Les sobtades aparicions dels problemes de Sam Loyd (I)

Ja he comentat en un altre lloc (vegeu Problemes per passar un pont (I)) alguns danys col·laterals que patim, gustosament, els professors de matemàtiques: tothom es veu amb cor de proposar-nos problemes matemàtics o d'enginy i ens veiem obligats, per amics i familiars, a repassar comptes en tot tipus de comerços. Ara he recordat, encara que no faci massa al cas, una anècdota que explicava Pilar Bayer: quan en una botiga a la qual hi anava amb freqüència (diria que era una peixateria, però parlo de memòria), la persona que l'atenia es va assabentar que es dedicava a la matemàtica, li va dir tot seguit: així, vostè deu fer sumes molt llargues, oi?

Tornem als danys, repeteixo que gustosament patits, amb un exemple. El curs passat, durant una classe de 2n de batxillerat, un alumne em va posar a prova amb dos reptes matemàtics (va aprofitar que els seus companys encara es barallaven amb alguns exercicis mecànics i vull creure que ell ja els havia acabat): un era un anodí, però elegant, problema de trigonometria (me'l guardo per a una altra ocasió), però l'altre, en aparença senzill, em va desconcertar. En resum l'enunciat d'aquest venia a dir:

---

Problema dels dos viatjants

Un viatjant surt d'un edifici A i es dirigeix cap a l'edifici B. Un altre viatjant surt de B i va cap a A. Els dos es troben a 720 metres d'A i continuen fins el seu destí. Passat un cert temps, surten simultàniament (*) de cadascun dels edificis i fan el trajecte invers, ara es troben a 400 metres de B. Si sabem que van a velocitats constants i el trajectes són en línia recta, quina distància separa els dos edificis?

(*) Correcció del 15 d'octubre de 2011
Aquest enunciat era una excusa per introduir el problema original (The Ferry Boat Problem) que trobareu més avall  i he comès un error important en la redacció del problema al no posar-hi la deguda atenció. Com podreu comprovar, si llegiu els comentaris que acompanyen aquest article, m'ho ha fet notar en Frederic, comentarista habitual del bloc. El surten simultàniament que està marcat en negreta canvia de forma decisiva la situació. En descàrrec de l'alumne que me'l va explicar, diré que ell no va afegir aquesta condició en la tornada. Com que ha passat força temps, no recordo les paraules exactes, però anaven en el sentit de: els dos viatjants passen un cert temps en cadascun dels edificis i quan tornen es troben a 400 metres de B... sense la simultaneïtat de la meva transcripció maldestra. Per tant, si us poseu a solucionar el problema agafeu la versió dels ferrys que està escrita més avall.

Però aprofito l'ocasió per demanar-vos:

Pregunta sobre aquesta versió apòcrifa del problema dels dos viatjants
Si no en canviem el redactat i la tornada es fa simultàniament, quina és la solució?

Solució (+/- Mostra/Oculta)

El problema no té solució perquè, amb les condicions que s'hi donen, és impossible que es trobin en l'anada a 720 metres d'A i a la tornada a 400 metres de B. Si els dos viatjants van sempre a velocitats constants i surten simultàniament en les dues ocasions, com que mesurem primer la distància des d'A i després des de B, aquestes dues distàncies haurien de ser idèntiques (o 720 metres les dues vegades o 400 metres les dues).

---

Jo que sóc una persona curiosa i, perquè negar-ho, m'estava fent un embolic amb els viatjants que em feia enyorar el final de la famosa obra d'Arthur Miller, vaig decidir fer una cerca per la xarxa. Devia escriure alguna cosa semblant a 400 720 problema i el cercador em va descobrir que l'enunciat del problema original era de Sam Loyd! Com haureu llegit si heu fet clic en l'enllaç anterior, el nord-americà Samuel Loyd (1841-1911) va ser un jugador d'escacs que es va dedicar també a la matemàtica recreativa. De fet, sense ser matemàtic, podeu llegir la seva biografia en el web dedicat a la història de la matemàtica MacTutor (vegeu Samuel Loyd a MacTutor).

Un fill de Sam Loyd va publicar el 1914, quan ja havia mort el seu pare, un recull de l'obra paterna amb el títol de Sam Loyd's Cyclopedia of 5000 Puzzles, Tricks and Conundrums (si voleu veure aquest llibre escanejat, paga la pena, feu clic a The Cyclopedia of Puzzles o si voleu dirigir-vos directament a la portada i anar passant pàgines digitals, cliqueu aquí). Hi trobareu el problema dels viatjants en la versió original, amb el nom de:

---

The Ferry Boat Problem

 En aquesta edició, el problema està a la pàgina 80 (veieu-lo en l'anglès original). Si voleu una traducció en castellà que correspon a l'edició espanyola d'un recull de l'obra de Loyd a cura de Martin Gardner, us la dono tot seguit (disculpeu que no ho tradueixi al català):

"Dos ferrys se ponen simultáneamente en marcha en márgenes opuestas del río Hudson. Uno de ellos va de New York a Jersey City, y el otro de Jersey City a New York. Uno es más rápido que el otro, de modo que se encuentran a 720 yardas de la costa más próxima.
Tras llegar a destino, ambas embarcaciones permanecen diez minutos en el muelle para cambiar el pasaje, y luego emprenden el viaje de regreso. Vuelven a encontrarse esta vez a 400 yardas de la otra costa. ¿Cuál es la anchura exacta del río?
El problema muestra que la persona normal, que sigue las reglas rutinarias de la matemática, quedará perpleja ante un problema simple que requiere tan sólo un conocimiento superficial de aritmética elemental. Un niño podría resolverlo y, no obstante, me atrevo a arriesgar la opinión de que noventa y nueve de cada cien hombres de negocios no lograrían resolverlo en una semana. ¡De eso sirve aprender matemática por medio de reglas en vez de hacerlo por medio del sentido común, que siempre nos da una razón!"

No estic massa d'acord amb l'apel·lació al sentit comú o a l'aritmètica elemental ni tampoc en l'afirmació que un nen pot resoldre el problema, però és veritat que no calen massa coneixements matemàtics per resoldre'l... o sí, si ens agrada matar mosques a canonades! A mí de vegades m'agraden les canonades: ara que ja sé la solució pel mètode curt, em deleixo per aconseguir-la a partir de les fredes equacions de la cinemàtica elemental.

---

Com va dir Andrew Wiles (però no espero aplaudiments): Crec que ho deixaré aquí! Ja tornarem a invocar a Sam Loyd i Martin Gardner en una altra ocasió. I la solució? Au va! no caigueu en la temptació d'acudir al cercador i a veure si la trobeu tot solets!