Com es poden calcular els decimals de Pi?

Fa poc, una companya de docència em comentava que uns alumnes li havien preguntat com es calculaven els decimals de π. Aquests tipus de preguntes no són gaire freqüents, les més habituals acostumen a ser del caire de:

• quant falta per acabar la classe? (molts alumnes no porten rellotge: el mòbil fa de rellotge, de calculadora, d'àngel de la guarda...)
• això entra a l'examen? (s'acostuma a fer en el moment de màxima emoció del professor quan, per exemple, està comentant que els pitagòrics tenien prohibit menjar faves)
• que puc anar al lavabo? (Groucho Marx explica en un dels seus llibres que, un dia, quan la seva petita filla Melinda acabava d'arribar d'escola, ell li va preguntar: — què heu fet avui?; — pipí i dibuixos, papa!)

De vegades, però, es manifesta la curiositat natural de la nostra espècie —aquesta curiositat  que hem de maldar en mantenir— i se'ns pregunta pels decimals de π. Quan vaig sentir el comentari, els meus pensaments es van dirigir als polinomis o sèries de Taylor i a les fraccions contínues; però, evidentment, no és el camí a seguir per respondre als nostres alumnes de secundària i, malauradament, tampoc és la drecera que entendrien la majoria dels nostres llicenciats universitaris (perdó, volia dir graduats).

En aquest cas, el que sembla un primer intent seriós de contestar aquesta pregunta, històricament parlant, és també el més senzill d'entendre. Arquimedes de Siracusa (c. 287 AC – c. 212 AC) va aplicar el mètode d'exhaustió per calcular aproximadament el valor de π. Un incís: en català sovint dubtem entre Arquímedes, paraula esdrúixola,  i la plana Arquimedes. Aquesta darrera opció és la més correcta i la més fidel al nom grec original (vegeu, si us plau, la ressenya que fa Francesc J. Cuartero del llibre La transcripció dels noms propis grecs i llatins de Joan Alberich i Montserrat Ros).

Arquimedes (a Viquipèdia, en català)

Archimedes (A MacTutor, en anglès)





Com que π és la raó o quocient entre la longitud o perímetre d'una circumferència i el seu diàmetre, mitjançant polígons regulars inscrits i circumscrits i augmentant-ne els costats, Arquimedes va aconseguir bones aproximacions del nombre que ens ocupa. A internet hi ha una munió de documents que expliquen amb més o menys detall i rigor aquest mètode. N'he triat alguns que m'han semblat interessants i que contenen d'altres detalls de la història de π:

• El número π: de la Geometría al Cálculo Numérico. L'autor és Roberto Rodríguez del Río. La pàgina 5 d'aquest document explica d'una manera breu i entenedora, a grans trets, els càlculs d'Arquimedes. Si sou alumnes desvagats, doneu una ullada a aquesta pàgina 5 per fer-vos una idea (poso en negreta la frase per tal que us sigui més fàcil de localitzar si llegiu en diagonal).

• Historia de las fórmulas y algoritmos para π de Jesús Guillera Goyanes. Article aparegut a la molt recomanable Gaceta de la RSME.

• Història del nombre π. A la inevitable Viquipèdia. Consell: feu clic per passar-vos a la versió anglesa que és molt més completa o consulteu Numerical approximations of π també a Wikipedia. Per evitar els esbufecs dels nacionalistes més aïrats d'una banda i de l'altra, diré que la versió anglesa és millor i, amb aquesta extensió i profunditat, no hi ha, ara mateix, versió castellana.

•  Sobre la longitud de la circunferencia y el área del círculo a Gacetilla Matemàtica . Explica bé algun dels càlculs d'Arquimedes.

I això no és tot, però ja hi tornarem un altre dia.

Gaussianos: només matemàtiques, i com!

Conec el bloc que ara us presentaré des de fa temps i és possible que, si sou aficionats a cercar continguts matemàtics a la xarxa, també sigui un vell conegut vostre. Podeu pensar que us convido a passar-vos a la competència, però la competència només s'estableix entre productes de qualitat semblant i gaussianos, vet aquí el seu nom, està molt per sobre d'aquest nounat encara escarransit que s'anomena I ara! Matemàtiques? Entendré perfectament que, una vegada feu clic a la següent imatge, no retorneu a aquesta pàgina:

Si us tinc aquí de nou, continuo. L'autor de gaussianos és Miguel Ángel Morales Medina, Llicenciat en Matemàtiques per la Universidad de Granada el 2003, professor universitari i és també l'editor del Boletín de la RSME (Real Sociedad Matemática Española) des de l'1 d'abril de 2010. En el bloc, encetat el 26 de juliol de 2006,  respon al nom de ^DiAmOnD^ (amb aquesta grafia, els matemàtics joves tenen aquestes coses!). El contingut de gaussianos, molt extens, abasta nivells diferents de complexitat, si bé, de vegades, requereix un cert nivell de coneixements matemàtics per a la seva comprensió. Les entrades són variades: des de problemes proposats a notícies d'actualitat o comentaris històrics. Si en voleu fer un tastet, us recomano un parell d'articles:

• Construcciones con regla y compás (I): introducción y primeras construcciones. És el primer d'una interessant sèrie d'escrits sobre geometria.

• Medallas Fields 2010. Sobre els guanyadors d'aquests prestigiosos premis matemàtics.

I per acabar, deixeu-me explicar la circumstància anecdòtica que m'ha portat a escriure aquest text justament ara. Si llegiu els comentaris de l'article immediatament anterior a aquest (L'Home de Vitruvi),  veureu que hi ha alguna referència al gat de Schrödinger. Fa mesos, una de les cites de gaussianos, atribuïda a Darwin, em va cridar l'atenció (Definición darwinista de matemático). Ja l'havia llegida abans, però com a definició de físic quàntic i el gat fosc de l'habitació era el de Schrödinger. Morales Medina va tenir l'amabilitat de contestar-me un correu on jo dubtava de la definición i va atribuir la possible incorrecció a les seves fonts (el llibre Infinitum Citas Matemáticas). Ara ha estat el gat que m'ha portat a escriure sobre el seu increïble bloc.

L'Home de Vitruvi

Marc Vitruvi Pol·lió va ser un arquitecte i enginyer romà del segle I aC. Va escriure un tractat d'arquitectura (De Architectura Libri) que va ser reeditat a Roma cap el 1486 i més tard a d'altres ciutats, ara italianes, quan els renaixentistes es van interessar i inspirar en l'art clàssic de Grècia i Roma. Leonardo da Vinci va fer, cap el 1492, un famós i difós dibuix que es coneix com L'Home de Vitruvi. El dibuix es titula Estudi de les proporcions humanes segons Vitruvi.

Si en voleu veure una reproducció en metall, només cal que agafeu una moneda d'un euro encunyada a Itàlia.

Portem ja uns quants articles dedicats al nombre auri i ja hem parlat de la secció àuria en l'obra de Leonardo da Vinci (vegeu La Gioconda, enigmàtica?).  En el cas de la Gioconda, la presència volguda del nombre auri és més que dubtosa: aquesta setmana, quan en una classe de primer de batxillerat, mostrava una reproducció d'aquest quadre amb els suposats rectangles auris de la composició, més d'un alumne va notar que els rectangles s'havien dibuixat d'una manera totalment subjectiva i sense criteris rigorosos (podeu donar una ullada a El mite del nombre d'or). La defensa de la presència del nombre auri en aquest dibuix de Leonardo que ara ens ocupa, també és aferrissada. Per exemple, el matemàtic Manuel Sada, que té uns excel·lents videotutorials sobre el programa de geometria dinàmica GeoGebra, en dedica un a trobar la secció àuria en aquesta obra (vegeu-lo: El Hombre de Vitrubio).

Com el Quixot, una mica fart de "desfazer entuertos", l'autor d'aquest bloc, sense massa temps i aclaparat per la repetició de tesis sense fonaments, us proposa una recerca:

• En quin dels deu llibres del tractat de Vitruvi es parla de les proporcions anatòmiques?

• Un romà com Vitruvi és poc sospitós d'utilitzar els nombres irracionals en els seus cànons. Curiosament, si llegiu els articles de Viquipèdia en llengües diferents, veureu que en alguns parlen de la secció àuria i en d'altres, no:

         L'Home de Vitruvi (en català)

         El Hombre de Vitruvio (en castellà)

         Vitruvian Man (en anglès)

         L'Homme de Vitruve (en francès)

        En què quedem? Vitruvi parla del nombre auri o no?

• En l'obra de Vitruvi ja apareix la secció àuria? No apareix, però Leonardo la incorpora en el seu dibuix? Si és així, Leonardo és conscient que la incorpora o ho fa inconscientment al treballar amb un quadrat i una circumferència?

Us pot servir llegir un post del bloc Screen Circles (L'Homme de Vitruve).

Tot  i que els educadors (mestres, professors i afins) som els únics que ens dediquem a fer preguntes de les quals ja coneixem la resposta, us asseguro que, en aquest cas, no és així.

John F. Nash: la biografia de Sylvia Nasar

En general, els matemàtics més brillants no gaudeixen de gaire popularitat —per no dir gens— i, segurament, si demanéssim a la gent pel carrer que ens digués el nom d'alguns matemàtics destacats, la llista que obtindríem no contindria cap persona que no porti més de dos mil anys morta. El cas del matemàtic nord-americà John Forbes Nash Jr. (Bluefield, 1928) en podria ser una excepció (paradoxal, si voleu, perquè molta gent sap detalls de la seva vida, però són incapaços de recordar-ne el nom). La vida de John Nash és coneguda perquè:

• Va obtenir el premi Nobel d'Economia el 1994. De fet, Alfred Nobel no va crear cap premi d'economia ni de matemàtiques. L'anomenat Nobel d'Economia va ser atorgat per primera vegada el 1968 per iniciativa de l'Sveriges Riksbank (un banc suec, valgui la redundància de la traducció) i les matemàtiques no tenen cap premi Nobel específic (hi ha llegendes urbanes que n'expliquen els motius i que ja comentarem en una altra ocasió). Aquest Nobel d'Economia el va compartir amb l'hongarès, nacionalitzat nord-americà, John Harsanyi i l'alemany Reinhard Selten. Si no heu sentit parlar d'ells ni són tan coneguts, es deu, probablement, a que la seva biografia no presenta els detalls morbosos de la de John Nash. El premi els va ser atorgat per l'anàlisi pionera d'equilibris en la teoria de jocs no cooperatius. Si us penseu que aquesta teoria té a veure amb l'educació física, el món infantil o el pòquer on line, consulteu Teoria de Jocs. Cal dir que, segons els entesos, les aportacions més brillants de Nash s'han produït en d'altres camps de la matemàtica aliens a l'economia, però no han tingut tant ressò.

• La periodista i economista nord-americana Sylvia Nasar en va escriure una biografia que va assolir força èxit. Ho deixem aquí, de moment, perquè aquesta entrada va dedicada principalment a aquest llibre.

• I sobretot... perquè Ron Howard va portar la vida de Nash, o una cosa semblant, al cinema amb la pel·lícula A Beautiful Mind (2001) que va obtenir quatre Oscar. A Espanya, en castellà, el títol es va traduir com Una mente maravillosa. En el film, l'actor Russell Crowe fa de Nash, però ja ens esplaiarem amb l'obra de Howard en un altre escrit.

• I sobretot, sobretot.... perquè als tres punts anteriors, podem afegir que John Nash pateix d'esquizofrènia i ja sabem que la malaltia, sumada a la genialitat, augmenta la popularitat de qualsevol personatge. 

 La biografia que de Nash va fer Sylvia Nasar es va publicar originalment en anglès el 1998. El títol original és A Beautiful Mind amb el llarg afegitó A Biography of John Forbes Nash Jr., Winner of de Nobel Prize in Economics, 1994. Va ser un èxit de vendes i va rebre algun premi (National Book Critics Circle Award) en la modalitat de biografies. A Espanya, el va publicar l'editorial Mondadori amb el títol Una mente prodigiosa. El diari ABC  i la revista Fotogramas també en van fer una edició especial, dins de la col·lecció Libros de cine,  que es venia amb els seus exemplars juntament amb l'oscaritzada pel·lícula. En català ha estat publicat per l'editorial Columna amb el títol Una ment meravellosa.

La metodologia de Sylvia Nasar és exemplar: no he llegit cap altra biografia "de divulgació" que justifiqui amb tanta cura la narració.  Al final de cada capítol hi consten unes quantes pàgines de notes breus que especifiquen les fonts (documents, entrevistes, etc.) de cada detall que hi apareix. A més, la lectura del llibre no es veu entorpida per aquest fet perquè aquestes notes acostumen a ser una referència de les fonts d'informació i les podem obviar si volem fer una lectura més planera. Sylvia Nasar explica la vida i l'obra de Nash i no n'omet cap aspecte rellevant, ni personal ni professional. En aquest sentit. la pel·lícula de Howard només és un esboç fantasiós i desdibuixat. No és sorprenent que Nash estigui més molest amb el llibre que amb la pel·lícula: reconeix que Nasar ha recopilat molta informació, però diu que, en part, és falsa. I és possible que sigui així —els coneguts de Nash han explicat allò que recorden i això porta implícita la seva interpretació—; però que Nash no es reconegui sempre en el llibre, suposo que no està d'acord amb l'explicació dels  fets més íntims de la seva vida, no vol dir que estiguem davant d'un text poc fonamentat. La memòria humana és selectiva i reinterpreta els fets, a més Nash ha patit greus i llargs episodis on els símptomes de la seva malaltia s'han manifestat amb força. Nash es queixa que Nasar no li mostrés el llibre que havia escrit i l'escriptora es justifica dient que l'editor va voler agilitar-ne la publicació. Sigui com sigui, i encara que ens trobem davant d'una biografia desautoritzada, el llibre és del tot recomanable.

A MITWorld trobareu una conferència de Sylvia Nasar sobre aquesta biografia. Per accedir-hi, feu clic a:

 A Beautiful Mind: Genius, Madness, Reawakening (Dr. Sylvia Nasar; October 28, 2002)

La Gioconda, enigmàtica?

Aquest article continua la sèrie d'escrits que vam encetar amb El mite del nombre d'or. En tots ells tractem d'esbrinar si el nombre auri és tan present en la natura i en les activitats humanes com molts creuen o aquesta afirmació no té fonament científic. Avui li toca el torn a una de les obres, junt amb les "mutilades" Venus de Milo i Victòria de Samotràcia, que omplen el parisenc Museu del Louvre de turistes que veuen el món a través del visor o de la pantalleta de les seves càmeres i mòbils. Dan Brown ha tingut el dubtós honor d'afegir, a les tres populars obres de visita "ineludible" i fotografia "inexcusable",  la Piràmide, i la seva germaneta invertida, inaugurada pel president Miterrand el 1989.

La Gioconda o Mona Lisa és una de les obres més conegudes de l'artista florentí Leonardo da Vinci (1452-1519). Segurament és un  dels quadres que ha generat més "literatura", teories i comentaris (la majoria fantasiosos, truculents i sense base). S'ha dit que era un autoretrat del propi Leonardo, que l'obra oculta enigmàtics missatges... Aquí només ens ocuparem de dos dels comentaris més populars: la presència de la proporcionalitat àuria en el retrat i de si el somriure de la Gioconda és tan únic i enigmàtic com diuen. El segon assumpte no té res a veure amb les matemàtiques, però farts de sentir-ne parlar posarem punt final a l'entrada amb algunes preguntes al respecte (de vegades, les preguntes aclareixen més les coses que les afirmacions).

Quan es parla de la secció àuria en aquesta obra s'acostuma a acompanyar el text amb il·lustracions com la següent:

En aquest cas, l'autor almenys hi ha fet constar algunes longituds. En la majoria de casos però, es limiten a repetir que el rostre està enquadrat en un rectangle auri  —qui va ser el creador d'aquesta història?—  i que la resta de les faccions mostren també la divina proporció. Si ens fixem en el rectangle vermell de la imatge anterior, la hipòtesi àuria no s'aguanta per enlloc: per què els seus quatre vèrtexs s'han situat en aquests punts tan difícilment objectivables? Si els movem una mica, podem enquadrar la cara en un rectangle que ja no serà auri. L'única manera de defensar la hipòtesi seria demostrar que en els primers esboços, Leonardo es va dedicar a quadricular la taula per obtenir aquesta proporcionalitat o que el pintor coneixia i utilitzava Φ. Si algú en té alguna notícia i ens ho comunica, podrem matisar el notre escepticisme. Pensant en alguns comentaris previsibles, em permeto avançar que de l'Home de Vitruvi ja en parlarem en una altra ocasió.

Si passem al somriure, més aviat rictus,... no sé si cal començar pel somriure arcaic dels koúroi grecs. Ja tenim somriures enigmàtics, o no tan enigmàtics, en l'art grec (650 al 550 aC)! Per altra banda, tan enigmàtica és l'expressió de la Gioconda? En d'altres pintures del mateix Leonardo trobem expressions i cares semblants i se n'ha parlat molt menys:

Sant Joan Baptista
 (imatge extreta del web Gallery of Art)

La mare de Déu i l'infant amb Santa Anna
 (imatge extreta del web Gallery of Art)

Aquestes dues obres també es troben en el Louvre (si feu clic al damunt, podreu veure-les millor) i no han de suportar tantes aglomeracions al seu davant (posats a triar, els gustos són subjectius, m'agrada més La mare de Déu i l'infant amb Santa Anna que no pas La Gioconda). Els somriures s'assemblen i, fins i tot, ens podem preguntar: Santa Anna i la Gioconda no són la mateixa persona? Per cert, podreu trobar imatges d'altres obres de Leonardo, ¿amb el mateix somriure?, i de moltíssims pintors més en la magnífica i recomanable Web Gallery of Art d'on he tret aquestes dues darreres fotografies digitals.