dimarts, 14 de gener de 2014

Cabres, gallines, coloms... i unes equacions diofàntiques!


Introducció. La tercera edició del Programa CiMs-CELLEX

Potser trobareu que no ve massa a tomb, i que aquesta introducció no lliga amb el títol de l'article, però començaré parlant del Programa CiMs-CELLEX. Aquest Programa ofereix la possibilitat de cursar un Batxillerat Internacional científic a l'alumnat de Catalunya. Enguany es convoca la 3a edició del procés per accedir a les beques d'aquests estudis i, per als interessats, cal dir que el període d'inscripció a les proves de selecció va del 23 de gener al 23 de febrer (trobareu la informació de primera mà en el web www.cims-cellex.cat). El curs passat ja vaig escriure un parell d'entrades on explicava aquest projecte i proposava algun problema per als nois i noies que vulguin prendre-hi part (vegeu Les beques CiMs-CELLEX i una demostració trivial  i CiMs-CELLEX: un problema de quadrats; però, de moment, no llegiu els comentaris que apareixen al peu del segon article perquè hi desvetllo algunes pistes d'un parell de problemes que us proposaré tot seguit).

Per descomptat que em sembla un projecte digne d'elogis i necessari, però l'organització ofereix una infomació molt minsa i poc concreta del temari de les proves. Podeu accedir al document original fent clic aquí; però, com que suposo que, en algun moment, la seva aparença i contingut vergonyant farà que se'n corregeixi el format i es detallin degudament el conceptes, n'he fet una captura de pantalla:

El temari de les proves de selecció de les Beques CiMs-CELLEX

A tall d'exemple, ¿algú em pot contestar si el Teorema de Bayes i la probabilitat condicionada entren en l'apartat "Nocions bàsiques de probabilitat i estadística"? En la secundària obligatòria no s'acostuma a treballar de forma sistemàtica aquest contingut, la probabilitat condicionada, però l'any passat sí que va caure un problema, cal dir que bastant clàssic, d'aquest tipus. Clar que això ho sé gràcies a les informacions que m'han fet arribar alguns participants. Desconec si es publiquen les proves ja realitzades, però estaria bé que fossin públiques!

Un temari més detallat i algun manual d'entrenament (com el que es disposa, per exemple, per a la preparació de l'Olímpiada Matemàtica), orientaria els participants i serviria per a fomentar la cultura matemàtica, fins i tot, d'aquells que no acabin participant en el projecte. Mentrestant, molts joves interessats van donant pals de cec i una prova és que, quan reviso quines paraules clau de cerca porten als internautes a aquest blog, em trobo amb molts "CiMs-CELLEX". Una altra prova de càrrec són els comentaris que podeu llegir en els articles que he dedicat a aquesta iniciativa de la Fundació CELLEX: la majoria, d'estudiants de secundària, però, també, d'alguna mare raonablement angoixada. En l'entrada CiMs-CELLEX: un problema de quadrats (ep! recordeu de no llegir-ne la part dels comentaris), un dels interlocutors, en Jofre, estudiant de secundària que vol preparar l'accés a les beques, ens proposava un problema interessant.


Un problema de cabres, gallines i coloms (versió 1)

El problema del qual n'ignoro la font escrita, fa el pes per a proposar-lo en les proves de selecció. Diu així: 
Un home va anar a vendre al mercat cabres, gallines i coloms que en total feien 100 animals venuts. Si les cabres les venia a 25 €; les gallines, a 5 € i els coloms, a 0,20 €, i en total va fer 500 €, ¿quants animals va vendre de cada tipus?

Com la majoria de vegades que presento un problema, us recomano que l'intenteu resoldre abans de clicar la solució. No sigueu gallines i intenteu-ho!


Té raó l'autor del blog Mateolivares quan qualifica aquesta gallina de quasimatemàtica




Solució del problema de cabres, gallines i coloms (versió 1) (+/- Mostra/Oculta)

Si x és el nombre de cabres; y, el de les gallines i z, el dels coloms, podem expressar l'enunciat en dues equacions:
\(\begin{cases}x + y + z = 100\\25x + 5y + 0,20z = 500\end{cases}\)
La primera equació expressa el nombre total d'animals i la segona, el seu preu.

El sistema d'equacions pot ser una mica sorprenent per als estudiants de l'ESO: té tres incògnites i només dues equacions A més, les solucions només poden ser nombres naturals (el nombre de cabres, gallines o coloms no pot ser negatiu, fraccionari o irracional).

Per començar a solucionar el problema aïllem una incògnita de la primera equació:
\(z = 100 - x -y\)
Passem aquest valor a la segona equació i operem:
\(25x + 5y + 0,20 (100 - x - y) = 500\)
\(25x + 5y + 20 - 0,20x - 0,20 y =500\)
\(24,80x + 4,80y  = 480\)
No és necessari —però entenc que té un cert valor pedagògic i permet entendre millor el problema—, el fet d'escriure aquesta darrera equació amb coeficients enters; multipliquem per 10 i després dividim pel mínim comú múltiple 8:
\(248x + 48y  = 4800\)
\(31x + 6y  = 600\)
En aquesta darrera expressió aïllem y:
\(y  = \dfrac { 600 - 31 x }{ 6 } = \dfrac{600}{6} - \dfrac{31x}{6} = 100 - \dfrac{31x}{6}\)
I aquesta darrera equació és la clau per a resoldre el problema! Si la relació entre y i x és
\(y = 100 - \dfrac{31x}{6}\)
i ambdues incògnites només poden prendre valors enters, els valors de x han de ser múltiples de 6.

Descartant x = 0 que significaria que hi ha 100 gallines, sense cabres ni coloms; només hi ha tres solucions amb els tres nombres enters positius (el nombre de coloms es calcula sabent que la suma total d'animals ha de ser 100):

Per a x = 6 cabres, tenim 69 gallines i 25 coloms.

Per a x = 12 cabres, tenim 38 gallines i 50 coloms.

Per a x = 18 cabres, tenim 7 gallines i 75 coloms.

A partir de 24 cabres, sortirien 24 gallines negatives, les solucions deixen de tenir sentit per a aquest enunciat!
 




Un problema de cabres, gallines i coloms (versió 2)

Quan tot cofoi vaig comunicar la solució al proposant del problema, aquest em va escriure "ui, perdó, m'he equivocat, el preu dels coloms no era 0,20 €, sinó 0,25 €". No passa res, ara tenia dos problemes pel preu d'un! Mantenint la resta de dades, ¿com afecta l'encariment del preu dels coloms al problema?





Solució del problema de cabres, gallines i coloms (versió 2) (+/- Mostra/Oculta)

El canvi de preu pot incomodar als compradors, però modifica ben poc el procés per a solucionar el problema. El sistema d'equacions és ara:
\(\begin{cases}x + y + z = 100\\25x + 5y + 0,25z = 500\end{cases}\)
Us estalvio els passos a seguir que són idèntics als de la primera versió. Arribaríem ara a l'equació:
\(99x + 19y  = 1900\)
Com en el cas anterior, aïllem la  y i tenim:
\(y = 100 - \dfrac{99x}{19}\)
i si x i y han de ser nombres naturals, els valors de x han de ser múltiples de 19.

Tornant a descartar x = 0 que significaria que hi ha 100 gallines, sense cabres ni coloms; només hi ha una solució amb els tres nombres enters positius (una altra vegada, el nombre de coloms es calcula sabent que la suma total d'animals ha de ser 100):

Per a x = 19 cabres, tenim 1 solitària gallina i 80 caganers coloms.

Per a x = 38 cabres, sortirien 98 gallines negatives, les solucions deixen de tenir coherència en el context del problema.

Suposo que l'existència d'una única solució deixa més tranquils a la majoria d'estudiants, però trobo més interessant i didàctica la primera versió de l'exercici.
 



Hem resolt equacions diofàntiques!

En l'àmbit amtemàtic s'anomenen equacions diofàntiques aquelles equacions les solucions de les quals només poden ser nombres enters. Les equacions diofàntiques pràcticament no estan presents en l'ensenyament secundari i és més habitual trobar-se equacions on les solucions fraccionàries o irracionals són benvingudes. Les dues versions del problema que acabem de resoldre ens portava a un sistema d'equacions diofàntiques. Ja heu pogut comprovar que, en aquest cas, no calia gaire coneixement dels algorismes per a solucionar aquest tipus d'equacions, però si teniu ganes de saber-ne més, us proposo alguns enllaços:

  • Ecuaciones diofánticas. Equacions diofàntiques lineals explicades pel professor F. J. González de la Universitat de Cádiz


Notes finals

Com que malgrat la crítica feta, que espero que s'entengui com a constructiva, desitjo que el projecte CiMs-CELLEX duri molts anys, he afegit l'etiqueta CiMs-CELLEX en l'índex de categories del blog que podeu llegir en la columna de la dreta. Ja hi anirem afegint entrades!

M'ompliria de satisfacció ("de honda satisfacción") el fet que alguns estudiants de secundària —no cal que siguin majoria—  hagin entès l'acudit de la gallina quasimatemàtica. Per què no és una gallina matemàtica del tot?


18 comentaris:

  1. Per celebrar l'any nou –que a mi m'ha costat més de començar que d'altres anys– he decidit intentar resoldre aquest problema amb coartada animal que proposes. Sense paper ni llapis, el meu resultat és aquest: 19 cabres, 4 gallines i 25 coloms. En obrir la plica de les respostes, la meva sorpresa ha estat no trobar-la entre les que tu proposes. Per què no hi és (a mi em sembla la més òbvia...)? Posats a provocar jo diria que és per culpa de l'abús del sistemes d'equacions (més encara si són diofàntiques) que –per dir-ho així– "pensen per nosaltres." Estaré molt content de llegir la teva resposta.

    Bon any nou Francesc, a tu i als teus lectors (una mica tard, ja ho sé, però quan no es pot, no és pena).

    ResponElimina
    Respostes
    1. Benvolgut Francesc,

      Se't trobava a faltar en aquest blog desèrtic! Si la teva resposta no té trampa (que em temo que sí), t'aconsello que agafis paper i llapis perquè 19 més 4 més 25 no sumen 100 (a no ser que es vengui algun animal esquarterat) que és la condició comuna a les dues versions del problema (cent animals venuts).

      Als meus alumnes els aconsello que escriguin, dibuixin, calculin, ratllin, comprovin i —com deia el malaguanyat Miguel de Guzmán— que ho pintin de colors!

      Ah, i molt Bon Any!

      Elimina
    2. Ho veus! Ja t'ho deia, jo: això és el que passa per no llegir bé l'enunciat dels problemes! Si és que no hi ha nivell, home, no hi ha nivell...

      (Erbarme dich, mein Gott, um meiner Zähren willen!)

      Elimina
    3. Bé, aquesta vegada tindré misericòrdia! Em dono per ben pagat amb l'Erbarme dich, mein Gott, um meiner Zähren willen! que m'ha portat a recordar un fragment de la música de Bach que tenia oblidat.

      Per als illetrats que no saben alemany, que no entenen que vol dir misericòrdia, que no saben res de la família Bach i que confonen Gott amb got, per a tots aquells que no llegim bé els enunciats:

      Erbarme dich (No sigueu "tontos" i cliqueu!)

      Discrepo, sempre hi ha nivell, però és tan baix!

      Elimina
  2. Jo les faré aquest dissabte, porto des de Nadal preparant-me-les però vaig molt perduda ja que no sé quina mena de problemes poden sortir ni res de res, tret d'aquests dos problemes que has publicat. Gràcies per tot, quan les faci, si me'n recordo d'algun, voldries que te'l comentés? Així ajudaríem als que les vulguin fer l'any que ve.

    ResponElimina
    Respostes
    1. Hola Lenok,

      No m'estranya que vagis perduda en la preparació ja que el temari que proposen no és gens detallat (és indignant que la informació que proporcionen no estigui a l'altura de les beques i que els enunciats no es facin públics després). Per descomptat que agrairé qualsevol informació que em feu arribar les persones que hi participeu i em comprometo a comentar-la en aquest blog.

      Et desitjo que tinguis molta concentració, inspiració i sort en les proves!

      Elimina
    2. Gràcies! Ho tant bé com pugui :) (per cert, feliç mes Pi)

      Elimina
    3. He dedicat algunes entrades al 14 de març com a "dia de Pi" (la darrera és Saltem! Del dia de Pi al Cangur 2013), però no m'havia adonat que enguany tenim tot un mes Pi (un març de 2014 o 3,14)! Feliç mes Pi, doncs!

      Elimina
  3. Jo també faré aquestes proves el dissabte, i també tinc el mateix problema consistent en la manca d'informació sobre les possibles preguntes. Tot recercant, m'he trobat unes edicions anteriors d'un concurs telemàtic organitzat per la SCM en les quals hi ha uns quants problemes realment interessants, i que crec que s'ajusten bastant al nivell de les proves (jutjant pels problemes publicats al blog, els quals agraeixo de tot cor). Us deixo els enllaços per tal de que pogueu veure com pinten els problemes (estan al fons de tot!).
    http://www.cangur.org/marato/marato2012
    http://www.cangur.org/marato/marato2013

    ResponElimina
    Respostes
    1. Gràcies Martí,

      Repeteixo els enllaços que ens dónes, de manera que siguin accessibles només clicant al damunt:

      http://www.cangur.org/marato/marato2012

      http://www.cangur.org/marato/marato2013

      Dels problemes que he anant publicant aquí amb l'etiqueta CiMs-CELLEX, no tots són de les proves, però intento que en tinguin l'estil. És el que també fas tu, quan ens passes aquests problemes de la Marató. A veure, si entre tots, fem un fons de problemes interessants... o si insistim, potser els organitzadors es posen mans a l'obra.

      Concentració, inspiració i sort, aquest dissabte!

      Elimina
  4. Buf! La prova de llengüa era relativament fàcil: l'adaptació d'aquest text ( http://www3.escolacristiana.org/wp_recullpremsa/2014/01/la-vanguardia-article-dopinio-de-cicero-a-wert/ ) i unes preguntes de comprensió de text barrejades amb opinió/reflexió (4 preguntes, mitja hora).

    El test era similar a les proves Cangur, però amb algun detallet de física i tant sols 15 preguntes (més difícils, però). On sí que -per mi- he estat un desastre ha estat a la de matemàtiques.Durava dues hores. Recordo especialment un problema d'una piràmide de base hexagonal de volum 2*arrelde3, on a la base una línia d'un angle a un altre ni contigu ni oposat (ho sento, no sé com dir-ho) també feia 2*arrelde3. A partir d'això, demanaven l'altura de la piràmide i quant mesurava un costat.

    Després deien que canviaven la piràmide per una d'un volum 15 cops més gran però que l'increment de l'àrea de la base era 6*arrelde3 cops més que l'increment de l'altura. Quina és la nova altura? I també feien una altra pregunta que no recordo. Si més no, era així.

    També n'hi havia una d'un poble on el 70% de la població eren homes, el 70% alts i el 70% calbs. Quin és el precentatge mínim d'homes alts i calbs? Després preguntaven el mateix però amb un altre poble, atributs diferents i 60% en lloc de 70%.

    Hi havia un parell d'equacions a solucionar: 1/(x-1) + 1/(x+2)=5/4 (o similar) i 1/arrelde(x^2+16) + alguna cosa que no recordo (ho sento)=0

    Una altra pregunta deia: Troba tots els valors naturals possibles per a,b: a*b=22

    i el segon apartat era igual però amb:

    xy+z^2=161
    xz-yz=7

    La de física, però, era molt més fàcil del que m'havia arribat a pensar, dels 4 o 5 problemes que hi havia tots tret d'un eren de MRU i MRUA, i l'altre era de física en general: Si el radi d'abast d'una antena és proporcional al quadrat de la seva altura:
    a)Escriu una formula que relacioni ambdós
    b)Si una antena de 40m té un radi d'abast de 2km, quin radi d'abast tindrà una antena de 30m?

    ----
    Estic bastant segura que no resultaré seleccionada, tanmateix he après moltes coses preparant-me les beques i també he rebut un bany d'humilitat, que mai no està de menys. En fi, gràcies Francesc per lluitar contra la incertesa dels participants! Espero ser d'ajuda! (tot i que la meva redacció deixi de què desitjar).

    ResponElimina
    Respostes
    1. Moltíssimes gràcies Lenok!

      Suposo que estàs esgotada després de les proves i intentar fer una transcripció del contingut en un comentari del blog no és gens fàcil. He obert un compte de correu: iaramatematiques@gmail.com que ja podeu utilitzar els lectors per enviar documentació amb més facilitat (del tipus "escric a mà, escanejo i l'envio"). Hauria d'incloure aquesta adreça en el blog d'una manera clara i accessible, però tinc un gran ortoedre d'exàmens per corregir i trigaré en fer-ho.

      No cal dir que espero comentar alguns dels enunciats que ens proporciones en properes entrades.

      I no et desanimis! Si resultes seleccionada, fantàstic!; i, si no, hi ha d'altres camins per arribar a port! Per cert, el teu redactat és força bo i agraeixo l'esforç que has fet per recordar els enunciats.

      Elimina
    2. Hola! Podries dir la resposta del problema de l'antena? A mi m'ha donat 1'7 km arrodonint.

      Elimina
    3. Hola Mireia,

      Com que aquesta entrada del blog és antiga, inicialment m'ha desconcertat el teu comentari! Després ja he vist que fa referència a un dels problemes que ens comenta Lenok.

      M'he posat a resoldre'l ara, i si no se m'escapa res, a mi em dóna 1125 m!

      Si r és el radi d'abast i h l'altura, la relació s'expressa com r = k·h^2, on k és la constant de proporcionalitat.

      Substituint r = 2000 m (2 km) i h = 40 m, s'obté k =5/4.

      Per tant, per a 30 m, r = 5/4·30^2 = 1125 m.

      No sé com obtens el teu resultat d'1,7 km. Si em comentes mínimament els passos que segueixes, et puc comentar l'error (sempre que l'error no l'hagi comès jo!).

      Gràcies pel teu missatge.

      Elimina
  5. Moltes gràcies per resoldre'l. El tenia bé però havia comès un error de càlcul, espero que no em passi el dissabte!
    El teu blog serveix de molta ajuda!

    ResponElimina
    Respostes
    1. De res, Mireia!

      Pel teu comentari, entenc que aquest dissabte et presentes a les proves CiMs-Cellex. Molta sort i molta concentració!

      Agafa-t'ho com un repte interessant. Si resultes seleccionada, perfecte; i si no, tampoc et queden tancades les portes a la física, les matemàtiques i les ciències en general (per sort, hi ha múltiples camins!).

      M'alegro que aquest blog et serveixi d'ajuda. Em sap greu que, per manca de temps, no li pugui dedicar el temps que us mereixeu els seus lectors i que els continguts vagin caient amb comptagotes.

      Ah, si tens a bé informar-nos dels continguts de la prova del dissabte, els podríem comentar aquí mateix. Si als participants us resulta complicat fer arribar aquesta informació en forma de comentari en el blog, podeu utilitzar l'adreça iaramatematiques@gmail.com.

      Salutacions!

      Elimina
  6. La gallina és quasi-matemàtica ja que s'ha deixat els desplaçaments a la fórmula de l'elipse. Quedaria:

    (x-h)^2/(a)^2 + (y-k)^2/(b)^2 = 1

    On "h" i "k" són els desplaçaments del centre de l'elipse en els eixos de "x" i "y" respectivament.

    He vist que esmentes en algun que altre post que treballes de professor a l'Aula Escola Europea. Si no es de gran inconveniència, es podria saber a quins cursos fas classe?

    Moltíssimes felicitats pel blog,
    J L-C

    ResponElimina
    Respostes
    1. De fet, jo diria que el problema no és el desplaçament, si no que els ous no són el·líptics ja que tenen tres dimensions (a no ser que ens hi seiem a sobre) i, ni tant sols, un tall transversal d'un ou de gallina és una simètrica el·lipse (ho podem demostrar tallant de forma adequada un ou dur!). Una el·lipse pot generar una el·lipsoide quan gira en tres dimensions, però no conec cap au que pongui ous d'aquesta mena. Suposo que això té com a causa principal que l'aviram no està massa versat en geometria i que l'evolució els ha portat a d'altres camins. Una bona pregunta que ens podem fer és: perquè els animals aquàtics ponen, majoritàriament, ous esfèrics?

      Bromes i profunditats a part, gràcies pel comentari i me n'alegro que t'agradi el blog. Espero poder comptar-te en els lectors habituals o esporàdics, tant se val.

      Ah, i no treballo en l'Aula Escola Europea (espero no haver-ho donat a entendre), tot i que en alguna entrada els he citat. Sí que treballo de professor de secundària i batxillerat, però en un altre centre (remenant per la xarxa és fàcil trobar-ne referències).

      Fins aviat!

      Elimina