Dos enunciats més de la Prova Cangur

A l'escrit anterior Prova Cangur 2011: comencem el compte enrere ja hi vaig incloure un problema de l'edició del Cangur de l'any passat. Els enunciats dels cangurs d'altres anys són, òbviament, un bon material per preparar aquesta prova amb els alumnes de secundària, però, a més, poden donar lloc a algunes reflexions interessants. En aquesta entrada us proposaré dos problemes més que, ho he comprovat en viu i en directe, provoquen el desconcert dels nostres alumnes. Si us sóc sincer, en algun d'aquests exercicis, he donat també més pals de cec dels estrictament necessaris.

Comencem amb una qüestió del nivell 3 (és a dir, per als alumnes de 1r de batxillerat) que no és objectivament complicada, però per als nostres estudiants pot ser motiu d'embolics i divagacions infructuoses:

Un problema d'angles i bisectrius (Cangur 2009)

Es tracta de calcular l'angle marcat amb un interrogant en el triangle del següent dibuix (els segments interiors són les bisectrius dels tres angles):

Si voleu veure l'enunciat original, feu clic per ampliar:

No us deixeu vèncer per la mandra, no consulteu de seguida la solució!

Solució del problema d'angles i bisectrius
(+/- Mostra/Oculta)

Amb la definició de bisectriu i sabent que, en geometria euclídea, la suma dels tres angles d'un triangle és de 180º, en teniu prou per solucionar el problema. Només cal una mica de vista, per a no utilitzar condicions o equacions que no són imprescindibles.

Anem per un altre repte, ara de nivell 2 (4t d'ESO). Us pot recordar un joc numèric ideat per Ignasi del Blanco que ja hem comentat aquí (Felicitacions? matemàtiques o no?).

Un problema de dividir en anglès (Cangur 2009)

Sabent que les lletres de la següent divisió indiquen xifres (com sempre, lletres diferents indiquen xifres diferents i una mateixa lletra indica una sola xifra):

Quants resultats diferents pot donar el producte T·H·R·E·E?

Com abans, feu clic per ampliar la següent imatge si voleu llegir l'enunciat original amb les possibles respostes:

En aquest cas, com que l'exercici s'ho val, apuntaré un parell de pistes abans de donar la solució. Penseu, però, que la satisfacció de solucionar-lo sense haver de recórrer a les pistes és superior. Feu-ne ús només en cas de desesperació manifesta.

Pista 1
(+/- Mostra/Oculta)

Suposo que no esteu intentant esbrinar el valor de cada lletra! Només ens demanen quants possibles valors té el producte T·H·R·E·E! Cal llegir amb calma i interpretar correctament els enunciats!

Pista 2
(+/- Mostra/Oculta)

Si ja heu comptat les lletres diferents, heu vist que n'hi ha deu. Per tant, en aquesta operació hi participen tots els dígits del sistema decimal del 0 al 9.

I si no hi ha més remei...

Solució del problema de dividir en anglès
(+/- Mostra/Oculta)

Si una de les lletres ha de ser el zero, no pot estar en el divisor (no podem dividir per zero!). Si és una de les lletres del dividend (E, I, G, H o T), aquest producte i el primer membre de la igualtat han de valdre 0. Per tant, el producte del segon membre també ha de ser zero (0 = 0). L'única lletra comuna de EIGHT i TWO és T, d'aquí deduïm que la T val zero. El producte T·H·R·E·E només pot donar un resultat ja que conté el zero: 0! La resposta correcta és la A. Un problema enginyós que no necessita càlculs complicats ni grans raonaments matemàtics! Si ho heu vist a la primera, felicitats!