dilluns, 25 de març de 2013

Més enllà de la tercera dimensió: notes inicials


Introducció

En un comentari a l'article I les altres geometries?, un lector habitual del blog reconeixia la seva perplexitat quan s'havia d'enfrontar amb el concepte de dimensió: "(...) per a mi, la 4a dimensió ve a ser com la 3a Persona ST." Això de comparar una dimensió suplementària amb una de les persones de la Santíssima Trinitat (hi poso un enllaç per a aquells jovencells que poden confondre el dogma catòlic amb una illa del Carib), em va semblar ben trobat i vaig prometre que dedicaria una entrada al concepte de dimensió. Ai, no sabia pas què deia! Han passat els mesos, hi he anat pensant, una cosa porta a l'altra... i tinc idees i material per dedicar-hi, no unes quantes entrades, sinó un blog sencer o una obra enciclopèdica d'un estil semblant a aquella que Edward Gibbon va dedicar a la caiguda de l'Imperi Romà.

En la meva resposta al comentari, em vaig atrevir a insinuar que al meu interlocutor li podia dirigir aquelles mateixes paraules que, en la immortal obra de Shakespeare, Hamlet dirigeix a Horaci: "There are more things in heaven and earth, Horatio, than are dreamt of in your philosophy." I aquí, a més i des del punt de vista de les ciències exactes, que "una cosa" tingui existència terrenal o celestial no és una condició necessària perquè la puguem estudiar i estructurar matemàticament. Une altre assumpte, és que un sigui capaç de visualitzar el concepte. I ara demanaré el testimoni de Stephen Hawking! En el seu llibre Història del temps. del Big Bang als forats negres, traduït magníficament al català pel físic i escriptor David Jou, escriu:

Sovint resulta útil imaginar les quatre coordenades d'un esdeveniment com si especifiquéssim la seva posició en un espai quadridimensional denominat espai-temps. És impossible imaginar un espai quadridimensional anomenat espai-temps, o cap altre espai quadridimensional. Personalment, em resulta difícil fins i tot visualitzar espais tridimensionals!
Història del temps

Curiosament, un altre físic i matemàtic que ha treballat amb S. Hawking, Roger Penrose, ens sorprèn afirmant que ell si que ha pogut visualitzar la quarta dimensió (almenys així ho escriuen aquí, si hi feu clic no us perdeu els comentaris).


La paraula dimensió és polisèmica!

Si hem de moblar una habitació i parlem de les dimensions que ha de tenir l'armari, no hi ha polisèmia que valgui! Tothom entén que donant tres nombres i on el posarem, ja ens podem fer una idea de com quedarà aquest moble en l'habitatge i si disposarem de gaire espai lliure per fer acrobàcies. Ah! però quan utilitzem aquesta paraula em matemàtiques o física, o el context ens dóna una pista o hem d'especificar molt bé de què estem parlant (vegeu, per exemple, l'entrada dimensió a Viquipèdia). Estem acostumats a parlar de les tres dimensions de l'espai físic, però les dimensions d'aquest "espai" són discutilbles i discutides. Hi ha algunes teories físiques actuals que parlen d'un univers hologràfic de dues dimensions (i nosaltres ens il·lusionem amb la tercera!), hi ha l'espai més clàssic de tres dimensions que a Kant (a priori) l'encantava, tenim les quatre dimensions de l'espai-temps relativístic, i ens meravellem de les 10 o les 26 dimensions de la teoria de cordes. Però no cal preocupar-se, en les versions més habituals d'aquesta darrera teoria, les dimensions suplementàries estan "cargolades" i per això no les detectem! Us deixo amb el primer vídeo de la sèrie 10 Dimensions Universe (Explanation) per tal que comenceu a fer bullir l'olla:





Si deixem els conills que els físics teòrics es treuen del barret,  dit això amb tot el respecte, i tornem a les matemàtiques, aquí no cal ni que les dimensions siguin enteres! (vegeu dimensió fractal). A més, per exemple, en anàlisi matemàtica, en càlcul vectorial, o en general  en àlgebra lineal, és habitual anar més enllà de les tres dimensions. De fet,  no cal imaginar-se les dimensions com quelcom físic: quan intento, generalment de forma poc reeixida, que els meus alumnes deixin de relacionar els vectors amb el pla o amb l'espai, els proposo que construeixin un vector amb les seves qualificacions i així obtenen un vector d'uns deu o onze components (un per a cada assignatura).

Sento que algú em diu "Alto! Estàs fent trampes! Nosaltres volíem que ens  parlessis de quatre o més dimensions geomètriques i ens surts amb tirallongues d'onze nombres i dimensions recargolades que no podem veure!" No patiu que en la propera entrada parlaré de la quarta dimensió "geomètrica" i intentarem acostar-nos a la visualització d'un hipercub (el cos equivalent a un cub, però en quatre dimensions!)

15 comentaris:

  1. 1. Estic d'acord amb aquest comentarista caribeny: 4D i 3P són objectes totalment i únicament espirituals. D'ambdues figures se n'ocupa l'escolàstica: la moderna s'ocupa més aviat de 4D; l'antiga, de 3P.

    2. Resposta d'Horatio R. (músic) a Hamlet M. (matemàtic): "Yes, my Lord, but –with all due respect– this is something you will have to prove!"

    3. «...que "una cosa" tingui existència terrenal o celestial no és una condició necessària perquè la puguem estudiar i estructurar matemàticament.»

    Per demostrar que la simplicitat de la teva afirmació només és aparent –falsa com un duro sevillano– t'hauria de preguntar què vol dir això d'«estudiar i estructurar matemàticament» una cosa. D'aquesta manera, si contestaves, la resposta mateixa demostraria la seva complexitat; i si no –si m'engegaves a pastar fang–, encara més!

    4. «Une altre assumpte, és que un sigui capaç de visualitzar el concepte. I ara demanaré el testimoni de Stephen Hawking! En el seu llibre Història del temps […] escriu: "[…] És impossible imaginar un espai quadridimensional anomenat espai-temps, o cap altre espai quadridimensional. Personalment, em resulta difícil fins i tot visualitzar espais tridimensionals!" »

    És el que té l'espai, company: que és molt més fàcil de veure que de visualitzar. Per això Hawking diu el que diu; per això hi ha tan pocs arquitectes bons; per això tots travessem el carrer sense massa problemes; etc.

    5. Estic molt interessat en una bona definició de dimensió, una de general que expliqui les tres de l'espai com a casos particulars. Dono per fet que, en la seva la pròxima entrega, Herr Montasell ens la donarà.

    6. «Sento que algú em diu "Alto! Estàs fent trampes! Nosaltres volíem que ens parlessis de quatre o més dimensions geomètriques i ens surts amb tirallongues d'onze nombres i dimensions recargolades que no podem veure!"»

    Alto! Estàs fent trampes! Les dimensions de les que voliem que ens parlessis són propietat exclusiva de l'espai, no de la geometria. Que els geòmetres les necessitin és un bon argument a favor nostre! (dic jo).

    ResponElimina
  2. Vaig veient que t'encanten els tour de force dialèctics (i a mi que la dialèctica, tant que m'havia agradat, em cansa!)

    No m'esperava trobar-me amb un músic cartesià (i menys després del migrat èxit de públic de l'obra de Schönberg). Les matemàtiques utilitzen la lògica en un mètode axiomàtico-deductiu i dir-ne escolàstica i embolicar-hi l'esperit, em sembla un abús. Com en la polèmica al voltant del mètode axiomàtic entre Frege i Hilbert, a principis del segle XX, em sembla que no ens entenem perquè utilitzem les mateixes paraules per parlar de coses diferents. Tot i que no me n'he pogut estar, no vull dedicar massa atenció a la geometria de l'univers (i un detall d'aquesta geometria són les dimensions) perquè és un tema obert i complex. De totes maneres, encara que no calgui per determinar l'hora per anar a prendre una cerveseta (no vull passar per boig, demanant la velocitat dels assedegats per sincronitzar els rellotges), el model més ajustat per a l'univers, hores d'ara, és el de quatre dimensions, l'espai-temps del despentinat Einstein.

    Em sap greu que t'atabalin les 4D que només són un cas particular de les n-dimensions. Els informàtics treballen amb matrius de dades de bastant més de 4 dimensions sense massa dificultats. Tornem-hi, amb tot això no estic dient que, per anar a treballar, un necessiti imaginar-se un espai de més de tres dimensions (jo, que als matins m'arrossego, en tinc prou amb dues!).

    També em dol que posis en boca d'un personatge de Shakespeare, una frase que l'anglès no va escriure mai: you will have to prove!. I mira que aquets dramaturg té fama d'haver explotat a fons totes les possibles situacions dramàtiques. I ara hauria de parlar del "pes de la prova" i embolicar-hi la dialèctica...

    Estudiar i estructurar matemàticament? Em remeto al Programa d'Erlangen. I em passo per alt la tautologia: si A, tens raó; si "no A", també (no acostumo a lluitar contra les tautologies ni per demostrar que són falàcies).

    Si "dimensió" és polisèmica, a què treu cap demanar una definició general?

    Ah! Beatus ille (un altre Horaci) que pot dedicar-se als "petits problemes" de quadrats i nombres primers... a veure si els words, words, words d'aquest comentari m'impedeixen tenir a punt la següent entrada (sí, sobre dimensions) de Divendres Sant.

    ResponElimina
    Respostes
    1. Per no cansar-te més deixo córrer els dos primers punts del meu comentari anterior: les bromes si no fan gràcia, no fan gràcia i llestos.
      Per contestar la pregunta que el punt 3 plantejava has hagut d'invocar el Programa d'Erlangen. Q.e.d.
      M'ha semblat que passaves per alt el punt 4, que intenta diferenciar veure de visualitzar i posar el dit a la llaga de la insitència d'alguns a decantar sempre la balança del costat de la visualització. ¿Tinc raó? ¿Ho trobes irrellevant, excessivament trivial, una tonteria...?
      El cinquè punt és fruit una badada meva: hauria d'haver protestat per l'us indegut del terme polisèmia aplicat a la paraula dimensió en l'àmbit dels discurs habitual –el teu també– de la física i les matemàtiques i no ho he fet. Si encara hi fos a temps i me'n sortís, potser miraria d'explicar-ho en un altre comentari.
      Poso el sisé punt al mateix sac que els dos primers.
      I acabo amb el que ara veig que hauria d'haver dit només començar el meu comentari anterior: que m'atabalen molt les 4D, efectivament, si TOTES són del mateix "tipus" i aquest tipus és, i només és, el que normalment anomenem espaial. Que no et sàpiga greu; ja m'ajudaràs a veure-ho diferent.

      Elimina
    2. Veig que estem repetint les peripècies de Frege i Hilbert! Però, ells tenien l'excusa de no disposar d'emoticones! Ho dic perquè:

      1. Els punts 1, 2 i 6 m'han fet gràcia, m'han permès desplegar tots els meus focs d'artifici dialèctic i exercir de festiu pseudogenialoide català (aquí no tenim genis, ni d'aquells que surten de les làmpades). Amb una emoticona ben utilitzada o amb una mica més de domini del llenguatge, ho hauria pogut arreglat. Com sempre els teus comentaris són benvinguts i em disculpo si en la resposta no ho he donat a entendre o t'he semblat enfadat.

      2. Vaig intentar contestar punt per punt, però tot se'm barrejava i la linealitat i l'ordre em van resultar inabastables. El teu punt 4 (veure i visualitzar) remeten a un determinat estil matemàtic i són prou importants per a no limitar la resposta a un comentari. De totes maneres jo fugiria del realisme ingenu i parlaria no de "veure", sinó "d'allò que creiem veure".

      3. Reitero que a matemàtiques i física la paraula dimensió és polisèmica, però quan la posem en context té un significat únic. Tinc la impressió que tu li vols donar un sentit perceptiu que correspon a la neurologia o a l'epistemologia o, espero que no, a l'ontologia.

      4. Entenc que utilitzes "espaial" per "espacial" com a provocació lingüística (més avall, l'amic Frederic parla d'"espaial" per descurança ortogràfica).

      5. Com que la meva visió i comprensió de les matemàtiques és poc visual —valgui la paradoxa— igual no puc "ajudar a veure" i em conformaria en "ajudar a comprendre".

      Elimina
  3. En plan simplista "com sempre" i amb la tranquilitat que donen les vacances, dimensió és tot el que es pot mesurar ?? En una habitació puc tenir les tres dimensions clàsiques i una quarta que pot ser la temperatura de cada punt, ho puc considerar un espai
    "no vectorial" de quatre dimensions.
    Evidenment les nostres limitacions mentals i físiques no ens permeten imaginar un espai de mes de tres dimensions, però es necessari tenir una imatge ??
    Ja tenim prous problemes per representar en un full els tres eixos cartesians, com perque la nostra visió espaial vagi mes enllà de la contemplació de la lluna plena que tinc devant !!!

    ResponElimina
    Respostes
    1. Fantàstic! A mi, simplista de mena, la teva definició m'està la mar de bé; sobretot perquè, si fos bona, aclariria d'un cop i per sempre aquestes dues coses:

      1. No té cap sentit esverar-se per la quantitat de dimensions: 4, 14, 25... les que sigui; ni esverar-se ni parlar-ne: n'hi ha tantes i són tan fàcils d'aclarir!

      2. Intentar visualitzar dimensions –les dimensions que, per la seva naturalesa, no siguin visibles, vull dir– és tan idiota –o tan poètic– com intentar oloritzar colors, sonoritzar temperatures, o imaginar el gust del grau d'inclinació de la torre de Pisa.

      Dos apunts ràpits més:
      1. Em sembla que sí, que imaginem espais de més de tres dimensions: precisament per això la gent parla tant de 4D i coses semblants. Ens és relativament fàcil pensar que podrien existir –que hi podria haver altres mons l'espai dels quals fos 4D, 5D, etc.–, però ens és del tot impossible visualitzar-los! (amb el permís de Sir Roger, FRS).
      2. Quina mania que son «les nostres limitacions mentals i físiques» les que no ens permeten visualitzar un espai de mes de tres dimensions! ¿Per què no pensar, més simplement, que no aconseguim visualitzar un espai de mes de tres dimensions perquè NO hi ha cap espai de mes de tres dimensions? (una cosa ben diferent és que matemàticament sigui preferible –els càlculs siguin més precisos, etc.– treballar amb eines 4D com ara "l'espai-temps del despentinat Einstein").

      Elimina
  4. Intueixo que, en el fons, donem a la paraula dimensió els mateixos significats, però hi ha unes quantes imprecisions en el teu comentari que m'agradaria aclarir.

    1. Dimensió no és tot allò que es pot mesurar! Les dimensions són mesurables (en el sentit que a la dimensió li puc assignar un nombre), però la propietat "mesurable" no és un atribut únic que defineixi per se "dimensió". Quan mesuro un àrea no estic donant una mesura de la dimensió, i hi ha superfícies de dues dimensions que no són mesurables (és a dir, que no tenen àrea).

    2. Perquè ha de ser un espai "no vectorial" l'espai del teu exemple (tres dimensions i la temperatura)? D'acord, la temperatura és un camp escalar, però podem construir vectors de quatre components amb la temperatura en quart lloc (o hi podríem posar el temps!).

    3. Em sembla envejable que hagis pogut rebre amb claredat els fotons que, procedents del Sol, s'han reflectit a la Lluna i han atravessat l'atmosfera per provocar un corrent elèctric que, passant pel nervi òptic, ha arribat al cervell i t'ha provocat una sensació visual. Ja fa temps que, tot i dur ulleres, no aconsegueixo més que una imatge borrosa de la Lluna. A més la Lluna plena va ser el 27 de març: no vas observar que li faltava un trosset al formatge!

    ResponElimina
  5. Com que Mr. Google ens fa cada vegada més complicada la vida digital i ara ens permet fer "arbres" amb comentaris, vull aclarir que el meu comentari anterior és una resposta al comentari de l'amic Frederic. Després he llegit l'entusiàstica resposta d'en Francesc (espero que fruit de la sobretaula, perquè jo simplista, el que es diu simplista, no el veig) i la he publicada tot seguit. Al Sr Rovira l'aconselleria que cerquès el significat de sinestèsia i que no fes conxorxa amb comentaristes imprecisos. Teníem problemes amb les quatre dimensions i ara no tenim inconvenient en acceptar-ne 25! Quins efectes més estranys tenen els bons àpats! Ara entenc allò dels dinars de negocis!

    ResponElimina
    Respostes
    1. He preguntat al Sr Rovira si savia el significat de sinestèsia i m'ha dit que sí. També m'ha dit que et feliciti: el teu comentari permet reformular avantatjosament el seu segon punt: «Intentar visualitzar dimensions –les dimensions que, per la seva naturalesa, no siguin visibles, vull dir– és un exercici de pura SINESTÈSIA!» ¿És això el que insinues que fa Sir Roger – Roger the synesthete Penrose?

      No tinc ni tenia cap problema "amb les [sic] quatre dimensions"; no, si en són quatre que NO compleixin el que ja he dit al meu segon comentari. Cito: "m'atabalen molt les 4D, efectivament, si TOTES són del mateix "tipus" i aquest tipus és, i només és, el que normalment anomenem espaial." Hauré d'anar pensant a fer conxorxa amb tu, el proper cop que vulgui fer-ne amb comentaristes imprecisos... Qui ho hauria dit!

      Elimina
    2. No menyspreïs les dimensions geomètriques: que totes són del mateix tipus! És com dir que totes les dones/homes són iguals (no ve a tomb, però ara recordo aquella enginyosa frase: "deixeu les dones boniques als homes sense imaginació"). Un matemàtic et contestaria que cadascuna té les seves particularitats... i que és un fet extraordinari que en un espai n-dimensional ens puguem cordar les sabates (però aquest és un acudit que només fa riure a alguns topòlegs). Porto aquest extrem al límit i em permeto afirmar (demano perdó per la rima) que el nostre espai té tres dimensions per tal que siguin útils les sabates amb cordons.

      Elimina
    3. "El nostre espai té tres dimensions per tal que siguin útils les sabates amb cordons." [Francesc Montasell]

      "El sol sale para que el gallo cante." [popular]


      Compte amb això que fas d'insistir en les diferències entre A i B (ja sabem que haberlas, haylas) quan precisament l'interès general estava posat a mostrar-ne les semblances: fa ben bé l'efecte de ser un argument erístic. Per exemple (seguint el teu): compte a insistir en les diferències entre homes –o entre dones– quan del que es tracti sigui de buscar una bona definció d'homo sapiens sapiens (posem per cas).
      Per broma, et pagaré amb la mateixa moneda. No menyspreïs les diferències entre matemàtics: que un matemàtic em contestaria que cadascuna [de les 3D] té les seves particularitats! És com dir que totes les dones/homes són iguals.

      Elimina
    4. M'espantaràs a la clientela jove i/o "telexincaire" amb això de l'argument erístic. Efectivament, és, volgudament i irònica, erístic; però, pots filar més prim, i dir-ne antròpic. Suposo que a Déu o a qui tingui el comandament dels múltiples universos, això del Principi antròpic, li ha de fer gràcia. Ah! i no creguis que el gremi dels matemàtics està tan ben avingut que no permet la dissidència...

      Elimina
  6. El subespai de les àreas si que te estructura vectorial, o no ?
    Per cert que hi han fotons ens ho hem de creure com tantes coses, ara que estem en Setmana Santa la fe fa miracles fins i tot en el camp de la física.
    D'aqui 100 anys poder riuran de nosaltres com ara ho fem nosaltres de la teoria de l'èter.
    A simple vista, amb una mica de boirina i amb la miopia és dificil veure 2/28 parts de la Lluna que no reflexava la llum del Sol.

    ResponElimina
    Respostes
    1. (The Conxorxa, episode 2)

      «Feliços els incrèduls, perquè d'ells és el regne del coneixement.»

      Bona aquesta! Fotons, article de fe! (i qui ho diu no és músic, precisament) Jo vaig dir no-sé-què de l'escolàstica al meu primer comentari i vaig sortir escaldat, company! Esperem que Herr Montasell també hagi dinat bé, avui...

      Elimina
    2. Fot-li fort! El científic se'ns torna alquimista i el músic escaldat l'acompanya amb el violí!

      1. No està ben definit un espai o subespai "de les àrees". Si em dius (que no cal! veient el caire de programa de la tele que està agafant això) quins són els elements del conjunt i a quines dues operacions fas referència, en podríem parlar.

      2. És curiós com, en aquest país, es pot tenir formació universitària de ciències sense filar massa prim amb el mètode científic (i no és la primera vegada que ho comprovo, vegeu el text i els comentaris de Les pomes que no van caure a Newton). "Creure en els fotons"? La teoria fotònica és el model més acurat que tenim hores d'ara per explicar molts dels fenòmens relacionats amb la llum. Eistein va utilitzar aquesta teoria per explicar l'efecte fotoelèctric i per això va rebre el premi Nobel de física. Eisntein no hi "creia" gaire en el fotò, però era el "constructe" teòric que li permetia justificar d'una manera més acurada les dades experimentals. Kepler "creia" que les òrbites dels planetes havien de ser circulars, fins que va comprovar que les dades experimentals s'adaptaven millor a les el·lipses. Etc.

      3. M'estendria més en tot això, però com, entre línies, sento bordar a Feyerabend, me'n vaig a fer un tomb!

      Elimina