diumenge, 30 de març de 2014

Miscel·lània: de la Prova CiMs al Cangur, passant per Pi


Pròleg. A manera de disculpa

Els lectors, més o menys habituals, deveu pensar que tinc el blog abandonat! Enguany, m'havia plantejat ser més regular en la publicació d'entrades, però no me'n surto de fer compatible el dia a dia amb la redacció d'articles. I no serà per falta d'idees! L'anumèrica premsa d'aquest país ja dóna per redactar, si més no, un comentari setmanal: per exemple, tinc previst escriure quatre cosetes sobre probabilitat condicionada i proves de detecció de malalties o sobre les aplicacions de les matemàtiques i la física en la recerca d'avions perduts (un parell de diaris nacionals ho troben extraordinari i, a més, apunten que l'ús pràctic de l'efecte Doppler és innovador!). Per no parlar de temes que he anat apuntant i que resten pendents... Però hi ha molts escrits que requereixen una certa calma, són de cocció lenta i els descarto en certs moments del curs escolar.

Em sabria greu —i això ho recalco — que algunes persones que s'han adreçat al blog amb els seus comentaris, sempre benvinguts, o que s'han deixat caure per aquí a la recerca d'alguna informació, es trobessin amb una patètica falta d'activitat. L'estructura d'aquesta bitàcola digital fa, malauradament, que algunes intervencions recents i valuoses quedin amagades en entrades passades.

Per posar remei a tot plegat, i perquè hi ha més activitat matemàtica que no ens sembla, se m'ha acudit redactar aquesta miscel·lània —espero que no us sembli una macedònia per sortir del pas— al voltant de tres dates d'aquest mes de març.


8 de març. Proves de selecció de les beques CiMs-CELLEX

El segon dissabte del mes, els alumnes aspirants van efectuar les proves de selecció del programa CiMs-CELLEX. Ja he parlat diverses vegades d'aquest projecte (podeu clicar en la categoria corresponent en la columna de la dreta del blog per llegir-ne els articles). Com en anteriors edicions, alguns participants —suposo que, en part, per una certa opacitat informativa dels convocants— s'han passat per aquestes pàgines i ens han fet arribar preguntes i comentaris. Una de les participants, Lenok, ha tingut la gentilesa d'enviar-nos allò que recordava i li semblava rellevant dels continguts de les proves (ho podeu llegir en els comentaris de Cabres, gallines, coloms... i unes equacions diofàntiques!). Transcric i m'esplaio en un parell dels problemes que ens ha fet arribar Lenok. El primer és de mol fàcil solució; el segon... és una altra cosa!



Problema 1

Troba tots els valors naturals possibles per a i b si a·b = 22

Solució del problema 1 (+/- Mostra/Oculta)

La solució és tan evident que l'enunciat sembla pensat com un escalfament per al següent problema.

Descomponem 22:

  22 = 1·2·11.

Tenim quatre solucions per a (a, b): (1, 22), (22, 1), (2, 11) i (11, 2).







Problema 2

Lenok, després de enunciar-nos l'exercici que hem anomenat Problema 1, ens escriu: "el mateix" (entenc que les solucions han de ser naturals) per a:

\(\begin{cases}x · y + z^2 = 161\\x·z - y·z = 7\end{cases}\)

Solució (més aviat comentari) del problema 2 (+/- Mostra/Oculta)

Tempus fugit! He atacat el problema tal com ho faria un informàtic! I deixo per a més endavant una solució més raonada.

Si el sistema d'equacions és diofàntic, cal fixar-se en què 161 = 7·23 i que, si escrivim la segona equació traient factor comú:
\[z·(x -y) = 7\]
podem deduir que els únics valors naturals possibles per a z són 1 i 7; i, per tant, entre x i y la diferència ha de ser, respectivament, de set o una unitats. Amb això, un full de càlcul i amb un senzill i curt atac per força bruta diria que he descartat l'existència de nombre naturals que siguin solució del sistema. Cal dir que la ciència matemàtica optaria per demostrar la inexistència de solucions naturals per mètodes més rigorosos. Pot ajudar en alguna cosa el fet que el producte x·y ha de valdre o bé 160 o bé 112.

Per si encara no em mereixia la meva expulsió del paradís matemàtic, he utilitzat la calculadora Wiris i un simpàtic programa rus que parla (us en dono més referències després) que coincideixen en assenyalar per al problema dues solucions en el conjunt dels nombres reals:
\[x= \dfrac{\sqrt{161}}{23};  y = 0;  z = \sqrt{161}\\  x = -\dfrac{\sqrt{161}}{23};  y = 0;   z = -\sqrt{161}\]
No sé si Lenok ha comés alguna errada en la transcripció del problema o si els organitzadors s'han permès la llicència, tan matemàtica, de proposar un problema que no té solució, almenys en el conjunt dels nombres naturals.




Us comento breument, el programari que he citat en la solució del segon problema:
  • De la calculadora Wiris, ja n'he parlat (aquí). M'ha sorprès favorablement que donés ràpidament les solucions.
  • Desconeixia umsolver (el simpàtic programa matemàtic de procedència russa que parla i determina les solucions pas a pas). La versió completa és de pagament, però us podeu descarregar de franc la part del programa que soluciona equacions i sistemes d'equacions (aquí). L'he provat amb el sistema anterior i amb un sistema d'equacions lineals amb infinites solucions (compatible indeterminat). Funciona prou bé i és força curiós.
Aquests darrers dies de març i el 5 d'abril els alumnes preseleccionats per la Fundació CELLEX estan sent entrevistats per decidir quins seran admesos en el programa.

Nota del 19 d'abril respecte aquest Problema 2: En l'entrada posterior a aquesta Més CiMs: tema amb variacions, podreu llegir informació actualitzada entorn d'aquest enunciat


14 de març. Pi Day

D'altres anys havia dedicat alguna entrada a l'anglosaxó, i una mica nerd, Dia del nombre Pi (vegeu, per exemple El dia de Pi (I). Una invitació). Enguany la celebració m'hauria passat per alt si no hagués estat pels comentaris que un bloguer menorquí, el Capità Tiranya, va escriure en l'entrada que us acabo d'enllaçar. El Capità Tiranya és autor d'un bloc molt recomanable (Kbòries matineres) i va dedicar una enginyosa entrada (Oh hapπ day!) per tal de commemorar aquesta diada. Resto en deute amb el Capità perquè el seu escrit em va servir per posar una nota simpàtica, amb música inclosa, en algunes de les meves classes de secundària del dia 14.


20 de març. Proves Cangur

Potser no ho he sabut trobar, però diria que, aquest curs, els mitjans de comunicació han passat de puntetes i han dedicat molt poca atenció a aquesta festa de les matemàtiques que compta amb la participació de milers d'alumnes de Secundària. Deu ser que els de matemàtiques no ens sabem vendre!

La darrera entrada que vaig dedicar al Cangur va ser Saltem! Del dia de Pi al Cangur 2013. Pensava acabar aquest març, marçot proposant algun dels magnífics problemes d'aquesta edició del Cangur, però la Comissió organitzadora no farà públics els enunciats fins el dia 25 d'abril i trobo que no cal avançar-se. Els qui hi vau participar ja podeu, però, consultar les solucions en el web del Cangur.

I acabo amb una aglomeració de participants en les proves (la fotografia va aparèixer en El Diario de Mallorca i correspon a la convocatòria que es va efectuar a Palma):

Una gentada solucionant problemes de matemàtiques


10 comentaris:

  1. A fe de món que greu em sap de corregir-vos, però renegat seria de la meva condició cavalleresca si deixara tort sense dreçar.
    En aquesta equació teniu un signe canviat.
    No sou vós sinó jo qui es troba en deute per la immerescuda lloa que em feu.
    Mercès infinites.
    Vostre.

    ResponElimina
    Respostes
    1. Veig que esteu amatent als canvis d'aquest mar digital!

      Corro el risc de semblar-vos un lluç de palangre, però he revisat l'entrada (amb els ulls que ja se m'acluquen) i no veig el signe canviat al qual feu referència: el sistema d'equacions del segon problema és aquell que se'm va trametre i en les solucions no hi detecto cap errada.

      Si em feu la mercè de ser més precís en el comentari, dreçarem tot allò que calgui.

      Elimina
    2. Excuseu la maldestra puntuació i el sentit excessivament figurat que us ha portat a forçar la vista en hora intempestiva.
      El signe equivocat a què feia referència és que sóc jo (-) i no vós(+) qui està en deute i no al contrari. En l'àmbit matemàtic bé em guardaria de corregir-vos...
      En qualsevol cas, millor un diàleg de lluços que un de besugs.
      Salut i coratge.


      Elimina
    3. No patiu: sóc jo que no n'he sabut treure l'entrellat —cert és que la puntuació no hi ajudava—; però greu em sap haver vist un avís benintencionat on calia llegir una lloança.

      Doneu per descomptat que, si continueu cavalcant per aquí, tindreu ocasió de corregir-me i que qualsevol discrepància serà ben rebuda.

      També per a vós, salut i coratge!

      Elimina
  2. Gràcies per l'entrada (feia temps que no en llegia cap :) ) i per la resolució dels problemes. Evidentment, és possible que hagi fet algun error en la transcripcció, però ara, com ja fa un mes de la prova no podria dir si els números eren aquests o uns altres. Del que sí que estic segura és que les solucions havien de ser naturals i també que no el vaig poder acabar!

    També dir (com a curiositat) que a la meva escola vam fer una mena de gimcana voluntària de problemes per celebrar el Pi Day, cosa que em va alegrar molt.

    En fi, m'alegro de llegir-te de nou i espero que, quan puguis, escriguis aquestes entrades completes i interessants que anuncies.

    ResponElimina
  3. Hola i gràcies a tu Lenok!

    Ja veus que com a redactor de blog no sóc gaire fructífer!

    La propera entrada la dedicaré, una altra vegada, al problema que he anomenat "Problema 2". Si en el primer membre de la primera equació canviem el signe més per un menys, el sistema té solucions naturals. Si t'has equivocat en la transcripció, millor! perquè la comparació de la resolució del "teu problema" amb el "nou problema" aporta curiositats dignes de comentar...

    Em sembla fantàstica aquesta idea de la gimcana del Dia de Pi i m'agradaria saber-ne més detalls (i poder-la copiar!).

    Salutacions, i demà començo a redactar el nou article...

    ResponElimina
  4. Veig que ja has fet l'entrada, a veure com resulta...

    Sobre la gimcana de Pi, va consistir a uns cartells amb problemes (alguns de lògica, alguns més complicats) penjats per tota l'escola i dividits per cursos/nivells. Un cop acabada la gimcana voluntària, s'enviava un mail a una adreça que ens van donar amb les resolucions. Encara estem a l'espera dels guanyadors... Va ser una bona pensada de l'àrea de matemàtiques de l'escola i molts ens ho vam passar molt bé durant el temps lliure fent els problemes.

    Vaig a llegir l'article, fins aviat!

    ResponElimina
    Respostes
    1. Només un parell de preguntes (sóc una persona curiosa; de fet, un pèl xafarder!): l'activitat la vau fer dintre de l'horari de classes o en el temps lliure? era individual o en grup?

      Ja em diràs, si tens temps i ganes, que et sembla la darrera entrada...

      Elimina
  5. Durant el temps lliure i en grups d'unes tres persones.

    Interessant entrada, "Errare humanum est" i en el fons m'alegro d'haver-me equivocat, perquè ja hi havia dedicat una estoneta a mirar de resoldre'l després de la prova i no me'n vaig sortir!

    També és interessant el que comentes sobre les calculadores i els programes. Personalment, a mi ja m'està bé que sigui així. Potser sembli una mica radical, però l'aritmètica la deixo per les calculadores i la resta de les matemàtiques per les persones. Amb això no vull dir que no s'hagi de desenvolupar la intel·ligència artificial (tant sols em referia a les calculadores), és més, és necessari fer-ho perquè cal que els ordinadors i altres màquines puguin resoldre els seus problemes de manera cada cop més eficient.

    ResponElimina
    Respostes
    1. Gràcies Lenok per la informació de l'activitat del Dia de Pi en el teu institut (encara em queda el "cuquet" d'esbrinar-ne més coses) i per la valoració que fas de la meva darrera entrada!

      Jo, que també m'equivoco més sovint que no pas voldria, no et retrec l'errada, sinó que l'agraeixo com una oportunitat.

      Em prenc la llibertat de comentar la resta de la teva aportació en el següent article del blog. La conversa que estem tenint està, temàticament parlant, a cavall de les dues entrades, i em sembla oportú fer aquest trasllat.

      Elimina