divendres, 31 de desembre de 2010

Despropòsits: temps, dimensions, cintes, música...

Hores d'ara moltes persones ja estan vivint les primeres hores del 2011; d'altres, continuaran vivint en el 1432, en el 5771 o en qualsevol altre any enter positiu (Calendar Converter). Segurament faria bé de complir alguns dels compromisos que he anat posposant en aquest bloc (deixar parlar a John Nash, comentar la llei d'Hondt, parlar de l'etern retorn...) en lloc de dedicar aquest escrit a encadenar despropòsits. Aquest any, m'hagués agradat arribar a l'article seixanta per tal de fer un homenatge a les matemàtiques antigues (sistema sexagesimal) i aclarir, a alguns cervells batxillers i poc crítics, que és més fàcil d'explicar la mesura dels angles en radians (o radiants) que no pas perquè una hora té seixanta minuts, perquè encara comprem els ous per dotzenes, perquè l'any comercial té 360 dies o perquè fer un gir de 180º —que no de 360º, com una vegada vaig sentir dir a un futbolista— equival a un canvi radical en una situació. Com que aquesta és l'entrada 58 del bloc, ho deixaré tot per a una altra ocasió i em permetré desvariejar una mica.

En l'actualitat tenim una idea força lineal del temps (time que no weather, d'altres idiomes tenen més clara la distinció) i els físics es permeten parlar de la fletxa del temps. Sigui el que sigui el temps, sembla que avança inexorablement (o hauríem de dir termodinàmicament?). ¿Però com ens atrevim a parlar del temps si la majoria de mortals no tenen clar quantes cares o dimensions té un full de paper? La cinta o banda de Möbius és dels pocs objectes matemàtics, i estem parlant de topologia!, que tenen l'èxit assegurat a les aules de secundària. La seva construcció és ben senzilla, només ens cal una tira de paper i unir-ne els extrems fent mig gir en un d'ells, i és fàcil posar de manifest les seves sorprenents propietats: entre d'altres, és una cinta d'una sola cara i no és orientable (damunt de la cinta no té cap sentit parlar de dreta i esquerra). Només necessitem la cinta, un llapis i tisores:



Addenda del 15 d'octubre de 2011

Si heu clicat damunt del vídeo anterior, haureu comprovat que ja no està disponible per una reclamació de drets d'autor (el seu link era http://www.youtube.com/v/JHSfKwhSOos). Com que no hi ha mal que per bé no vingui, m'he posat a cercar vídeos disponibles de contingut equivalent i us en recomano dos:
  • Banda de Moebius que té una factura semblant al vídeo que originalment vaig enllaçar a aquesta entrada.


Si preferiu les tontes serpentines que es tiraran aquesta nit a la cinta de Möbius, us comprenc, però vigileu que no acabeu tan desorientats com les pobres formigues que va dibuixar M. C. Escher mentre us pregunteu aquesta matinada: i si l'Univers i el temps són unes immenses cintes de Möbius?


Parlant d'aquesta cinta i com que no m'agradaria acabar l'any sense música... No patiu que no seran valsos, ara que resulta que els concerts de valsos d'Any Nou ja són "tradicionals", fins i tot, a Matadepera!


He descobert aquest excel·lent vídeo en el recomanable bloc de matemàtiques Juan de Mairena.

Ah! i si no us podeu estar de fer propòsits i desitjos per al nou any, si us plau, que no siguin ni tres ni deu i, millor, deixeu-ho per un altre dia.

dimecres, 29 de desembre de 2010

Falses demostracions: som competents utilitzant l'àlgebra?

Una coneguda anècdota, no sabem si certa o inventada i amb diverses variants, explica que algú li va preguntar al filòsof i matemàtic Bertrand Russell (veieu també Bertrand Russell a MacTutor) si, a partir d'una falsedat com 2 + 2 = 5, podia demostrar qualsevol cosa. Sir Russell, segons aquesta història, va provar, amb 2 + 2 = 5 com a premissa, que ell era el Papa de Roma (demostració de la "Papabilitat" de Russell). Aquest article tracta de demostracions matemàtiques falses i de la falsa seguretat que tenen molt estudiants utilitzant l'àlgebra. Cal, per començar, un aclariment semàntic: la paraula àlgebra i els seus derivats han esdevingut tan polisèmics (àlgebra abstracta, àlgebra lineal, topologia algebraica...) que haurem de començar dient que aquí tractarem de l'àlgebra elemental (de l'àlgebra d'Al-Khwarízmi, si voleu).

Per molt que els professors de secundària s'esforcin en explicar els fonaments del llenguatge i les equacions algebraiques, els alumnes, i els científics!, acaben aplicant allò de "si està sumant, passa restant" i "si està multiplicant, passa dividint" (com si els termes de les equacions tinguessin la imperiosa necessitat, pròpia dels ciutadans dels països desenvolupats, d'anar de viatge). Fins i tot, operant de maneres més ortodoxes hi ha perills evidents. Comproveu-ho amb la següent demostració de 1 = 2 o de 2 = 1 (si apliquem la propietat commutativa, o és la reflexiva?):


Trobar l'equivocació, no us hauria de costar: és la més comuna en les demostracions algebraiques errònies.

En el següent exemple, l'origen de la falsedat és més subtil. Demostrarem que π = 3:

Podeu veure l'exemple anterior en la seva salsa digital original (aquí) o primigènia (allà). Si us ha cridat l'atenció l'encapçalament de la imatge anterior, 1 Kings 7:23, fa referència al versicle del bíblic 1r Llibre dels Reis que, de vegades, s'utilitza per afirmar que els antics hebreus creien que π era igual a 3. Aquesta polèmica és divertida perquè enfronta encesos fonamentalistes bíblics amb encesos ateus recalcitrants (amb més d'un matemàtic irònic que en parla de passada), podeu consultar:
Us estalvio les fonts més fonamentalistes, però pareu atenció als comentaris dels enllaços.

Tornant a les dues falses demostracions, no podreu dir que sabeu àlgebra elemental si no hi detecteu cap pas erroni. Penseu que en d'altres camps de les matemàtiques, localitzar les falsedats es fa més difícil. Consulteu, per exemple, la demostració de π = 4 que he conegut gràcies, una altra vegada, a un article de Gaussianos.

    divendres, 24 de desembre de 2010

    Felicitacions? matemàtiques o no?

    Segurament, les felicitacions, els bons desitjos i els copets a l'esquena ens són més necessaris el mes de febrer o d'octubre que no pas ara; però les societats, nòmades o sedentàries, sincronitzen el ritme de la tribu amb festes, lunars o solars, com les d'aquests dies. Dit això, sense ànim d'esmenar la plana a antropòlegs o sociòlegs, em veig en l'obligació de dedicar aquest escrit a les felicitacions nadalenques si no vull ser condemnat a l'ostracisme (que no té res a veure amb avorrir-se com una ostra).

    El títol ja m'ha presentat una primera dificultat, podia optar per: (1) Felicitacions matemàtiques, (2) Felicitacions o no?, (3) Felicitacions matemàtiques, o no?... i així fins a (n). Finalment he optat per Felicitacions? matemàtiques o no?, però em queda el dubte de si l'hauria d'omplir de comes degut a les el·lipsis. Mal solucionat el tema del títol, he passat al contingut i he recordat un article de Màrius Serra publicat a La Vanguàrdia el 28 de desembre del 2006! (fixeu-vos si m'ha portat maldecaps escriure aquestes línies). El títol, Romperse la Christma, s'escau d'allò més a les meves cavil·lacions. Com que l'altra vegada que vaig inserir un article de Màrius Serra (El càlcul de la data de Diumenge de Pasqua) vaig estar una mica agre amb l'escriptor, ara que em ve a salvar, no em puc estar de facilitar-vos-en la lectura (no cal que agafeu una lupa i l'acosteu a la pantalla, feu clic damunt de la imatge):

    Pensant, pensant... I si aquest any que ens ha deixat B. Mandelbrot, li retem un homenatge amb una felicitació fractal? Un triangle de Sierpinski (veieu també Waclaw Sierpinski) se sembla bastant a un arbre de Nadal. De fet, curiosament també l'any 2006, a l'IES Barres i Ones van fer un arbre de Nadal basat en la piràmide o tetraedre de Sierpinski (l'arbre de Barres i Ones). Podria agafar una imatge d'alguna de les fases (el procés total de construcció és infinit) del triangle o de la piràmide de Sierpinski, personalitzar-la i ja està...











    I què hi poso? Unes acolorides lletres dient Bon Nadal i Bones Festes? Quina mandra!I si optem per una felicitació que ens proporcioni l'oportunitat de fer una mica de matemàtiques? Ignasi del Blanco idea uns jocs numèrics interessants (veieu jocs numèrics amb l'Scratch i consulteu Scratch si la paraula només us sona a onomatopeia o a un substantiu, verb o adjectiu anglès) i aquest any el Creamat felicita les festes amb un joc d'aquest professor que m'ha semblat enginyós i excel·lent:


    No cal dir que la imatge anterior és una maldestra adaptació meva que espero que del Blanco sàpiga perdonar-me i no me la demandi (en el web del Creamat hi teniu, hores d'ara, una versió interactiva). Us recomano que penseu abans de començar a fer combinacions numèriques amb els dígits que us permeten (3, 4, 5, 6, 7, 8, i 9) i m'estic de donar la solució (elis, elis, jo ja l'he trobada!) per evitar que la consulteu abans d'haver reflexionat una bona estona.

    I com diria l'Excel·lentíssim Joan Pich i Pon: Moltes Facilitats!

    dissabte, 11 de desembre de 2010

    Les noves tecnologies es rebel·len

    Aquesta vegada els dubtes no han aparegut a l'hora de redactar els continguts, sinó en l'encapçalament de l'article (quin havia de ser el títol?) i en un detall tan accessori com la data de publicació. Anem pel títol: hem de dir noves tecnologies, no tan noves tecnologies, tecnologies digitals (sempre hi ha algú que assenyala posant el dit a la pantalla encara que aquesta no sigui tàctil)? N'hi ha que en deia TIC (tecnologies de la informació i la comunicació) i ara se n'adona que en diuen TAC (tecnologies de l'aprenentatge i el coneixement). Aquell acudit dolent de "con lo que me ha costado decir pilícola y ahora lo llaman flim" s'ha transformat en jocs de paraules amb tic-tac. Per altra banda, les noves tecnologies es rebel·len, ens ataquen, ens vénen a salvar? De totes maneres i a propòsit del vídeo que veureu: quan projectem en una pantalla (que per altra banda acostuma a inutilitzar bona part d'una pissarra) no li estem fent un homenatge a Plató i a les ombres projectades en el Mite de la Caverna?

    En quan a la data de publicació: la més escaient és un u d'abril (April Fools' Day o Dia d'enganyar), un més nostrat vint-i-vuit de desembre (Dia dels innocents) o ja està bé un onze del dotze del deu?  Insertant aquest vídeo no estaré fent publicitat encoberta de Biola University i hauran d'aplicar numerus clausus el curs vinent davant l'allau d'alumnes? Com que tenir dubtes no és modern, us deixo amb el document gràfic:

    dimarts, 7 de desembre de 2010

    Votacions i sistemes electorals

    Ha passat una mica més d'una setmana de les darreres eleccions al Parlament de Catalunya —aquesta vegada, a part del dret a votar, he exercit el deure d'estar darrera d'una mesa electoral— i, fa més temps encara, que tenia previst dedicar algunes entrades d'aquest bloc a les votacions i als sistemes electorals. He anat ajornant la redacció del present article, però aquest matí llegint La Vanguardia m'he trobat amb una columna d'opinió del periodista Toni Coromina (si feu clic veureu la seva biografia a Viquipèdia, ara mateix apareix com periodista i activista cultural o contracultural (sic)) que m'ha animat a posar-m'hi.

    Durant una temporada em vaig dedicar a retallar i desar els articles periodístics que contenien bestieses relacionades amb les matemàtiques, amb d'altres ciències o que ofenien aquest bé escàs anomenat "sentit comú". Davant del perill de morir ofegat pels papers, que augmentaven exponencialment, o de ser acusat de patir la síndrome de Diògenes, vaig desistir. Ho explico perquè el fet que comenti l'article de Toni Coromina aparegut a La Vanguardia d'avui, 7 de desembre, en la secció Vivir — si no en sou lectors i us estranya el nom, n'hi ha una altra amb l'encapçalament, polivalent i buit de significat, de Tendencias— és totalment accidental. Podríem trobar d'altres aportacions periodístiques parlant dels sistemes electorals amb la mateixa falta de fonaments, de raonament i de reflexió, defensant les mateixes coses o just les contràries.

    El títol de la columna de Coromina és El mal menor i fa referència a la democràcia (en realitat al sistema electoral que només és un medi). Suposo que es vol inspirar en la famosa frase de Winston Churchill: La democràcia és la pitjor forma de govern, excepte totes les altres formes que s'han provat fins el moment (Casa dels Comuns, 1947). Coromina ens diu que ¡Lástima que no sea el bien mayor! i, més tard, hi afegeix textualment: Para que el mal menor deje de serlo, habría que mejorar el sistema D'Hont, elaborar una nueva ley electoral, establecer el voto a listas abiertas (...). Com és habitual en el periodisme d'aquest país, Coromina creu, amb seguretat i convenciment, que té la solució a tots els problemes de la democràcia, però no ens raona res. Si hagués sentit parlar de l'economista nord-americà Kenneth Joseph Arrow o si s'hagués informat dels diferents sistemes electorals i de les seves paradoxes, sabria que en aquest camp no existeix cap mètode òptim.

    Kenneth Joseph Arrow
     El Teorema d'Impossibilitat d'Arrow, també conegut com a Paradoxa d'Arrow, ho demostra (si no us espanta el llenguatge matemàtic i la seva simbologia, vegeu Democracia y el Teorema de Imposibilidad de Arrow de José A. Moreno Pérez). La qual cosa no vol dir que un determinat sistema electoral no sigui millorable en alguns aspectes, però primer ens hauríem de posar d'acord en quines condicions volem que compleixi en detriment d'altres condicions, igualment "justes" o millor racionals, però incompatibles. M'indigna que quan algun polític o periodista proposa canvis en les lleis electorals els defensi embolicat en el mantell de la justícia (quan la majoria de les vegades se'ls hi veu el llautó). El matemàtic i divulgador John Allen Paulos també parla de mantells en el capítol dedicat als sistemes de votació en el seu llibre Más allá de los números, cito textualment:

    "El mandato moral de ser demócrata es formal y esquemático. La cuestión de fondo es cómo deberíamos ser demócratas y el enfocar esta cuestión con una actitud experimental abierta es perfectamente compatible con un firme compromiso con la democracia. A los políticos que, beneficiándose de un sistema electoral particular y limitado, se envuelven con el manto de la democracia, hay que recordarles de vez en cuando que este manto se puede presentar en varios estilos, todos ellos con remiendos."

    Dit això i tornant a  El mal menor, Coromina proposa com a gran solució les llistes obertes. Dono una demostració per contraexemple, inacabada perquè la continuació és trivial, que les llistes obertes per se no solucionen res:

    Teorema. Les llistes obertes milloren la representativitat, eficàcia i funcionament de les institucions democràtiques.
    Contraexemple. El Senat Espanyol s'escull mitjançant llistes obertes i el Parlament, amb llistes tancades... 

    Prometo que el proper article dedicat a aquest tema, parlarà només de sistemes electorals, en particular de la Regla d'Hondt, i ja no farà referència a vedettes mediàtiques o polítiques.

    diumenge, 5 de desembre de 2010

    La lògica i el currículum (II)

    Vaig començar a parlar de la absència  de continguts de lògica en el currículum educatiu de casa nostra en La lògica i el currículum (I). Mantinc el títol en aquest nou escrit, tot i que no penso insistir en l'il·lògic —mai millor dit— desplegament curricular que patim (ja parlaré d'altres mancances i incoherències en d'altres entrades); més aviat, comentaré alguna experiència anecdòtica a l'aula que, ja ho explicaré, té un rerefons teòric interessant.

    Dels anomenats connectors lògics (i, o, no, si...), el que genera més confusions i errades és el si condicional. En algun llibre de divulgació matemàtica, sento no recordar quin, vaig llegir una adaptació de la següent qüestió, de moment en direm Problema de les quatre targetes, que vaig plantejar als alumnes d'una classe de batxillerat (dels que s'autoanomenen científics i tecnològics):

    Problema de les quatre targetes
    Tenim quatre targetes. Cadascuna té una lletra en una cara i un nombre a l'altra. Si ens mostren la disposició de targetes de la imatge que apareix a sota, quina o quines targetes hem de girar per comprovar la veracitat (cert o fals?) de l'enunciat condicional "Si en una targeta hi ha una vocal en una cara, hi ha un nombre parell en l'altra".
    De fet, la disposició de les targetes i la pregunta que vaig proposar no era exactament aquesta, però el nivell d'abstracció i el fons de la qüestió plantejada era semblant. Si us plau, penseu la resposta abans de consultar la solució.

    Solució del problema de les quatre targetes
    (+/- Mostra/Oculta)

    Hem de girar la targeta A per comprovar si darrera hi ha un nombre parell i també cal tombar el tres per veure si darrera hi ha, o no, una vocal. Tot i que quan es planteja l'experiència aïlladament, els alumnes són prou llestos per pensar que la pregunta "té trampa", la majoria opten per dir que s'ha de girar la A i el 2. Sembla que si es deixa obert el nombre de targetes que es poden girar, hi ha persones que responen alegrement que només cal girar la A. Em va resultar divertit i desesperant alhora que, després d'una detallada explicació, hi havia encara alumnes que s'havien equivocat i persistien en intentar demostrar que la seva resposta era la correcta.

    La qüestió anterior és una de les possibles maneres de presentar la tasca de selecció de Wason. S'anomena així perquè va ser ideada pel psicòleg anglès Peter Cathcart Wason. La interpretació d'aquesta prova és objecte de controvèrsia: algunes hipòtesis sostenen que allò que queda en entredit no és el raonament lògic, sinó la mala interpretació de la pregunta que es fa. No vull esmenar la plana als brillants psicòlegs cognitius que proposen aquestes hipòtesis, però diria que uns rudiments de lògica teòrica ajudarien a no errar en problemes com aquest o, si més no, farien més fàcil explicar quina és la resposta correcta a aquells que s'equivoquen. Sigui com sigui, les respostes errónies de persones que en un futur es poden dedicar a dissenyar i interpretar experiments, ens haurien d'alertar.

    Si voleu saber-ne més, podeu consultar en línia:
    • Las cuatro tarjetas y el razonamiento humano de Miguel López Astorga. D'aquest breu document he tret la imatge de les targetes que apareix més amunt. Hi trobareu una explicació més detallada de la solució correcta i referència de les diferents interpretacions.
    • Tarea de selección de Wason: Un estudio de las diferencias individuales de Ma Dolores Valiña García et al. Un estudi feixuc amb un aparell estadístic interessant perquè li donin una ullada els futurs estudiants de psicologia reticents als continguts matemàtics (d'aquells que es pensen que la psicologia és lògicament equivalent a les converses terapèutiques).
    • Razonamiento deductivo (III). Razonamiento proposicional de Concepción Paredes Olay. Suposo que és una presentació que aquesta professora de psicologia passa a classe, però és un resum que conté informació interessant. En particular, la següent imatge (torta d'origen) , que he capturat d'aquest text, permet veure una versió abstracta i una versió concreta o contextualitzada de la tasca de selecció de Wason:

    Evidentment, es tracta d'esbrinar quines targetes s'han de girar per verificar la proposició condicional. Com que els humans no pensem com els ordinadors, sembla que el context té a veure amb el percentatge de encerts.

    Per acabar i com que fa dies que no surten gats en aquest bloc:

    Demostració de l'existència d'un gat invisible
    Material: només necessitem una cadira buida (si hi ha algun objecte damunt la cadira, el gat se sentiria incòmode)

    Si hi hagués un gat invisible damunt de la cadira, jo no el veuria.
    No veig res damunt de la cadira.
    Per tant, damunt de la cadira,  s'hi està un gat invisible.

    Notes:
    1. Si disposem d'una altra cadira, podem demostrar l'existència d'un altre gat invisible. Si algú prefereix els unicorns roses, es pot modificar lleugerament el mètode de demostració.
    2. No sé d'on vaig treure la demostració, no és meva. En tinc una versió escrita en castellà de fa uns quants anys que vaig afegir com a peu en un examen. Infructuosament, n'he cercat la procedència.
    3. Quan l'enuncio a classe veig cares de sorpresa o persones que diuen indignades que els gats invisibles no existeixen. Ningú mai m'ha replicat fent-me notar l'errada en el raonament lògic.