diumenge, 20 de juny de 2010

L'ovella esgarriada... i retrobada

A Ovelles, rigor i matemàtiques vaig proposar el següent problema:

"Una ovella (una cabra, una vaca o un ase, segons les versions) està lligada amb una corda a una estaca situada en un punt del perímetre d'un prat circular, que té un metre de radi. Quina ha de ser la longitud de la corda per tal que l'ovella es pugui menjar només la meitat de l'herba?"

En aquella ocasió, acompanyava l'enunciat amb un dibuix més o menys figuratiu i bastant naïf per millorar-ne la comprensió. Demanava la col·laboració dels navegants per tal d'aconseguir una millor representació gràfica. Però com que "sóc la veu d'un que crida en el desert" (podeu comprovar que va de referències bíbliques) i, a falta d'un bon disseny que els llegidors m'han negat, haurem de recórrer a les sofertes coordenades cartesianes:

El gràfic no es de realització pròpia, després citaré la font, i és un pas més cap a l'abstracció; és a dir, la solució de la qüestió plantejada. Avanço ja que el radi ha de ser:

r = 1,158728473018121517828233509933509149688292261...
i il·limitats decimals més!

Stephen W. Hawking (us dono l'enllaç a Wikipedia en castellà, perquè trobo que és injust que en català encara no hi hagi un article dedicat a Roger Penrose amb qui va fer bona part de la feina a mitges) deia a la introducció del seu llibre Història del temps que "Algú em digué que cada equació que inclogués en el llibre en reduiria les vendes a la meitat". Potser la comparació és forçada, però em temo que el fet de donar la resposta abans de les referències metodològiques pot provocar que algú abandoni la lectura de l'entrada. En els dos casos, els que poden deixar de comprar un llibre perquè hi ha alguna equació (en el ja citat de Hawking, n'hi ha una) o els que perden l'interès en un problema perquè algú els dóna la resposta, es tracta de persones que no han comprès què són la física i les matemàtiques. Però com que no seria la primera vegada que sento "perquè hem de fer aquest exercici, si en el llibre ja hi surt la solució" o "perquè no tinc cap punt en aquest problema de la prova? L'he fet malament, però el resultat és correcte o si hi acosta" (sic)... deixo aquí el comentari "psicopedagògic".

Tornant al problema, podem utilitzar per solucionar-lo un mètode analític o un mètode geomètric. En el primer cas cal calcular una integral definida i en els dos casos s'ha d'aproximar la solució per mètodes numèrics (per exemple, pel mètode de Newton). Com que d'altres ja l'han solucionat i explicat, us dono algunes referències d'on podeu trobar perfectament desenvolupat tot el procés.

Comencem per casa nostra, Javier Soria, professor de la facultat de matemàtiques de la Univ. de Barcelona, té penjada a la xarxa una bona explicació del mètode analític (feu clic a problema de la vaca). En aquest mateix document trobareu un enllaç a un pdf, amb la solució pels dos mètodes abans esmentats, elaborat  pels seus alumnes Álex García i Eduard Fugarolas (cliqueu els noms per accedir-hi directament). Per cert, el dibuix de l'entrada on vaig proposar el problema per primera vegada és del document del professor Soria, en el seu web però la vaca està més animada, i el gràfic del present article és del pdf que acabo de citar.

En la revista Lecturas Matemáticas de la Sociedad Colombiana de Matemáticas hi podreu llegir, també en pdf,  La oveja voraz y el campo circular de l'argentí Sebastián M. Marotta (amb un estil força amè, a voltes literari, i irònic).

I finalment, en anglès, la nord-americana i privada Drexel University en el seu Math Forum té un apartat especial on apareix, entre d'altres, aquest problema (Grazing Animals). Per cert si teniu alguna pregunta sobre matemàtiques, feu clic al següent enllaç de la Drexel i el Dr. Math us contestarà:

21 comentaris:

  1. Hola !! soc en Frederic i m'agradaria participar al bloc, les meves aportacions seran bastant mes curtes, el meu català es de l'època d'en "ciscu" i com que no el practico gaire (escrit) va degenerant progressivament i he vist que aquí el nivell, al menys de català, es alt

    ResponElimina
  2. Hola! Totes les aportacions i nivells (de català, de matemàtiques o de...) són benvinguts al bloc. Gràcies, o no, per això de "aquí el nivell, ALMENYS de català, és alt": sovint "se'm cola" alguna falta; en quant als altres nivells, en particular el de matemàtiques, intento mantenir l'equilibri i tocar registres diversos (no sigui que se m'espantin les criatures), però, si s'escau o algun comentarista m'ho demana, ja farem algun article críptic i tècnic sobre perquè les wambes en quatre dimensions només poden portar velcro i no són de cordons!

    ResponElimina
  3. Poc lletrat i menys numerat, l'únic pagès escocès propietari d'un camp circular que conec és un home pacífic i ple de sentit comú. Quan li vaig explicar això del teu problema, em va dir: "aquest amic teu de les matemàtiques és un busca-raons, ¿que no ho veu, que si clava l'estaca al límit de la finca la vaca –cabra, cargol o el que sigui– es fotrà l'herba dels veïns?" ¿Què us deia? Tot un mestre en l'art de tocar de peus a terra. I, sense saber-ho ni pretendre-ho, en l'art de la variació, també, perquè per resoldre el problema veïnal cal reformular el problema matemàtic –cal variar-lo– en els termes següents: ¿quina ha de ser la mida de la corda que lliga l'animal en qüestió i on cal clavar l'estaca perquè mengi només la meitat de l'herba del camp del seu amo i només d'aquesta? És més que probable que els pobres matemàtics s'aborreixin una mica, però els pagesos com el meu conegut escocès i els passarells com jo potser no tant.

    (variació 2) Sorprenentment, convertir el camp circular en esfèric simplifica molt les coses: ¿quina mida ha de tenir la corda que lliga un herbívor qualsevol a una estaca clavada al "límit" d'un camp esfèric –escocès, of course– perquè l'animal només pugui menjar la meitat de l'herba del camp. Curiosament, no cal preocupar-se pels veïns, a no ser que els busquem sota terra!

    ResponElimina
  4. Hola Francesc & Francesc!! Per poder fer entrades m'hauries de convidar.
    Per cert si ens posem en una dimensió més no podríem veure les coses, la pregunta es com veuríem un individu de dimensió 4 i si tinguéssim dimensió 4, com veuríem els frontals d'una indivídua de dimensió 3, ens perdríem moltes coses...

    ResponElimina
  5. Francesc Rovira sempre incisiu i ocurrent! Em temo que el pagès és inventat o no és escocès: a Escòcia no es barallen per l'herba d'abundant que és. Quan aquí, en ple estiu, tot i regar-la, la gespa desapareix dels parcs, allà les segadores funcionen dia sí, dia no (les he vist funcionar en ple agost als voltants del parlament d'Edimburg)i no he vist enlloc sistemes de reg (i amb prou feina, dutxes; no entenc la predilecció per les banyeres!). Per altra banda, en el problema proposat hem de suposar la superfície rodejada amb una tanca.

    Descoberta la trampa, solucionem el problema sota les condicions que proposes. Si es tracta d'un camp circular obert i no volem que l'ovella tingui accés a l'exterior, podem clavar l'estaca en el centre i el radi de la corda ha de ser la meitat d'arrel de dos (aproximadament 0,71 m). De fet, podem clavar l'estaca en qualsevol punt que no disti del centre més enllà de la meitat de 2 menys arrel de 2 (uns 0,29 m).

    En el cas del camp esfèric, suposant l'ovella plana i el radi de l'esfera 1 m, la corda ha de mesurar la meitat del nombre Pi (uns 1,57 m). En qualsevol cas el pagès pot solucionar el problema amb estaca i corda (o hauria de dir regla i compàs?).

    Si m'he equivocat en els càlculs, feu-m'ho saber!

    ResponElimina
  6. Benvolgut amic Frederic, els teus comentaris i propostes sempre seran benvinguts; però quan vaig pensar en els continguts i propòsits d'aquest blog, em vaig adonar que era de les poques feines on podia ser el director, el redactor en cap, el noi que porta els cafès i el senyor de la neteja (i em va fer molta il·lusió). He visitat els blogs pedestres i maratonians on col·labores i estan més oberts a tothom, però ja et dic que, almenys per aquest meu primer bloc, la idea no és aquesta. Ja veus que no sóc com Paul Erdös...

    En quan als comentaris de les dimensions, ja veig (o m'ho sembla) que has llegit la narració fantàstica Planilàndia d'Edwin Abbott (el títol original és "Flatland, romance of many dimensions"). De les dimensions o millor d'Abbott, que serà més senzill, n'hauré de parlar.

    ResponElimina
  7. A la foto que podeu veure en el link,

    http://www.flickr.com/photos/fredericmc/4729947799/sizes/l/

    hi ha un plat que vaig fotografiar en un museu, conté un enigma matemàtic. Es del segle XVII i el seu creador va viure en aquesta casa:

    http://maps.google.com/maps/ms?ie=UTF&msa=0&msid=100375536064996160571.000489c85ae070ea807b3

    El lloc on va viure es important a l'hora d'intentar resoldre l'enigma del plat!!!

    ResponElimina
  8. Això de barrejar peixos amb ovelles, ja és un "mar i muntanya" (m'estalvio, de moment, de fer algun comentari sobre el primer cognom d'en Frederic i el meu, però sense haver pensat gaire en l'enigma ja li haig d'agrair la col·laboració). Per als llegidors, veureu que en els comentaris del blogger s'han perdut els enllaços directes (feu copiar i enganxar en el vostre navegador i veureu el plat i el lloc).

    ResponElimina
  9. M'ha fet molta gràcia això de l'ovella «plana», ¿té alguna cosa a veure amb que com a solució de la meva segona variació proposis Pi partit P. Erdös enlloc d'arrel de 2?

    Despistado me tiene, Federico! Espero que hi hagi almoina pels pobres.

    ResponElimina
  10. En quant a l'ovella plana: la condició no té res a veure amb Erdös, només que si volem que l'ovella s'alci per damunt de la superfície necessitem més corda i aleshores per calcular-ne la longitud necessitem les dimensions de l'ovella (un dia us explicaré l'acudit del "cavall esfèric").

    En quant a l'enigma Frederic: he consultat un moment al Dr. Google (se m'està refredant el cafè i no he pogut aprofundir gaire més). Però de moment, i si et serveix de referència:

    1. Saint Gervais-les-Bains. El nostre amic Frederic és dels que puja al Montblanc, encara que després calgui baixar-ne.

    2. 75986 = 2·37993 (37993 és nombre primer)

    3. G. Neil Robertson i Joseph Gillis tenen nombre d'Erdös. Teorema dels 4 colors.

    4. I aquesta deu ser la bona: Pierre de Fermat que dóna nom a alguna plaça o carrer de Saint Gervais?

    ResponElimina
  11. No ho acabo d'entendre: no cal pas que "l'ovella s'alci per damunt de la superfície"; només cal que s'hi alci la corda, que, aleshores, serà més curta! (Pi partit P. Erdös = π/2 > √2) ¿Implicaria això que la corda tingués més dimensions que la pobra bèstia?

    El pronom feble del sintagma "si et serveix de referència", ¿feia referència a mi?

    ResponElimina
  12. La resolució es un pel més complexa i no te res a veure amb els nombres primers, però si amb la familia, la geometria i la lógica.
    A Saint Gervais hi ha el tren que va al refugi d'on surten la majoria d'expedicions al Mont-Blanc, però no te res a veure amb l'enigma, la adreça exacta es
    561, avenue de Miage.

    ResponElimina
  13. Francesc R., evidentment l'ovella n-dimensional, amb n diferent de zero, m'ha portat a dir alguna cosa incomprensible. Suposem que, en comptes de plana, l'ovella és un punt (n = 0) de l'extrem no fix de la corda i problema resolt! I sí, el "si" es referia a tu: et volia donar alguna pista, a falta de poder acudir a Terence Tao, per si podies solucionar l'enigma Frederic (e. F.) a falta de poder-lo desentrellar jo (ja veig que no tinc massa habilitat delegant feines). Li he dedicat algunes cerques de Google i ja em començava a marejar. Ja pots veure que el bonàs d'en Frederic ens dóna alguna altra pista. Però em temo que l'e. F. és de l'antic curs preuniversitari (preu) i fa massa temps que faig batxillerat.

    ResponElimina
  14. Aquesta tarda he intentat resoldre el problema de l'ovella per càlcul i gràcies a una errada el tenia casi resolt, però llavors he vist la errada i ... L'àrea del cercle de l'ovella per sota l'eix x ha de ser igual a l'àrea per sobre l'eix i he fet les integrals respecte l'eix y pq em sembla més fàcil, però els avis tenim moltes coses en que pensar i la neurona no ha donat per més.
    Per cert soc "coubaya" o sigui del primer COU, sabeu què es una "poterie"??

    ResponElimina
  15. Jo vaig cursar el segon COU, em sembla, i era dels antics que feia francès. Sé que és una Poterie i, en particular, la Poterie du Val Montjoie. Puc traduir a més Harry Potter com "Enriquet el ceramista", però haig de deixar passar el temps per tal que les neurones que han de resoldre l'e. F. es connectin! En quant a la integral, quan la igualis al valor de l'àrea no intentis trobar la solució exacta perquè és impossible (i com deia un: "lo que no puede ser, no puede ser y ,además, es imposible").

    Tornant a e. F. és un enigma, realment i únicament, matemàtic o hem de conèixer dades personals teves per resoldre'l? Perquè si es pot resoldre sense axiomes vitals, faré una entrada per explicar-lo (tinc un límit de 50 comentaris per entrada que no m'agradaria sobrepassar!)

    ResponElimina
  16. No s'ha de conèixer cap dada personal,si us hi fixeu cada numero correspon a un signe i els signes estàn repartits pel plat, segur que Harry "el ceramista" ja l'hauria resolt !!!

    ResponElimina
  17. Com deia Groucho Marx: "Clar que ho entenc. Fins i tot un nen de cinc anys podria entendre-ho. Que em portin un nen de cinc anys!" En aquest cas, ja veig que haurem de trucar a Harry Potter (però potser està massa crescudet per saber-ho resoldre).

    ResponElimina
  18. La resolució d'un enigma és semblant a la resolució d’un cas d’assassinat: cal eliminar pistes falses! En el cas que ens ocupa, amic Frederic, ¿són rellevants aquestes dues coses: 1) l’ordre concret dels dígits situats al vèrtex comú dels 5 polígons superposats; 2) el fet que el vèrtex més occidental de tots, el de l’octàgon, no vagi acompanyat de la maleïda ratlleta amb extrems puntejats?

    ResponElimina
  19. John Nash amb seu“ The Bargaining Problem ” a Econometrica 18 , 1950, ja voldria haver tingut el plat per resoldre el seu plantejament

    ResponElimina
  20. Avís per a navegants, en particular per a John F. Nash en el dubtós cas que es passés pel bloc:

    He obert una entrada dedicada específicament al plat de l'e. F. Si us plau, feu els vostres comentaris a l'enigma en la nova entrada. Si no em temo que l'ovella, veient el plat, pressentirà el seu trist final

    ResponElimina
  21. Si hagués sabut que per no contestar les meves preguntes et treuries de la màniga Russell Crowe, m'hauria estalviat la vintitresena paraula del meu comentari!

    ResponElimina