Raymond Smullyan (1919-2017)

Fins i tot arribo tard a les necrològiques! El passat 6 de febrer d'enguany, ens va deixar Raymond Smullyan als 97 anys... me n'he assabentat força dies després! D'aquest polifacètic personatge nord-americà, sobretot lògic i divulgador matemàtic, n'he parlat en aquest blog de passada (per exemple, a Metaproblemes: Com que (no) ho saps, ho sé... (I) ), tot i que els seus llibres fa força anys que m'acompanyen.


Alguns llibres

Si sou jovencells i heu patit el maltractament de la lògica, en el sentit estricte i ampli de la paraula, en els nous currículums educatius (La lògica i el currículum (I)), us recomano vivament la seva obra escrita. Jo vaig començar, de casualitat i sense cap recomanació de lectura, per ¿Cómo se llama este libro?. que és una de les seves produccions, de lectura més amable i entretinguda (amb problemes de lògica assequibles i ben novel·lats).

Portada de l'edició en castellà de  What Is the Name of This Book?
The Riddle of Dracula and Other Logical Puzzles
ISBN 0139550623 – knights, knaves, and other logic puzzles (1978)

L'encomiable editorial Gedisa (Gedisa a, Wikipedia), sempre en lluita contra els bufaPlanetes, ha publicat bona part de la seva obra en traducció al castellà. Als prestatges de la meva biblioteca hi tinc:

• Juegos por siempre misteriosos (com sempre el títol original és més encertat: Forever Undecided  (1987)). Una passejada lúdica i rigorosa sobre la lògica formal, les seves paradoxes i problemes, amb una explicació divulgativa dels teoremes de Gödel, assequible per als lectors mínimament atents.


• Satán, Cantor y el infinito (traducció de Satan, Cantor and Infinity (1992)). Aquest llibre aplega capítols de temàtiques força diferents (Gödel hi torna a ser present). Conté una molt bona explicació de les idees i teories de Cantor sobre l'infinit.

Apunts biogràfics, panegírics i necrològiques

En lloc de fer un "refregit" d'allò que he llegit, us recomano l'enllaç a les fonts (cliqueu les que us facin patxoca).

Articles amb motiu de la mort de Raymond Smullyan:

• Raymond Smullyan, Puzzle-Creating Logician, Dies at 97 ( a New York Times). Breu, però amb una magnífica fotografia:

Raymond Smullyan, who died this past week, taught math

and philosophy at Lehman College in the Bronx in the 1970s.

(Credit Eddie Hausner/The New York Times)

• Ha muerto Raymond Smullyan, DEP (a Gaussianos)
• Adiós, Raymond Smullyan, tu despedida no necesita título (a Microsiervos)

Biografies:

• Raymond Merrill Smullyan (a MacTutor)
• A la inevitable Wikipedia (en anglès, en català , en castellà)

A tall de comiat

Segurament, si li haguessin demanat a Mr. Smullyan, ell hauria escollit alguna endevinalla lògica (d'aquelles que trobareu a faltar en aquesta entrada) per acomiadar-se.  Però, com que en algun moment de la seva vida, va haver de triar entre dedicar-se professionalment a la música o a les matemàtiques, us deixo amb una interpretació seva de l'ineludible, almenys per als matemàtics, J. S. Bach:

Metaproblemes: Com que (no) ho saps, ho sé... (II). L'aniversari de la Cheryl

Aquesta entrada és la continuació de Metaproblemes: Com que (no) ho saps, ho sé... (I). Si no la vau llegir, us hi adreço per tal que pugueu consultar què és un metaproblema i en veieu un exemple (el problema L'edat de les tres filles).


Quan és l'aniversari de la Cheryl? La qüestió, el fenomen viral, la notícia...

Si esteu al dia de les notícies, aparegudes en la premsa o que es difonen pels mitjans digitals, que estan relacionades amb les matemàtiques, segur que coneixeu el problema que comentarem. El vaig descobrir a través de la premsa escrita quan ja era un fenomen viral que despertava controvèrsies en les anomenades xarxes socials. Si no el coneixeu i us hi voleu enfrontar, us recomano que en una primera lectura no cliqueu en els enllaços i aneu directament a l'enunciat (en anglès o en català) que donem més avall.

El problema que ens ocupa va ser proposat, com a qüestió número 24, en les proves SASMO (Singapore and Asian Schools Math Olympiad) del vuit d'abril d'enguany, en el nivell corresponent als estudiants de secundària de 14 a 16 anys (correspondria als nostres alumnes de 3r i 4t d'ESO). A hores d'ara, el web oficial de l'organització no és operatiu, però podeu accedir a la pàgina del Facebook de l'organització (aquí) o, com que és una prova que es desenvolupa en diferents països, podeu consultar alguna web local (per exemple, aquí teniu la de Malàisia).

Sembla que l'extensió viral del repte va començar per la publicació de la qüestió en el Facebook d'un conegut periodista de Singapur (aquí)

Per la xarxa i els mitjans han circulat majoritàriament fotografies maldestres de la pàgina de la prova que contenia la pregunta. Si en voleu una versió més llegívola de l'enunciat original (text i format) en la seva versió anglesa, només heu de llegir el text que conté la següent imatge (amplieu-la si cal):

La "viral" qüestió 24 de la SASMO 2015

L'enunciat no té cap títol, però el problema circula amb l'unànime nom de Cheryl's Birthday Problem o  en la seva traducció a d'altres llengües (el problema de l'aniversari de la Cheryl). Deixarem, però, les matemàtiques (o, més aviat, la lògica) per a més tard i, abans, m'agradaria comentar el tractament periodístic que li ha donat part de la nostra estimada premsa autòctona. La Vanguardia, com sempre, ens permet una crítica molt fàcil i la publicació digital de la notícia del 14 d'abril (¿Sabes la respuesta a esta prueba de matemáticas? Los alumnos de Singapur de entre 14 y 15 años sí) conté totes les errades d'interpretació que hem pogut llegir en la resta de publicacions. En transcric els dos primers paràgrafs:

Singapur siempre sale entre los primeros puestos del informe PISA. Un país minúsculo en el que los esfuerzos en la educación que dan a sus jóvenes parecen dar resultado. Los ranking internacionales insisten una y otra vez en el mismo resultado. Pero, ¿cuáles son las pruebas que afrontan para que podamos decir que, son realmente mejores, por ejemplo, en matemáticas?

Hace pocos días, una de las pruebas que pasan los alumnos singapurenses de entre 14 y 15 años se colgó en Internet. Y la prueba no ha tardado en hacerse viral. ¿Es tan sencilla, difícil o imposible como parece en un primer vistazo?

Però, ai las!, el diari Ara no ho fa gaire millor, el mateix dia amb, quasi el mateix títol (Saps resoldre aquest problema de lògica matemàtica? Els alumnes de 14 anys a Singapur, sí) –Déu meu, la telepatia és possible!– comencen amb:

Una vegada més, el 2014 Singapur va encapçalar l'últim rànquing de l'informe PISA, amb 562 punts en l'apartat de resolució de problemes. En aquest mateix àmbit, Catalunya quedava amb 493 punts, un per sota de la mitjana de l'OCDE (494), i 9 punts per sobre de la mitjana espanyola (484)

L'Ara, si més no, situa, més endavant, la pregunta en el seu context d'olimpíada matemàtica; La Vanguardia ho ven com una prova més general. Tots dos menteixen en el fet que els alumnes de Singapur, tots?, saben solucionar la pregunta. No he vist dades de quants alumnes la van arribar a resoldre! L'únic que sabem es que els hi van proposar la qüestió (com si jo proposés als meus alumnes que demostressin la darrera conjectura de Fermat). Per cert, en les nostres proves Cangur hi he trobat reptes igual de complicats, però sense tant rebombori mediàtic (vegeu, per exemple, Un problema de la Prova Cangur 2014: sumem!).

No penso remenar gaire les referències constants a l'informe Pisa que en els periòdics locals, sense solta ni volta, tornen a sortir arran d'aquesta notícia. Algun dia n'haurem de parlar d'aquest Programa que està sota el paraigua, ben pedagògic, de l'OCDE i de la mala interpretació que se'n fa. Només vull apuntar que, per molt que cantem el magnífic nivell en matemàtiques (si les Pisa realment el detecten) de Singapur, Corea del Sud o el Japó; jo no vull, per als nostres nois i noies, un sistema educatiu i unes pràctiques pedagògiques semblants a les d'aquests països.


Quan és l'aniversari de la Cheryl? El problema

Deixem, ara, el context i anem al problema. En l'article que he citat de l'Ara en feien la traducció al català:

---

L'Albert i el Bernard s'han fet amics de la Cheryl i volen saber quan és el seu aniversari. La Cheryl els dóna una llista de 10 possibles dates. El 15 de maig, el 16 de maig, el 19 de maig, el 17 de juny, el 18 de juny, el 14 de juliol, el 16 de juliol, el 14 d'agost, el 15 d'agost i el 17 d'agost. La Cheryl diu a l'Albert i el Bernard, separadament, el mes i el dia del seu aniversari, respectivament.

Albert: No sé quan és l'aniversari de la Cheryl, però sé que el Bernard tampoc ho sap.
.
Bernard: Primer no sabia quan era l'aniversari de la Cheryl, però ara sí.

Albert: Aleshores, jo també sé quan és l'aniversari de la Cheryl.

Així doncs, quan és l'aniversari de la Cheryl?

---

Com que he pogut comprovar, a través dels comentaris a la xarxa, que hi ha persones que no interpreten correctament l'enunciat i s'emboliquen; potser us ajudarà, substituir la primera frase de l'Albert (la que està subratllada) per No puc assegurar quan és l'Aniversari de la Cheryl, però tinc la seguretat que el Bernard tampoc ho sap. Ja sé que les dues frases són lògicament equivalents, però part de la dificultat de la resolució rau en la interpretació correcta d'aquesta afirmació de l'Albert.


Quan és l'aniversari de la Cheryl? La solució

Donarem la solució en dos passos "ocults" (heu de fer clic damunt +/- Mostra/Oculta per tal d'obrir cadascun dels passos) per tal que tots aquells que encara no us heu enfrontat amb el repte d'aquest enunciat ho pugueu fer sense interferències.

---

Solució a l'Aniversari de la Cheryl (1r pas) (+/- Mostra/Oculta)

El fet d'ordenar les dates possibles en una taula, ens facilitarà la feina:

Recordem que l'Albert només sap el mes de l'aniversari de la seva amiga i analitzem la seva primera frase:

 No sé quan és l'aniversari de la Cheryl, però sé que el Bernard tampoc ho sap.

Si l'Albert sabés que l'aniversari és el maig o el juny no podria fer aquesta afirmació perquè cap la possibilitat que l'aniversari sigui un 18 o un 19. Com que aquests nombres només apareixen una vegada a la taula, si la Cheryl li ha dit a en Bernard qualsevol dels dos, aquest ja sap el dia i el mes de l'aniversari Per tant, ja podem descartar totes les dates del maig i el juny.

En el debat que s'ha generat a la xarxa, moltes persones (en castellà, anglès, francès...) manifesten la seva dificultat a l'hora d'entendre que la primera frase de l'Albert descarti totes les dates dels dos mesos i no només el 18 i el 19. Si encara no ho heu copsat del tot, suposeu que l'Albert sap que l'aniversari és el maig o el juny. Com que no sap el dia però si coneix el llistat de dates possibles, no podria assegurar que en Bernard no sap la resposta. La clau de tot plegat està en pot "assegurar amb tota certesa" que és impossible que en Bernard la sàpiga...

Per als més tossuts que encara no ho veuen, dos consells: "Pareu-vos" a pensar i consulteu les dues entrades del blog (La lògica i el currículum (I) i La lògica i el currículum (II)). Cal dir, però, que el problema de l'Aniversari de la Cheryl, m'ha fet veure que els problemes amb la lògica no són exclusius dels habitants de les nostres contrades!.

---

Abans d'obrir el 2n pas, estaria bé que miréssiu de trobar la data tot solets!

---

Solució a l'Aniversari de la Cheryl (2n pas) (+/- Mostra/Oculta)

Ara només ens queden cinc dates possibles:

Necessitem la segona i la tercera frase per acabar de solucionar el problema::

Bernard: Primer no sabia quan era l'aniversari de la Cheryl, però ara sí.
Albert: Aleshores, jo també sé quan és l'aniversari de la Cheryl.

L'afirmació d'en Bernard descarta la possibilitat que l'aniversari sigui un dia 14 que apareix com a possibilitat tant al juliol com a l'agost.

Si l'aniversari fos a l'agost, l'Albert, que recordem que només coneix el mes, no podria saber si és el 15 o el 17. Però al juliol només ens queda una possibilitat, per tant l'aniversari és el 16 de juliol.

Aquí o aquí podeu consultar la "solució oficial".

---

Però això no és tot. Em sembla que des del problema de Monty Hall que no hi havia tanta gent entossudida en provar que la solució és una altra!

---

L'Aniversari de la Cheryl. Hi ha solucions alternatives? (+/- Mostra/Oculta)

Només com a petit exemple, si llegiu els comentaris dels lectors de Gaussianos a l'entrada Explicación del problema del cumpleaños de Cheryl, comprovareu que hi ha persones que intenten demostrar que la solució és el 17 de juny o el 17 d'agost. De fet, el fenomen ha estat tan general que l'organització que va proposar el problema, ha emès una rèplica per tal de rebatre la proposta de la solució alternativa del 17 d'agost (aquí)  i Jonathan Lim  se n'ha fet ressò (People are insisting Cheryl’s birthday is on 17 Aug, SASMO clarifies why it’s not) i hi ha afegit la següent imatge:
 

Sorry folks, her birthday is irrefutably on 16 Jul. That's what she said. (Font)

I és que amb la lògica i el sentit comú tothom s'hi atreveix! Si el problema hagués estat de geometria analítica o d'equacions diferencials, segur que ningú hauria presentat solucions alternatives amb tanta seguretat d'haver fet diana.

---

Per acabar, no està de més dir que el Cheryl's Birthday ja té la seva entrada a Wikipedia!

Nota: Tal com ja he comentat, el web de SASMO no estava operatiu mentre he anat redactant aquest text. Sembla que torna a estar disponible a http://mathsolympiads.org/.

Metaproblemes: Com que (no) ho saps, ho sé... (I)

Definició problemàtica

Ja em perdonareu el garbuix del títol – com que (no) ho saps, ho sé–; però és la millor aproximació que se m'ha acudit per tal d'incloure alguns metaproblemes en les entrades d'aquest blog.

Podem trobar una bona definició de metaproblema en el Diccionario Filosófico de Mario Bunge (aquí trobareu una biografia més extensa de l'autor i, si voleu consultar una de les seves obres, feu clic a La ciencia. Su método y su filosofía):

La definició de metaproblema segons Mario Bunge

Ja veieu que la definició abasta un camp molt més ampli que no pas l'estrictament matemàtic. En el més conegut Diccionario de Filosofía de Josep Ferrater i Mora –per acabar-ho d'adobar i complicar-nos la introducció– el metaproblema no té entrada pròpia i comparteix la glòria amb els problemes, enigmes i misteris.

Com que el nom no fa la cosa, el gran divulgador de la lògica que és Raymond Smullyan es permet dedicar parts senceres dels seus llibres als metaproblemes sense intentar-ne una definició (consulteu, per exemple,  Problemas y metaproblemas, la segona part del seu recomanable llibre Satán, Cantor y el infinito).

I si passegeu per boscos virtuals, us podeu trobar articles sobre metaproblemes que s'allunyen força dels que comentarem en aquestes pàgines (a tall d'exemple, li podeu donar una ullada al breu article Meta-problems in Mathematics).


Un exemple prou conegut de metaproblema matemàtic... I la gran toca el piano!

No sé si intentar definir metaproblema és un metametaproblema; però, i això no és propi de la metodologia matemàtica a l'ús, trobo que amb un exemple em podré explicar millor. De fet, només vull parlar d'un tipus bastant concret de metaproblemes que estan a cavall de la lògica i les matemàtiques.

L'exemple que posaré forma part del folklore matemàtic, que diria John Allen Paulos, i que a la pràctica vol dir que, si et compres cinc llibres de divulgació, apareix en tres. Alguns atribueixen l'enunciat del problema a Albert Einstein; però, com que també se li atribueix la dislèxia, la síndrome d'Asperger, un trastorn obsessiu-compulsiu, una certa dificultat per a les matemàtiques i un gran quocient d'intel·ligència... no n'hem de fer massa cas.

N'he llegit múltiples versions: diria que la primera devia ser en un dels calendaris matemàtics de la valenciana  Societat d'Educació Matemàtica Al-Kwharizmi, però no n'estic segur. La majoria de les versions coincideixen des del punt de vista matemàtic; un possible enunciat seria el següent:

---

Problema: L'edat de les tres filles

“Dos amics estan parlant de les respectives famílies:

–Per cert, quants anys tenen cada una de les teves tres filles? –preguntà un dels dos–.

– El producte de les seves edats és 36, i la seva suma, casualment, coincideix amb el número de casa teva.

Després de reflexionar una estona, el que ha formulat la pregunta diu:

–No puc saber les seves edats.

– Tens raó –diu l’altre–. Havia oblidat dir-te que la meva filla gran toca el piano.

–Ara ja et puc dir les seves edats!

Quines edats tenen les tres filles?”

---

Si no coneixíeu aquest problema i el voleu intentar solucionar sense pistes, haureu  de posposar la lectura de la resta de l'entrada.

***

Fa poc vaig proposar aquest problema a l'alumnat d'una classe de segon de batxillerat, i la resposta més immediata d'alguns va ser "I què hi té a veure que la gran toqui el piano!" I tenien raó, per solucionar el problema, també ens serviria que ens diguessin que a la gran li agraden les magdalenes. La clau rau en el fet que, amb el el número de la casa, no es pot saber la solució...

I si us rendiu, us dono la resposta tot seguit!

---

Solució a l'Edat de les tres filles (+/- Mostra/Oculta)

Sabem que el producte de les edats és 36. Per trobar les diferents possibilitats, el millor és descompondre 36 en factors primers, incloent-hi l'1 (36 = 1·2·2·3·3), i anar-los combinant per obtenir les tres edats. D'aquesta manera obtenim vuit possibles respostes:

Totes les possibilitats que donen un producte igual a 36

És evident que, qui ha de resoldre l'enigma, coneix el número de casa seva. El fet que, amb aquesta dada, no sàpiga encara la resposta, descarta totes les possibilitats que donen una única suma diferent i podem saber que viu en el número 13. Resten els dos casos marcats amb un asterisc –(1, 6, 6) i (2, 2, 9)– i ja podem saber que l'amic té bessonetes. Quan se'ns diu que la gran toca el piano, podem desestimar la possibilitat de dues filles grans de la mateixa edat (1, 6, 6) i sabem que les edats són 2, 2 i 9!

D'aquest problema m'encanta el fet següent: si amb el número de casa seva, l'amic interpel·lat en tingués prou per saber la resposta, i no hi hagués la informació addicional de la filla pianista, nosaltres no podríem determinar les tres edats.

 

---

Si heu llegit la solució, espero que ara s'entengui el "Com que (no) ho saps, ho sé" del títol. En properes entrades comentaré d'altres problemes d'aquesta mateixa tipologia (n'hi ha un que fa poques setmanes ha provocat un cert rebombori a la xarxa!).

 

De l'òpera matemàtica a la cantarella

Introducció (no va de música... i algunes coses que no venen a tomb!)

Haig de començar aclarint l'enjogassat títol d'aquesta entrada, abans que algun amant de les melodies senzilles i sincopades no es faci enrere i deixi de llegir tan aviat lletregi la paraula ò-pe-ra. Avui no penso parlar de música i quan escric òpera, ja em perdonareu la metàfora, vull fer referència al plural opera (nominatiu, acusatiu o vocatiu) del mot llatí opus que significa treball o obra. Així que aquest article va de la feina que fan els matemàtics? No, va de com l'escriuen! Diguem que va de l'estil de comunicació escrita dels investigadors d'aquest àmbit de la ciència. Per cert, estil ve de stilus, un dels instruments que utilitzaven els antics romans per escriure. Amb aquesta introducció, no voldria ser pedant; però ara que, després de carregar-se d'altres coses, ja van per les Humanitats; deixeu-me posar un granet de sorra en favor de l'educació que no entén de la separació de Lletres i Ciències. I amb una mica de sort que el granet vagi a parar a l'ull del ministre! (aquell que primer volia treure l'obligatorietat de cursar matemàtiques en el Batxillerat social, en favor del llatí, i s'acabarà portant per endavant, a envestides, la filosofia i d'altres assignatures perdedores; tot sigui per adoctrinar i amansir els futurs operaris obedients).


L'òpera. Comunicació matemàtica?

Si ja, en general, els articles especialitzats de qualsevol ciència poden ser força críptics, els de matemàtiques guanyen per golejada: la simbologia, la terminologia i el grau d'abstracció —tot per mor del rigor i l'eficiència— fan que, de vegades, el cercle d'especialistes que poden copsar amb profunditat el contingut d'un article, sigui realment reduït. Això sí, només mirant de reüll, la majoria podem reconèixer si un escrit "sembla de matemàtiques"... I amb això hi jugarem, avui!

Terence Tao és un dels matemàtics destacats de l'actualitat. Em perdonareu que citi el seu nom en va, però, ara, allò que m'interessa és l'estil dels seus escrits. Una mica a l'atzar, he triat l'inici d'un dels seus papers, una mica llunyà en el temps (Multi-linear Operators Given by Singular Multipliers, amb la coautoria de Camil Muscalu i Christoph Thiele):

L'inici d'un article de Terence Tao (podeu accedir a la versió completa clicant aquí)

Si comparem l'estil i la tipografia de l'exemple anterior  amb un de més nostrat, un article de Josep M. Burgués per al Butlletí de la Societat Catalana de Matemàtiques, comprovare'm que són germans bessons:

Un fragment d'un article de Josep M. Burgués (podeu accedir a la versió completa clicant aquí)

Cal dir que aquesta uniformitat en l'estil s'ha de valorar de forma positiva: per descomptat, calen unes normes que, a més, estalvien temps, faciliten la lectura i la interpretació. Podem dir que els autors, i els editors!, es guarden la creativitat per al fons i són molt conservadors i primmirats en la forma.


La cantarella. Se li veu el llautó?

I passo a presentar-vos una primícia! Els escrits de Tao i Burgués no han estat escollits a l'atzar com podreu comprovar si llegiu l'autoria i el contingut del paper següent:

Espero que, si heu fullejat l'anterior Scribd , us haureu adonat que el redactat és una cantarella sense sentit i que els suposats autors —uns fantasmagòrics T. Tao, J. Burgues i jo mateix (el més fantasma de tots)— no en som responsables. L'article s'ha generat automàticament i l'única aportació meva ha estat triar els autors. Encara que hi ha qui diu que per Carnaval tot s'hi val, m'ha semblat prudent no barrejar-hi Terence Tao (hi diu T. Tao) ni Josep M. Burgués (en l'article hi figura un tal J. Burgues).

Generar un pseudoarticle matemàtic com l'anterior és molt fàcil amb Mathgen que podreu trobar en el blog That's Mathematics!. Si aneu a Mathgen,  accedireu a una pantalla com aquesta:

Captura de pantalla de Mathgen

Només haureu d'escriure el nom dels "articulistes", clicar a Generate! i tindreu un article d'investigació matemàtica amb tots els ets i uts (només des d'un punt de vista formal, és clar!). Per a mi, la part més divertida de llegir és la bibliografia que figura al final de cada paper.


Les matemàtiques ja tenen el seu escàndol Sokal?

Tot això no seria res més que un entreteniment, si no fos perquè algun d'aquests articles generats de forma aleatòria sembla que han passat el filtre inicial d'alguna editorial (ho podeu comprovar en el mateix That's Mathematics! (Another Mathgen paper accepted, la darrera "relliscada" de moment)  o en l'entrada de Gaussianos titulada “El artículo” de MathGen: la historia de cómo se la han colado a una publicación científica.

Si analitzeu els detalls, veureu que el cas dista bastant de la gravetat de l'anomenat escàndol Sokal que el 1996 va afectar la revista Social Text. Els articles no han estat publicats i el sistema de revisió que tenen les publicacions matemàtiques serioses —no les que intenten fer negoci a costa de l'afany de publicar d'alguns— funciona prou bé. Fins i tot, els responsables de Mathgen neguen la semblança amb el cas Sokal (vegeu Why Marcie Rathke is not Alan Sokal). De totes maneres, cal ser prudent, però no m'imagino blufs del tipus fusió freda o memòria de l'aigua  afectant el món de la recerca matemàtica. Una altra cosa és que a algun matemàtic espanyol se li'n vagi l'olla,  suposadament demostri matemàticament l'existència de Déu i, a més, li publiquin. Però, això ja serà el nostre tema d'un altre dia!

Una coma letal! La importància de la posologia, de la bona lletra...

Una trista introducció

El to de l'entrada immediatament anterior a aquesta, Notació matemàtica: el punt, la coma i la ratlleta, era més aviat enjogassat i no em va semblar adequat incloure-hi una notícia luctuosa, ja llunyana en el temps, que està relacionada amb l'escriptura dels nombres decimals. Un nen de dos anys, Dariel Aldaz, va morir el 2007 com a conseqüència d'una dosificació equivocada d'un medicament que s'utilitza en quimioteràpia. L'any 2011, posant en evidència l'administració de justícia, el cas encara cuejava! Us transcric un fragment de la notícia Una coma letal, apareguda en La Vanguardia del 5 de febrer de 2011 (per cert, si cliqueu l'enllaç anterior i llegiu el text complet, comprovareu que el periodista s'equivoca i anomena al nen, Daniel i, més endavant, David!):

Según la versión del Ministerio Público, el oncólogo erró en la dosis de quimio que debían dar al pequeño, afectado por un tumor de Wilms: en lugar de 16,5 miligramos de doxorrubicina le suministraron 165. Se olvidaron de poner la coma entre los números 6 y 5. Lo peor es que, una vez consciente del error, el médico intentó alterar las pruebas para evitar la acusación, según el fiscal.

Després de cercar informació, no me'n puc estar de dir  que el tumor de Wilms és un càncer renal que acostuma a tenir un bon pronòstic, que els efectes secundaris de la doxorrubicina són més que coneguts (més informació sobre aquesta substància, ara en castellà, aquí) i que hi ha d'altres casos estranyament semblants (aquest, per exemple). Faig un apart, per advertir-vos que, en una primera lectura (si em feu el favor de lectures posteriors), no cal que aneu clicant tots els enllaços que proposo perquè perdreu el fil de tot plegat.

En la sentència del cas per la mort de Dariel, la jutgessa assenyalava que “no estamos ante una prescripción de medicación efectuada en su totalidad de modo erróneo, sino ante un error de cálculo matemático” (vegeu Pena de un año a 2 médicos por la muerte de Dariel —de fet, un dels condemnats no era metge, sinó farmacèutic). No he pogut accedir a la sentència, però massa ben raonada no deu estar quan, almenys en la darrera notícia que he enllaçat, s'afirma que "La magistrada considera probado que el oncólogo prescribió correctamente la medicación a administrar al menor, teniendo en cuenta todos los datos antropométricos -peso, masa corporal-, aunque el resultado final, la dosis, fue errónea".Em quedo amb el dubte de quin significat té per a la justícia espanyola "error de cálculo matemàtico" si el metge va fer la prescripció correcta tenint en compte les dades del pacient. Segurament, l'encerta més el diari ABC (vegeu La vida se le fue a Dariel en una coma) quan parla de "cadena de errores". Sobre aquesta cadena d'errors i els aspectes de la pràctica mèdica que els poden generar, vull escriure. Per descomptat que la casuística va més enllà dels errors de càlcul (podeu llegir-ho a Errors de prescripció més freqüents , per exemple  i, amb més detall i en un context concret, en l'estudi Errores frecuentes en la administración de medicamentos intravenosos en pediatría).


La posologia: el càlcul de les dosis

Generalment, els càlculs que s'han de fer per tal d'esbrinar la dosi de medicament, d'acció coneguda, que li correspon a un pacient no requereixen grans coneixements matemàtics: n'hi ha prou amb unes nocions de proporcionalitat i en no menystenir les unitats de mesura. És cert que l'anàlisi detallada de l'acció de la subtància en el temps pot ser complicada i és objecte d'estudi de la farmacocinètica (vegeu també El objetivo es administrar la dosis óptima de un medicamento al niño), però la necessitat d'una formació matemàtica específica s'ha vist necessària, fins i tot, en els estudis d'infermeria (El cálculo de dosis y el razonamiento proporcional en estudiantes de Enfermería).

En el cas del nen Dariel, el fet que se li administressin 165 mg de medicació, en lloc de 16,5 mg, fa sospitar una possible deixadesa o un error en la conversió d'unitats (els dígits estan bé, però falta la coma).


Estimacions numèriques, atenció i responsabilitat

El metge es va deixar la coma, però ni el farmacèutic de l'hospital ni la persona que va administrar la doxorrubicina, per via intravenosa, van advertir l'error de magnitud en el càlcul (ja he escrit sobre estimacions numèriques, en un altre sentit, a Estimacions numèriques: prodigis atlètics, Fermi i els afinadors de piano). Segons ABC,  abans ja he donat l'enllaç a la notícia, els únics que van intuir l'errada van ser els pares: 

Tampoco el ATS responsable de su administración se percató de lo elevado de la dosis. «La bolsa de quimio que le dieron a Dariel era inmensa, anormal. Antes de conectársela, ya dije al personal de La Fe que me parecía rara. Estuvo desde las nueve de la mañana hasta la seis para que se la suministraran, mucho más tiempo que las otras veces», recuerdan Octavio y Mari Cruz. (...)

Por su parte, el otro especialista acusado, el responsable de comprobar la prescripción del fármaco realizada al menor fallecido, asegura que «fue un error y no lo vi». «No sé lo que pasó, pero no comprobé si era correcta la dosis con el paciente».

Una mort, una trista conseqüència d'allò que alguns anomenen "errades tontes" o "falta de concentració".


La proverbial "lletra de metge"

Abans de continuar  — no m'agradaria que això que explico en aquesta entrada s'agafés com una generalització—, deixeu-me dir que valoro moltíssim la feina dels soferts i malpagats professionals sanitaris del nostre país; però, si hi ha un tret que identifica a la majoria dels llicenciats en medicina, és la lletra difícilment intel·ligible (¿Por qué los médicos tienen mala letra?). Posats a quantificar, algunes dades semblen indicar que la mala lletra pot provocar morts, però no sabem quantes (Cause of Death: Sloppy Doctors, La mala letra de los médicos causa 1.500 muertes al año en EE UU  l'any 2000?, La mala escritura de los médicos mata a 7000 personas al año en EE.UU l'any 2007?). No hauria de passar, però de vegades la prescripció mèdica és illegible:

Sembla que aquí hauríem de llegir Digoxina! (la imatge ha estat extreta d'aquesta font)

I la lectura es complica més quan, en lloc del nom del medicament, hem d'intuir nombres i unitats!

Mil·ligrams? 5 mg o 0,5 mg? (trobareu comentada aquesta prescripció aquí)

Conclusió

No em vull allargar més i em deixo en el tinter els problemes que provoca el galimaties dels noms comercials dels productes farmacèutics: substàncies diferents amb noms semblants o noms que varien d'un país a un altre.
 
Tot i que les seves errades i mala lletra no sempre tenen conseqüències fatals, m'agradaria dedicar aquest article a tots aquells que no s'esforcen en fer una lletra mínimament intel·ligible, que no paren atenció a allò que fan, que escriuen els quatres com els nous, i els uns com els sets, a aquells que els és igual grams que quilograms i que  —i aquest és el pecat capital —  no es fan responsables dels seus actes i sempre troben alguna circumstància per excusar-se. Sempre hi sou a temps de rectificar. A poc a poc i bona lletra!

Notació matemàtica: el punt, la coma i la ratlleta

En l'entrada La simbologia i la notació matemàtica: una virtud i algunes servituds parlava de la (quasi) universalitat de l'escriptura matemàtica i us convidava a endevinar, a grans trets, la localització d'una escena a partir d'un fotograma d'una pel·lícula on hi apareixia una pissarra amb els passos de la resolució d'un problema. Si en aquella pissarra hi haguessin aparegut nombres decimals o algun dígit concret, com el set, hauríem disposat de més dades significatives per a solucionar l'endevinalla. Comproveu-ho en la fotografia següent on es mostra la resolució d'un exercici escolar de conversió d'unitats:

Aquesta imatge ha estat extreta d'aquí

Abans de continuar, us recomano que us passegeu una mica pel curiós web del qual he obtingut aquesta fotografia: Math Mistakes. L'autor n'és el professor nord-americà Michael Pershan i la seva idea de comentar les errades dels estudiants —mantenint l'anonimat d'aquests, és clar— em sembla interessant, pedagògica i exportable.

Tornem a la imatge! Evidentment, el fet que el text estigui escrit en anglès i la conversió de les unitats a polzades i peus (del sistema mètric a l'imperial!) ens indica la procedència anglosaxona de l'estudiant; però, la grafia del número set, sense ratlleta, i la utilització del punt com a separador decimal, ens donen, pràcticament, la mateixa informació. Per tal de ser rigorosos, cal dir que en el mateix lloc —i hem de suposar que de la mateixa procedència geogràfica— hi he trobat fotografies d'exercicis amb el set amb ratlleta o amb la coma decimal.

He intentat esbrinar, cal dir que sense posar-hi massa esforç, l'origen del set amb ratlleta o sense. Només he sabut trobar algun acudit bíblic (La raya del siete) i la repetició de l'acudit acompanyada d'una teoria inversemblant (¿Por què el siete tiene una rayita?). El fantàstic llibre Números pares, impares e idiotas de Juan José Millás i Antonio Fraguas "Forges" parla d'un matrimoni de sets passant de puntetes, i ometent, la ratlleta (vegeu  El caso del número discapacitado, no us perdeu aquesta presentació!). Se m'acut que la nostra grafia del set serveix per evitar confusions amb l'u "amb visera", però, com deia Sir Isaac Newton, Hypotheses non fingo.

Il·lustració de Forges i text de Juan José Millás
(del llibre Números pares, impares e idiotas)

En canvi, no cal esmerçar-s'hi massa per tal de trobar informació sobre l'ús del punt i la coma com a separadors numèrics. On nosaltres posem una coma per separar els decimals, d'altres hi posen un punt (vegeu separador decimal); on nosaltres escrivim un punt, d'altres, una coma (separador de millares). Davant la impossibilitat d'arribar a un acord internacional, cal respectar els usos locals: escriure, a casa nostra 3.5 i, a més, llegir-ho "tres punt cinc" ni denota més cultura ni més "cosmopolitisme". Per altra banda, hi ha qui utilitza la coma alçada com a separador decimal (3'45)! Si consulteu les normes de l'Institut d'Estudis Catalans (o de la Real Academia Española) o els documents d'estil d'universitats i institucions catalanes, comprovareu que desautoritzen aquest costum. Sembla que un dels precursors de la simbologia matemàtica, François Viète, ( 1540-1603) tampoc ho tenia gaire clar:

Imatge del blog Expresiones digitales on trobareu informació sobre els "dubtes" de Viète

La simbologia i la notació matemàtica: una virtut i algunes servituds

Si doneu una ullada a les entrades anteriors d'aquest blog, comprovareu que tenen un aspecte que podríem qualificar de "poc matemàtic": en general, el contingut que s'hi tracta no requereix massa simbologia o notació matemàtica i això fa que no hi apareguin massa expressions o equacions aparatoses. Tampoc no he parlat gaire dels aspectes més formals del llenguatge matemàtic i, quan ho he fet, ha estat a partir de l'anècdota (vegeu, per exemple, John F. Nash: la pel·lícula de Ron Howard (II) on podreu llegir alguns comentaris sobre la notació matemàtica que apareix en aquest film i el doble del protagonista que van haver de contractar per escriure-la i donar versemblança a les escenes).

He estat temptat de parlar en aquest escrit de les virtuts —així, en plural— de la simbologia i la notació de la matemàtica contemporània; però quan he entrat en matèria, m'he adonat que, fer un llistat enciclopèdic d'avantatges i comentar-los, seria massa extens i podria avorrir, fins i tot, el lector més voluntariós.


Una virtut: la universalitat

Donant-li voltes, triant i remenant a la xarxa i a la meva biblioteca, deixarem les virtuts més evidents per a futures entrades i ens fixarem en la universalitat de la notació matemàtica. Vegeu sinó, la següent imatge:

  
Qualsevol persona que tingui un nivell preuniversitari de matemàtiques, independentment de les llengües que parli, podria seguir les operacions que apareixen en la pissarra completa, identificar com a equació d'una el·lipse l'expressió que apareix tallada en la part superior de la fotografia \(\dfrac {x^{2}} {a^{2}}+\dfrac {y^{2}} {b^{2}}=1\) i apuntar que, en l'exercici que està resolent el jove de mirada desafiant, hi intervé una integral definida (Leibniz és el culpable que indiquem aquestes integrals com  \(\int _{a}^{b}f\left( x\right)\ dx\)). No tots els símbols que s'utilitzen en matemàtiques són universals i n'existeixen variants, però si hi ha una "llengua" que pràcticament abasti tot el món, després de la solfa musical, deu ser aquesta. Ara que parlem d'integrals i de la universalitat dels símbols, els àrabs poden escriure el signe integral a l'inrevès i procedir de dreta a esquerra (no sé, però, si aquest ús és gaire comú i en l'article de la wikipedia àrab que correspon a integració només hi fan una breu referència).

I per jugar una mica amb això de les variants simbòliques, us proposo un petit enigma: analitzant el contingut de la pissarra no és possible deduir en quin lloc geogràfic es desenvolupa l'escena; però, amb una probabilitat alta, podem descartar algunes regions del planeta. Per exemple, podem pràcticament assegurar que el nostre protagonista no es troba en l'altiplà castellà, però sí que es podria trobar a Catalunya (si no tenim en compte, alguns detalls tipogràfics o el lloc on s'ha escrit límit inferior d'integració, el zero, en el símbol integral). Per què? 

---

Solució a l'enigma geogràfic (+/- Mostra/Oculta)

En la línia immediatament inferior a la integral hi veiem escrita l'expressió ab sin2θ. L'abreviatura de la raó trigonomètrica sinus és "sin" en la majoria d'idiomes, però en castellà, italià o portuguès, que l'anomenen "seno", escriurien, preferentment ab sen2θ ja que s'acostuma a utilitzar la notació "sen". Per cert en anglès també s'indica "sin", però la paraula sencera és sine, pronunciada ['sain].

 

---

Rushmore, la pel·lícula

L'estudiant  de les ulleres és de fet l'actor Jason Schwartzman i la imatge és un fotograma que correspon a la seqüència inicial de la pel·lícula Rushmore (Wes Anderson, 1998). Com que aquesta seqüència resulta interessant des del punt de vista matemàtic, us proposo un parell d'enllaços per tal que la pugueu gaudir sencera: seqüència inicial en anglès (si teniu problemes amb l'anglès, la teniu doblada al castellà aquí). Per cert, en el web de la Universitat de Harvard hi trobareu un interessant recull de Mathematics in Movies.

El problema que soluciona el nostre fantasiós protagonista, en somnis, no és un problema gaire complicat: si voleu un comentari matemàtic acurat us recomano que consulteu les pàgines 16 a 18 de l'article Algunos momentos matemáticos del cine d'Alfonso Jesús Población Sáez (ja havia citat aquest autor i aquest article en Les matemàtiques en el cinema).


Algunes servituds

La notació matemàtica no és una sopa de lletres i símbols per impressionar i atemorir els profans, és imprescindible per practicar les matemàtiques i presenta molts avantatges. De vegades, trobar la notació adequada és el primer pas i la porta de la solució d'un problema. Una servitud és que l'aprenentatge de la simbologia requereix un cert esforç i un cert rigor. Si en una classe escric a la pissarra \(\forall a\in \mathbb{R} \ldots \) — i fins aquí només és per pura economia del llenguatge— sempre hi ha alumnes que, tot i conèixer els símbols, prefereixen apuntar "per a qualsevol nombre a que pertany al conjunt dels nombres reals...". Cal dir que tota aquesta simbologia, fins i tot la més bàsica que s'utilitza en l'aritmètica i l'àlgebra dels cursos de l'ensenyament obligatori, mal assolida, provoca errades greus que ja comentarem en una altra entrada.

A part d'aquests peatges pedagògics, aquells que ens dediquem a l'ensenyament i a la divulgació de les matemàtiques hem de patir per tal de portar als suports digitals o escrits tota aquesta faramalla simbòlica (serà per això que encara apreciem les pissarres, on el símbol més recargolat pot ser traçat de forma immediata). Si heu arribat fins aquí, potser no us heu adonat que en aquest article hi consten algunes expressions matemàtiques escrites en LaTeX (sent estrictes, hauríem de dir que en TeX): per exemple,  la trista equació de l'el·lipse del segon paràgraf, abans de ser interpretada, ve a ser alguna cosa com \dfrac {x^{2}} {a^{2}}+\dfrac {y^{2}} {b^{2}}=1. Continuament hem de treballar amb editors d'equacions, modificar les plantilles de Blogger de tant en tant, vigilar la compatibilitat de llenguatges i formats... I en el cas de la xarxa, no tenim la seguretat que tots els navegadors interpretin correctament les expressions. En aquest sentit us voldria demanar que, si llegint tot això a la pantalla, detecteu algun problema en la visualització de les expressions matemàtiques, feu-m'ho saber, si us plau.

Cal fer constar, però, que les "ja no tan noves tecnologies" han simplificat molt el fet d'escriure matemàtiques (us ho diu algú que havia fet algun treball universitari amb màquina d'escriure!), però a molts alumnes —són els altres damnificats— encara els costa defendre's amb els editors d'equacions més senzills.


I un parell d'exercicis (per a aquells que saben integrar a un nivell elemental)

Aprofito que he adaptat la plantilla del blog per tal de poder escriure en notació matemàtica, per proposar-vos la resolució de dues de les meves integrals preferides:

1. \( \int e^{x^{2}}dx\)


2. \(\int \frac{sin\,x}{x}dx\)

Per als més rigorosos i primmirats, cal dir que en la segona cal suposar \(x\neq 0\). Disculpeu, tots, que no m'hagi parat a respectar les molt estètiques normes de la tipografia en l'edició de les expressions, però de la tècnica i l'estètica de l'edició ja n'anirem parlant.

Falses demostracions: som competents utilitzant l'àlgebra?

Una coneguda anècdota, no sabem si certa o inventada i amb diverses variants, explica que algú li va preguntar al filòsof i matemàtic Bertrand Russell (veieu també Bertrand Russell a MacTutor) si, a partir d'una falsedat com 2 + 2 = 5, podia demostrar qualsevol cosa. Sir Russell, segons aquesta història, va provar, amb 2 + 2 = 5 com a premissa, que ell era el Papa de Roma (demostració de la "Papabilitat" de Russell). Aquest article tracta de demostracions matemàtiques falses i de la falsa seguretat que tenen molt estudiants utilitzant l'àlgebra. Cal, per començar, un aclariment semàntic: la paraula àlgebra i els seus derivats han esdevingut tan polisèmics (àlgebra abstracta, àlgebra lineal, topologia algebraica...) que haurem de començar dient que aquí tractarem de l'àlgebra elemental (de l'àlgebra d'Al-Khwarízmi, si voleu).

Per molt que els professors de secundària s'esforcin en explicar els fonaments del llenguatge i les equacions algebraiques, els alumnes, i els científics!, acaben aplicant allò de "si està sumant, passa restant" i "si està multiplicant, passa dividint" (com si els termes de les equacions tinguessin la imperiosa necessitat, pròpia dels ciutadans dels països desenvolupats, d'anar de viatge). Fins i tot, operant de maneres més ortodoxes hi ha perills evidents. Comproveu-ho amb la següent demostració de 1 = 2 o de 2 = 1 (si apliquem la propietat commutativa, o és la reflexiva?):

Trobar l'equivocació, no us hauria de costar: és la més comuna en les demostracions algebraiques errònies.

En el següent exemple, l'origen de la falsedat és més subtil. Demostrarem que π = 3:

Podeu veure l'exemple anterior en la seva salsa digital original (aquí) o primigènia (allà). Si us ha cridat l'atenció l'encapçalament de la imatge anterior, 1 Kings 7:23, fa referència al versicle del bíblic 1r Llibre dels Reis que, de vegades, s'utilitza per afirmar que els antics hebreus creien que π era igual a 3. Aquesta polèmica és divertida perquè enfronta encesos fonamentalistes bíblics amb encesos ateus recalcitrants (amb més d'un matemàtic irònic que en parla de passada), podeu consultar:

• La peor aproximación histórica de Pi de Javier Vidal Postigo
• Aproximación de Pi en la Bíblia a Gaussianos 

Us estalvio les fonts més fonamentalistes, però pareu atenció als comentaris dels enllaços.

Tornant a les dues falses demostracions, no podreu dir que sabeu àlgebra elemental si no hi detecteu cap pas erroni. Penseu que en d'altres camps de les matemàtiques, localitzar les falsedats es fa més difícil. Consulteu, per exemple, la demostració de π = 4 que he conegut gràcies, una altra vegada, a un article de Gaussianos.

La lògica i el currículum (II)

Vaig començar a parlar de la absència  de continguts de lògica en el currículum educatiu de casa nostra en La lògica i el currículum (I). Mantinc el títol en aquest nou escrit, tot i que no penso insistir en l'il·lògic —mai millor dit— desplegament curricular que patim (ja parlaré d'altres mancances i incoherències en d'altres entrades); més aviat, comentaré alguna experiència anecdòtica a l'aula que, ja ho explicaré, té un rerefons teòric interessant.

Dels anomenats connectors lògics (i, o, no, si...), el que genera més confusions i errades és el si condicional. En algun llibre de divulgació matemàtica, sento no recordar quin, vaig llegir una adaptació de la següent qüestió, de moment en direm Problema de les quatre targetes, que vaig plantejar als alumnes d'una classe de batxillerat (dels que s'autoanomenen científics i tecnològics):

Problema de les quatre targetes
Tenim quatre targetes. Cadascuna té una lletra en una cara i un nombre a l'altra. Si ens mostren la disposició de targetes de la imatge que apareix a sota, quina o quines targetes hem de girar per comprovar la veracitat (cert o fals?) de l'enunciat condicional "Si en una targeta hi ha una vocal en una cara, hi ha un nombre parell en l'altra".

De fet, la disposició de les targetes i la pregunta que vaig proposar no era exactament aquesta, però el nivell d'abstracció i el fons de la qüestió plantejada era semblant. Si us plau, penseu la resposta abans de consultar la solució.

Solució del problema de les quatre targetes

(+/- Mostra/Oculta)

Hem de girar la targeta A per comprovar si darrera hi ha un nombre parell i també cal tombar el tres per veure si darrera hi ha, o no, una vocal. Tot i que quan es planteja l'experiència aïlladament, els alumnes són prou llestos per pensar que la pregunta "té trampa", la majoria opten per dir que s'ha de girar la A i el 2. Sembla que si es deixa obert el nombre de targetes que es poden girar, hi ha persones que responen alegrement que només cal girar la A. Em va resultar divertit i desesperant alhora que, després d'una detallada explicació, hi havia encara alumnes que s'havien equivocat i persistien en intentar demostrar que la seva resposta era la correcta.

La qüestió anterior és una de les possibles maneres de presentar la tasca de selecció de Wason. S'anomena així perquè va ser ideada pel psicòleg anglès Peter Cathcart Wason. La interpretació d'aquesta prova és objecte de controvèrsia: algunes hipòtesis sostenen que allò que queda en entredit no és el raonament lògic, sinó la mala interpretació de la pregunta que es fa. No vull esmenar la plana als brillants psicòlegs cognitius que proposen aquestes hipòtesis, però diria que uns rudiments de lògica teòrica ajudarien a no errar en problemes com aquest o, si més no, farien més fàcil explicar quina és la resposta correcta a aquells que s'equivoquen. Sigui com sigui, les respostes errónies de persones que en un futur es poden dedicar a dissenyar i interpretar experiments, ens haurien d'alertar.

Si voleu saber-ne més, podeu consultar en línia:

• Las cuatro tarjetas y el razonamiento humano de Miguel López Astorga. D'aquest breu document he tret la imatge de les targetes que apareix més amunt. Hi trobareu una explicació més detallada de la solució correcta i referència de les diferents interpretacions.

• Tarea de selección de Wason: Un estudio de las diferencias individuales de Ma Dolores Valiña García et al. Un estudi feixuc amb un aparell estadístic interessant perquè li donin una ullada els futurs estudiants de psicologia reticents als continguts matemàtics (d'aquells que es pensen que la psicologia és lògicament equivalent a les converses terapèutiques).

• Razonamiento deductivo (III). Razonamiento proposicional de Concepción Paredes Olay. Suposo que és una presentació que aquesta professora de psicologia passa a classe, però és un resum que conté informació interessant. En particular, la següent imatge (torta d'origen) , que he capturat d'aquest text, permet veure una versió abstracta i una versió concreta o contextualitzada de la tasca de selecció de Wason:

Evidentment, es tracta d'esbrinar quines targetes s'han de girar per verificar la proposició condicional. Com que els humans no pensem com els ordinadors, sembla que el context té a veure amb el percentatge de encerts.

Per acabar i com que fa dies que no surten gats en aquest bloc:

Demostració de l'existència d'un gat invisible
Material: només necessitem una cadira buida (si hi ha algun objecte damunt la cadira, el gat se sentiria incòmode)

Si hi hagués un gat invisible damunt de la cadira, jo no el veuria.
No veig res damunt de la cadira.
Per tant, damunt de la cadira,  s'hi està un gat invisible.

Notes:
1. Si disposem d'una altra cadira, podem demostrar l'existència d'un altre gat invisible. Si algú prefereix els unicorns roses, es pot modificar lleugerament el mètode de demostració.
2. No sé d'on vaig treure la demostració, no és meva. En tinc una versió escrita en castellà de fa uns quants anys que vaig afegir com a peu en un examen. Infructuosament, n'he cercat la procedència.
3. Quan l'enuncio a classe veig cares de sorpresa o persones que diuen indignades que els gats invisibles no existeixen. Ningú mai m'ha replicat fent-me notar l'errada en el raonament lògic.

La lògica i el currículum (I)

Com a introducció d'aquest article, em permeto començar amb una pregunta de la Prova Cangur de 2009 (si ignoreu de quin tipus de prova estic parlant, feu clic a Més de 18.000 alumnes catalans de secundària participen a la prova Cangur 2010):

Problema dels mentiders (Cangur 2009)
En una illa remota unes quantes persones sempre diuen la veritat i les altres persones menteixen sempre. 25 persones d’aquesta illa estan col·locades en fila íındia. La primera persona de la cua diu que totes les altres són mentideres. Totes les altres persones de la cua diuen que la persona que tenen al davant és mentidera. Quantes persones mentideres hi ha a la cua?

A) 0     B) 12     C) 13     D) 24     E) És impossible saber-ho

Podeu veure que és un test de resposta múltiple i en tenim cinc de possibles. Abans de continuar i si esteu delerosos de saber la resposta cliqueu al "Mostra" que apareix més avall (només ho hauríeu de fer si heu intentat solucionar el problema i després d'uns minuts de reflexió):

Solució del problema dels mentiders

(+/- Mostra/Oculta)

La resposta correcta és la c. Hi ha tretze persones mentideres. És evident que la primera persona no diu la veritat perquè tota la resta no poden ser mentiders: un mentider no pot dir d'un altre mentider que ho és. Per tant, si la primera menteix, la segona diu la veritat i van alternant mentiders amb persones que diuen la veritat.

La mera presència d'aquesta pregunta en un examen de matemàtiques pot sorprendre a la majoria dels estudiants de secundària i del batxillerat actuals que identifiquen aquesta assignatura amb l'aritmètica, l'àlgebra, la geometria, l'anàlisi i un polsim de probabilitat i estadística. Encara que quatre de les respostes proposades són numèriques, el problema no és d'aritmètica, sinó de lògica (a més, de la més clàssica i aristotèlica lògica binària).

Tradicionalment la lògica s'ha considerat un camp d'estudi de la filosofia i, fins fa poc, el seu ensenyament als nostres joves ha estat en mans dels professors de filosofia de batxillerat (sense batxillerat, no hi havia continguts reglats de lògica). Hores d'ara i seguint el temari de Filosofia i Ciutadania (m'estalvio comentaris polèmics sobre el nom) de 1r de Batxillerat, el professorat d'aquesta matèria es pot estaviar els continguts més elementals de lògica formal. Com que a més els han castigat amb només dues hores de classe setmanals, ja us podeu pensar en quin estat tenim el raonament lògic. És clar que alguns ciutadans em poden replicar que en tenim prou amb el "sentit comú". Com que aquesta no serà la única entrada dedicada a Lògica i Metodologia — no se m'ha acudit cap altra etiqueta per tractar de la lògica i de la metodologia matemàtica— els deixarem, momentàniament, fruir de la perillosa inòpia intel·lectual en la qual viuen.

La lògica, no cal dir-ho, fonamenta també el coneixement científic i matemàtic. D'això i d'algunes anècdotes significatives a les aules, en parlarem més endavant.