Com dibuixar rectangles auris

En una entrada anterior (El mite del nombre d'or) comentava que la proporcionalitat àuria no és tan ubiqua com molts articles de divulgació matemàtica ens volen fer creure. Torno a indicar que un rectangle s'anomena rectangle auri si la raó, quocient o divisió, entre els seus costats, major entre menor, és igual al nombre auri que s'indica amb la lletra grega Φ. Aquest nombre és igual a (1 + √5)÷2; per tant, és un nombre irracional i podem donar un llistat d'i·limitats decimals amb la impossibilitat de trobar-hi cap periodicitat :
Φ  = 1,618033988749894848204586834365...

En aquell article vam dividir les dimensions de les targetes de crèdit (85,60 mm x 53,98 mm), que alguns textos donen com exemple de rectangles auris, i el quocient s'apartava de la raó àuria (85,60÷53,98 = 1,585772508336...). Com que cal ser crític i per ser-ho cal començar per els propis raonaments, deixeu-me que comenci tirant pedres a la meva teulada:

• En primer lloc, cal dir que els instruments de mesura (regles, peus de rei, balances, rellotges, etc.) tenen sempre una precisió determinada. Per tant quan mesurem, obtenim un nombre finit de decimals; és a dir, obtenim un nombre racional. Això vol dir que a la pràctica, com que la divisió de dos racionals és també un nombre racional, fent la divisió de dues mesures de longitud no obtindrem mai exactament el nombre Φ que és irracional; sinó, com a molt, una aproximació (1,6; 1,62; 1,618; etc.).

• Que sigui impossible l'obtenció exacta de Φ com a quocient de mesures obtingudes a la realitat, no vol dir que no puguem donar un mètode gràfic, amb regla i compàs, per construir un rectangle auri ideal. Passa el mateix que amb  √2 (un altre nombre irracional famós): en un quadrat d'1 m de costat, la diagonal mesura √2 m, només cal aplicar el Teorema de Pitàgores per comprovar-ho. Ara, tots els quadrats 1 m x 1 m que podem construir o dibuixar a la realitat s'aproximaran, més o menys, al quadrat ideal depenent de la metodologia, aparells utilitzats... 

Construcció d'un rectangle auri

Comentem amb més detall aquest segon punt, per això necessitarem el següent dibuix:

Si, tal com passa en el dibuix,  es compleix la igualtat de la dreta del gràfic, els segments b i a guarden la divina proporció o la proporció àuria (de fet la definició de raó àuria es fa a partir de la proporcionalitat de segments, per passar després als rectangles) . Per a qualsevol persona que sàpiga solucionar equacions de segon grau, és fàcil demostrar que de la igualtat dels dos quocients (la suma de segments a + b entre el segment major, b, és proporcional al quocient del segment major entre el menor) és dedueix que la raó o constant de proporcionalitat és Φ. Per tant, el rectangle de base b + a i altura b és un rectangle auri.

Com podem construir un rectangle auri? Només ens calen conceptes molt senzills de dibuix. Cal construir primer un quadrat de costat b (n'ometo els detalls, però només cal regla i compàs, i un llapis és clar!). Tal com es veu en el dibuix anterior, en dividim la base per la meitat (tracem la mediatriu del segment b) i tracem la diagonal que va de la meitat de la base al vèrtex superior del quadrat. Traslladant amb el compàs aquesta diagonal sobre l'horitzontal obtindrem la base del rectangle (b+a) i quasi ja tindrem la feina acabada. Els que sabeu representar nombres irracionals damunt de la recta real, podeu observar que, encara que la construcció no és la única possible, si b és la unitat, b + a = Φ.
 
Que aquesta construcció sigui tan senzilla de fer i tan poc rebuscada, podria recolzar la idea que des de l'antiguitat els pintors, dibuixants, arquitectes, etc. l'hagin utilitzat a dojo...