divendres, 21 de maig de 2010

Ovelles, rigor i matemàtiques

En els comentaris a l'entrada Respostes divertides a preguntes d'examen, parlant de triangles reals i triangles "ideals" com a metàfora del mètode matemàtic, vaig dir de passada que, fins i tot, els gossos d'atura tenen una certa idea que podem anomenar "ovella". Això va donar lloc a un brillant "tema amb variacions" d'un comentarista habitual del bloc sobre les diferències entre les idees que poden tenir els gossos d'atura i les que tenen els matemàtics. Us recomano que doneu una ullada a aquest "tema amb variacions": feu clic en l'enllaç de la primera línia i cerqueu el comentari.

Les paraules "ovella" i "gos d'atura" em van evocar en aquell moment una lectura, un acudit i un problema. La memòria té aquestes coses estranyes: si sou aficionats a la literatura, penseu en la magdalena de Marcel Proust, però no patiu que no em penso allargar massa.

Per començar, no tothom veu que hi hagi diferències entre un professor de matemàtiques i un gos d'atura (sempre hem despertat simpaties):

"En l'obscuritat d'una sendera em vaig trobar a un pastor amb les seves ovelles. Un gos petit amb cara de professor de matemàtiques li feia tota la feina." H. V. Morton, In Search of Scotland.

Passem a l'acudit del qual n'existeixen diverses versions. Més que un acudit que provoqui la hilaritat, és una d'aquelles facècies que volen retratar la manera de fer d'un determinat col·lectiu (en aquest cas, caricaturitza el rigor de tres professions diferents):

"Un astrònom (o enginyer o biòleg, segons les versions), un físic i un matemàtic que estaven viatjant en un tren per Escòcia van veure per la finestreta una ovella negra al mig d'un camp. "Que interessant" va dir l'astrònom, "totes les ovelles escoceses són negres". Al sentir-ho, el físic va respondre. "No!, algunes ovelles escoceses són negres". Al sentir el que deien, el matemàtic va dir amb cara de retret "A Escòcia hi ha almenys un camp que conté almenys una ovella, que té almenys un costat negre."

I per acabar un dels meus problemes predilectes pel seu enunciat senzill i la seva no tan senzilla resolució:

"Una ovella (una cabra, una vaca o un ase, segons les versions) està lligada amb una corda a una estaca situada en un punt del perímetre d'un prat circular, que té un metre de radi. Quina ha de ser la longitud de la corda per tal que l'ovella es pugui menjar només la meitat de l'herba?"


Algunes observacions i comentaris a propòsit del problema:
  • Que el radi sigui d'un metre és per simplificar els càlculs. Evidentment en un prat tan esquifit, l'ovella moriria en breu. La meitat de l'herba vol dir que l'ovella pugui abastar la meitat de la superfície.
  • No rieu: el dibuix no és meu (l'he manllevat d'un web, suposo que no té drets d'autor). Es veu que no van trobar una manera millor de representar una vaca. És una vaca perquè té banyes no recargolades, però és estranyament petita! Si algú s'anima, envieu-me un dibuix més digne.
  • Segur que el problema es mereixerà alguna entrada més.

4 comentaris:

  1. "Un Chien Andalou..."
    "Un xai escocès..."

    Com que no sé resoldre el problema*, em dedico a pensar en el seu enunciat: ¿Per què els matemàtics teniu aquesta tendència a plantejar els problemes matemàtics com si fossin de la «vida real»? ¿És per fer broma, només, per divertir els possibles lectors? ¿És per divertir-vos vosaltres mateixos? I si necessiteu la «vida real» per divertir-vos o per divertir la gent que us llegeix, ¿no serà que les matemàtiques no poden ser divertides de cap manera, que hi ha alguna cosa d'essencialment seriós en les matemàtiques? Sigui com sigui, s'ha de reconèixer que, sovint, aquesta tendència dona fruits sucosíssims, xocants, quasi surrealistes (o sense el quasi): un prat circular! Si Breton aixequés el cap! Ja només hagués faltat que, per seguir amb la broma dels acudits anteriors, el prat hagués estat escocès!

    * M'ha semblat veure clar, només, que en cap cas la longitud de la corda (L) no podia ser inferior al radi del prat (r) ni superior al producte d'aquest amb l'arrel quadrada de 2, és a dir: r < L < r √2 (si enlloc d'agafar el radi com a unitat agafem el diàmetre (d = 1), els valors de L estaran entre 0,5 i 0,7 (aprox.) ... ¿no serà Φ? ¿no tindrà alguna cosa a veure amb la secció àuria, A golden Scottish sheep...?)

    ResponElimina
  2. Posar-hi l'ovella no és per greixar el problema i que entri amb més facilitat: si ens agraden les matemàtiques, al cap d'una estona de pensar-hi hem oblidat l'ovella i el prat; si no ens agraden, al cap d'uns minuts deixem el problema (però sempre se'ns pot acudir pintar el dibuix). Al contrari d'allò que pensa molta gent, els matemàtics acostumen a ser gent divertida i ocurrent que juguen amb la realitat (sigui el que sigui aquesta cosa) i amb els objectes matemàtics indistintament (i de vegades l'humor sorgeix d'aplicar les normes i lleis d'un mòn a l'altre). En aquest cas concret, jo diria que només és una manera elegant i divertida de presentar el problema i també de veure que elements reals tan senzills ens porten a un problema interessant.

    Respecte a les possibles solucions, has caigut en la mateixa trampa que jo: quan pràcticament el tenia solucionat vaig descartar la possible solució per "lletja": no era arrel de dos, ni el nombre auri... En aquest cas ni Hardy ni Dirac tenen raó (o jo no li he sabut veure la bellesa per enlloc). Per cert, perquè els aficionats a les matemàtiques i alguns divulgadors volen veure el nombre auri pertot arreu?

    ResponElimina
  3. "Si ens agraden les matemàtiques, al cap d'una estona de pensar-hi hem oblidat l'ovella i el prat; si no ens agraden, al cap d'uns minuts deixem el problema."

    Amb el teu permís –i si la vesso, t'agrairé molt que m'ho facis veure–, diria més: tant si ens agraden les matemàtiques com si no, si volem resoldre el problema HEM d'oblidar l'ovella i el prat, ens CAL 'traduir' els termes realistes de l'encunciat a termes purament matemàtics; altrament, no ens en sortirem. El primer manament del bon solucionador de problemes matemàtics amb enunciat realista és el manament de la traducció.


    "Al contrari d'allò que pensa molta gent, els matemàtics acostumen a ser gent divertida i ocurrent que juguen amb la realitat (sigui el que sigui aquesta cosa) i amb els objectes matemàtics indistintament (i de vegades l'humor sorgeix d'aplicar les normes i lleis d'un mòn a l'altre)."

    Puc estar-hi d'acord: jo no n'he dit res dels matemàtics; m'he limitat –potser, extralimitat– a parlar de les matemàtiques qualificant-les de serioses. Digueu-me imprudent, agosarat, o temerari, si us sembla, però la meva pregunta NO era ¿hi pot haver matemàtics divertits? sinó ¿hi pot haver humor a les matemàtiques? Si m'he explicat malament ja em perdonareu.


    "Respecte a les possibles solucions, has caigut en la mateixa trampa que jo: quan pràcticament el tenia solucionat vaig descartar la possible solució per "lletja" (…)"

    Moltres gràcies, però la probabilitat que m'hagi passat el mateix que a tu tendeix a zero: tu saps resoldre el problema i jo no! A més, no he tingut cap mena de sensació "estètica" –diguem-ne–. Simplement he buscat dos valors fronterers entre els quals, d'una manera òbvia, s'hagués de moure necessàriament L (longitut de la corda que lliga l'ovella) i com que aquests valors eren molt a prop de la maleïda secció àuria he malpensat que no fos una broma teva i que la solució fos Φ. Ni més ni menys (ara veig que, de fet, hauria d'haver dit Φ -1; potser pel context ja s'entenia?). Espero que ens diguis la solució del problema aviat.


    Per cert, perquè els aficionats a les matemàtiques i alguns divulgadors volen veure el nombre auri pertot arreu?

    Pel meu gust, aquí l'encertes de ple. En el terreny de la música, per exemple, hi ha molts llibres d'anàlisi dedicats, exclusivament o en gran part, a la cerca i captura d'aquesta proporció en aspectes o paràmetres diferents de la composició: ara és la relació entre intervals melòdics o harmònics, adés la proporció entre seccions estructurals, o, sobretot, la relació entre la durada total de l'obra i la posició del que es considera el seu clímax o punt culminant. I tot això per escatir una cosa que, si més no probablement, ni tan sols és percebuda per l'oïda (tot sigui dit a tall de provocació, això, que no m'atreviria a pontificar gens sobre aquest punt).

    ResponElimina
  4. Diversos comentaris puntuals, ara que he tingut temps de rellegir-me tot plegat:

    Un article que vaig llegir l'altre dia i el meu nebot de dos anys em van donar la resposta a la pregunta "¿Per què els matemàtics teniu aquesta tendència a plantejar els problemes matemàtics com si fossin de la «vida real»?". No es tant plantejar-los com si fossin de la vida real, sinó que els humans tenim la necessitat cultural i biològica d'explicar-nos i fabular "contes o històries". Només cal mirar les cares dels nens, i dels no tan nens, quan s'explica o es llegeix algun conte o alguna història fantasiosa (i aquí la gràcia també està en els detalls i l'estil).

    Sobre humor i matemàtiques, John Allen Paulos té publicats un parell de llibres: Mathematics & Humor (que em sembla que no ha estat traduït aquí) i "I think, therefore I laugh" que he llegit en la traducció castellana "Pienso, luego río". Sobre aquest tema i sobre la ubiqua presència, o no, del nombre auri, n'hauré de parlar amb més espai (i "más despacio"). Segurament abans ja hauré donat la solució del problema de l'ovella (de fet, el problema no el té l'ovella ni el pastor).

    ResponElimina