Aquesta entrada vol ser la continuació de I les altres geometries?, on no us hauríeu de perdre el vídeo Les fractals i l'art de la rugositat en el qual el mateix Mandelbrot ens fa una presentació de la Geometria fractal.
Disculpeu el títol tan eixut (només un nom i dos anys), però quan a la xarxa he consultat les notícies que es van publicar arran de la mort de Mandelbrot i he llegit encapçalaments com "El hombre fractal" (sic), "He gave Us Order Out of Chaos", "The father of Fractal Geometry" m'he adonat de la vacuïtat dels suposats títols cridaners o creatius, que curiosament es plagien i tradueixen a diversos idiomes i no aporten gaire cosa als escrits. Per tant, he decidit no dedicar gens de temps a aquest aspecte que no em farà perdre lectors (el nombre d'aquests no pot ser negatiu!). El títol més encertat dels que he trobat ha estat Benoit Mandelbrot el matemático que amplió el concepto de geometría, però és un pèl llarg .
En lloc de fer un escrit lineal, m'ha semblat que seria més útil proporcionar-vos enllaços a pàgines que ja ens informen amb rigor de l'obra i vida del matemàtic polonès, francès i nord-americà (per aquest ordre) Benoît Mandelbrot.
 |
| Benoît Mandelbrot (fotografia extreta de la seva pàgina personal a la Yale University) |
Ningú s'ho havia plantejat? La geometria fractal
Pot resultar sorprenent el fet que, fins a Mandelbrot, ningú no s'hagi preocupat de teoritzar una geometria que s'aproximi a moltes formes i estructures que apareixen de manera natural, ja siguin accidents geogràfics, estructures anatòmiques animals o vegetals, etc. Us estalviaré detalls de coliflors o falgueres, pero observeu les ramificacions, ben poc euclidianes, dels pulmons (i si voleu llegir un curiós estudi experimental, feu clic a Caracterización de la geometría fractal del árbol bronquial en mamíferos):
Un dels articles famosos que van donar inici a aquesta geometria portava el sorprenent títol, i més en un context matemàtic, de How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension. El podeu consultar amb anotacions i comentaris posteriors del mateix autor (aquí) o veure'n alguna ressenya:
- ¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña? a Wikipedia
- Mandelbrot: ¿Cuál es la longitud de la costa de Gran Bretaña? Infinito en el bloc Recuerdos de Pandora
Un conjunt amb nom propi: el conjunt de Mandelbrot
No hi ha massa matemàtics que hagin donat el seu nom a algun conjunt i tres dels casos més coneguts corresponen a conjunts fractals:
- El conjunt de Cantor de definició senzilla i inquietants propietats que s'anomena així pel seu creador Georg Cantor (1845-1918)
- El conjunt o conjunts de Julia per Gaston Julia (1893-1978) (he estat temptat d'accentuar el cognom ja que el seu pare es deia Josep Julià)
- El conjunt de Mandelbrot. Podem dir que aquest darrer conjunt és un "descendent" de l'anterior. En podeu llegir la definició a Wikipedia (en català, en castellà o en l'idioma que us plagui). Però us recomanaria l'acurat escrit ¿Qué es el conjunto de Mandelbrot?: historia y construcción a Gaussianos
Algunes biografies de Benoît Mandelbrot
Si només en voleu llegir una, aneu a l'enllaç següent del MacTutor de la Universitat de St Andrews (ja n'he elogiat la qualitat aquí): Benoit Mandelbrot a MacTutor. A més, des d'aquesta pàgina podeu accedir a d'altres bons materials, per exemple a A History of Fractal Geometry.
Si voleu que el mateix Mandelbrot us expliqui la seva vida, cliqueu a Benoit Mandelbrot a Web of Stories.
I si teniu problemes amb l'anglès, sempre us quedaran l'edicions en català o castellà de Wikipedia!
Alguns "cursos" de geometria fractal
Només per "passejar-s'hi" ja està bé, Fractal Geometry de la Universitat de Yale. Sense esmerçar-m'hi gaire i per allò de "si està en anglès, quina mandra...", he trobat un resum d'un curs de Introducción a la Geometría Fractal impartit a la Universidad Nacional de Colombia (però és del 2006 i alguns enllaços que apareixen en el text ja no funcionen). Una versió més visual i lúdica la teniu a FractFinder.
Què ens queda en el tinter?
La generació informàtica d'estructures fractals s'ha utilitzat amb resultats interessants en el món de l'art i, en particular, per crear escenaris i paisatges en el cinema o en els jocs informàtics. Deixarem els comentaris d'aquesta part més artística per a una altra ocasió.
¿Per què són poc euclidianes les "ben poc euclidianes" ramificacions dels pulmons? Gràcies.
ResponEliminaVaig parlar de "ben poc euclidianes" no en el sentit que necessitem alguna geometria no euclidiana per fer-ne la descripció, cosa que representaria un esforç absurd.
ResponEliminaDiria que són poc Euclidianes (així en majúscula) perquè un no s'espera trobar unes ramificacions d'aquest tipus —i, de fet, de cap tipus— en un tractat de geometria euclidiana (ple de rectes, plans, triangles, circumferències, poligons regulars i altres cossos ideals en el sentit platònic) i tampoc ens imaginem a Euclides i als seus companys dedicant temps a aquesta anatomia (de fet, pensarien que el seu estudi no entra dins del camp de la matemàtica).
Són poc euclidianes (ara en minúscula) perquè per copsar, a fons, les seves propietats estructurals necessitem la geometria fractal. No afirmo que tinguin estructura fractal en un sentit rigorós (això implicaria que després d'una ramificació n'hauria de trobar una altra, i després una altra, ad infinitum). Aquestes propietats que les converteixen en quasi fractals serien, bàsicament: l'autosimilitud i que es pot generar aquesta estructura complexa amb un algorisme simple. De fet, la imatge em sembla que no correspon a un pulmó real sinó que ha estat generada per ordinador.
Per entendre tot això a nivell informàtic, podria dir que si vull generar aquesta imatge a partir de la geometria euclidiana necessitaria un programa molt més llarg que per generar-la per mètodes fractals (que Turing em perdoni l'observació sense demostrar-ho formalment).
Vaja, que Euclides i la geometria més clàssica ens donen "eines poc fines" per estudiar, descriure i generar aquest tipus d'estructures.