Una definició matemàtica de joc? (I)

Hi ha preguntes enverinades. Etimologia i intenció

En l'entrada del 19 de maig d'enguany (Jocs, matemàtiques, JugarXJugar i l'aualé), en Francesc Rovira feia el següent comentari:

—Estaria molt bé que donessis una definició matemàtica de 'joc', ¿què és un joc, matemàticament parlant?

Sincerament, crec que quan va fer la pregunta ja sabia que em llençava un repte llaminer, però de solució impossible. La meva resposta va ser un comentari que treia partit de l'etimologia (que és una sortida planera, i sovint pedant, per fer passar el temps i fugir d'estudi):

—Un recurs fàcil per començar un intent de definició és recórrer a l'etimologia: joc ve del llatí iocus que, així en singular, significa "broma" en una primera accepció. Si bé en plural, ioci, ja agafa clarament el significat de jocs o entreteniments. Ja veus que començo guanyant temps, però em guia un esperit lúdic (del llatí ludus, joc o diversió). Extra iocum (es a dir, bromes a part), per contestar la teva pregunta (que espero que hagi estat perpetrada amb animus iocandi) necessito un espai més gran que el que em deixa el senyor Google per fer comentaris. Em comprometo a fer un article per donar pistes per a una possible definició de "joc" des del punt de vista matemàtic (no crec que me'n surti del tot). No serà en la propera entrada que penso dedicar als falsos prodigis, però sí en la següent. Gràcies per proposar el repte.

Podria anar al gra i ser cartesià i lineal, però prefereixo fer marrada i suggerir, amb pinzellades desiguals, possibles respostes i problemes evidents Començarem per parlar de "joc" i després veurem què hi poden tenir a veure les matemàtiques.

Si l'etimologia no ajuda gaire, recórrer als diccionaris, sembla que tampoc (a tall d'exemple, podeu llegir les definicions que dóna el DIEC: joc, jugar). Una primera dificultat que sorgeix és que qualsevol definició de joc ha d'incloure una intenció particular (en diem lúdica) en els individus que la practiquen. Si jo no sé on he deixat les claus i les estic cercant, ningú definiria la meva percaça angoixant com a joc; en canvi, si faig això mateix per passar l'estona i demostrar la meva perspicàcia, després que algú amb el meu consentiment les ha amagat per casa, sí que és un joc? No cal dir que la matemàtica no és la millor disciplina per valorar i tractar  les intencions.

Els nens juguen. D'altres animals, també

Pensant aquest escrit, vaig recordar que havia llegit algun article sobre el joc en la revista Mente y Cerebro. Efectivament, la portada de l'exemplar de gener/febrer de 2011 ho deixava clar:

Portada de Mente y Cerebro (núm. 46/2011)

Rellegint les seves pàgines, he comprovat que el seu contingut no m'ajudava gaire a aconseguir els meus objectius, però com que em sembla interessant, tendeixo a la dispersió i no pretenc escriure un article formal... allà va un resum (el contingut complet no és de distribució lliure) i alguns comentaris:

En La importancia de jugar se'ns parla de la transcendència que té el joc lliure i imaginatiu en el desenvolupament dels infants. El concepte "joc lliure" (activitat espontània, sense regles, imaginativa...) es contraposa al de "joc estructurat" (joc amb unes regles). Ara que molts pares s'obsessionen per estructurar les activitats dels seus fills des de molt petits (fins i tot per fer plastilina als tres anys cal acudir a les classes particulars d'un artista plàstic..., per no parlar de en què s'ha convertit  jugar a pilota), resulta que el joc lliure és fonamental per un desenvolupament equilibrat dels nens i nenes. Si us plau, deixeu jugar als nens (veureu que no els hi calen reglaments)! Les matemàtiques, però,  no hi tenen res a pelar amb els jocs lliures...

En el mateix exemplar podeu llegir l'entrevista ¿Por qué a los pulpos les gusta jugar? on es parla del joc en el món animal. M'abstindré de fer una crida per tal que es deixi jugar als pops...

En els dos textos se cita a Gordon Burghardt, investigador del joc en animals, que evidentment ha hagut d'establir quines característiques, ell en dóna cinc, fan que una activitat observada en una bèstia o bestiola pugui ser definida com a joc (les podeu llegir en Un juego muy serio). Si us interessa aquest tema, podeu fer una ullada, també, a Entre animales anda el juego (però, si us plau, no feu clic en cap dels anuncis on apareix l'omnipresent ex-ministre Eduardo Punset). El joc animal, evidentment, no en té res de joc matemàtic.

Però, que no parlarem de matemàtiques?

Ara que ja deveu estar informats que el joc lliure, el joc animal i l'Eduardo Punset no tenen res a veure amb les matemàtiques, centrem-nos. Em llanço a la piscina i sense pensar-m'ho massa (i una mica en broma) intento una definició. Entenc per joc matemàtic (en una definició àmplia que abastaria qualsevol joc en el qual una estratègia plantejada utilitzant les matemàtiques reporta algun avantatge) :

1. Una activitat estructurada (té unes regles). Recordo ara la paradoxa "Este juego no tiene reglas" que no sé si he llegit en algun llibre de John Allen Paulos o en algun llibre de Raymond Smullyan.

2. Hi participen una o més persones que, a partir d'ara, anomenarem jugadors. Alguna de les persones poden ser substituïdes per un simpàtic programa d'ordinador. Si totes les persones són substituïdes per programes o sub-programes, és necessari un observador humà que a la manera d'un déu analitzarà el resultat.

3. El joc és finit i té uns objectius a assolir. A l'acabar-lo, generalment, és podrà etiquetar els jugadors en guanyadors i perdedors en funció dels objectius aconseguits. Es pot donar la possibilitat que no hi hagi ni guanyadors ni perdedors. En aquest cas es dirà que s'ha empatat i es podrà comprovar que el jugador que es creia menys destre en el joc és aquell que està més content. Si només hi ha un jugador i és el guanyador, s'acostuma a dir que ha solucionat el joc (en cas contrari, no direm mai que el joc ha guanyat; com a molt, direm que ens ha vençut).

4. (Imprescindible per poder afegir-hi l'adjectiu "matemàtic"). Les accions i estratègies dels jugadors es poden decidir i optimitzar utilitzant les matemàtiques. Fer ús de les matemàtiques dóna avantatges als jugadors. Un observador extern pot analitzar amb profit el joc des d'un punt de vista matemàtic.

5. (Imprescindible per poder distingir els jocs matemàtics dels exercicis i problemes). L'activitat ha de ser susceptible de poder ser portada a una aula per un mestre o professor. En aquest cas els alumnes es poden etiquetar de jugadors. El mestre o professor intentarà "colar" continguts matemàtics en l'activitat de manera que els alumnes no ho acabin de relacionar amb "una classe de matemàtiques normal" (reconec que sóc incapaç de definir aquest darrer concepte), convençut que d'aquesta manera els alumnes aprendran, abans i sense dolor, a sumar fraccions o a operar vectors, per exemple. Si sou els alumnes, penseu en no neguitejar el "profe" amb frases com: "que no farem classe avui? Això és un 'rotllo'!", "això compta per nota? que entrarà a l'examen?". I sobretot, feu veure que penseu una mica abans de qualsevol jugada!

Em temo que dins d'aquesta acurada definició hi caben activitats com el ganxet o la ruleta russa; però, al cap i a la fi, algú de l'Antiga Grècia ja es va adonar que definir "home" com a "bípede implume" convertia en homes els pollastres a l'ast. No cal dir que qualsevol aportació crítica o humorística en forma de comentari que millori aquests cinc punts serà ben rebuda.

Després d'aquesta primera part tan lúdica, em comprometo, ara sí, a ser més seriós, a parlar més de matemàtiques i a portar-me més bé en una, espero, molt pròxima continuació d'aquesta entrada.