Prova Cangur 2011: comencem el compte enrere

Aquest 17 de març, falta menys d'un mes, tindrà lloc l'edició d'enguany de la Prova Cangur. En aquest bloc ja hem dedicat un parell d'articles a aquest concurs de matemàtiques adreçat als alumnes de secundària (Més de 18.000 alumnes catalans de secundària participen en la Prova Cangur 2010 i Cangur 2010: les respostes i més detalls de l'organització) i, en d'altres escrits, hem utilitzat els enunciats d'alguns problemes proposats en el Cangur (el problema del format DIN i el problema dels mentiders).

El podeu trobar en d'altres llocs del bloc, però no me'n puc estar de donar-vos, una altra vegada, el següent enllaç:

www.cangur.org

A part de les sessions de preparació per als alumnes interessats que organitza la comissió que s'encarrega del Cangur, som moltes les escoles i instituts que programem trobades i classes amb els alumnes que volen participar en aquesta festa de les matemàtiques. Va ser en una d'aquestes classes, fora de l'horari lectiu, que alguns dels meus alumnes de 2n de batxillerat (nivell 4 del Cangur a casa nostra o nivell 6 en d'altres contrades) es van entrebancar amb el problema que us presentaré a continuació. Es tracta de calcular l'àrea ombrejada entre dos cercles concèntrics sabent que la longitud de la corda AB, tangent al cercle interior, és 16, veieu-lo (i el veureu millor, si feu clic damunt de l'enunciat):

Problema dels cercles concèntrics (Cangur 2010)

Valgui aquest exemple per il·lustrar el tipus de qüestions proposades i per fer-ne un tastet. No es requereixen grans coneixements matemàtics —en aquest cas, en tenim prou amb la geometria elemental de l'ESO—, però cal una mica de vista matemàtica (parlant de vista, Miguel de Guzmán, amb l'agudesa que el caracteritzava, és autor d'un meravellós llibret de geometria que porta l'encertat títol de Mirar y Ver).

Per acabar, tot i que no m'agrada donar les solucions mastegades, però n'estic segur que no consultareu la solució sense haver forçat una mica la vista o, en el millor dels casos, trobeu aquest càlcul elemental i només voleu comprovar-lo (quan obriu la solució, feu clic a la imatge si comenceu a tenir la vista cansada):

Solució del problema dels cercles concèntrics

(+/- Mostra/Oculta)