dimarts, 14 de juny de 2011

El dia de Pi (III). Posem-hi música

El 14 de març d'enguany vam encetar una sèrie d'escrits dedicats al nombre Pi. En el primer (El dia de Pi (I). Una invitació), a més d'explicar perquè el 14 de març se santifica, extraoficialment, el nombre π, ens vam posar uns quants deures. Alguns ja han estat acomplerts (El càlcul dels decimals del nombre Pi mitjançant mètodes en els quals hi intervé l'atzar, per exemple, el vam comentar a El dia de Pi (II). El determinisme de l'atzar), però ens quedava pendent, entre d'altres:
  • El nombre Pi i la música. Un divertimento sense solta ni volta: Com sonen, o com podem fer sonar, els decimals de Pi?
    Amb això de sense solta ni volta ja us aviso que no us trobareu una entrada de rigorosa matemàtica, però, si més no, espero que us sembli entrentinguda i curiosa. A més no hi ha festa ni diada assenyalada, sense música.

    Em sembla —no ho puc assegurar— que la primera vegada que vaig sentir els decimals de π va ser en una conferència de Claudi Alsina. El sorprenent professor de matemàtiques va prémer el botó d'un vell magnetòfon i van començar a sonar unes atzaroses notes que corresponien (en el sentit de correspondència matemàtica) als decimals del nombre π. El mètode era molt senzill: a cada dígit del 0 al 9 li feiem correspondre sempre la mateixa nota i els decimals anaven sonant tots amb la mateixa durada. Podeu reproduir  aquesta experiència clicant en l'enllaç Pi10k. El funcionament d'aquest programa és molt senzill: només heu de fer clic a Begin π i després triar escala, triar deu notes o deixar que l'atzar decideixi quines deu notes representaran cada dígit (Randomize). El resultat (podeu "sentir" els primers 10.000 decimals del nombre, d'aquí ve el nom Pi10k) és escassament artístic: el fet que la distribució numèrica sigui aleatòria i totes les notes tinguin la mateixa durada no pot donar un producte gaire melòdic!

    Amb més sentit estètic, el músic Lars Erickson, als inicis del noranta del segle passat, va compondre una Pi Symphony on, a més, hi va embolicar un altre nombre trascendent, el nombre e. Podeu trobar una breu explicació de l'estructura de la simfonia en el web d'un altre músic, Michael John Blake (Michaeljohnblake), vegeu Explanation of Pi Symphony en Youtube o en el web de Blake. El mateix Blake ha utilitzat alguns fragments en el divertit, quasi infantil, What Pi sounds like.

    Posats a triar em quedo, però, amb la inquientant A piece of Pi (violin music for Pi Day), us recomano que l'escolteu.

    I no acabaríem! A The world of Pi hi ha un apartat com aquest:


    I un altre apartat amb continguts semblants el podeu trobar a The Joy of π.

    En alguns dels exemples que he posat, els més elaborats, els decimals del nombre π s'han utilitzat com a motiu numèric. Els motius, generalment més les lletres que els nombres, s'han utilitzat recurrentment en música. El mateix Johann Sebastian Bach es va permetre jugar amb la correspondència de les lletres del seu cognom B-A-C-H que en notació musical alemanya equivalen a si bemoll (B), la (A), do (C) i si natural (H) (motiu Bach). Clar que de la seva inspiració i proesa tècnica va treure de B-A-C-H, per exemple, el Contrapunctus XIV de l'Art de la Fuga (Die Kunst der Fuge) i no una "riuada" (valgui l'acudit, si sabeu alemany) de notes sense sentit.

    Ah, no me n'havia adonat però avui és dia 14 i fa tres mesos exactes del dia de Pi!

    16 comentaris:

    1. 1. Qui sap –qui, que no fós Déu, podria saber-ho!– si el desenvolupament decimal de Pi amaga fragments de la 5ª de Mahler (per posar un exemple que satisfaci els gustos del blogger) o, pel mateix preu, l'Adagietto sencer! Ve a ser una variació del Don Quijote dels monos...

      2. Ja es veu que, per aquesta mateixa regla de tres, amb una mica més de feina podriem fer "sonar" la guia telefònica, les muntanyes de Montserrat o el Tirant lo Blanc. Que díver!

      3. La diversió s'acaba quan entra en escena la música (això ja sembla L'Orfeo de Monteverdi!). Ho diré així: ¿qui, si en lloc de traduir cada dígit per una nota traduíssim cada dígit per una lletra, gosaria parlar –ni que fos en broma– de literatura? ¿Oi que a ningú no se li acudiria una bestiesa d'aquest calibre? Q.e.d.

      4. Encara no he pogut sentir aquestes peces que recomanes. Ho faré aviat. Gràcies.

      ResponElimina
    2. D'acord en el fons del teu comentari: no cal confondre "fer o compondre música" amb "enfilar notes una darrere l'altra" (de totes maneres hi ha intèrprets, compositors i nens prodigi que cauen en aquesta confusió). Si t'has llegit amb deteniment l'article, ja has vist que parlo "d'una riuada de notes sense sentit" (sense sentit artístic, caldria afegir). En efecte, quan es "fa sonar pi" en una conferència, per exemple, no es fa per provocar un plaer estètic, sinó per remarcar que la successió dels seus decimals és aleatòria.

      Estic, però, bastant segur que Pi no amaga l'Adagietto de Mahler sencer si apliquem una correspondència (decimal -> nota) semblant a la que comento i si no ens permetem saltar-nos dígits. Cantor ens ho explicaria invocant el fet que els infinits poden tenir cardinals diferents i Kolmogórov ens diria que la seqüència de notes del moviment musical en qüestió no és aleatòria.

      Aquesta aleatorietat de Pi em permet llançar al ciberespai el següent repte: sóc capaç de distingir els sons d'unes quantes pàgines de la guia telefònica dels sons d'uns milers de decimals de Pi, si per fer-los sonar apliquem una correspondència unívoca (la guia telefònica no genera una seqüència aleatòria; i les muntanyes de Montserrat, tampoc!). En canvi no em veig tan capacitat per distingir els sons del nombre Pi dels sons del nombre e.

      No vull dissertar ara sobre música i literatura, a mi m'agraden les dues arts, però hauràs de reconèixer que "dotar de significat" una melodia permet més marge que "dotar de significat" una frase (ara em podria posar metafísic o citar una escatològica frase de Dalí sobre la música).

      La mà de l'artista és prou sorprenent per treure una obra d'art d'un tros de marbre (Michelangelo Buonarotti, per exemple), dels decimals de Pi (Lars Erickson?) o del vol d'un borinot (Rimski-Kórsakov).

      Tornant a Mahler, pensava contestar-te que amb els deu dígits del sistema decimal no n'hi havia prou per fer la transcripció, però qualsevol gravació digital només utilitza dos dígits (uns i zeros)! A part d'aquesta "demostració per contraexemple", podem afegir que, sorprenentment, qualsevol d'aquestes gravacions digitals té més ànima que qualsevol rotllo de paper perforat que es faci sonar en una pianola .

      ResponElimina
    3. 1. L'article no n'estic segur, però el títol sí, que l'he llegit amb deteniment.

      2. ¿Podries demostrar que el desenvolupament decimal de pi no conté, sencera, la guia telefònica de –posem per cas– Lliçà d'Amunt? En cas negatiu, ¿com t'ho faràs per distingir el so d'un (fragment del desenvolupament decimal de pi) del de l'altra (guia telefònica sencera)?

      3. M'ha agradat molt aquest acudit teu que certes escultures surten –l'artista les treu– de trossos de marbre o certes músiques de l'activitat cotidiana d'alguns insectes. Ja només falta afegir que els nens "surten" de París.

      ResponElimina
    4. 1. Com que no és un article científic, el títol no vol ser un asèptic resum o reflex del contingut. Si ja no se'm permeten les llicències literàries! Nenúfares! que diria Rubén Darío...

      2. Sí, almenys no la conté d'una tirada (si ens permetem saltar de decimal en decimal podem obtenir qualsevol seqüència). La guia de Lliçà d'Amunt conté la seqüència 938 amb una regularitat que una oïda no experta pot detectar.

      3. Que la "matèria" condiciona l'obra i que la inspiració, sigui el que sigui això, pot sorgir de percepcions sensitives, conscients o inconscients, volgudes o no, només ho poden negar aquests extremistes anomenats racionalistes o idealistes. Això sí, tant els nens com les bones obres d'art, no acostumen a "sortir" sense dificultats, "vinguin" de París o no.

      ResponElimina
    5. (ara ja del tot seriosament, amb peus de plom i lleugerament preocupat)

      ¿Podries demostrar que el desenvolupament decimal de pi no conté, sencera i d'una tirada, la guia telefònica de Lliçà d'Amunt? O, si ho prefereixes, ¿Podries demostrar que tirant una moneda a l'aire infinites vegades no optindrem mai el text –senser i seguit– de l'Enciclopèdia Catalana (degudament traduïda a llenguatge binari)? Etc.

      ResponElimina
    6. Georg Cantor, fent-se preguntes com aquesta, va acabar força desequilibrat (neurològicament parlant). Com que no vull seguir el seu camí, m'agradaria remarcar que les demandes de demostracions del tipus "podries demostrar que no..." són escassament científiques. Els partidaris dels "homenets verds" demanen sovint que demostrem la inexistència de vida intel·ligent extraterrestre (com Einstein, fins i tot dubto de la vida intel·ligent terrestre), quan són ells que han de demostrar l'afirmació. Deixa'm lligar la qüestió que ens ocupa amb la teoria de l'etern retorn que ja ha sortit en algun racó del bloc (un atzar infinit no té perquè portar-nos a una seqüència determinista).

      Per tant, jo no em preocuparia, ni que fos lleugerament, perquè la frontera entre l'impossible i l'improbable esdevé borrosa en l'infinit. I lo que no puede ser no puede ser y además es imposible que va dir Rafael Guerra Bejarano o Charles-Maurice de Tayllerand o...

      Bé, si t'animes a anar tirant la moneda, avisa'm quan tinguis les dues primeres pàgines de l'Enciclopèdia Catalana. Ah, (i ara tiro pedres sobre la meva teulada) Cantor va demostrar que el conjunt dels nombres reals no és numerable i, com a conseqüència, el cardinal del conjunt dels nombres naturals no és idèntic al dels nombres reals.

      Ui, demano perdó, quan l'he rellegit, el meu discurs m'ha recordat el de l'advocat Punset. I no, no puc demostrar d'una manera rigorosa que els decimals de Pi no amaguin la guia telefònica de Lliçà o la llista de la compra de la senyora Conxita que, ella encara no ho sap, farà demà al matí a quarts de deu.

      ResponElimina
    7. UFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF !!!!!!!!
      Quanta teca !!!!!!
      En la meva quarta reencarnació vaig veure que els babilònics feien de l'atzar la seva bandera, en la vuitena Newton amb una poma va creure que tot ho podia determinar, en la desena a finals del XIX i principis del XX van uns teòric i prenen com a bandera la indeterminació i ara per fi després de la dotzena reencarnació veig que tot torna al seu origen, o sigui que "quan tirem una moneda no sabem si sortirà cara o creu ... encara que també pot caure de costat"
      La meva pregunta és això es determinisme o indeterminisme ??
      Heu vist "2001 una odisea en el espacio" ??? el mono que tira l'os a l'espai era jo en la meva primera reencarnació i si us hi fixeu be l'os te la forma del nombre pi !!!

      ResponElimina
    8. El que faltava pel duro! (que deia el meu avi). Determinisme, indeterminisme? i t'has deixat el caos i les catàstrofes i si l'atzar és ontològic i/o epistemològic! Si sabés fer nusos, ara mateix m'embarcava amb rumb a les Fiji, però encara cauria d'un cocoter com el Keith Richards (Una laringitis y un cocotero dejan a España sin los Rolling Stones. Per cert les males llengües diuen que les Fiji tenen aquest nom perquè quan a la Reina Victòria li van presentar diverses possibilitats per a batejar les illes li van fer gràcia els tres punts seguits damunt de les dues "i" i de la "j". I em pregunto: va ser el determinisme o l'indeterminisme que van incitar a Richards a enfilar-se com un mico? I per què he parlat justament ara de les Fiji?

      ResponElimina
    9. 1. "Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter NULLAM in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet."
      [Fermat, Pierre de: comentari a l'Arithmetica de Diofant ]

      No sé com deus classificar Fermat: ¿gènere "homenets", espècie "escassament científics"? ¿gènere "homenets", espècie "verds"?…

      2. Totalment d'acord amb tu que «un atzar infinit no té perquè portar-nos a una seqüència determinista» (hauria preferit «no té perquè portar-nos a una sequència que inclogui fragments deterministes (ordenats)». L'afirmació contrària, «un atzar infinit no té perquè NO portar-nos a una seqüència que inclogui fragments deterministes (ordenats)» és igualment certa.

      4. ¿Qui és l'advocat Punset?

      5. El final del teu comentari és el millor: el desenvolupament de pi no només podria contenir, sensera i d'una tirada, qualsevol obra del passat sinó qualsevol obra del futur! (com sempre, Borges riu i remena la cua).

      ResponElimina
    10. 1. Touché i d'acord, el teorema de Fermat és un Teorema d'impossibilitat, n'hi ha d'altres a matemàtiques i, a més, ja n'he parlat aquí (El Darrer Teorema de Fermat: una primmirada introducció). El format i el context d'un bloc fa que no sempre fili prim. Sí que en les ciències experimentals no té gens de sentit que demanem demostracions de la inexistència dels unicorns, per exemple, i en aquest sentit anava part del meu comentari. En quan a la classificació taxonòmica, Fermat era un matemàtic molt raonable que va tenir fortes controvèrsies amb el raonable Descartes (serà que la naturalesa humana arriba més enllà del pur raonament matemàtic).

      2. Em permeto afinar i afirmar: "un atzar infinit no ens porta a qualsevol seqüència que inclogui fragments deterministes (ordenats)."

      3. Deixa'm que no faci cap comentari d'aquest apartat misteriós (deu ser un dels set cels de Jaume Sisa).

      4. Em referia a Eduardo Punset el conegut divulgador que s'autoanomena científic (no crec que hagi experimentat científicament res, més enllà de lligar el all-i-oli) i que ha cursat estudis de dret i economia, tot i que ha reconegut públicament les seves dificultats amb les matemàtiques. Em sembla que té problemes amb la ciència en general i les poques vegades que he vist el seu programa Redes he passat vergonya aliena escoltant algunes entrevistes a científics i matemàtics de prestigi. Autor de nombrosa i aparatosa bibliografia.

      5. Crec que el fons de la història de la senyora Conxita podria recordar Borges, però no oblidem Julio Cortázar (per exemple, Conducta de los espejos en la isla de Pascua).

      ResponElimina
    11. El teu segon punt entra en contradicció amb llistin telefónic de Llissa.

      ResponElimina
    12. No entenc aquest darrer comentari escanyolit. Entre d'altres coses, els habitants de Lliçà i els seus números de telèfon no són infinits (o s'hi està portant a terme una original campanya de Movistar que augmentarà les vendes d'aparells fins a nombres transfinits?).

      ResponElimina
    13. 1. M'agradaria que expliquessis millor el que dius al punt 2 del teu penúltim comentari. No sé si en tindràs ganes.

      2. Llissa 1 f. [ZOP] Peix de qualsevol de les espècies de la família dels mugílids. Llissa galta-roja, llissa llobarrera, llissa morruda, llissa vera. [DIEC]

      3. Ahir, escoltant cançons de Toldrà, vaig topar-me amb Cançoneta Incerta, poema de Carner. Per continuar amb la broma vaig pensar que, sense saber-ho, Toldrà sí, que havia posat música a Pi; la lletra diu:

      "Aquest camí tan fi, tan fi / qui sap on mena! / És a la vila o és al pi de la carena? […]
      Qui sabrà mai aquest camí / a què em convida / I és camí incert cada matí / n'és cada vida."

      (afegeixo un link a Youtube per qui la vulgui sentir. Punxeu, sisplau, el nom del comentarista)

      ResponElimina
    14. Començo pel final: gràcies per l'enllaç que ens mena a la interpretació d'Isabel Monar de Cançó incerta (per als lectors poc amatents i que s'ho han perdut, feu clic aquí).

      Fent referència als dos darrers comentaristes, en Frederic fa de policia dolent ("el teu segon punt entra en contradicció...") i tu de policia bo ("m'agradaria que expliquessis millor..."). Tant se val, me n'adono que m'estan interrogant quan la meva intenció era fer una entrada lúdica sobre Pi. Deu ser un càstig diví: quan intento fer un article seriós, ningú fa cap comentari i, quan faig tentines a la frontera del món de les matemàtiques amb els divertiments més eixelebrats, em trobo immers en un aclaparadora qüestió quasi-metafísica.

      Concreto la meva afirmació amb un exemple. Si tal com es sospita, Pi és un nombre normal, sembla evident que en els seus infinits decimals no podrem trobar una seqüència de "longitud llarga" (ja em faig l'autocrítica: a partir de quin nombre de decimals parlem de "seqüència llarga"?) generada de manera determinista. Podia haver posat exemples més contundents: podem generar nombres irracionals i, per tant il·limitats, amb només dues xifres que evidentment no contenen enlloc cap dels vuit dígits restants. Vaja que, anem a la literatura, és possible l'Aleph de Jorge Luis Borges? Un punt que contingui tots els punts? Crec que no, però ni aquest és el lloc ni jo la persona en disposició de demostrar-ho.

      ResponElimina
    15. Curiosament la web de l'ajuntament es diu www.llissadevall.cat ????.

      L'escarransit comentari el vaig fer gaudint de la meva jubilació mentre esperava el cremallera de Núria després d'una profitossa jornada de muntanya i com que la vista la tinc una mica cansada, no la puc concentrar gaire en coses petites.

      Però com que he tocat d'aprop el tema telèfons, us puc garantir que la seqüència de números de telèfon de qualsevol ciutat te una certa lògica, per tant si el nombre pi no es racional mai podrà generar un sequència lògica. No es per llarga es per repetitiva !!!

      Es molt interessant la forma en que a partir d'un número de telèfon marcat per A es pot arribar fins a B, A i B poden ser persones físiques o màquines com la que ara esteu fent servir, si us voleu informar aquí teniu dos links un per la tecnologia purament telefònica i l'altre pel mon ip.
      http://www.terra.es/personal/ignaciorb/telefonia/conmutacion/index.htm

      http://ldc.usb.ve/~poc/RedesII/Grupos/G5/introduccion.html

      ResponElimina
    16. Amb tot el respecte del món: quin iaio més tecnològic! Enviant comentaris des de Núria i, ara, ens proporciona un parell d'enllaços a prova d'enginyers de telecomunicacions. Gràcies.

      Llegint els comentaris anteriors me n'adono que he perdut una oportunitat de provocar un escarritx a en Francesc Rovira: la cançó d'Eduard Toldrà de la qual parla no està dedicada al nombre Pi, sinó a la divina proporció: "Aquest camí tan fi (Φ)..."

      ResponElimina