorpresos, deixen la feina per als impulsius i per a aquells que habitualment sempre l'encerten i, aquests darrers, són els únics que fan alguns càlculs preliminars i donen el resultat aproximat.
  2. La dificultat, bastant generalitzada, de treballar amb les unitats de volum i de passar de les unitats de volum a les de capacitat (1 litre és equivalent a 1 dm3; 1 m3 equival a 1000 litres).
Els problemes de Fermi: Quants afinadors de piano hi ha a Chicago?

El físic d'origen italià Enrico Fermi (1901-1954) proposava als seus alumnes universitaris problemes del tipus: Quants afinadors de piano hi ha a Chicago? La qüestió s'havia de resoldre dins de l'aula i sense cercar més informació que la que els estudiants coneixien (la població aproximada de la ciutat on vivien) o podien estimar (quants pianos hi ha a la ciutat). Actualment aquest tipus de preguntes es coneixen amb el nom de problemes o qüestions de Fermi (problema de Fermi).

Enrico Fermi

(Per cert, a propòsit de la fotografia anterior, si voleu veure més fotografies de físics eminents feu clic a A Picture Gallery of Famous Physicists)

Quan ens enfrontem amb un problema d'aquests tipus no pretenem trobar el resultat exacte sinó encertar el seu ordre de magnitud. Una de les anècdotes més conegudes de Fermi té a veure amb una estimació: va calcular l'energia despresa per una explosió nuclear a partir del desplaçament d'uns trossets de paper que va deixar anar quan li va arribar l'ona expansiva (vegeu l'informe de les observacions de Fermi després de l'explosió de la bomba a la prova Trinity en la darrera pàgina de Fermi Questions de Joyce Byun o la detallada explicació com a activitat d'aula avançada o universitària en El soplo de la bomba atómica).

Podeu consultar també:

Per acabar vull agrair l'interès dels alumnes que, quan plantejo qüestions del tipus que he presentat aquí, en comptes de pensar que "el profe està boig", que potser també, es llancen a intentar esbrinar la resposta o cerquen per internet l'origen i significat de les preguntes. De fet, dos del enllaços que dono en aquest escrit me'ls han proporcionat ells. Vaja, que l'escola no sempre mata la curiositat!

diumenge, 2 de setembre de 2012

No us enfileu a la taula!

Aquest 31 d'agost, el diari La Vanguardia ha publicat la solució de l'últim repte matemàtic de la sèrie de problemes El Cervell matemàtic. D'aquest entreteniment diari, estiuenc i que té ja dos anys de vida, n'he parlat en l'entrada anterior a aquesta, on hi trobareu un enllaç a un dossier amb tots els reptes matemàtics de l'any passat i la promesa, que ara compliré, de disseccionar algun dels problemes apareguts enguany.

Problema: No us enfileu a la taula!

En general, els problemes proposats han estat senzills i han estat triats entre els de menys puntuació, i per tant dificultat, dels que s'inclouen en les Proves Cangur. Alguns, però, m'han fet una certa gràcia. Un dels que em van cridar l'atenció és el del 24 d'agost. M'he permès escanejar-lo barroerament  —fins passat un mes de la publicació, els comuns mortals (no suscriptors) no podrem accedir a la Hemeroteca digital de La Vanguardia per veure'l— i aquí el teniu:

El Cervell matemàtic (La Vanguardia, 24 d'agost de 2012)

He cercat aquesta pregunta en els enunciats del Cangur i l'he trobada, però en una versió lleugerament diferent:

Nivell 3 (Cangur 2012-Catalunya)

(podeu veure les dues imatges més grans si hi feu clic)

L'enunciat del Cangur és de la secció de preguntes de tres punts (les més senzilles) del nivell 3 que correspon als alumnes que estan cursant 1r de Batxillerat.Com podeu comprovar, abans de publicar-lo en el diari, se l'ha passat pel sedàs "políticament correcte" (els dos nens, Miquel i Albert, s'han convertit en nen i nena per allò de les quotes) i se li ha afegit un dibuix per allò de l'estètica i per evitar que els lectors hagin de fer un esforç d'imaginació.

A la majoria no us costarà gaire arribar a la resposta; però, per si de cas i per fer algun comentari:

Solució del problema: No us enfileu a la taula!
(+/- Mostra/Oculta)

Dels dos enunciats, soluciono el del Cangur i per de-formació professional, utilitzaré l'àlgebra:

Incògnites
La incògnita a indicarà l'alçada de l'Albert; la m, l'alçada d'en Miquel i la t, l'alçaria de la taula (totes en centímetres). Permeteu-me un consell general: assigneu a les incògnites, lletres que us facilitin la conversió del text en una equació i deixeu la x, la y i la z per escriure en polonès.

De l'enunciat, obtenim dues equacions:

a + t = m + 80
m + t = a + 100
Resolució
Ordenem les dues equacions, deixant les incògnites en el primer membre:


a - m + t = 80
-a + m + t = 100

Si les sumem, resulta que 2t  = 180. I per tant, la taula mesura 90 cm.

Comentari
Com que només tenim dues equacions per a tres incògnites, és impossible saber l'alçada de cadascun dels nois. Sí que es pot determinar que un fa 10 cm més que l'altre.

La solució de La Vanguardia
El diari evita la faramalla algebraica i dóna la següent solució escrita equivalent (heu de mirar el requadre de la dreta de la imatge, a l'esquerra hi ha un altre problema nen-nena):

El Cervell matemàtic (La Vanguardia, 25 d'agost de 2012)

Qui és més alt el nen o la nena? Si penseu de forma "políticament correcta", us estalviareu el càlcul!


Per acabar, si algú troba estrany, mal trobat o poc adequat el títol de l'entrada, penseu que ja s'acosta l'inici de l'any escolar i els professors ja estem pensant una normativa d'aula senzilla, raonable i entenedora. Hi ha escenes que queden molt bé a les pel·lícules (vegeu-ho), però, de vegades hem de reprimir els impulsos i no enfilar-nos a les taules!

dissabte, 25 d’agost de 2012

—Cervell matemàtic, La Vanguardia?
—Em sembla que s'equivoca!

Pot ser molest rebre una trucada de telèfon equivocada, sobretot si aquell que ens truca se salta qualsevol salutació i identificació i, a més, està convençut que l'errada no és seva:

—Encara no m'heu portat la rentadora!
—No li ha d'estranyar perquè aquesta és una adreça particular i no en venem!
—Que no parlo amb en Pere?
—Ho sento, però s'ha equivocat. Aquí no hi viu cap Pere.
—N'està segur?

Puc prometre que no m'he inventat el diàleg! Si hagués tingut una mica més de reflexos, podria haver acabat amb una referència a aquell acudit suat:

—D'acord, vosté no s'ha equivocat al marcar; sóc jo que hauré despenjat malament.  

El cercador Google és un bon especialista en fer "trucades equivocades". A tall d'exemple, 128 dels seus usuaris han arribat a aquest bloc després d'introduir "Sant Joan Baptista" com a paraules clau de cerca i uns altres 36 devots de l'art després de teclejar "la mare de Déu i Santa Anna". De fet el cercador no va errat i ho podeu comprovar fent clic aquí per trobar el Sant. Pitjor ho han tingut aquells que han arribat a aquestes pàgines després d'escriure en la barra de cerca "Blancaneus" o "com explicar les hores". L'únic que em fa patir és la possibilitatt que a algun internauta li agafi un atac d'ansietat quan es troba amb un bloc de matemàtiques.

Aquestes darreres setmanes, rebo visites cibernètiques de persones que cerquen referències del "cervell matemàtic" o del "cerebro matemático La Vanguardia", un passatemps d'estiu del diari La Vanguardia. L'implacable senyor Google els dirigeix, entre d'altres, a les entrades Els diaris i les matemàtiques per passar la tarda (I) i Els diaris i les matemàtiques per passar la tarda (II) que vaig escriure l'any passat.  En aquest escrits comentava la iniciativa de La Vanguardia de publicar passatemps matemàtics i la comparava amb activitats més reeixides de El País. Enguany en un raconet del diari del grup Godó hi tornareu a trobar els reptes matemàtics que proposa la Societat Catalana de Matemàtiques (SCM) i que no són res més que preguntes de les Proves Cangur, més o menys adaptades i sense indicar a quins grups d'edat van dirigides. Podria repetir les crítiques de l'any passat, tot i reconeixent l'aportació a la divulgació de les matemàtiques, però m'ho estalvio. Sí que vull remarcar que fer-ne una publicació digital o incloure les preguntes en l'edició en línia no hagués costat gaire, no hagués suposat cap pèrdua econòmica per al diari i els que en cerquen informació o les solucions s'evitarien caurà en les xarxes d'aquest bloc.

Per tal de rescabalar de la pèrdua de temps als internautes naúfrags, dono l'enllaç a totes les 42 qüestions plantejades (i les solucions explicades) en el Cervell Matemàtic de l'any passat. Feu clic en:


Aquest document forma part d'una sèrie de propostes entorn de les Proves Cangur preparades per la Societat Catalana de Matemàtiques. Les podeu veure totes si feu clic a Prova Cangur-Propostes diverses.

Espero que aquells que estan interessats en els reptes publicats enguany, frueixin del recull dels de l'any passat. Ah! i em guardo la dissecció d'algun problema aparegut aquest agost, per a una propera entrada.

dijous, 23 d’agost de 2012

Miguel de Guzmán (1936-2004): alguns dels seus llibres

En un exemple paradigmàtic de procrastinació (si ignoreu el significat del mot, podeu consultar-ne la definició a Viquipèdia o llegir-ne una recreació a Microsiervos), vaig anunciar fa més d'un any, l'onze de gener de 2011!, que faria desaparèixer "aviat" el llistat Llibres de matemàtiques interessants que hores d'ara encara figura en la columna de la dreta d'aquest bloc. Podeu rellegir aquest gran propòsit  en .Simon Singh: llibres rodons (I). Com que en sap greu eliminar aquesta llista sense comentar el llibre que ocupa el primer lloc Aventuras matemáticas i, sobretot, sense tornar a parlar del seu autor Miguel de Guzmán, anem per feina...

Del matemàtic Miguel de Guzmán Ozámiz (Cartagena, 1936- Madrid, 2004) ja he destacat, en Estalmat: estímul del talent matemàtic, la seva feina com impulsor del meritori projecte EsTalMat, però si he citat alguns dels seus llibres ha estat molt de passada. Comentaré només les tres obres seves que tinc a mà, reposant en els prestatges de la meva biblioteca (podria valorar també alguns llibres que no he llegit, però algun crític literari podria considerar això una intromissió professional).

Aventuras matemáticas

M'estalvio l'elaboració de la ressenya d'aquesta magnífica i més que reeditada obra magna i reprodueixo els comentaris que el matemàtic Emilio Palacián (Calatayud, 1947) va fer el 1995 en la pàgina 105 del núm 20 de la revista Suma:

En algunas ocasiones se ha dicho que en el mundo editorial español se publican muchos títulos, pero las reediciones son escasas. Esta afirmación global, al menos la segunda parte, es mucho más cierta en el caso de las matemáticas. Desconozco si la producción editorial matemática de España es comparable a la de otros países, pero lo que sí es fácilmente constatable es el bajo número de libros que se reeditan si se excluyen, obviamente, los manuales de texto. El libro que nos ocupa es una excepción, constituye una nueva edición aumentada de la publicada en 1987 por Labor. Desde entonces ha sido traducido a cuatro idiomas -francés, portugués, finlandés y chino- lo cual ya sí que supone, no sólo una excepción, sino una autentica rareza en el panorama bibliográfico de la divulgación científica en nuestro país.

El éxito de esta obra se debe, sin duda, a la personalidad científica y a la capacidad comunicativa de su autor. Para escribir buen libro de divulgación científica es preciso conocer muy bien los temas de los que se habla -lo cual no siempre ocurre-, y saberlos «contar». Miguel de Guzmán cumple los dos requisitos; sería pretencioso por mi parte entrar en el primero y para comprobar el segundo basta con leer alguna de sus obras o escuchar algunas de sus conferencias o charlas en cualquiera de las muchas actividades dirigidas al profesorado en las que participa. Tiene el raro don de explicar cosas complicadas con rigor, de forma sencilla y amena, que cautiva al lector o al oyente y le convierten en el máximo exponente de la alta divulgación matemática en España, algo así como el Martin Gardner nacional.

Aventuras matemáticas, está estructurado en 19 capítulos, de los que son nuevos en esta edición los cinco últimos. En el capítulo 0 se ofrecen una serie de estrategias para resolver problemas y constituye el germen que daría lugar más tarde a Para pensar mejor. A lo largo de los capítulos 1 a 13 se exponen desde problemas clásicos y no tan clásicos hasta juegos de distinto tipo, pasando por cuestiones geométricas, de teoría de números, etc. Cada uno de los capítulos termina con unas notas en las que autor enmarca los diferentes tópicos tratados en teorías más generales, o da unas breves pinceladas de tipo histórico, o incluso esboza su opinión sobre cuestiones relacionadas con la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.

Los capítulos nuevos de esta edición tratan aspectos matemáticos muy actuales, como muestra el sólo enunciado de sus títulos «Una iniciación a los fractales», «Una ventana hacia el caos «El teorema de Fermat y otras conjeturas», «Los números primos y el espionaje. Criptografía de clave pública» y «Sobre el teorema de Gödel». Para ilustrar los cuatro primeros, y aunque su lectura se puede hacer de forma totalmente independiente, se acompaña un disquete de ordenador con unos programas preparados para usar con el programa de cálculo simbólico DERIVE (vesión 2.5 o siguientes).

En conjunto se trata de un libro que hará pasar muy buenos a los amantes de las matemáticas y creo que es recomendable para lectores de muy diverso tipo, por supuesto a los profesores de distintos niveles por las ideas que pueden obtener para sus clases, pero muy especialmente a estudiantes y recién licenciados en matemáticas, ya que la lectura de esta obra -y de otras semejantes- proporciona una visión de las matemáticas complementaria de la más académica obtenida en la licenciatura y que es imprescindible para una formación matemática más global, sobre todo, para quienes vayan a dedicarse profesionalmente la enseñanza de las matemáticas en la educación secundaria
.

Emilio Palacián



Aventuras Matemáticas (Edició del 2006) (ISBN 84-368-2070-3)

Una característica d'aquestes aventures, és una obvietat que no sempre compleixen els llibres de divulgació, és que convida a una lectura activa i a desenvolupar el pensament matemàtic en el lector. Hi ha capítols, però, que no són de lectura fàcil per a aquells que no tinguin uns coneixements mínims de trigonometria, geometria o anàlisi matemàtica.

Cómo hablar, demostrar y resolver en Matemáticas

En el pròleg d'aquesta breu obra del 2003 (118 pàgines no gens atapeïdes), Miguel de Guzmán deixa clar el seu propòsit:

He redactado este breve trabajo con la intención de ayudar a quienes tratan de adentrarse en las Matemáticas de nivel universitario. Con él quisiera proporcionarles unas cuantas pistas, a mi parecer importantes y nada obvias, que puedan hacer más fáciles, rápidos y eficaces sus primeros pasos autónomos.

Espero que sea de utilidad para los estudiantes de los últimos años de la Educación Secundaria que se disponen a iniciar una carrera científica o técnica, y que encuentren aquí anticipadamente algunas de las tareas iniciales de su futuro trabajo matemático, así como para los alumnos de los primeros cursos de tales carreras, con frecuencia sumidos en serias dificultades frente a las tareas propuestas por sus profesores, que, en muchos casos, son demasiado optimistas respecto a la preparación real con que sus estudiantes llegan a la Universidad.

El libro corresponde a una primera fase de la preparación que en muchos centros universitarios -facultades y escuelas de ingeniería- se viene ofreciendo a los estudiantes en años recientes. Se trata de facilitar el paso de una ocupación matemática en la Educación Secundaria, más bien dirigida hacia el conocimiento descriptivo y el dominio práctico de ciertos algoritmos y rutinas, a una dedicación matemática en la Universidad, más centrada en la comprensión profunda del método matemático y en el ejercicio autónomo de lo que viene a ser lo más genuino del quehacer matemático: el establecimiento de los hechos matemáticos mediante la demostración y la resolución de los problemas de cada campo específico.


Miguel de Guzmán

Cómo hablar, demostrar... (ISBN 84-667-2613-6)

Aquest manual facilita el pas del batxillerat a la universitat i intenta omplir alguns grans forats del currículum de matemàtiques a secundària: lògica i llenguatge matemàtic, mètodes de demostració i estratègies per a la resolució de problemes.

Mirar y ver

En la contraportada (!), els editors afegeixen  el següent subtítol al títol del llibre: ensayos de geometría intuitiva i se'ns informa que:

Este libro intenta contribuir a la búsqueda de equilibrio, en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, entre intuición espacial y rigor formal.

La elección de temas ha sido guiada por el deseo de presentar objetos matemáticos que tuviesen profundidad y belleza y que, al tiempo, representasen líneas de pensamiento actuales. Además, se ha evitado tratar temas que precisen tediosas introducciones sistemáticas.


Los ensayos pueden ser leídos independientemente, y los conocimientos necesarios corresponden a los que se van adquiriendo en los cursos del bachillerato y en los primeros años de enseñanza universitaria.

Mirar y ver (ISBN 84-95599-46-5)

El web DivulgaMAT reprodueix la critica i reflexions que sobre aquests assaigs va fer la professora Elena Gil i que abans havien aparegut a Suma (feu clic aquí per llegir-ho a DivulgaMAT o a Suma núm 48 si voleu accedir a la revista i arribar-vos a la pàgina 111)

De Guzmán no es cansava de recalcar la importància de reforçar els continguts de geometria en l'ensenyament de les matemàtiques i aquest darrer llibre que citem és un bon exemple de la seva preocupació per fer comprensibles i accessibles alguns conceptes, no sempre elementals, d'aquesta branca de les ciències exactes.

dilluns, 6 d’agost de 2012

Una definició matemàtica de joc? (II)

En l'entrada, immediatament anterior a aquesta, Una definició matemàtica de joc (I)?, em vaig atrevir —mig en broma— a fixar les cinc condicions que ha de complir una activitat per poder-se etiquetar com a "joc matemàtic". Filaré una mica més prim i afinaré alguna de les cinc condicions.

La importància del torn de jugada. Quan és impossible guanyar (o perdre)

En la tercera condició indicava que en els jocs, habitualment, hi ha guanyadors i perdedors. La probabilitat de guanyar o perdre no cal que sigui idèntica i, a part de l'estratègia seguida per cada contrincant, pot dependre de si tenim o no el primer torn de jugada. En els escacs, per exemple, jugar amb blanques (per tant, iniciar la partida) sembla que ha d'atorgar algun avantatge (però dels escacs ja en parlarem amb calma en una altra ocasió). En d'altres jocs, com en el conegudíssim tres en ratlla, si els jugadors segueixen una estratègia òptima s'acaba sempre en empat; per tant, per perdre s'ha de cometre alguna errada. Però, hi ha activitats lúdiques en les quals, es jugui com es jugui, guanyar o perdre només depèn del torn que correspon al jugador. En aquest cas, no parlem de jocs, sinó de pseudojocs. En el llibre Prisioneros con dilemas y estrategias dominantes, Jordi Deulofeu ens en parla i posa algun exemple trivial:

Partint de 20 escuradents, dos jugadors en retiren alternativament 1, 3 o 5. Guanya qui s'emporta l'últim escuradents.

És evident (i si sou més aviat empírics, no cal jugar-hi gaire per comprovar-ho) que, independentment de les jugades, sempre guanya el jugador que té el segon torn. Podeu trobar més informació en el llibre de Deulofeu o en l'article Pseudojuegos, o juegos que parecen juegos pero no lo son.

Prisioneros con dilemas y estrategias dominantes. ISBN: 978-84-473-6631-6

Que en queda d'un joc després d'analitzar-lo matemàticament?

En la quarta condició fixàvem que  — i pot semblar una tautologia —  per ser titllat de "joc matemàtic", l'activitat s'ha de poder analitzar matemàticament. Després de l'autòpsia matemàtica el joc o el tipus de joc pot semblar ben bé un altra cosa (en els comentaris d'una altra entrada ja vaig recorre a l'aforisme de Goethe: Els matemàtics són com els francesos; se'ls digui el que se'ls digui, ells ho tradueixen a la seva llengua i, des d'aquell moment, es tracta d'una cosa diferent). Un bon exemple d'això que estic afirmant i que podeu llegir és La suma de juegos escrit per l'estudiant de matemàtiques Moisés Herradón Cueto publicat en la revista Matgazine a la qual li desitgem una fructífera i llarga vida.


Jocs i matemàtiques. Algunes interaccions històriques (o actuals)

L'estudi dels jocs d'atzar va inspirar el naixement de la Teoria de la Probabilitat. En la majoria de textos on es parla del desenvolupament històric d'aquesta teoria no pot faltar la cita de les consultes que sobre les probabilitats en els jocs de daus va fer el literat i jugador Antoine Gombaud (1607-1684) (autoinvestit i més conegut com a chevalier De Méré) a Blaise Pascal (1623-1662). Podeu veure comentades alguna de les consultes, per exemple, en Las apuestas del caballero De Meré en la Pàgina personal de Josep Maria Albaigès o en Problema de los dados del caballero De Méré a càrrec de l'infatigable Manuel Sada que s'atreveix a posar correctament els dos accents a Méré.

Ara que s'ha posat de moda el pòquer i que en algunes pel·lícules surten exitoses i matemàtiques maneres de guanyar en alguns jocs de casino, ja sigui en el blacjack (21 Black Jack) o en la ruleta (The Pelayos, vegeu també l'escrit Matemáticos contra el casino) , una de les maneres d'atrapar, momentàniament, l'atenció d'alguns alumnes (noctàmbuls i amics de les timbes), durant les classes de matemàtiques, és aplicar el càlcul de probabilitats a aquests jocs.

De l'altra interacció que hem de citar inevitablement, la Teoria de Jocs, cal dir que ni parla específicament de jocs ni és aplicable a qualsevol "joc matemàtic". Encara que un dels pares d'aquesta teoria, John von Neumann, estava interessat pel pòquer i per l'anàlisi del fenomen més general de les catxes, la Teoria de Jocs s'ha aplicat més a l'economia o a l'estratègia militar que no pas als jocs pròpiament dits.

I els matemàtics han creat algun joc? Com que el meu objectiu no és ser exhaustiu, només posaré un exemple: s'atribueix a John F. Nash (a qui ja hem dedicat ja tres entrades, la darrera va ser John F. Nash: la pel·lícula de Ron Howard (II)) la invenció del joc Hex. Sembla que el primer en proposar el joc, va ser, però, una altra persona interessada en les matemàtiques: Piet Hein. Podeu llegir una breu història de l'Hex i jugar-hi! en la pàgina Hex de Nadia Gonzalo Picazo.

Partida d'Hex a la fira JugarXJugar

dimarts, 24 de juliol de 2012

Una definició matemàtica de joc? (I)

Hi ha preguntes enverinades. Etimologia i intenció

En l'entrada del 19 de maig d'enguany (Jocs, matemàtiques, JugarXJugar i l'aualé), en Francesc Rovira feia el següent comentari:

—Estaria molt bé que donessis una definició matemàtica de 'joc', ¿què és un joc, matemàticament parlant?

Sincerament, crec que quan va fer la pregunta ja sabia que em llençava un repte llaminer, però de solució impossible. La meva resposta va ser un comentari que treia partit de l'etimologia (que és una sortida planera, i sovint pedant, per fer passar el temps i fugir d'estudi):

—Un recurs fàcil per començar un intent de definició és recórrer a l'etimologia: joc ve del llatí iocus que, així en singular, significa "broma" en una primera accepció. Si bé en plural, ioci, ja agafa clarament el significat de jocs o entreteniments. Ja veus que començo guanyant temps, però em guia un esperit lúdic (del llatí ludus, joc o diversió). Extra iocum (es a dir, bromes a part), per contestar la teva pregunta (que espero que hagi estat perpetrada amb animus iocandi) necessito un espai més gran que el que em deixa el senyor Google per fer comentaris. Em comprometo a fer un article per donar pistes per a una possible definició de "joc" des del punt de vista matemàtic (no crec que me'n surti del tot). No serà en la propera entrada que penso dedicar als falsos prodigis, però sí en la següent. Gràcies per proposar el repte.

Podria anar al gra i ser cartesià i lineal, però prefereixo fer marrada i suggerir, amb pinzellades desiguals, possibles respostes i problemes evidents Començarem per parlar de "joc" i després veurem què hi poden tenir a veure les matemàtiques.

Si l'etimologia no ajuda gaire, recórrer als diccionaris, sembla que tampoc (a tall d'exemple, podeu llegir les definicions que dóna el DIEC: joc, jugar). Una primera dificultat que sorgeix és que qualsevol definició de joc ha d'incloure una intenció particular (en diem lúdica) en els individus que la practiquen. Si jo no sé on he deixat les claus i les estic cercant, ningú definiria la meva percaça angoixant com a joc; en canvi, si faig això mateix per passar l'estona i demostrar la meva perspicàcia, després que algú amb el meu consentiment les ha amagat per casa, sí que és un joc? No cal dir que la matemàtica no és la millor disciplina per valorar i tractar  les intencions.

Els nens juguen. D'altres animals, també

Pensant aquest escrit, vaig recordar que havia llegit algun article sobre el joc en la revista Mente y Cerebro. Efectivament, la portada de l'exemplar de gener/febrer de 2011 ho deixava clar:

Portada de Mente y Cerebro (núm. 46/2011)
Rellegint les seves pàgines, he comprovat que el seu contingut no m'ajudava gaire a aconseguir els meus objectius, però com que em sembla interessant, tendeixo a la dispersió i no pretenc escriure un article formal... allà va un resum (el contingut complet no és de distribució lliure) i alguns comentaris:

En La importancia de jugar se'ns parla de la transcendència que té el joc lliure i imaginatiu en el desenvolupament dels infants. El concepte "joc lliure" (activitat espontània, sense regles, imaginativa...) es contraposa al de "joc estructurat" (joc amb unes regles). Ara que molts pares s'obsessionen per estructurar les activitats dels seus fills des de molt petits (fins i tot per fer plastilina als tres anys cal acudir a les classes particulars d'un artista plàstic..., per no parlar de en què s'ha convertit  jugar a pilota), resulta que el joc lliure és fonamental per un desenvolupament equilibrat dels nens i nenes. Si us plau, deixeu jugar als nens (veureu que no els hi calen reglaments)! Les matemàtiques, però,  no hi tenen res a pelar amb els jocs lliures...

En el mateix exemplar podeu llegir l'entrevista ¿Por qué a los pulpos les gusta jugar? on es parla del joc en el món animal. M'abstindré de fer una crida per tal que es deixi jugar als pops...

En els dos textos se cita a Gordon Burghardt, investigador del joc en animals, que evidentment ha hagut d'establir quines característiques, ell en dóna cinc, fan que una activitat observada en una bèstia o bestiola pugui ser definida com a joc (les podeu llegir en Un juego muy serio). Si us interessa aquest tema, podeu fer una ullada, també, a Entre animales anda el juego (però, si us plau, no feu clic en cap dels anuncis on apareix l'omnipresent ex-ministre Eduardo Punset). El joc animal, evidentment, no en té res de joc matemàtic.

Però, que no parlarem de matemàtiques?

Ara que ja deveu estar informats que el joc lliure, el joc animal i l'Eduardo Punset no tenen res a veure amb les matemàtiques, centrem-nos. Em llanço a la piscina i sense pensar-m'ho massa (i una mica en broma) intento una definició. Entenc per joc matemàtic (en una definició àmplia que abastaria qualsevol joc en el qual una estratègia plantejada utilitzant les matemàtiques reporta algun avantatge) :

1. Una activitat estructurada (té unes regles). Recordo ara la paradoxa "Este juego no tiene reglas" que no sé si he llegit en algun llibre de John Allen Paulos o en algun llibre de Raymond Smullyan.

2. Hi participen una o més persones que, a partir d'ara, anomenarem jugadors. Alguna de les persones poden ser substituïdes per un simpàtic programa d'ordinador. Si totes les persones són substituïdes per programes o sub-programes, és necessari un observador humà que a la manera d'un déu analitzarà el resultat.

3. El joc és finit i té uns objectius a assolir. A l'acabar-lo, generalment, és podrà etiquetar els jugadors en guanyadors i perdedors en funció dels objectius aconseguits. Es pot donar la possibilitat que no hi hagi ni guanyadors ni perdedors. En aquest cas es dirà que s'ha empatat i es podrà comprovar que el jugador que es creia menys destre en el joc és aquell que està més content. Si només hi ha un jugador i és el guanyador, s'acostuma a dir que ha solucionat el joc (en cas contrari, no direm mai que el joc ha guanyat; com a molt, direm que ens ha vençut).

4. (Imprescindible per poder afegir-hi l'adjectiu "matemàtic"). Les accions i estratègies dels jugadors es poden decidir i optimitzar utilitzant les matemàtiques. Fer ús de les matemàtiques dóna avantatges als jugadors. Un observador extern pot analitzar amb profit el joc des d'un punt de vista matemàtic.

5. (Imprescindible per poder distingir els jocs matemàtics dels exercicis i problemes). L'activitat ha de ser susceptible de poder ser portada a una aula per un mestre o professor. En aquest cas els alumnes es poden etiquetar de jugadors. El mestre o professor intentarà "colar" continguts matemàtics en l'activitat de manera que els alumnes no ho acabin de relacionar amb "una classe de matemàtiques normal" (reconec que sóc incapaç de definir aquest darrer concepte), convençut que d'aquesta manera els alumnes aprendran, abans i sense dolor, a sumar fraccions o a operar vectors, per exemple. Si sou els alumnes, penseu en no neguitejar el "profe" amb frases com: "que no farem classe avui? Això és un 'rotllo'!", "això compta per nota? que entrarà a l'examen?". I sobretot, feu veure que penseu una mica abans de qualsevol jugada!

Em temo que dins d'aquesta acurada definició hi caben activitats com el ganxet o la ruleta russa; però, al cap i a la fi, algú de l'Antiga Grècia ja es va adonar que definir "home" com a "bípede implume" convertia en homes els pollastres a l'ast. No cal dir que qualsevol aportació crítica o humorística en forma de comentari que millori aquests cinc punts serà ben rebuda.

Després d'aquesta primera part tan lúdica, em comprometo, ara sí, a ser més seriós, a parlar més de matemàtiques i a portar-me més bé en una, espero, molt pròxima continuació d'aquesta entrada.

diumenge, 3 de juny de 2012

Falsos prodigis, credulitat i mal ofici

Capítol I
Els profetes anuncien el prodigi

El 28 de maig d'enguany mentre revisava les novetats que ens aportava la premsa digital em vaig trobar amb la següent notícia a La Vanguardia:

Un estudiante de 16 años resuelve un enigma matemático de Isaac Newton 350 años después

L'estudiant d'origen indi (algú ja va començar a parlar del nou Ramanujan!) i actualment estudiant de secundària a Alemanya, es diu Shouryaa Ray. No s'ha de ser un expert en matemàtiques per sospitar, només cal veure el contingut i que l'autoria de l'escrit és d'aquest fantasma que s'anomena Redacción, que la notícia era, com a mínim, exagerada. Inmediatament vaig consultar el meu web de matemàtiques de referència, Gaussianos, i, sorprenentment, es feia ressò de la bona nova:

Shouryya Ray, genio de 16 años que ha resuelto un problema propuesto por Newton hace más de 300 años

Si cliqueu en l'enllaç anterior, veureu que l'entrada ja està rectificada en el sentit que us comentaré.

Com que els suposats problemes newtonians impliquen resoldre equacions diferencials relativament "clàssiques" i conegudes, com que resoldre una equació diferencial requereix coneixement i ofici (ja ens poden bufar a l'orella les muses, que no sona la flauta per casualitat), com que els problemes importants de matemàtiques no resolts i intel·ligibles per als aficionats estan força divulgats i no em sonava que Newton s'hagués marcat cap "farol" o hagués deixat cap conjectura oberta a la manera de Monsieur Fermat (vegeu El Darrer Teorema de Fermat: una primmirada introducció) i..., encara més, com que de les notícies de ciència de La Vanguardia no me'n fio gens (per raons objectives i per com Josep Corbella, un dels seus redactors habituals, és capaç de disfressar-les de forma maldestra i sensacionalista)... vaig arribar a la conclusió que el treball de Shouryaa Ray, segurament meritori, era irrellevant.

A Gaussianos, algun comentarista ja apuntava en aquest sentit. A més, les fonts que es citaven eren de credibilitat dubtosa —el Daily Mail, per exemple—, no vaig poder localitzar cap diari alemany que en parlés i un diari més seriós en la divulgació de les ciències i les matemàtiques, El País, no en deia res.

Capítol II
De la credulitat del poble

Per sorpresa meva i sense que vingués a tomb, el mateix dia que vaig conèixer la notícia i l'endemà, durant dues classes de batxillerat diferents, alguns alumnes em van comentar el descobriment:

—Un noi de setze anys ha solucionat un problema que no va poder resoldre Newton. Ho diuen els diaris! —quasi crida un alumne intentant fer caure a Newton i a tot el sistema educatiu del pedestal.

 —La notícia com a mínim és exagerada. No us hauríeu de creure tot el que surt als diaris —li responc.

—També ho han dit per la ràdio! —diu un altre alumne, mirant-me acusatòriament: com goso a posar en dubte els diaris i la ràdio!

Aquí, últimament, em rendeixo: qualsevol comentari que intento fer, raonadament, contra el mal periodisme, la mala medicina o el fervor per la cuina mediterrània es considera a les classes un atac contra les tribus professionals dels periodistes, metges i escalfaolletes. Ep, puc ser igual d'irònic amb els enginyers, físics i matemàtics (però aquí només es queixen els alumnes que tenen pares o mares d'aquest ofici). Bé, hem fracassat en això de fomentar l'esperit crític de l'alumnat, però, almenys una vegada en la seva vida, han sentit o llegit una noticia sobre matemàtiques sense que sigui una tasca escolar.


Capítol III
La veritat sempre triomfa...però pocs se n'assabenten

Aquests dies he anat seguint la notícia i els comentaris que ha provocat a internet: un percentatge important fan referència al fet trascendental de com aquest noi de setze anys té un bigoti tan poblat o a que, amb el sistema educatiu espanyol, és impossible produir genis com aquest ... i és que els comentaristes anònims de les notícies sempre demostren un gran nivell intel·lectual i humà.

Entre d'altres perquisicions, vaig entrar en el web del Martin-Andersen-Nexö-Gymnasium, institut on estudia Ray, i en el pdf que us enllaço (aquí), en la pàgina 12, veureu que efectivament ha guanyat un quantiós premi escolar pel seu treball (no és el primer premi, sinó el segon!). Suposo que el primer premi, sobre relativitat, no ha merescut cap comentari de la premsa perque no involucra a Newton i a un compatriota de Ramanujan.

L'abast real  del treball de Ray està molt ben explicat en el magnífic bloc, en castellà malgrat el títol,  Francis (th)E mule Science's News (feu clic, val la pena, a El problema de Newton y la solución que ha obtenido Shouryya Ray (16 años)). Fins i tot, La Vanguardia ha rectificat la notícia: Un premio a la precocidad, no al genio.   

Ara, com en les pel·licules de terror, hauria de sonar una música plàcida anunciant el final i els crèdits, però...

Capítol IV
Gràcies al mal ofici, la mentida sempre torna i el rigor mai no guanya

Si el teniu a mà, no us perdeu el suplement ES de la Vanguardia d'ahir, 2 de juny (quan es pugui enllaçar legalment d'aquí a un mes, ja ho faré). A la portada surt el pallasso Luis Raluy, aficionat a les matemàtiques, i el títol no té pèrdua: "Poca broma amb les mates. Les matemàtiques se'ns resisteixen però cada cop són més importants". A l'interior hi ha un article amb un reportatge fotogràfic del senyor Raluy vestit de l'ofici, de pallasso, vull dir. Referint-se a les aportacions d'aquest aficionat escriuen "perles" com: "El 1996, per exemple, va proposar la solució a l'irresoluble problema de la trisecció de l'angle amb regle i compàs, i al seu darrer llibre intenta demostrar la fórmula que genera els nombres primers fins a l'infinit". Raluy afirma: "Les matemàtiques són una cosa meravellosa: si no, és culpa del professor" (ja feia cinc minuts que no es parlava de la nostra incompetència!). Sobre algun dels problemes irresolubles que ha solucionat Raluy (i que són demostradament irresolubles!) podeu llegir: Construcciones con regla y compás (II): Los problemas délicos.

Com que ja estic cansat de lluitar contra els elements i no puc retre homenatge a Raluy anant al seu circ (pateixo una forma intel·ligent de coulrofòbia), no puc menys que demanar que li atorguin una Medalla Fields a ell i una menció honorífica al diari més nostrat. Ep! i espero que aquesta entrada no faci disminuir l'afició a les matemàtiques de pallassos, periodistes i alumnes de secundària.

Addenda del 20 de juliol de 2012

Fa uns quants dies que ja és possible llegir en línia, a la hemeroteca digital del diari i encara que no sigueu suscriptors, el suplement Es de La Vanguardia que criticava en el Capítol IV d'aquest escrit.

Portada del Suplement Es del 2 de juny de 2012
El podeu consultar directament en el web del diari:

Poca broma amb les mates (en català)

Las mates no son cosa de broma (en castellà)

De fet, el document ja estava a la xarxa, pràcticament des de la seva aparició, en alguns webs i blocs dedicats a les matemàtiques que es deuen felicitar que es parli de la matèria, però que no entren en valoracions (per exemple, el podeu trobar en el web del Creamat).

Tornant a l'estudiant Ray i la seva demostració, dos professors de la Universitat Tècnica de Dresden van redactar un comunicat per aclarir l'abast del treball d'aquest noi (Comments on some recent work by Shouryya Ray). Gaussianos, ja passat el desconcert inicial, ho va comentar: Los profesores de Shouryya Ray aclaran la situación sobre su supuesta solución de un problema propuesto por Newton.

dissabte, 19 de maig de 2012

Jocs, matemàtiques, JugarXJugar i l'aualé

Aquest bloc acumula  ja 92 entrades (molts en diuen posts) agrupades en 38 categories o etiquetes de taxonomia dubtosa. Fa uns dies, em vaig adonar que cap d'aquestes entrades fa referència directa als jocs. De fet deu ser tota una proesa —us asseguro que no ha estat planejada d'una manera conscient— que en un bloc d'aquesta extensió dedicat a les mal anomenades ciències exactes,  no hi hagi cap article que tregui partit de la relació entre alguns jocs i les matemàtiques. Vaja! és com intentar escriure un text mitjanament llarg sense utilitzar la lletra e (cal dir que l'enginyós escriptor francès George Perec ho va aconseguir en la seva novel·la de tres-centes pàgines  La Disparition on no apareix cap vegada aquesta lletra que és la més freqüent en francès). Vaig a començar a saldar aquest deute...

Des de l'any 2007, durant la Fira de l'Ascensió, s'organitza a Granollers la fira JugarXJugar. S'hi desenvolupen activitas diverses: presentació de jocs comercials, torneigs...


Enguany hi tindrà lloc (segurament quan llegiu aquest text ja s'haurà celebrat) el 13è Campionat d'aualè de Catalunya.


L'aualè (també anomenat awari, awalé, awèlé, oware...) és un joc d'origen africà  força interessant i de regles molt senzilles. Si en voleu més informació o hi voleu jugar en línia, un bon web és Awalé.info. I si us pregunteu que té a veure aquest joc amb les matemàtiques i la seva didàctica, la revista canaria Números va publicar l'article Juegos de siembra: juegos africanos con aplicación didáctica de José Antonio Rupérez Padrón i Manuel García Déniz.

Si us agraden els "jocs de pensar" on l'atzar no hi hauria de ser present, animeu-vos a jugar-hi!

diumenge, 13 de maig de 2012

XIII Dia Escolar de les Matemàtiques

En una entrada de juliol de 2010 dedicada al matemàtic Pere Puig i Adam (Puig i Adam: les matemàtiques i la seva didàctica), ja vaig parlar de passada del Dia Escolar de les Matemàtiques (DEM). Aquesta iniciativa de la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM)  va néixer l’any 2000, dins el marc de l’Any Mundial de les Matemàtiques declarat per la UNESCO. Com que aquell any també es commemorava el centenari del naixement de Puig i Adam, va néixer el 12 de maig de 1900, es va decidir, crec que amb encert, fer coincidir el 12 de maig amb el DEM.

Enguany, aquesta jornada està dedicada a la relació de l'economia i les matemàtiques (l'ONU va acordar que aquest seria l'Any Internacional de les Cooperatives) i així podem relacionar aquesta ciència que tantes alegries ens dóna, l'economia, amb aquesta altra ciència que tant es valora, les matemàtiques, amb aquestes entitats que tan bé funcionen al nostre país, les cooperatives. Bromes a part, potser és una bona oportunitat per fer una reflexió a les aules sobre les matemàtiques, l'economia i la cooperació. Malauradament, aquest any és la tretzena edició, per a alguns el tretze és de mal auguri, i el dotze d'aquest mes va ser ahir dissabte que no era dia lectiu!

La FESPM ha dedicat una secció en el seu web al  DEM 2012 (cliqueu aqui). Una de les activitats més interessants que hi podreu consultar és el video de la conferència que va tenir lloc a la Universidad Complutense de Madrid a càrrec de Vicente Liern Carrión, catedràtic d'Economia Financera i Comptabilitat de la Universitat de València, sobre Matemáticas y Economía. Ventajas de la Cooperación. Liern Carrión comenta en aquesta conferència les activitats que ell mateix ha preparat per aquesta diada i que han estat publicades en un quadernet que ha aparegut en la revista SUMA del darrer mes de març.

Els economistes, però, no sempre fan un bon ús de les matemàtiques (podeu llegir, per exemple, la paròdia: Una primera (y humorística) lección de Econometría). De fet, ni els matemàtics en fan sempre un bon ús (Forges tan agut com sempre):

diumenge, 15 d’abril de 2012

Programes de presentacions: del bon ús a les nàusees

Les presentacions digitals ens han envaït de tal manera que, en moltes ocasions, es consideren imprescindibles i pobre del conferenciant que es presenta només amb un petit guió escrit i li toca parlar després que un altre ha passat una presentació llampant! Fixeu-vos que "he preparat una presentació" té ara el mateix significat que "he utilitzat un programa de presentació —els francesos l'encerten més quan en diuen logiciel de présentation—  per preparar unes diapositives" i, no pas, "porto pensat i preparat allò que diré". De fet, de vegades he tingut la impressió que alguns conferenciants no sabrien què dir si per algun motiu es quedessin sense la seva presentació digital.

Algunes veus alerten, no sempre de manera raonada o raonable, dels efectes negatius de les presentacions. Vegeu per exemple l'apartat PowerPoint ens fa ser estúpids? El transbordador espacial Columbia (2003) en l'entrada La NASA (o la T.I.A.?): algunes pífies. Ja més anecdòtic és que a Suïssa s'hagi creat un partit Anti-PowerPoint (podeu llegir-ho a El País, Nace en Suiza el partido Anti-PowerPoint, o a La Vanguardia en un article de Quim Monzó, Una nueva opción electoral). Cal dir que no es pot atribuir ni a la informàtica ni als programes el mal ús que se'n pot fer: els que hem suportat, fa uns quants anys, algunes presentacions amb transparències projectades pels aparatosos retroprojectors, en donem fe.

Programari: PowerPoint, Impress, Prezi...

Si hem de citar el programari que podem utilitzar per fer presentacions, caldrà començar per aquell que ha acabat sent un sinònim de presentació: PowerPoint és un programa comercial de Microsoft que està integrat en el conegudíssim paquet d'ofimàtica Office. L'alternativa lliure, gratuïta i gairebé clònica és Impress. No entrarem ara en detalls, però en realitat, a hores d'ara, hi ha dos Impress (el de LibreOffice i el de Openoffice). Prezi, programa presentat en societat el 2009, té com a pare l'hongarès Adam Somlai-Fischer. Com que és relativament nou i es diferencia força dels anteriors, li dedicaré un apartat especial al final d'aquest text.

Consells d'ús

Aquest no és l'espai per fer un llistat detallat de consells per aconseguir una bona presentació. Hi ha, però, coses evidents i de sentit comú que no sempre es respecten. Sense ànim que sigui una enumeració completa, en dic algunes:
  • Adequeu el nombre de diapositives al temps que disposeu.
  • No les atapeïu de text ni les convertiu en un mer índex de continguts.
  • La grandària del text i el fons han de fer que siguin fàcilment llegibles.
  • No abuseu dels efectes i transicions.
  • Tingueu cura de l'ortografia i el redactat.
De fet la xarxa està plena d'orientacions al respecte. Podeu veure per exemple: 5 consells de disseny per a les presentacions (i així fugim dels deu consells que són més abundants!). I tot seguit, us insereixo un bon vídeo, una mica llarg, que parla de tot això. L'autor és Carles Caño de l'IES Forat del Vent i es titula Com presentar el Treball de recerca. Encara que està dirigit a preparar la presentació del treball de recerca dels alumnes de Batxillerat, l'explicació és aplicable a d'altres àmbits.



Podeu consultar també el bloc PresentArte dedicat àmpliament a les presentacions, i no només en la seva vessant digital, del mateix Carles Caño i Ivan Basart .

Prezi: de l'enlluernament a les nàusees

Haig de reconèixer que la primera presentació Prezi que vaig veure em va sorprendre. Tota la informació estava en una diguem-ne macrodiapositiva i mitjançant un efecte zoom ens anàvem desplaçant d'una part a una altra. Prezi no té la linealitat obligatòria dels altres programes, i això és positiu, però el zooming arriba a crear vertigen i acaparar l'atenció de forma barroera. Un altre inconvenient: té una versió lliure, però si voleu tot el seu potencial haureu de pagar. A mi no m'agrada, però, si en voleu aprendre, us dono l'enllaç a un manual de Manel Ramon Muñoz: Tutorial Prezi en català, aprèn a fer-ne ús en 15 minuts.

I, per acabar, us deixo dos exemples de prezis de contingut matemàtic: