dissabte, 5 de març de 2011

Problemes per passar un pont (I)

El fet de dedicar-se a la docència de les matemàtiques i la física ocasiona que sovint et proposin problemes, enigmes i endevinalles més o menys relacionades amb aquestes dues ciències. S'hi atreveixen els alumnes, però també els amics, saludats i coneguts que diria Josep Pla (l'escriptor, no el matemàtic). Com que la bateria de qüestions d'aquesta mena que circulen entre el gran públic és limitada, amb freqüència pots donar la solució sense haver de pensar, perquè és l'enèsima vegada que et plantegen el repte, cosa que produeix el fals efecte que estàs en possessió d'una ment prodigiosa. Això provoca un augment del teu quocient d'intel·ligència virtual i del teu prestigi que cauen ràpidament quan et pares a pensar més de dos minuts davant d'una pregunta de la qual no et saps la solució de memòria (que són les que realment ens agraden). L'altre dany col·lateral de la professió —aquest sí que és molest— és veure's pràcticament obligat a calcular, mentalment o amb llapis i paper, qualsevol compte de la vida quotidiana. Suposem que, després d'un opípar sopar en un restaurant, arriba el cambrer amb el compte, suposem que formem part d'un grup nombrós (posem unes tretze persones, no per res, sinó perquè és un nombre primer) i que cal dividir el cost del banquet entre els comensals, indefectiblement totes les mirades es dirigeixen a tu i algú salta dient "doneu-li paper i bolígraf que és de mates!". No sabem si confonen les matemàtiques amb la comptabilitat de factura més clàssica, però alguns companys meus de docència han optat per portar sempre una calculadora al damunt per evitar-se el tràngol.

Fa pocs dies a classe, de fet en una sessió de preparació del Cangur, em van proposar un problema que desconeixia (després he comprovat que és molt popular). No sé si va ser per posar-me a prova o perquè, mentre el professor pensa un problema, se n'oblida de posar-ne. Siguem ben pensats i diguem que els alumnes ho fan perquè saben que m'agrada pensar i solucionar qüestions d'aquesta mena. El problema va de quatre persones que han de passar per parelles d'una riba d'un riu a l'altra mitjançant un pont. Tarden temps diferents (1, 2, 5 i 10 minuts), com que és fosc han de portar necessàriament una llanterna per orientar-se i només en tenen una... quina és l'estratègia a seguir si ho volen fer en disset minuts? Si seguiu llegint, exposarem d'una manera més rigorosa l'enunciat. Tan divertit va ser el fet de solucionar el problema com el fet d'esbrinar d'on havia sortit i si n'existien versions diferents. Amb les dades que us he donat, podeu fer una petita investigació de la seva presència a Internet. Googlejant vaig comprovar que moltes de les referències provenien de l'Argentina i, tot i que el problema deu ser un clàssic, apareixia en un dels llibres del matemàtic argentí Adrián Arnoldo Paenza. Els llibres de divulgació de Paenza estan disponibles en format electrònic, per a ús no comercial, en el web del Departamento de Matemática de la Universidad de Buenos Aires (Libros de Divulgación publicados por Adrián Paenza). El problema en qüestió apareix en Matemática... ¿estás ahí? Episodio 3,14 (feu clic per accedir directament a la versió electrònica d'aquest llibre):

MATEMÁTICA... ¿ESTÁS AHÍ?
EPISODIO 3,14... 
Adrián Paenza
Colección: CIENCIA QUE LADRA
Dirigida por: Diego Golombek
Copyright 2007, Siglo XXI Editores Argentina S.A.
ISBN 978-987-629-017-3




Paenza titula el problema Las cuatro mujeres y el puente (ignoro perquè els personatges d'aquesta versió són totes dones). Us n'ofereixo el redactat original en castellà:


Las cuatro mujeres y el puente (Adrián Paenza)

"Hay cuatro mujeres que necesitan cruzar un puente. Las cuatro empiezan del mismo lado del puente. Sólo tienen 17 (diecisiete) minutos para llegar al otro lado. Es de noche y sólo tienen una linterna. No pueden cruzar más de dos de ellas al mismo tiempo, y cada vez que hay una (o dos) que cruzan el puente, necesitan llevar la linterna. Siempre.

La linterna tiene que ser transportada por cada grupo que cruza en cualquier dirección. No se puede “arrojar” de una costa hasta la otra. Eso sí: como las mujeres caminan a velocidades diferentes, cuando
dos de ellas viajan juntas por el puente, lo hacen a la velocidad de la que va más lento.
Los datos que faltan son los siguientes:
Mujer 1: tarda 1 (un) minuto en cruzar
Mujer 2: tarda 2 (dos) minutos en cruzar
Mujer 3: tarda 5 (cinco) minutos en cruzar
Mujer 4: tarda 10 (diez) minutos en cruzar.

Por ejemplo, si las mujeres 1 y 3 cruzaran de un lado al otro, tardarían 5 minutos en hacer el recorrido. Luego, si la mujer 3 retorna con la linterna, en total habrán usado 10 minutos en cubrir el trayecto.
Con estos elementos, ¿qué estrategia tienen que usar las mujeres para poder pasar todas –en 17 minutos– de un lado del río al otro?"


Com que el material que he anat trobant a la xarxa dóna per a un altre article, ho deixarem, de moment, aquí (si no sou massa destres, haureu d'esperar una pròxima entrada per saber la solució). Com sempre, tots els comentaris són benvinguts, però en aquest cas —per permetre que tothom pugui fruir amb la recerca de la resposta— em perdonareu que no en publiqui cap que doni explícitament la solució.

6 comentaris:

  1. Després de viatjar per la España profunda torno a ser a casa, i veient el problema crec que la resolució es fàcil, però com que no seria publicada no la exposo. Jo en conec un de problema d'un llop, una ovella i una coliflor que és semblant. Ara he de mirar el llibre de l'argentí, pq alguns argentins son molt perillosos diuen, parlen i xerren molt però al final res de res.

    ResponElimina
  2. Benvingut de nou, encara que no acabo d'entendre alguna part del teu comentari: has estant fent espeleologia per les Espanyes?

    El problema del llop, l'ovella i la col (no sé si les ovelles mengen coliflors!) és de naturalesa diferent, almenys des del punt de vista matemàtic, ja que no implica cap raonament de tipus numèric.

    Parlant de l'argentí Adrián Paenza, jo no coneixia la seva obra, però el poc que he llegit em sembla interessant. Sort que arregles el comentari dient que alguns argentins... i no tots, perquè tinc alguns lectors argentins —això del Google Traductor fa miracles— que igual es dignen contestar-te. Per cert, a Argentina (en el dialecte o argot lunfardo) de parlar sense dir res o improvisar amb desconeixement d'allò que hom parla en diuen "guitarrear". Et puc assegurar que Paenza no "guitarrea".

    Vaig sentir una vegada una anècdota: a un famós escriptor anglès li van preguntar: Vostè que opina dels francesos? i ell, molt murri, va contestar: No li sabria dir, no els conec tots! "Pues eso", que dirien en d'altres llocs.

    Suposo que llegiràs amb benevolència aquest discurs sobre estereotips improductius i reitero la benvinguda!

    ResponElimina
  3. No puc evitar de dir-ho així: si és un problema, no ho és de matemàtiques (o molt poc); si és de matemàtiques, no és cap problema (o molt poc)*.
    ¿I ara què? ¿Quina importància pot tenir això? No ho sé. Tinc tendència a pensar que molta, que s'hi juga el què de la matemàtica, el que és i el que no és, el seus límits, la seva frontera; però no trepitjo prou segur, no estic a l'alçada del problema que el problema planteja.

    * Trobar 5 valors a, b, c, d, e tals que a+b+c+d+e = 17; a, b, c, d, e ∈ {10, 5, 2, 1}; un i només un valor = 10 (solució única: 10, 2, 2, 2 i 1 ).
    Si no vaig errat, no dono "realment" la solució del problema (hauria estat d'una mala educació imperdonable atesa la contenció dels comentaristes que m'han precedit); només dono la solució de la seva traducció matemàtica o, si voleu, la traducció matemàtica de la seva solució. Ja he dit que no em semblava un problema de matemàtiques. Vist des del punt de vista d'un matemàtic, només pot ser un problema de traducció (qui sap si els únics que el consideraran un problema de matemàtiques seran els traductors).

    ResponElimina
  4. Paenza en el seu llibre comenta que és més aviat un problema de pensament lateral, però aquest concepte és un calaix de sastre que tampoc diu gaire cosa. Estic d'acord en què el problema no és gaire matemàtic i que un matemàtic més aviat s'hagués preguntat: la solució és única? Amb aquestes condicions, quins són els possibles valors, a part de disset, que pot tenir el temps total per tal que les quatre persones passin a l'altra riba; és a dir, quin és el recorregut de la funció? Podem trobar un mètode general per solucionar problemes d'aquest tipus?

    Ja comentaré en breu que el problema també es pot solucionar per "força bruta" (cercar totes les combinacions possibles, que no són moltes) i aquest és un mètode que pot agradar a un informàtic, però no a un matemàtic.

    I no voldria entrar en relliscosos i lul·lians pantans metamatemàtics intentant discernir si la matemàtica és una sèrie encadenada de tautologies o de frases d'un llenguatge simbòlic que, com alguns personatges de ficció, evolucionen, a vegades, independentment de la voluntat del seu autor. Pitjors sorpreses, però, ens ha donat Gödel!

    Parlant de traduccions, Goethe ja va deixar dit que: "Els matemàtics són com els francesos; se'ls digui el que se'ls digui, ells ho tradueixen a la seva llengua i, des d'aquell moment, es tracta d'una cosa diferent."

    Parlant d'estereotips... ara els toca als francesos!

    ResponElimina
  5. Estic d'acord amb Goethe*; i si a algú li pica, que s'ho grati substituïnt 'francès' per 'llengua hegemònica' o 'imperial'. Amb tot, no és aquesta la traducció que m'admira: la de la llengua vulgar a la llengua matemàtica –al cap i a la fi, aquesta és inevitable, no té retop–. És l'altra, la inversa, la traducció d'idees o objectes matemàtics al llenguatge real, la que em meravella. ¿No és meravellós i estrany alhora que per pensar l'àrea d'intersecció entre dos cercles desiguals la distància entre els centres dels quals és exactament el radi del mes gros, per exemple, calgui inventar-se un camp circular i una cabra lligada a una estaca clavada just al límit del camp? (vegeu l'entradaOvelles, rigor i matemàtiques, 21/5/2010)

    * ¿Podries dir-nos, sisplau, de quin llibre, article o paper de Goethe has tret la citació? Gràcies.

    ResponElimina
  6. En els comentaris de l'entrada que cites, Ovelles, rigor i matemàtiques, ja vam tenir un agradable debat sobre tot això. A mi em meravellen els dos passos que ens fan humans: el del cas particular, història o conte a la generalització o abstracció i a l'inrevés. El pensament matemàtic o científic tendeix a despullar els problemes i el pensament artístic a vestir-los. No crec que puguem prescindir de cap dels dos processos i, a mi, m'agrada combinar-los.

    No penso, però, crear cap corpus teòric al voltant d'això. Algú ja s'ha dedicat a estudiar que quan es despullen els contes, obres de teatre, novel·les..., els guions corresponen a unes poques i limitades estructures; algú altre, ha dit que els diferents tipus de pensament i relats són complementaris i tots els pedagogs postmoderns insisteixen en els exemples reals i la vida "quotidiana" (sic). Ah! i d'altres es meravellen que la natura segueixi les lleis de la matemàtica.

    *La citació de Goethe diria que la vaig llegir una vegada en el típic llistat de "frases cèlebres" i per a elaborar aquesta entrada vaig trobar una traducció de la frase en qüestió a internet que donava com a referència el llibre Infinitum. Citas Matemáticas de Juan Francisco Guirado Granados. Cal dir que he comprovat que algunes cites del llibre són falses o incorrectes. Si ens vols una versió del 1910 del nostrat Joan Maragall, fes clic a Pensaments de Goethe.

    Algun dia ja dedicaré alguna entrada a la veracitat de cites, anècdotes i històries diverses, però de moment, i com sembla que va dir Goethe, acabaré amb Licht, mehr Licht!

    ResponElimina