El dia de Pi (I). Una invitació

Espero que hagueu passat un molt bon dia de Pi! Posats a celebrar festivitats que ens vénen de fora: Sant Valentí, Halloween, etc. —sempre amb un vessant comercial—, no veig perquè no hauríem de dedicar una diada a honorar Pi. No té res a veure amb la festa que té lloc a Centelles (en un comentari a un article d'aquest bloc, l'amic Frederic ja ens va proporcionar unes magnífiques fotografies de la Festa del Pi), ara estem parlant del nombre, de π.

Si coneixeu com es donen les dates en el món anglosaxó, té una fàcil explicació el fet que avui trobem una excusa per parlar de π. En lloc d'escriure les dates seguint el nostre esquema dia/mes/any, nord-americans, britànics i associats utilitzen mes/dia/any. Tots els catorze de març els escriuen 3/14 i, com que π ≈ 3,14, ja està tot explicat. No sé com va començar aquesta curiosa animalada —si m'heu anat llegint, ja sabreu que sóc bastant crític, però tolerant, amb les festivitats per sincronitzar la tribu (caps d'any, per exemple)—, però aquesta em sembla una ocurrència divertida. En vaig tenir notícia a través de Gaussianos, que enguany li torna a dedicar un article (Celebrando el día de Pi con matemáticos nacidos ese mismo día).

Quan vaig parlar del Pi Day en una de les meves classes, un alumne em va comentar que el dia de Pi del 2015 seria especial (3/14/15 i π = 3,1415...). Em sap greu no haver estat prou ràpid per contestar-li que més especial va ser el 14 de març de 1592 (3/14/1592 i π = 3,141592..).

Hagués desitjat fer una entrada més reeixida en una jornada com aquesta, havia pensat escriure bàsicament d'algunes qüestions com:

• El càlcul dels decimals del nombre Pi mitjançant mètodes en els quals hi intervé l'atzar (els matemàtics en parlen de mètodes de Monte Carlo).
• El nombre Pi i la música. Un divertimento sense solta ni volta: Com sonen, o com podem fer sonar, els decimals de Pi?

Però com que sóc un desafortunat mortal de temps escàs, ho deixarem per més endavant. De moment, permetem que Pi ens lliuri una targeta  d'invitació a la seva festa, mostrant-nos els seu encants (que són il·limitats):

Si feu clic damunt de la imatge, copsareu millor els detalls.

I volia parlar de més coses inútils:

• Tots els dígits tenen la mateixa freqüència en els decimals de Pi? És a dir, és un nombre normal?
• Algunes de les seves propietats depenen de la base de numeració que utilitzem. És possible expressar-lo de manera que puguem alliberar-lo de les esclavituds de les bases de numeració?
• ...

Ho haurem de deixar per a una altra ocasió i ja m'ho faré venir bé per a no haver d'esperar el dia de Pi de l'any vinent!

*He etiquetat aquesta entrada com Humor. No perquè faci riure, però es ben anecdòtica —tot i que hi ha algun apunt matemàtic seriós— i no vull crear una categoria com Bestieses diverses.

Problemes per passar un pont (I)

El fet de dedicar-se a la docència de les matemàtiques i la física ocasiona que sovint et proposin problemes, enigmes i endevinalles més o menys relacionades amb aquestes dues ciències. S'hi atreveixen els alumnes, però també els amics, saludats i coneguts que diria Josep Pla (l'escriptor, no el matemàtic). Com que la bateria de qüestions d'aquesta mena que circulen entre el gran públic és limitada, amb freqüència pots donar la solució sense haver de pensar, perquè és l'enèsima vegada que et plantegen el repte, cosa que produeix el fals efecte que estàs en possessió d'una ment prodigiosa. Això provoca un augment del teu quocient d'intel·ligència virtual i del teu prestigi que cauen ràpidament quan et pares a pensar més de dos minuts davant d'una pregunta de la qual no et saps la solució de memòria (que són les que realment ens agraden). L'altre dany col·lateral de la professió —aquest sí que és molest— és veure's pràcticament obligat a calcular, mentalment o amb llapis i paper, qualsevol compte de la vida quotidiana. Suposem que, després d'un opípar sopar en un restaurant, arriba el cambrer amb el compte, suposem que formem part d'un grup nombrós (posem unes tretze persones, no per res, sinó perquè és un nombre primer) i que cal dividir el cost del banquet entre els comensals, indefectiblement totes les mirades es dirigeixen a tu i algú salta dient "doneu-li paper i bolígraf que és de mates!". No sabem si confonen les matemàtiques amb la comptabilitat de factura més clàssica, però alguns companys meus de docència han optat per portar sempre una calculadora al damunt per evitar-se el tràngol.

Fa pocs dies a classe, de fet en una sessió de preparació del Cangur, em van proposar un problema que desconeixia (després he comprovat que és molt popular). No sé si va ser per posar-me a prova o perquè, mentre el professor pensa un problema, se n'oblida de posar-ne. Siguem ben pensats i diguem que els alumnes ho fan perquè saben que m'agrada pensar i solucionar qüestions d'aquesta mena. El problema va de quatre persones que han de passar per parelles d'una riba d'un riu a l'altra mitjançant un pont. Tarden temps diferents (1, 2, 5 i 10 minuts), com que és fosc han de portar necessàriament una llanterna per orientar-se i només en tenen una... quina és l'estratègia a seguir si ho volen fer en disset minuts? Si seguiu llegint, exposarem d'una manera més rigorosa l'enunciat. Tan divertit va ser el fet de solucionar el problema com el fet d'esbrinar d'on havia sortit i si n'existien versions diferents. Amb les dades que us he donat, podeu fer una petita investigació de la seva presència a Internet. Googlejant vaig comprovar que moltes de les referències provenien de l'Argentina i, tot i que el problema deu ser un clàssic, apareixia en un dels llibres del matemàtic argentí Adrián Arnoldo Paenza. Els llibres de divulgació de Paenza estan disponibles en format electrònic, per a ús no comercial, en el web del Departamento de Matemática de la Universidad de Buenos Aires (Libros de Divulgación publicados por Adrián Paenza). El problema en qüestió apareix en Matemática... ¿estás ahí? Episodio 3,14 (feu clic per accedir directament a la versió electrònica d'aquest llibre):

MATEMÁTICA... ¿ESTÁS AHÍ?

EPISODIO 3,14... 

Adrián Paenza

Colección: CIENCIA QUE LADRA

Dirigida por: Diego Golombek

Copyright 2007, Siglo XXI Editores Argentina S.A.

ISBN 978-987-629-017-3

Paenza titula el problema Las cuatro mujeres y el puente (ignoro perquè els personatges d'aquesta versió són totes dones). Us n'ofereixo el redactat original en castellà:

---

Las cuatro mujeres y el puente (Adrián Paenza)

"Hay cuatro mujeres que necesitan cruzar un puente. Las cuatro empiezan del mismo lado del puente. Sólo tienen 17 (diecisiete) minutos para llegar al otro lado. Es de noche y sólo tienen una linterna. No pueden cruzar más de dos de ellas al mismo tiempo, y cada vez que hay una (o dos) que cruzan el puente, necesitan llevar la linterna. Siempre.

La linterna tiene que ser transportada por cada grupo que cruza en cualquier dirección. No se puede “arrojar” de una costa hasta la otra. Eso sí: como las mujeres caminan a velocidades diferentes, cuando
dos de ellas viajan juntas por el puente, lo hacen a la velocidad de la que va más lento.
Los datos que faltan son los siguientes:
Mujer 1: tarda 1 (un) minuto en cruzar
Mujer 2: tarda 2 (dos) minutos en cruzar
Mujer 3: tarda 5 (cinco) minutos en cruzar
Mujer 4: tarda 10 (diez) minutos en cruzar.

Por ejemplo, si las mujeres 1 y 3 cruzaran de un lado al otro, tardarían 5 minutos en hacer el recorrido. Luego, si la mujer 3 retorna con la linterna, en total habrán usado 10 minutos en cubrir el trayecto.
Con estos elementos, ¿qué estrategia tienen que usar las mujeres para poder pasar todas –en 17 minutos– de un lado del río al otro?"

---

Com que el material que he anat trobant a la xarxa dóna per a un altre article, ho deixarem, de moment, aquí (si no sou massa destres, haureu d'esperar una pròxima entrada per saber la solució). Com sempre, tots els comentaris són benvinguts, però en aquest cas —per permetre que tothom pugui fruir amb la recerca de la resposta— em perdonareu que no en publiqui cap que doni explícitament la solució.

Dos enunciats més de la Prova Cangur

A l'escrit anterior Prova Cangur 2011: comencem el compte enrere ja hi vaig incloure un problema de l'edició del Cangur de l'any passat. Els enunciats dels cangurs d'altres anys són, òbviament, un bon material per preparar aquesta prova amb els alumnes de secundària, però, a més, poden donar lloc a algunes reflexions interessants. En aquesta entrada us proposaré dos problemes més que, ho he comprovat en viu i en directe, provoquen el desconcert dels nostres alumnes. Si us sóc sincer, en algun d'aquests exercicis, he donat també més pals de cec dels estrictament necessaris.

Comencem amb una qüestió del nivell 3 (és a dir, per als alumnes de 1r de batxillerat) que no és objectivament complicada, però per als nostres estudiants pot ser motiu d'embolics i divagacions infructuoses:

Un problema d'angles i bisectrius (Cangur 2009)

Es tracta de calcular l'angle marcat amb un interrogant en el triangle del següent dibuix (els segments interiors són les bisectrius dels tres angles):

Si voleu veure l'enunciat original, feu clic per ampliar:

No us deixeu vèncer per la mandra, no consulteu de seguida la solució!

Solució del problema d'angles i bisectrius
(+/- Mostra/Oculta)

Amb la definició de bisectriu i sabent que, en geometria euclídea, la suma dels tres angles d'un triangle és de 180º, en teniu prou per solucionar el problema. Només cal una mica de vista, per a no utilitzar condicions o equacions que no són imprescindibles.

Anem per un altre repte, ara de nivell 2 (4t d'ESO). Us pot recordar un joc numèric ideat per Ignasi del Blanco que ja hem comentat aquí (Felicitacions? matemàtiques o no?).

Un problema de dividir en anglès (Cangur 2009)

Sabent que les lletres de la següent divisió indiquen xifres (com sempre, lletres diferents indiquen xifres diferents i una mateixa lletra indica una sola xifra):

Quants resultats diferents pot donar el producte T·H·R·E·E?

Com abans, feu clic per ampliar la següent imatge si voleu llegir l'enunciat original amb les possibles respostes:

En aquest cas, com que l'exercici s'ho val, apuntaré un parell de pistes abans de donar la solució. Penseu, però, que la satisfacció de solucionar-lo sense haver de recórrer a les pistes és superior. Feu-ne ús només en cas de desesperació manifesta.

Pista 1
(+/- Mostra/Oculta)

Suposo que no esteu intentant esbrinar el valor de cada lletra! Només ens demanen quants possibles valors té el producte T·H·R·E·E! Cal llegir amb calma i interpretar correctament els enunciats!

Pista 2
(+/- Mostra/Oculta)

Si ja heu comptat les lletres diferents, heu vist que n'hi ha deu. Per tant, en aquesta operació hi participen tots els dígits del sistema decimal del 0 al 9.

I si no hi ha més remei...

Solució del problema de dividir en anglès
(+/- Mostra/Oculta)

Si una de les lletres ha de ser el zero, no pot estar en el divisor (no podem dividir per zero!). Si és una de les lletres del dividend (E, I, G, H o T), aquest producte i el primer membre de la igualtat han de valdre 0. Per tant, el producte del segon membre també ha de ser zero (0 = 0). L'única lletra comuna de EIGHT i TWO és T, d'aquí deduïm que la T val zero. El producte T·H·R·E·E només pot donar un resultat ja que conté el zero: 0! La resposta correcta és la A. Un problema enginyós que no necessita càlculs complicats ni grans raonaments matemàtics! Si ho heu vist a la primera, felicitats!

Prova Cangur 2011: comencem el compte enrere

Aquest 17 de març, falta menys d'un mes, tindrà lloc l'edició d'enguany de la Prova Cangur. En aquest bloc ja hem dedicat un parell d'articles a aquest concurs de matemàtiques adreçat als alumnes de secundària (Més de 18.000 alumnes catalans de secundària participen en la Prova Cangur 2010 i Cangur 2010: les respostes i més detalls de l'organització) i, en d'altres escrits, hem utilitzat els enunciats d'alguns problemes proposats en el Cangur (el problema del format DIN i el problema dels mentiders).

El podeu trobar en d'altres llocs del bloc, però no me'n puc estar de donar-vos, una altra vegada, el següent enllaç:

www.cangur.org

A part de les sessions de preparació per als alumnes interessats que organitza la comissió que s'encarrega del Cangur, som moltes les escoles i instituts que programem trobades i classes amb els alumnes que volen participar en aquesta festa de les matemàtiques. Va ser en una d'aquestes classes, fora de l'horari lectiu, que alguns dels meus alumnes de 2n de batxillerat (nivell 4 del Cangur a casa nostra o nivell 6 en d'altres contrades) es van entrebancar amb el problema que us presentaré a continuació. Es tracta de calcular l'àrea ombrejada entre dos cercles concèntrics sabent que la longitud de la corda AB, tangent al cercle interior, és 16, veieu-lo (i el veureu millor, si feu clic damunt de l'enunciat):

Problema dels cercles concèntrics (Cangur 2010)

Valgui aquest exemple per il·lustrar el tipus de qüestions proposades i per fer-ne un tastet. No es requereixen grans coneixements matemàtics —en aquest cas, en tenim prou amb la geometria elemental de l'ESO—, però cal una mica de vista matemàtica (parlant de vista, Miguel de Guzmán, amb l'agudesa que el caracteritzava, és autor d'un meravellós llibret de geometria que porta l'encertat títol de Mirar y Ver).

Per acabar, tot i que no m'agrada donar les solucions mastegades, però n'estic segur que no consultareu la solució sense haver forçat una mica la vista o, en el millor dels casos, trobeu aquest càlcul elemental i només voleu comprovar-lo (quan obriu la solució, feu clic a la imatge si comenceu a tenir la vista cansada):

Solució del problema dels cercles concèntrics

(+/- Mostra/Oculta)

Simon Singh: llibres rodons (III). L'enigma de Fermat

Aquesta entrada serà la tercera que dedicarem a l'obra de Simon Singh. Podeu veure les dues anteriors
(Simon Singh: llibres rodons (I) i Simon Singh: llibres rodons (II). Los códigos secretos) i també l'escrit que, de fet, és una introducció al tema del qual tracta l'obra que comentarem (El Darrer Teorema de Fermat: una primmirada introducció). Per als no lletraferits, prometo que, després d'enfilar tants articles parlant de llibres, deixaré reposar la meva bibliofília i, pròximament, comentarem d'altres qüestions.

L'obra de Simon Singh Fermat's Last Theorem va ser publicada en anglès el 1997 i va assolir, en poc temps, la categoria de bestseller a Gran Bretanya (un destí ben estrany per a un llibre que parla bàsicament de matemàtiques i de la llarga història que ens porta de la Darrera Conjectura de Fermat —ara ja podem parlar del Teorema de Fermat-Wiles— a la demostració d'Andrew Wiles). L'any següent a la primera edició anglesa, el 1998, Edicions 62 posava a la venda la traducció catalana, a càrrec d'Antoni Vicens Lorente, amb el títol L'Enigma de Fermat. També podeu llegir l'obra en castellà si Editorial Planeta no l'ha descatalogat, ara que el negoci editorial i les xurreries, ho dic amb tot el respecte per als qui es dediquen a la venda de xurros comestibles, tenen tantes coses en comú.

Assenyadament, Singh no descriu només el llarg recorregut de la conjectura, sinó que fa una amena explicació d'altres qüestions històriques que li permeten alhora divulgar la metodologia de les matemàtiques. El llibre es tanca amb uns breus apèndixs, amb algunes demostracions senzilles i entenedores, i una bibliografia no extensa, però sí, ben seleccionada. Si us agraden les matemàtiques o creieu que algun dia us poden arribar a agradar, us recomano la lectura d'aquest llibre.

I ara, una petita perla! Just un any abans de la publicació del llibre, el 1996, Simon Singh va dirigir un documental, amb John Lynch de guionista i productor, per a la prestigiosa sèrie Horizon de la BBC sobre aquest mateix tema i amb el mateix títol (si el voleu veure, feu clic a Fermat's Last Theorem). Per als que tingueu dificultats amb l'anglès, a sota hi teniu els primers minuts d'aquest episodi, amb un emocionat Wiles, subtitulats en castellà (a Youtube hi trobareu la resta).

Actualització de 19/01/2016: Tant l'enllaç anterior com el vídeo que teniu a continuació estan bloquejats per problemes amb els drets d'autor. De moment, podeu veure el documental amb subtítols en castellà fent clic aquí o accedint a matematicascercanas.

Per acabar us proposo una cerca, ara mateix en aquest bloc hi ha una única imatge d'Andrew Wiles, potser no l'heu vist?