La lògica i el currículum (I)

Com a introducció d'aquest article, em permeto començar amb una pregunta de la Prova Cangur de 2009 (si ignoreu de quin tipus de prova estic parlant, feu clic a Més de 18.000 alumnes catalans de secundària participen a la prova Cangur 2010):

Problema dels mentiders (Cangur 2009)
En una illa remota unes quantes persones sempre diuen la veritat i les altres persones menteixen sempre. 25 persones d’aquesta illa estan col·locades en fila íındia. La primera persona de la cua diu que totes les altres són mentideres. Totes les altres persones de la cua diuen que la persona que tenen al davant és mentidera. Quantes persones mentideres hi ha a la cua?

A) 0     B) 12     C) 13     D) 24     E) És impossible saber-ho

Podeu veure que és un test de resposta múltiple i en tenim cinc de possibles. Abans de continuar i si esteu delerosos de saber la resposta cliqueu al "Mostra" que apareix més avall (només ho hauríeu de fer si heu intentat solucionar el problema i després d'uns minuts de reflexió):

Solució del problema dels mentiders

(+/- Mostra/Oculta)

La resposta correcta és la c. Hi ha tretze persones mentideres. És evident que la primera persona no diu la veritat perquè tota la resta no poden ser mentiders: un mentider no pot dir d'un altre mentider que ho és. Per tant, si la primera menteix, la segona diu la veritat i van alternant mentiders amb persones que diuen la veritat.

La mera presència d'aquesta pregunta en un examen de matemàtiques pot sorprendre a la majoria dels estudiants de secundària i del batxillerat actuals que identifiquen aquesta assignatura amb l'aritmètica, l'àlgebra, la geometria, l'anàlisi i un polsim de probabilitat i estadística. Encara que quatre de les respostes proposades són numèriques, el problema no és d'aritmètica, sinó de lògica (a més, de la més clàssica i aristotèlica lògica binària).

Tradicionalment la lògica s'ha considerat un camp d'estudi de la filosofia i, fins fa poc, el seu ensenyament als nostres joves ha estat en mans dels professors de filosofia de batxillerat (sense batxillerat, no hi havia continguts reglats de lògica). Hores d'ara i seguint el temari de Filosofia i Ciutadania (m'estalvio comentaris polèmics sobre el nom) de 1r de Batxillerat, el professorat d'aquesta matèria es pot estaviar els continguts més elementals de lògica formal. Com que a més els han castigat amb només dues hores de classe setmanals, ja us podeu pensar en quin estat tenim el raonament lògic. És clar que alguns ciutadans em poden replicar que en tenim prou amb el "sentit comú". Com que aquesta no serà la única entrada dedicada a Lògica i Metodologia — no se m'ha acudit cap altra etiqueta per tractar de la lògica i de la metodologia matemàtica— els deixarem, momentàniament, fruir de la perillosa inòpia intel·lectual en la qual viuen.

La lògica, no cal dir-ho, fonamenta també el coneixement científic i matemàtic. D'això i d'algunes anècdotes significatives a les aules, en parlarem més endavant.

John F. Nash: la pel·lícula de Ron Howard (I)

Segurament seria més adient i de més actualitat, parlar de l'innovador matemàtic Benoît Mandelbrot  (1924-2010) que va morir recentment i al qual dubto que se li dediqui cap biografia, escrita o filmada. Però deixarem els fractals, els conjunts de Julia — atenció, no estem parlant de roba de senyora—  i el conjunt de Mandelbrot per a una altra ocasió. Com que ja  fa dies que vaig publicar en aquest bloc un article sobre John F. Nash amb la idea que tingués continuació (John F. Nash: la biografia de Sylvia Nasar, doneu-li una ullada, si us plau, perquè m'estalviaré repeticions) i ja tenia el present escrit entre cella i cella, prefereixo deslliurar-me'n a cedir a l'impuls de parlar de fractals o coliflors.

En diverses classes de batxillerat, he fet la següent pregunta: algú sap qui és John Nash? En la meva època d'estudiant tampoc teníem gaire idea de res, però haguéssim contestat "un escriptor" al professor de Literatura o "un matemàtic", al de Matemàtiques. La reacció majoritària ha estat un gratificant silenci — cada vegada és més difícil d'aconseguir, i no només a les aules—, però alguns s'han atrevit a dir "un cantant" (no és el que m'esperava, però és veritat que hi ha un Johnny Nash, cantant pop ja granadet, i que un grupet espanyol també portava aquest nom). Hi havia més respostes si, a continuació , mostrava la caràtula de la pel·lícula A Beatiful Mind (2001) de Ron Howard.

No obtenia un clamor popular, perquè  les pel·lícules tenen una data de caducitat cada vegada més curta i molts joves no l'han vista; però uns quants, a l'identificar, l'expressiva o forçadament inexpressiva, cara de l'actor Russell Crowe, s'atrevien a relacionar Nash amb la pel·lícula que tractava d'un matemàtic que "estava boig". L'especificatiu "estava boig" ens hauria d'animar perquè indica que:

1. no tots els matemàtics estan bojos,
2. no a tots, se'ls nota la bogeria,
3. es tracta d'un estat temporal.

Anem al gra (en aquest cas, al film)! A Beautiful Mind es va traduir com Una mente maravillosa a Espanya i  com Una mente brillante, a Hispanoamèrica. No sé si va ser doblada al català, però a Viquipèdia en parlen com d'Una ment prodigiosa. Va guanyar quatre Oscar: millor pel·lícula, millor director, millor actriu secundària (Jennifer Connelly) i millor guió adaptat (Akiva Goldsman). Russell Crowe amb una histriònica actuació, d'aquestes que tant agraden a Hollywood, va ser nominat, però no va obtenir el premi al millor actor. En els crèdits finals se'ns anuncia que aquesta obra està basada en fets reals i en la biografia de Sylvia Nasar, però, suposo que amb l'objectiu d'aconseguir un èxit comercial, molts aspectes de la ficció difereixen de l'autèntica vida de Nash, per exemple:

1.  Nash se'ns mostra com un fidel monògam. En realitat, abans de casar-se amb Alicia Lardé, ja havia tingut un fill amb Eleanor Stier (pobrets, ni un ni l'altra surten al guió) i diverses relacions homosexuals (amb una detenció policial que li va crear problemes professionals). Tampoc apareix el divorci d'Alicia ni els aspectes menys simpàtics de les seves difícils relacions socials.
2. El Nash de veritat no ha patit mai les al·lucinacions visuals que apareixen en el film (perdoneu que us espatlli l'entreteniment si no l'heu vist) . El guió fílmic es basa en la mateixa trampa que Los otros (2001) de Alejandro Amenábar o The Sixth Sense (1999) de M. Night Shyamalan: els personatges que no són el que aparenten (no hi ha res més efectiu que un fantasma que no ho sembla ). Aquí se'ns desvetlla a mitja pel·lícula, i no al final, que alguns dels personatges, principals fins aleshores, són només producte de la ment malalta del nostre heroi i, més que de sorpresa, té l'aire d'enganyifa (si sou observadors, però, alguns detalls subtils ja ho anunciaven).
3. Nash tenia una autèntica obsessió per renunciar a la nacionalitat nord-americana i refugiar-se a Europa. Això el va portar a viure al nostre continent algunes temporades i a intentar, infructuosament, la renúncia a la seva nacionalitat. Aquest fet, penso que per poc patriòtic, no el veiem per enlloc.
4. No podem parlar massa de matemàtiques, perquè hi apareixen només de forma anecdòtica i estereotipada, però pensar que l'equilibri de Nash va néixer en el moment que unes quantes noies maques entren en un bar, només se li pot acudir a un guionista que no coneix cap matemàtic (i menys encara, jove i carregat d'hormones). L'anècdota, però, és bona i ben aconseguida i supera de molt la de Sir Isaac Newton i la caiguda de la poma, ¿també fantasiosa?. "L'estranya teoria" que sorgeix a l'hora de decidir una estratègia per lligar és l'únic contingut "matemàtic" que han recordat alguns alumnes meus que han vist l'obra de Howard. 

Sense ser una obra d'art, A Beautiful Mind no és una mala pel·lícula: la direcció és bona; el guió, original; els actors més que correctes (una menció especial per a Ed Harris que, com sempre, sense fer res domina la pantalla i per a Jennifer Connelly, més continguda i millor que Crowe); la música, interessant, etc. Però torna a ser la típica història americana on la voluntat i l'afany de superació vencen l'adversitat més gran i, en el cas de l'esquizofrènia que pateix el protagonista, dubto que l'actitud de resistència de Nash sigui la causa de l'atenuació dels símptomes. Més que la frase "basada en fets reals", hi escauria més el "lliurement basada en...". Si algú pensa que és una biografia acceptable de Nash, va errat.

Com que m'estic passant dels estàndards habituals d'extensió dels textos blocaires i voldria comentar alguna cosa més, us convido a un proper lliurament sobre A Beautiful Mind (the film). Penseu que, per exemple, encara no he parlat de l'assessor matemàtic que va intervenir en el rodatge i, quan són més habituals els assessors d'esgrima que els de matemàtiques, és un fet digne de menció.
  

Continuem amb els decimals de Pi: Universo matemático i d'altres

Quan vaig publicar l'article immediatament anterior a aquest, Com es poden calcular els decimals de Pi?, em vaig guardar, per a una altra ocasió, algunes informacions i comentaris que em semblaven interessants. En aquests temps postmoderns en els quals vivim, on les grans novel·les han estat substituïdes pels reculls de contes (breus, no sigui que se'ns cansi la vista), un text extens és, per definició, defectuós. I si parlem d'un bloc, es valoren més les petites i digestives píndoles textuals que un reguitzell de paràgrafs. M'agrada nedar contracorrent, però cal fer-se el mort de vegades, i ja comprovareu que  aniré desenvolupant els mateixos temes sota de diferents títols (i, de moment, em resisteixo al "leer más" del blogger, però ja hi cauré). Vull dir, en resum, que veig convenient, estilísticament i per que és costum, no fer entrades massa llargues, però que això m'obliga a fer sèries d'articles i lligar-los. Bé, anem per feina!

Televisió espanyola (RTVE) va produir l'any 2000 una sèrie anomenada Universo matemático (fins i tot, Wikipedia en parla) de deu documentals encabida dins del programa La aventura del saber. Desconec l'hora d'emissió, però el més probable és que acompanyés les migdiades o els cops de cap, de després de sopar o de l'entrada de la matinada, dels nostres conciutadans.Un dels capítols portava l'ocurrent títol de Historias de Pi (feu-hi clic i podreu veure aquest episodi, que no arriba a la mitja hora, en el web oficial, no sigui que la gent de EGEDA se'ns enfadi). El documental, que no és cap prodigi de producció audiovisual, està força bé en quant a continguts i guió: parla de Srinivasa Ramanujan (de l'anècdota del 1729, de la sèrie de Ramanujan per calcular decimals de π...), d'Arquimedes (aproximacions de π, càlcul d'àrees i volums...), dels avenços en el càlcul de més i més decimals d'aquest nombre, etc. L'únic contingut que posaria en dubte és que la raó entre la longitud d'un riu i la distància en línia recta des del seu naixement fins al mar s'aproxima a π. El documental parla de rius llargs i que és la mitjana d'aquesta raó de longituds, calculada per a rius d'aquesta característica, que s'hi aproxima (quan afirmem una falsedat o no som massa rigorosos, el millor es rodejar-ho de totes les prevencions possibles).

I més: Gaussianos informava el 8 d'agost d'enguany d'un nou rècord en el càlcul de decimals de π. El 2 d'agost Shigeru Kondo i els seus col·laboradors van aconseguir calcular 5 bilions de decimals d'aquest nombre irracional. Sembla que en aquesta ocasió no hi ha hagut la freqüent errada de traducció de l'anglès i els 5 bilions són cinc milions de milions (one billion en anglès són, només, mil milions).

La notícia més estranya que he llegit últimament sobre els decimals de π és que un investigador de Yahoo, Nicholas Sze, ha calculat el decimal que ocupa el lloc dos mil bilions, és un zero, i alguns decimals propers. Resulta interessant que per calcular-los no ha necessitat llistar tots els decimals anteriors (podeu llegir-ho a Microsiervos).  Aviso que, en aquest cas, no he contrastat la informació, cosa que és una obligació de tothom —i en particular, d'aquesta espècie en perill d'extinció, que s'anomena bon periodista. He llegit el mateix en diversos webs, però es veu que s'han limitat a copiar-se. Confeso que els meus dubtes, es deuen a això de "un investigador de Yahoo" . Us convido a investigar-ho pel vostre compte i agrairia qualsevol comentari al respecte. Ah! i no us perdeu, perdoneu-me la repetició, Historias de Pi.

Com es poden calcular els decimals de Pi?

Fa poc, una companya de docència em comentava que uns alumnes li havien preguntat com es calculaven els decimals de π. Aquests tipus de preguntes no són gaire freqüents, les més habituals acostumen a ser del caire de:

• quant falta per acabar la classe? (molts alumnes no porten rellotge: el mòbil fa de rellotge, de calculadora, d'àngel de la guarda...)
• això entra a l'examen? (s'acostuma a fer en el moment de màxima emoció del professor quan, per exemple, està comentant que els pitagòrics tenien prohibit menjar faves)
• que puc anar al lavabo? (Groucho Marx explica en un dels seus llibres que, un dia, quan la seva petita filla Melinda acabava d'arribar d'escola, ell li va preguntar: — què heu fet avui?; — pipí i dibuixos, papa!)

De vegades, però, es manifesta la curiositat natural de la nostra espècie —aquesta curiositat  que hem de maldar en mantenir— i se'ns pregunta pels decimals de π. Quan vaig sentir el comentari, els meus pensaments es van dirigir als polinomis o sèries de Taylor i a les fraccions contínues; però, evidentment, no és el camí a seguir per respondre als nostres alumnes de secundària i, malauradament, tampoc és la drecera que entendrien la majoria dels nostres llicenciats universitaris (perdó, volia dir graduats).

En aquest cas, el que sembla un primer intent seriós de contestar aquesta pregunta, històricament parlant, és també el més senzill d'entendre. Arquimedes de Siracusa (c. 287 AC – c. 212 AC) va aplicar el mètode d'exhaustió per calcular aproximadament el valor de π. Un incís: en català sovint dubtem entre Arquímedes, paraula esdrúixola,  i la plana Arquimedes. Aquesta darrera opció és la més correcta i la més fidel al nom grec original (vegeu, si us plau, la ressenya que fa Francesc J. Cuartero del llibre La transcripció dels noms propis grecs i llatins de Joan Alberich i Montserrat Ros).

Arquimedes (a Viquipèdia, en català)

Archimedes (A MacTutor, en anglès)





Com que π és la raó o quocient entre la longitud o perímetre d'una circumferència i el seu diàmetre, mitjançant polígons regulars inscrits i circumscrits i augmentant-ne els costats, Arquimedes va aconseguir bones aproximacions del nombre que ens ocupa. A internet hi ha una munió de documents que expliquen amb més o menys detall i rigor aquest mètode. N'he triat alguns que m'han semblat interessants i que contenen d'altres detalls de la història de π:

• El número π: de la Geometría al Cálculo Numérico. L'autor és Roberto Rodríguez del Río. La pàgina 5 d'aquest document explica d'una manera breu i entenedora, a grans trets, els càlculs d'Arquimedes. Si sou alumnes desvagats, doneu una ullada a aquesta pàgina 5 per fer-vos una idea (poso en negreta la frase per tal que us sigui més fàcil de localitzar si llegiu en diagonal).

• Historia de las fórmulas y algoritmos para π de Jesús Guillera Goyanes. Article aparegut a la molt recomanable Gaceta de la RSME.

• Història del nombre π. A la inevitable Viquipèdia. Consell: feu clic per passar-vos a la versió anglesa que és molt més completa o consulteu Numerical approximations of π també a Wikipedia. Per evitar els esbufecs dels nacionalistes més aïrats d'una banda i de l'altra, diré que la versió anglesa és millor i, amb aquesta extensió i profunditat, no hi ha, ara mateix, versió castellana.

•  Sobre la longitud de la circunferencia y el área del círculo a Gacetilla Matemàtica . Explica bé algun dels càlculs d'Arquimedes.

I això no és tot, però ja hi tornarem un altre dia.

Gaussianos: només matemàtiques, i com!

Conec el bloc que ara us presentaré des de fa temps i és possible que, si sou aficionats a cercar continguts matemàtics a la xarxa, també sigui un vell conegut vostre. Podeu pensar que us convido a passar-vos a la competència, però la competència només s'estableix entre productes de qualitat semblant i gaussianos, vet aquí el seu nom, està molt per sobre d'aquest nounat encara escarransit que s'anomena I ara! Matemàtiques? Entendré perfectament que, una vegada feu clic a la següent imatge, no retorneu a aquesta pàgina:

Si us tinc aquí de nou, continuo. L'autor de gaussianos és Miguel Ángel Morales Medina, Llicenciat en Matemàtiques per la Universidad de Granada el 2003, professor universitari i és també l'editor del Boletín de la RSME (Real Sociedad Matemática Española) des de l'1 d'abril de 2010. En el bloc, encetat el 26 de juliol de 2006,  respon al nom de ^DiAmOnD^ (amb aquesta grafia, els matemàtics joves tenen aquestes coses!). El contingut de gaussianos, molt extens, abasta nivells diferents de complexitat, si bé, de vegades, requereix un cert nivell de coneixements matemàtics per a la seva comprensió. Les entrades són variades: des de problemes proposats a notícies d'actualitat o comentaris històrics. Si en voleu fer un tastet, us recomano un parell d'articles:

• Construcciones con regla y compás (I): introducción y primeras construcciones. És el primer d'una interessant sèrie d'escrits sobre geometria.

• Medallas Fields 2010. Sobre els guanyadors d'aquests prestigiosos premis matemàtics.

I per acabar, deixeu-me explicar la circumstància anecdòtica que m'ha portat a escriure aquest text justament ara. Si llegiu els comentaris de l'article immediatament anterior a aquest (L'Home de Vitruvi),  veureu que hi ha alguna referència al gat de Schrödinger. Fa mesos, una de les cites de gaussianos, atribuïda a Darwin, em va cridar l'atenció (Definición darwinista de matemático). Ja l'havia llegida abans, però com a definició de físic quàntic i el gat fosc de l'habitació era el de Schrödinger. Morales Medina va tenir l'amabilitat de contestar-me un correu on jo dubtava de la definición i va atribuir la possible incorrecció a les seves fonts (el llibre Infinitum Citas Matemáticas). Ara ha estat el gat que m'ha portat a escriure sobre el seu increïble bloc.