dissabte, 29 de desembre de 2012

I les altres geometries?

Introducció: comencem per l'anècdota

Fa algunes setmanes, en una classe de física de segon de batxillerat, estava comentant per enèsima vegada, que els coneixements matemàtics ens fan més planer l'aprenentatge de la física i que, si no es dominen alguns procediments matemàtics (en aquell moment estàvem derivant una equació de posició), és impossible poder avançar. Aleshores, un inspirat alumne —que, en certa manera, fugia d'estudi— em va fer l'esquemàtica i telegràfica pregunta: ¿que són primer les matemàtiques o la física? Amb aquell sisè sentit que et dóna haver interpretat d'altres qüestions més críptiques —i cal dir que amb l'aclariment posterior de l'inquiet interpel·lant—, vaig entendre que l'interessava saber si primer sorgien els conceptes i tècniques matemàtics i després s'aplicaven a la física o, si era la resolució dels problemes físics, la que provocava l'aparició de nous conceptes a matemàtiques.

La pregunta requeria una classe, o tot un llibre!, per contestar-la. Però com que el temari apressa, vaig fer una intervenció comentant que trobaríem exemples en els dos sentits, vaig parlar dels departaments de matemàtiques aplicades (on de vegades, primer és el problema i després les matemàtiques) i en algun moment vaig citar les geometries no euclidianes amb relació a la Teoria de la Relativitat d'Einstein (on, simplificant, primer és la Geometria de Riemann i després la seva aplicació a la física). Vaig anar en compte de no dir Riemann, però se'm va escapar geometries no euclidianes i, més tard, geometria fractal. Fins i tot algun alumne que s'estava endormiscant, ja que havia intuït que tot allò "no entrava en l'examen", es va remoure al seient i uns quants van interrogar alhora, com el cor d'una tragèdia grega: ¿NO EUCLIDIANES? ¿FRACTALS?

Havia oblidat que en els nostres temaris només existeix una geometria i que la relativitat i la mecànica quàntica, que ja han complert un centenar d'anyets, són física moderna (on moderna té el mateix significat de l'adjectiu que s'aplicava a la música jove, moderna o yé-yé, els anys seixanta). No ho comento en el sentit que els alumnes de secundària hagin de cursar geometria diferencial, però estaria bé que tinguessin algunes nocions de "en quin punt estan" les matemàtiques i la física contemporànies (i no n'hi ha prou de recomanar que els professors se'n preocupin si després no s'avalua).

Matemàtiques i matemàtica i, en canvi, geometria (en singular)?

És ben curiós que, en castellà i en català, s'hagi optat majoritàriament pel plural matemàtiques (si us interessen les erudicions podeu llegir Un fantasma de la lexicografía hispánica ¿matemática, o matemáticas?) i, en canvi, costi de trobar el plural de geometria en els llibres. No és només un problema de terminologia: quan el pèndol pedagògic ha retornat de l'àlgebra i la teoria de conjunts a la geometria, hem tornat a alabar les meravelles de l'Antiga Grècia i els Elements d'Euclides (i cal dir que valoro moltíssim els Elements, com podeu veure aquí), hem conservat els continguts de geometria analítica (alabat sia Descartes), però no hem avançat gaire més en el temps.

Per tot això, a l'hora d'escriure una categoria o etiqueta per a entrades com aquesta en el bloc, m'he decidit pel plural geometries que em sembla que reflecteix millor la pluralitat que estic defensant.

Les geometries no euclidianes

La recurrent frase, dogma de fe a secundària, "els tres angles interiors d'un triangle sumen 180º" hauria de portar la condició o afegitó "en geometria euclidiana" o "si l'espai és pla". Només cal comprovar si el teorema funciona, per exemple, pels "triangles" traçats a la superfície terrestre (llegiu-ho a La importancia de los "ámbitos de validez "en ciencia, d'on he tret la imatge que figura a continuació).


Els tres angles d'un triangle sumen 270º!


La majoria dels nostres estudiants ignoren, a més, que estan treballant una determinada geometria, la geometria euclidiana. Els passa com a aquell personatge de Molière, Jourdain, que es sorprèn quan se n'adona que porta més de quaranta anys parlant en prosa sense saber-ho (permeteu-me la digressió literària: ho podeu llegir a Le Bourgeois Gentilhomme, acte segon, escena quarta).

Les geometries no euclidianes neixen de la negació del cinquè postulat d'Euclides. D'altres ho han explicat prou bé, us convido a consultar:

La geometria fractal

Tal com vaig fer en la classe de la qual he parlat en la introducció, la millor manera de presentar la geometria fractal és cedir-li la paraula a un dels seus pares, Benoît Mandelbrot (1924-2010). En una fantàstica conferència TED del 2010, que no us podeu perdre, Mandelbrot ens parla de la seva obra (he triat els subtítols en català, però els podeu treure o escollir d'altres idiomes):


Com que ja ha sonat el timbre i hem d'acabar la classe, prometo que de Mandelbrot i dels fractals en tornaré a parlar en exclusiva i amb l'atenció que es mereixen.

7 comentaris:

  1. El fet de tenir dos ulls es per veure en tres dimensions, però els nostres fulls de paper només en tenen dues de dimensions, el comentari encara que sembla absurd, té a molt a veure amb les geometries, els mapes que veiem en paper o en qualsevol aparell tenen dues dimensions i això es pot fer gràcies a les projeccions que consisteixen a passar les coses que tenen tres dimensions o que no son planes a un format pla de dues dimensions, així per exemple canviem el Nord i en els mapes de paper hem de fer correccions perquè coincideixen el nord real amb el cartogràfic, a http://hum.unne.edu.ar/revistas/geoweb/Geo13/archivos/snaider10.pdf, hi ha un pdf interessant d’aquest tema.
    Evidentment no tot es pot simplificar, a fi i efecte de fer planer l’aprenentatge, però qui no sap sumar tampoc entén la desigualtat de Minkowski (jo tampoc).

    ResponElimina
  2. Ui (o ull)! Parles de tantes coses que no sé per on començar!

    1. Disposar de, com a mínim, dos ulls és condició necessària, però no suficient, per veure-hi en tres dimensions. Per gaudir de visió binocular els hem de tenir, els ulls, com tots els depredadors, en posició frontal. Els hervíbors, però no els vegans, els tenen en posició lateral i no aprecien bé les distàncies. Per cert, he cercat a casa un full de dues dimensions i no n'he trobat cap (a no ser que em construeixi una cinta de Möbius).

    2. Conec prou bé el problema de les projeccions cartogràfiques (el vaig patir a la facultat), però t'agraeixo l'enllaç que ens proporciones. El problema bàsic és que en les projeccions cartogràfiques no es poden conservar les distàncies i les superfícies alhora, a part de les meravelloses deformacions que s'hi observen.

    3. El problema de les altres geometries, però, no és una qüestió de dimensions (existeix també l'espai euclidià de n dimensions). Els triangles que tracem en una esfera continuen sent bidimensionals, és l'espai que està corbat!

    4. No crec que a l'escola s'ignorin les altres geometries per "simplificar". Més aviat es fa per inèrcia. La mateixa inèrcia que portava a explicar només la lògica aristotèlica (ara, ni això!).

    5. No sempre allò que s'explica a l'escola, o que s'explica més tard, és més senzill que allò que no s'explica. Ara mateix, hi ha qui, a primària, comet l'atreviment de començar amb la geometria en tres dimensions per passar després a la geometria plana. En aquest sentit i per exemple, hi ha rudiments de la teoria de grafs que es poden explicar amb profit a les aules de secundària i que despertarien més entusiasme que la resolució de les equacions biquadrades.

    6. Com que m'estic allargant, de la desigualtat de Minkowski en parlo en el següent comentari...

    ResponElimina
    Respostes
    1. 3. Vaig al gra: l'espai està corbat, ¿respecte què? (si un espai n-dimensional sempre pot corbar-se respecte d'un altre n+1-dimensional, aleshores el plural de les geometries és el conte de l'enfadós – per acabar-ho d'adobar, ja t'avanço que, per mi, la 4a dimensió ve a ser com la 3a Persona ST).

      Elimina
    2. Estava estructurant la resposta:

      1. de la física (teoria de cordes, espai-temps...) a les matemàtiques (dimensió fractal, càlcul vectorial...)

      2. De la literatura (Hamlet a Horaci) a la física (Stephen Hawking a La història del temps).

      3. De l'epistemologia a les matemàtiques...,

      i m'he adonat que el Sr Google em tocaria el crostó si volia encabir tot això en un comentari.

      Com que, a més, el concepte de dimensió i la percepció que en tenim, s'ho mereixen; em plau anunciar-vos que hi dedicaré una entrada. No serà la propera — ja la tinc mig embastada— que estarà dedicada a Benoît Mandelbrot. No serà la següent, que penso dedicar al matemàtic català Ferran Sunyer i Balaguer, abans no se'n diguin més bestieses mediàtiques o algun actor, Nicolas Cage o Adrien Brody, facin de matemàtic en una pel·lícula insuportable.

      Per tant, si el tràfec diari, l'Esperit Sant (3ª Persona de la ST) i la teva santíssima paciència m'ho permeten, intentaré contestar la pregunta (amb els revolts en el discurs que em caracteritzen) en breu (i espero que l'escala de temps no sigui geològica).

      Pròximament en les vostres pantalles.

      Elimina
  3. De la desigualtat de Minkowski

    No m'estranya, Frederic, que no entenguis la desigualtat de Minkowski: no és culpa teva! Un dels problemes de la ciència matemàtica —en parlaré amb més deteniment en alguna entrada— és que intentar assabentar-se d'un concepte desconegut a través de llibres, articles o enciclopèdies en línia és una missió impossible. L'afany d'abstracció, formalització i generalització és tan gran, que trobar una definició planera, per sortir del pas, requereix molta paciència.

    Ni el gran Miguel de Guzmán aconsegueix apropar-nos aquest concepte. En un dels seus llibres, Mirar y ver (l'he comentat aquí) té un capítol dedicat a les desigualtats de Young, de Hölder, de Minkowski i de Jensen, però, segons el meu parer, no se n'acaba de sortir.

    Hi ha una versió "tova" d'aquesta desigualtat que fa referència a punts del pla (si vols "cas discret" o "sumatori") que es pot consultar, amb d'altres desigualtats, en el pdf Desigualdades. Aquest document està adreçat a alumnes de batxillerat i forma part del material del Taller de creatividad matemàtica de la Universidad de La Rioja.

    La versió "forta" té a veure amb les funcions ("cas integral") i, per entendre'l bé, són necessaris alguns coneixements de Teoria de la mesura. Si tens ganes d'aprofundir-hi una mica, pots consultar amb alegria, per exemple, Teoría de la medida de Pedro Alegría.

    ResponElimina
  4. "Els tres angles d'un triangle sumen 270º!" (FM)

    ¿Com es mesura un angle n-dimensional?

    ResponElimina
  5. M'estàs posant a prova o vols un curs de franc i personalitzat de matemàtiques?

    Bromes a part:

    En el pla (dues dimensions) la mesura d'angles en radians o radiants (veure Definició de radiant) es basa en relacionar longituds.

    En l'espai tridimensional (angle sòlid) els angles es mesuren en estereoradians (definició d'estereoradian) la qual cosa implica utilitzar superfícies en la definició.

    Ara podria dir "i així successivament" i espantar-te, però cal dir que a partir del producte escalar de vectors es pot generalitzar el concepte d'angle a n dimensions sense massa problemes de càlcul (veure El lenguaje vectorial en geometría).

    ResponElimina