dijous, 22 de juliol de 2010

Com dibuixar rectangles auris

En una entrada anterior (El mite del nombre d'or) comentava que la proporcionalitat àuria no és tan ubiqua com molts articles de divulgació matemàtica ens volen fer creure. Torno a indicar que un rectangle s'anomena rectangle auri si la raó, quocient o divisió, entre els seus costats, major entre menor, és igual al nombre auri que s'indica amb la lletra grega Φ. Aquest nombre és igual a (1 + √5)÷2; per tant, és un nombre irracional i podem donar un llistat d'i·limitats decimals amb la impossibilitat de trobar-hi cap periodicitat :
Φ  = 1,618033988749894848204586834365...

En aquell article vam dividir les dimensions de les targetes de crèdit (85,60 mm x 53,98 mm), que alguns textos donen com exemple de rectangles auris, i el quocient s'apartava de la raó àuria (85,60÷53,98 = 1,585772508336...). Com que cal ser crític i per ser-ho cal començar per els propis raonaments, deixeu-me que comenci tirant pedres a la meva teulada:
  • En primer lloc, cal dir que els instruments de mesura (regles, peus de rei, balances, rellotges, etc.) tenen sempre una precisió determinada. Per tant quan mesurem, obtenim un nombre finit de decimals; és a dir, obtenim un nombre racional. Això vol dir que a la pràctica, com que la divisió de dos racionals és també un nombre racional, fent la divisió de dues mesures de longitud no obtindrem mai exactament el nombre Φ que és irracional; sinó, com a molt, una aproximació (1,6; 1,62; 1,618; etc.).
  • Que sigui impossible l'obtenció exacta de Φ com a quocient de mesures obtingudes a la realitat, no vol dir que no puguem donar un mètode gràfic, amb regla i compàs, per construir un rectangle auri ideal. Passa el mateix que amb  √2 (un altre nombre irracional famós): en un quadrat d'1 m de costat, la diagonal mesura √2 m, només cal aplicar el Teorema de Pitàgores per comprovar-ho. Ara, tots els quadrats 1 m x 1 m que podem construir o dibuixar a la realitat s'aproximaran, més o menys, al quadrat ideal depenent de la metodologia, aparells utilitzats... 
Construcció d'un rectangle auri

Comentem amb més detall aquest segon punt, per això necessitarem el següent dibuix:

Si, tal com passa en el dibuix,  es compleix la igualtat de la dreta del gràfic, els segments b i a guarden la divina proporció o la proporció àuria (de fet la definició de raó àuria es fa a partir de la proporcionalitat de segments, per passar després als rectangles) . Per a qualsevol persona que sàpiga solucionar equacions de segon grau, és fàcil demostrar que de la igualtat dels dos quocients (la suma de segments a + b entre el segment major, b, és proporcional al quocient del segment major entre el menor) és dedueix que la raó o constant de proporcionalitat és Φ. Per tant, el rectangle de base b + a i altura b és un rectangle auri.

Com podem construir un rectangle auri? Només ens calen conceptes molt senzills de dibuix. Cal construir primer un quadrat de costat b (n'ometo els detalls, però només cal regla i compàs, i un llapis és clar!). Tal com es veu en el dibuix anterior, en dividim la base per la meitat (tracem la mediatriu del segment b) i tracem la diagonal que va de la meitat de la base al vèrtex superior del quadrat. Traslladant amb el compàs aquesta diagonal sobre l'horitzontal obtindrem la base del rectangle (b+a) i quasi ja tindrem la feina acabada. Els que sabeu representar nombres irracionals damunt de la recta real, podeu observar que, encara que la construcció no és la única possible, si b és la unitat, b + a = Φ.
 
Que aquesta construcció sigui tan senzilla de fer i tan poc rebuscada, podria recolzar la idea que des de l'antiguitat els pintors, dibuixants, arquitectes, etc. l'hagin utilitzat a dojo...

9 comentaris:

  1. Sento ser tan pesat*, però amb un regle i un compàs –trieu-ne la marca i el preu que més us convinguin– no es poden construir "rectangles auris ideals" ni rectangles auris a seques ni rectangles argentats o fèrrics ni de cap altra mena. A no ser que, oh meravella, la definició de rectangle hagi canviat i ara sigui "paral·lelogram d'altura i base diferents i angles tirant a rectes" o "polígon de quatre costats vagament paral·lels dos a dos i amb tots els angles quasi iguals". En tot cas, amb un regle i un compàs es poden dibuixar, totes aquestes coses. Em resisteixo a admetre com a sinònimes les paraules 'construir' i 'dibuixar' i defenso la idea que, en gran part, la comprensió de la geometria depèn d'aquesta distinció. La geometria no va de dibuixos de rectes sinó de rectes; no tracta de dibuixos de polígons sinó de polígons; etc. Ni el regle, ni el compàs, ni –encara menys– l'ordinador no hi tenen res a veure, doncs. Dic que l'ordinador encara menys perquè 'regle' i 'compàs' poden ser metonímies de 'recta' i 'circumferència' respectivament, mentre que no m'imagino 'ordinador' com a metonímia de cap objecte geomètric. Els mons de la construcció geomètrica i del dibuix geomètric estan cadascun a una banda diferent del mirall. Tingueu, però, la delicadesa de no preguntar-me, si us plau, quin és reflex de quin.

    Dues coses que podem fer per construir 'realment' un rectangle auri amb regle i compàs:

    1. Postular l'existència d'instruments o eines ideals: l'ideoregle, per exemple, un regle ideal, una màquina de fer rectes perfectes de longitud totalment precisa; o l'ideocompàs, un compàs ideal capaç de fer circumferències perfectes de radi totalment precís. Naturalment, aquestes eines només poden ser pensades, només poden ser a la nostra ment, de la mateixa manera que un triangle, una recta o una circumferència només són a la nostra ment o al nostre pensament. Eines ideals per dibuixos ideals en un món ideal.

    2. Prescindir completament de la idea d'instrument o eina: hi ha –al nostre pensament, a la nostra ment– rectes i circumferències; el regle i el compàs no hi tenen res a veure. ¿Com construir un rectangle auri «amb regle i compàs» aleshores, si no ens podem permetre de fer servir ni una cosa ni l'altra? Molt fàcil: entenent «regle» com a metonímia de 'recta' i «compàs» com a metonímia de 'circumferència'. Construir una cosa «amb regle i compàs» vol dir, simplement, fer-ho utilitzant només rectes i circumferències en un únic pla.


    * Per estalviar feina al lector, cito el meu comentari a l'entrada Respostes divertides a preguntes d'examen (4/4/10): "Un triangle no es pot dibuixar; o, dit més exactament, el dibuix d'un triangle NO és un triangle. La suma dels angles del dibuix d'un triangle mai no serà 180º."

    ResponElimina
  2. No, no ets pesat i, a més, estem d'acord: les construccions geomètriques només són aproximacions a les idees que podem anomenar "objectes" matemàtics i "relacions" matemàtiques, i així ho volia reflectir en el text. Em sembla, pel teu comentari, que l'intent no és del tot reeixit. Però com diuen els futbolistes, quan envien la pilota un metre per damunt de la porteria, la meva intenció era bona (i anava en el sentit de remarcar la impossibilitat que indiques). De fet, una de les conclusions d'aquesta entrada podria ser que mesurem nombres racionals, però podem imaginar-nos els reals, i que fem uns dibuixos imperfectes que la nostra ment pot interpretar idealment (Plató estaria molt content de llegir això).

    El compàs i el regle ideal ja han estat definits! Fins el segle XIX els matemàtics van estar obsessionats amb les matemàtiques que es podien fer amb regla i compàs (algú va arribar a demostrar que si alguna construcció es podia fer amb regla i compàs, de fet n'hi havia prou amb el compàs). Quan s'intenten definir intuïtivament quines són les normes d'aquestes matemàtiques, s'acostuma a dir que (a part d'algunes característiques que ja comentes):

    1. El regle és de longitud infinita, no té marques (no permet mesurar distàncies) i només té una vora o un caire (no permet dibuixar directament segments paral·lels).

    2. El compàs es tanca quan el separem del paper i, per tant, no permet traslladar distàncies ("oblida" les distàncies).

    ResponElimina
  3. (dibuixos imperfectes) D'acord amb la teva primera conclusió. Parcialment en desacord amb la segona. En el sentit que tu ho dius i per bonics que semblin, tots els camins del dibuix perfecte porten inevitablement a la plaça de la fotografia. La fotografia d'un triangle! Com m'agradaria poder veure-la un dia. Personalment, tendeixo a creure més aviat que «tot dibuix és caricatura», així l'artístic (que, d'una manera més o menys secreta, aspira a ser-ho) com el tècnic (que, a crits però en va, aspira a no ser-ho), així el dibuix d'una mà com el d'una circumferència, i m'amago sota les pedres quan em pregunten què és 'caricatura' o em retreuen que Leonardo, Dürer o Ingres no eren pas ninotaires. Per això em deuen fer tanta gràcia els matemàtics que, tan ben polits com poc dotats pel dibuix, demanen disculpes per la imperfecció del seus 'triangles' a la pissarra; o aquells que, conscients i satisfets de les seves habilitats, desprecien i ridiculitzen per maldestres i imperfectes els 'polígons' que veuen a les pissarres d'altri.

    (interpretar idealment un dibuix) Potser sí. Però, ¿i si el dibuix mateix ja fos part de la feina? ¿I si dibuixar fos una activitat raríssima que, alhora, es queda curta i es passa (el dibuix d'una pera mai arribarà a ser una pera i sempre ja serà alguna cosa 'més' que una pera)? ¿I si la geometria hagués nascut poc a poc de les mans i els ulls de certs dibuixants especialment competents? No ho sé.

    ResponElimina
  4. Com que correm el risc d'acabar en una disputa o discussió bizantina (ja he utilitzat aquesta expressió en algun article), he acudit a la meva desordenada i dispersa biblioteca i he agafat una petita joia de llibre, Ideas sobre la complejidad del mundo, de Jorge Wagensberg. Hi ha tot un capítol dedicat a l'art: El arte es una forma de conocer la complejidad (o el principio de comunicabilidad de complejidades ininteligibles). Només em cal l'encapçalament del capítol, per en lloc de donar una resposta raonada, remetre'm a una obra d'art: una de les obres del pintor belga René Magritte és un quadre on hi ha representada una pipa, aquest aparell propi de fumadors calmats que pràcticament ha desaparegut dels carrers i dels locals, amb la llegenda Ceci n'est pas une pipe; és a dir, Això no és una pipa. Com que l'obra és fàcilment localitzable, disculpa que no en doni cap enllaç.

    ResponElimina
  5. Existeix la recta ??? Segons els postulats relativistes, em sembla, que no !!!

    ResponElimina
  6. Per als llegs en física, apunto que el comentari d'en Frederic fa referència a la curvatura de l'univers, segons la física relativista, on fins i tot la trajectòria d'un raig de llum és una corba.

    Seria paradoxal que, amb el que ha costat que s'accepti que hi ha diverses geometries possibles, neguéssim ara la més antiga de totes: la geometria euclidiana. Una cosa és quina geometria descriu millor l'univers segons els nostres coneixements actuals — això pot interessar als físics, però és una anècdota per als matemàtics— i l'altra quines geometries euclidianes i no-euclidianes són possibles des del punt de vista matemàtic. Sent breu, i m'arrisco a no ser rigorós, els matemàtics treballen amb objectes, axiomes i relacions prèviament definides que no han d'entrar en "contradicció". En una teoria matemàtica la hipòtesi de l'existència "real" de determinat objecte ni cal, ni és necessària, ni interessa.

    ResponElimina
  7. Enllaç molt interessant sobre el tema de les rectes (mes aviat de les cordes)
    http://yosoyubik.wordpress.com/2007/05/11/la-teoria-de-cuerdas-el-universo-elegante-y-los-viajes-en-el-tiempo-parte-2/

    ResponElimina
  8. Efectivament l'enllaç és interessant, però la física teòrica em desconcerta i té un punt d'especulació que em molesta. La teoria de cordes i d'altres teories que intenten la Unificació en física competeixen amb teories generades per surfistes ( An Exceptionally Simple Theory of Everything). Veieu Una teoría del todo excepcionalmente simple.

    ResponElimina
  9. 1. És el que té la maleïda divulgació científica: que el carro de la divulgació –sovint, un autèntic fórmula 1– sempre acaba passant per davant dels cavalls de la ciència. Qui no vulgui pols...

    2. Menys brometa amb els noms de les coses (recta, corba), companys, i més definir-les com cal. A no ser que vulgueu que us diguin el nom del divulgador!

    ResponElimina