diumenge, 10 d’octubre de 2010

Com es poden calcular els decimals de Pi?

Fa poc, una companya de docència em comentava que uns alumnes li havien preguntat com es calculaven els decimals de π. Aquests tipus de preguntes no són gaire freqüents, les més habituals acostumen a ser del caire de:
  • quant falta per acabar la classe? (molts alumnes no porten rellotge: el mòbil fa de rellotge, de calculadora, d'àngel de la guarda...)
  • això entra a l'examen? (s'acostuma a fer en el moment de màxima emoció del professor quan, per exemple, està comentant que els pitagòrics tenien prohibit menjar faves)
  • que puc anar al lavabo? (Groucho Marx explica en un dels seus llibres que, un dia, quan la seva petita filla Melinda acabava d'arribar d'escola, ell li va preguntar: — què heu fet avui?; pipí i dibuixos, papa!)
De vegades, però, es manifesta la curiositat natural de la nostra espècie —aquesta curiositat  que hem de maldar en mantenir— i se'ns pregunta pels decimals de π. Quan vaig sentir el comentari, els meus pensaments es van dirigir als polinomis o sèries de Taylor i a les fraccions contínues; però, evidentment, no és el camí a seguir per respondre als nostres alumnes de secundària i, malauradament, tampoc és la drecera que entendrien la majoria dels nostres llicenciats universitaris (perdó, volia dir graduats).

En aquest cas, el que sembla un primer intent seriós de contestar aquesta pregunta, històricament parlant, és també el més senzill d'entendre. Arquimedes de Siracusa (c. 287 AC – c. 212 AC) va aplicar el mètode d'exhaustió per calcular aproximadament el valor de π. Un incís: en català sovint dubtem entre Arquímedes, paraula esdrúixola,  i la plana Arquimedes. Aquesta darrera opció és la més correcta i la més fidel al nom grec original (vegeu, si us plau, la ressenya que fa Francesc J. Cuartero del llibre La transcripció dels noms propis grecs i llatins de Joan Alberich i Montserrat Ros).



Arquimedes (a Viquipèdia, en català)

Archimedes (A MacTutor, en anglès)





Com que π és la raó o quocient entre la longitud o perímetre d'una circumferència i el seu diàmetre, mitjançant polígons regulars inscrits i circumscrits i augmentant-ne els costats, Arquimedes va aconseguir bones aproximacions del nombre que ens ocupa. A internet hi ha una munió de documents que expliquen amb més o menys detall i rigor aquest mètode. N'he triat alguns que m'han semblat interessants i que contenen d'altres detalls de la història de π:
  • El número π: de la Geometría al Cálculo Numérico. L'autor és Roberto Rodríguez del Río. La pàgina 5 d'aquest document explica d'una manera breu i entenedora, a grans trets, els càlculs d'Arquimedes. Si sou alumnes desvagats, doneu una ullada a aquesta pàgina 5 per fer-vos una idea (poso en negreta la frase per tal que us sigui més fàcil de localitzar si llegiu en diagonal).
  • Història del nombre π. A la inevitable Viquipèdia. Consell: feu clic per passar-vos a la versió anglesa que és molt més completa o consulteu Numerical approximations of π també a Wikipedia. Per evitar els esbufecs dels nacionalistes més aïrats d'una banda i de l'altra, diré que la versió anglesa és millor i, amb aquesta extensió i profunditat, no hi ha, ara mateix, versió castellana.
I això no és tot, però ja hi tornarem un altre dia.

    10 comentaris:

    1. He estat mirant la Wikipedia i m'ha sorprés la aproximació amb logaritmes:
      (ln(64032)^3+744)/sqrt163 , cap dels números implicats te res d'especial, només Ramanujan i la seva teoría analítica dels números va ser capaç de trobrar una relació tant fascinant.

      ResponElimina
    2. No diguis mai que un nombre no té res d'especial! Sí que és cert que poquíssimes persones a la història de la humanitat sembla que han tingut la habilitat i la intuïció numèrica de Srinivasa Ramanujan. La coneguda anècdota del 1729 demostra que, fins i tot, a un gran matemàtic com G. H. Hardy li costava veure relacions numèriques que a Ramanujan li semblaven òbvies. Si fas clic al 1729, veuràs una de les pàgines més interessants a internet sobre aquest nombre (i mira que n'hi ha!).

      ResponElimina
    3. Acabo de veure que sou d'excursió decimal: enhorabona! Jo he preferit passar aquests dies a la part sencera de Pi –viatge en compàs i regle, tot inclòs– i haig de confessar que m'ha servit per descobrir un parell o tres de bons Mediterranis. Ahir a la tarda, vaig visitar les sis anelles proto-olímpiques del triangle equilàter de costat r –que, aquesta nit, m'han fet somiar amb l'infinit– i avui m'he meravellat contemplant les sis cordes de longitud r que, degudament encadenades, tanquen amb infinita precisió el camp escocès del conte*. Que el perímetre del camp hagi de ser per força més llarg que tres diàmetres i més curt que quatre no h'ha semblat cap gran cosa, però que siguin exactament sis les vegades que el radi s'hi deixa inscriure... Després he pensat en Dedekind i la seva definició d'infinit i m'he animat a fer servir precisament aquesta característica per definir la circumferència: curva que deixa inscriure, encadenats, sis i només sis cops el seu radi. ¿...? Però, això implica que, per força, només n'hi pot haver un, de radi; o millor, que tots els radis han de ser iguals... però ¿dir això no és el mateix que dir 'circumferència'? Ja hi som: he tornat a incloure allò definit en la definció. Gangues del servei de bar de l'hotel (ja us ho he dit: TOT inclòs).
      Deu fer fred per allà dalt, oi? No us oblideu d'enviar-me una foto del cim, companys. Bona tornada. F

      * Vegeu l'entrada Ovelles, rigor i matemàtiques (21/5/10)

      ResponElimina
    4. És el problema del TOT inclòs: acabes somiant amb Zermelo, Peano i Dedekind dansant al voltant d'una taula circular amb unes estovalles hexagonals inscrites (Kekulé va descobrir en un somni semblant l'estructura del benzè). No crec que acabem fent el cim; però, quan baixis del cel i siguis de nou benvingut entre els tristos mortals, posat unes botes d'aigua que aquí hi plou.

      ResponElimina
    5. Francecs Rovira he llegit el teu comentari (?) i inmediatament he pensat amb "Baco", deu romà de la bona vida, pq jo em sento incapaç de encadenar tants pensaments seguits en un estat normal de lucidesa.
      L'amic Francesc Montasell, te una influència subliminal i no acceptada de tot el que és física cuàntica, apareix un hexàgon i inmediatament pensa amb Kekulé i la indeterminació i deslocalització de l'enllaç del benzè.
      Parlant d'hexàgons, una forma de definir el nombre pi, es a partir d'un hexàgon inscriure un poligon de costats infinits dins de la circunferència.

      ResponElimina
    6. Amic Frederic, no t'has llegit el meu article ni en diagonal! Fes clic a la pàgina 5 que apareix dues vegades en el text, per als qui llegiu per sobre, i veuràs que el "tema dels hexàgons" ja ha estat tocat. Ah! i tinc, per sort, moltes influències subliminals; però, no acceptades de la física quàntica? Si la física quàntica ara serveix per justificar-ho tot i tot s'accepta! (fes clic a Sokal). Apa doncs, al meu article da capo i sense saltar-se els enllaços! Ep, si et ve de gust!

      ResponElimina
    7. (Dues variacions super thema regium)

      1. Bensava que havies bensat en Baco berquè em dic Francesc!

      2. Escolta baco: què t'has cregut! El vi b'agrada bolt, però no tant cob per perdre el respecte al bloc de Herr Bontasell.


      Frederic: ja que, tan generosament, em relaciones amb Bacus (per molta gent, nom d'una famosa cooperativa de llibres i material escolar catalana), preferiria que, a partir d'ara, una de dues: canviessis el lletreig del meu nom i en lloc de Francecs escrivissis Fransex; o, per estalviar-nos problemes, em diguessis directament Dionissi. També vull fer constar en acta que sempre he defensat, defenso i defensaré el dret de les bacants a no ser confoses per les bacones –o per les becàries, for that matter, sigui dit en anglès en honor de la llengua d'una de les més il·lustres i famoses–.

      ResponElimina
    8. Ja saps que en Frederic les engalta sempre pel broc gros. Pensa que els químics com ell parlen d'anàlisi qualitatiu i de vegades no quantifiquen bé: tot ho arreglen amb catalitzadors i una micona de... Tornant al bloc: és el mateix instrument, però prefereixo el piano al pianoforte. Si aconseguim una altra vegada el to i que l'amic Frederic llegeixi abans de disparar... Ah, però les matemàtiques no eren una ciència formal? Entre tots perdrem les formes! Excel·lent, però, el pas que fas des de la mitologia grega a l'actualitat.

      ResponElimina
    9. Tinc una pàgina web que ho lliga tot, crec que tot això val la pena dicutir-ho davant d'un 2pir i un bon plat de porc curat !!!
      Us llenço el guant , ja direu dia i hora

      http://www.vinogusto.com/es/vino/21113/gratavinum-2-pi-r-2005

      ResponElimina
    10. Avís del moderador:

      I ara! publicitat? He admès el comentari, tot i que conté publicitat, per això del 2πr i perquè darrera hi ha, suposo, una invitació a compartir taula. Si es tracta d'un duel, no vull acabar com el pobre Évariste Galois i declino l'oferta. De totes maneres, has de tenir en compte, benvolgut comentarista, que el bloc va de matemàtiques, que l'utilitzo, de vegades, per a la meva activitat docent i que els adolescents que el llegeixin es pensaran que sempre estem de farra (i ara mateix, m'asseia a preparar un examen!). Amb les meves giragonses habituals, m'ho faig venir bé per donar un toc de matemàtiques a cada resposta; però, cada vegada, ho tinc més complicat. Per tant, per a futurs comentaristes:

      1. No escriviu les frases en majúscules (encara no s'ha donat el cas) ni amb més de n faltes d'ortografia.

      2. No utilitzeu paraules malsonants (com, per exemple, subgrup finitament generat d'un grup de Lie connex o base ortonormal de l'espai tangent holomorf a...).

      3. Limiteu-vos a fer comentaris de fons matemàtic (s'admeten d'altres ciències empíriques i envejoses i Arts en majúscules; per a gastronomia, ja tenim l'Arguiñano). En aquest sentit, utilitzeu d'altres canals de comunicació per a propostes lúdiques, convits i avisos de lliurament de premis, en metàl·lic, al blogger que escriu aquestes línies.

      4. Com veieu, animeu-vos a enviar els vostres comentaris. No cal distingir un fibrat vectorial d'un jersei de llana per participar en el bloc.

      Per acabar, aquest vi 2πr no serà una còpia xinesa del nefast DelaPIerre?

      ResponElimina