Més CiMs: tema amb variacions

Dos problemes pel preu d'un

Una bona part de la humanitat — i m'hi incloc— és bastant més hàbil en l'ús d'expressions lingüístiques que en el d'expressions matemàtiques. El fet de recordar, o fins i tot copiar, una seqüència numèrica o una simple equació se'ns fa, de vegades, difícil i els errors ens passen inadvertits. En aquesta entrada parlaré de com una petita errada — diguem-ne variació—  en la transcripció d'un problema, més que un trasbals, és una oportunitat per fruir de les matemàtiques.

Abans d'entrar en matèria, haig d'agrair els missatges de tres participants de la Prova de selecció CiMs d'enguany (en Jofre, la Lenok i en Martí) que han inspirat aquesta entrada i les comunicacions dels quals acabaran donant lloc a més d'un article!

En Jofre va ser la primera persona que, sense voler-ho, ens va oferir dos problemes pel preu d'un (vegeu Cabres, gallines, coloms... i unes equacions diofàntiques!). Un petit canvi en el preu de venda dels coloms, en l'enunciat que ens proposava i que s'havia de solucionar mitjançant un sistema d'equacions diofàntiques, feia que passés d'admetre tres solucions a tenir-ne només una.

En els comentaris que podeu llegir en la mateixa entrada abans citada, Lenok va fer l'esforç de fer-nos arribar alguns exercicis del CiMs, el mateix dia que havia efectuat la prova de selecció. En Miscel·lània: de la Prova CiMs al Cangur, passant per Pi us vaig presentar un parell d'aquests problemes. El segon, que en una mostra d'enginy vaig anomenar Problema 2, deia:

Determina els nombres naturals que són solució del següent sistema d'equacions:

\(\begin{cases}x · y + z^2 = 161\\x·z - y·z = 7\end{cases}\)

I resulta que el sistema no té solucions en el conjunt dels nombres naturals! Des del punt de vista estrictament matemàtic, això no li restava atractiu al problema. Tan interessant és trobar solucions com demostrar que no existeixen (el Darrer Teorema de Fermat en seria un molt bon exemple). Lenok ens apuntava aquest disset d'abril, en un comentari en el blog, que potser no havia transcrit bé l'enunciat i que no va tenir temps d'acabar aquest exercici...


Problema 2 (variació 2)

Com que l'atenció i l'interès ens lliura de grans errades, Lenok recordava prou bé el sistema i, probablement, només havia canviat un signe en una de les equacions. En Martí, un altre dels aspirants a les Beques CiMs-CELLEX, m'ha enviat per correu electrònic una altra versió del sistema. Em diu que li sembla recordar que en la primera equació no hi havia una suma, sinó una resta, i que d'aquesta manera sí que existia una solució natural. Amb aquest canvi, l'enunciat seria:

Determina els nombres naturals que són solució del següent sistema d'equacions:

\(\begin{cases}x · y - z^2 = 161\\x·z - y·z = 7\end{cases}\)

Si en teniu ganes, mans a l'obra i a solucionar-lo! Si us rendiu, us proposo un dels mètodes de resolució.

---

Solució del problema 2 (variació 2) (+/- Mostra/Oculta)

Començarem aïllant el producte de la primera equació (1) i traient factor comú de la segona (2):

\(\begin{cases}x · y = 161 + z^2\ (1)\\z·(x -y) = 7\ (2)\end{cases}\)

Si les solucions només poden ser nombres naturals, analitzant (2) és fàcil adonar-se que z només pot agafar dos valors: z = 1 o z  = 7.

Cas 1 (z = 1)

Si passem aquest valor de z a (1), resulta que el producte x·y ha de ser 162 i, per altra banda, la resta x - y ha de valdre 7. Descomponent 162 (162 = 2·3⁴) podem jugar amb els quatre factors, un dos i quatre tresos, per determinar x i y. Per a més claredat, us poso un parell d'exemples:
 
Si agrupem els factors així (2·3·3)·3·3, x = 18 i y = 9. El producte és 162, però, com que no difereixen en set unitats, no compleixen (2).

Si els agrupem (2·3·3·3)·3, ara  x = 54 i y = 3. Encara ens allunyem més del 7 desitjat.

Per a aquest cas, és evident que no tenim cap solució.

Cas 2 (z = 7)
 
Si passem aquest valor de z a (1), resulta que el producte x·y ha de ser 161 + 49 = 210 i la resta x - y ha de ser igual a 1. Descomponent 210 (210 = 2·3·5·7) podem jugar amb els quatre factors, ara tots diferents entre si, per determinar x i y. Ràpidament podem notar que només hi ha un agrupament de factors que compleix les condicions indicades en el sistema:
 
2·3·5·7 = (3·5)·(2·7) , x = 15 i y = 14.

La solució és x = 15,  y = 14 i z = 7.

Notes

És clar que el problema també es pot resoldre per altres mètodes, però em sembla que la manipulació algèbrica de les equacions, per exemple aïllant z de (2) i substituint en (1), només aporta complicacions innecessàries. Entenc, a més, que no cal utilitzar cap mètode sofisticat (vaja, que no cal matar mosques a canonades!).

Per descomptat que si algú, però, troba un altre mètode, més senzill i/o elegant que aquest i ens fa el favor de fer-nos-el arribar, li obrirem, agraïts i de bat a bat, les portes del blog.

Utilitzant aquesta mateixa metodologia es pot demostrar la inexistència de solucions naturals per a la primera versió del problema.

---

Programari amb poca vista!

I entrem en el capítol de curiositats! En l'entrada en la qual treballava amb la primera versió de l'enunciat, vaig indicar que dos programes-calculadora matemàtics, Wiris i umsolver, determinaven prou bé la solució de la variació 1 del sistema. Ho he provat amb el nou enunciat i umsolver no se'n surt, segurament perquè he utilitzat la seva versió gratuïta, i incompleta. El més sorprenent, o no, és que la calculadora Wiris no troba la solució si escric les equacions en l'ordre amb el qual us les he presentat. Com que vaig tenir la intuïció que aquest software era curt de vista, si em permeteu la metàfora, i atacava el problema donant més importància a la primera equació; vaig canviar l'ordre de les expressions i podeu observar què va passar en la següent captura de pantalla (he editat el format de sortida per encabir-ho tot en una imatge més presentable):

Wiris solucionant el Problema 2 (variació 2)

En el primer "resol", Wiris no troba la solució; després del segon "resol" (amb el canvi d'ordre de les equacions), ens dóna correctament les infinites solucions en el conjunt dels nombres reals entre les quals hi ha l'única solució natural. Allò que copsem fàcilment les persones, la clau per començar a resoldre el sistema és la segona equació, passa desapercebut per al programa. Pobres xips i pobres programadors, no progressen adequadament! Ho podia haver provat amb "paquets informàtics" de més prestigi, com Mathematica o Maxima, però tinc la impressió que estan molt enfocats al càlcul de solucions de sistemes complicats i, per tant, estan més indicats per trobar solucions aproximades que no pas exactes (els enginyers manen!).

Miscel·lània: de la Prova CiMs al Cangur, passant per Pi

Pròleg. A manera de disculpa

Els lectors, més o menys habituals, deveu pensar que tinc el blog abandonat! Enguany, m'havia plantejat ser més regular en la publicació d'entrades, però no me'n surto de fer compatible el dia a dia amb la redacció d'articles. I no serà per falta d'idees! L'anumèrica premsa d'aquest país ja dóna per redactar, si més no, un comentari setmanal: per exemple, tinc previst escriure quatre cosetes sobre probabilitat condicionada i proves de detecció de malalties o sobre les aplicacions de les matemàtiques i la física en la recerca d'avions perduts (un parell de diaris nacionals ho troben extraordinari i, a més, apunten que l'ús pràctic de l'efecte Doppler és innovador!). Per no parlar de temes que he anat apuntant i que resten pendents... Però hi ha molts escrits que requereixen una certa calma, són de cocció lenta i els descarto en certs moments del curs escolar.

Em sabria greu —i això ho recalco — que algunes persones que s'han adreçat al blog amb els seus comentaris, sempre benvinguts, o que s'han deixat caure per aquí a la recerca d'alguna informació, es trobessin amb una patètica falta d'activitat. L'estructura d'aquesta bitàcola digital fa, malauradament, que algunes intervencions recents i valuoses quedin amagades en entrades passades.

Per posar remei a tot plegat, i perquè hi ha més activitat matemàtica que no ens sembla, se m'ha acudit redactar aquesta miscel·lània —espero que no us sembli una macedònia per sortir del pas— al voltant de tres dates d'aquest mes de març.


8 de març. Proves de selecció de les beques CiMs-CELLEX

El segon dissabte del mes, els alumnes aspirants van efectuar les proves de selecció del programa CiMs-CELLEX. Ja he parlat diverses vegades d'aquest projecte (podeu clicar en la categoria corresponent en la columna de la dreta del blog per llegir-ne els articles). Com en anteriors edicions, alguns participants —suposo que, en part, per una certa opacitat informativa dels convocants— s'han passat per aquestes pàgines i ens han fet arribar preguntes i comentaris. Una de les participants, Lenok, ha tingut la gentilesa d'enviar-nos allò que recordava i li semblava rellevant dels continguts de les proves (ho podeu llegir en els comentaris de Cabres, gallines, coloms... i unes equacions diofàntiques!). Transcric i m'esplaio en un parell dels problemes que ens ha fet arribar Lenok. El primer és de mol fàcil solució; el segon... és una altra cosa!

---

Problema 1

Troba tots els valors naturals possibles per a i b si a·b = 22

Solució del problema 1 (+/- Mostra/Oculta)

La solució és tan evident que l'enunciat sembla pensat com un escalfament per al següent problema.

Descomponem 22:

  22 = 1·2·11.

Tenim quatre solucions per a (a, b): (1, 22), (22, 1), (2, 11) i (11, 2).

---

---

Problema 2

Lenok, després de enunciar-nos l'exercici que hem anomenat Problema 1, ens escriu: "el mateix" (entenc que les solucions han de ser naturals) per a:

\(\begin{cases}x · y + z^2 = 161\\x·z - y·z = 7\end{cases}\)

Solució (més aviat comentari) del problema 2 (+/- Mostra/Oculta)

Tempus fugit! He atacat el problema tal com ho faria un informàtic! I deixo per a més endavant una solució més raonada.

Si el sistema d'equacions és diofàntic, cal fixar-se en què 161 = 7·23 i que, si escrivim la segona equació traient factor comú:
\[z·(x -y) = 7\]
podem deduir que els únics valors naturals possibles per a z són 1 i 7; i, per tant, entre x i y la diferència ha de ser, respectivament, de set o una unitats. Amb això, un full de càlcul i amb un senzill i curt atac per força bruta diria que he descartat l'existència de nombre naturals que siguin solució del sistema. Cal dir que la ciència matemàtica optaria per demostrar la inexistència de solucions naturals per mètodes més rigorosos. Pot ajudar en alguna cosa el fet que el producte x·y ha de valdre o bé 160 o bé 112.

Per si encara no em mereixia la meva expulsió del paradís matemàtic, he utilitzat la calculadora Wiris i un simpàtic programa rus que parla (us en dono més referències després) que coincideixen en assenyalar per al problema dues solucions en el conjunt dels nombres reals:
\[x= \dfrac{\sqrt{161}}{23};  y = 0;  z = \sqrt{161}\\  x = -\dfrac{\sqrt{161}}{23};  y = 0;   z = -\sqrt{161}\]
No sé si Lenok ha comés alguna errada en la transcripció del problema o si els organitzadors s'han permès la llicència, tan matemàtica, de proposar un problema que no té solució, almenys en el conjunt dels nombres naturals.

---

Us comento breument, el programari que he citat en la solució del segon problema:

• De la calculadora Wiris, ja n'he parlat (aquí). M'ha sorprès favorablement que donés ràpidament les solucions.
• Desconeixia umsolver (el simpàtic programa matemàtic de procedència russa que parla i determina les solucions pas a pas). La versió completa és de pagament, però us podeu descarregar de franc la part del programa que soluciona equacions i sistemes d'equacions (aquí). L'he provat amb el sistema anterior i amb un sistema d'equacions lineals amb infinites solucions (compatible indeterminat). Funciona prou bé i és força curiós.

Aquests darrers dies de març i el 5 d'abril els alumnes preseleccionats per la Fundació CELLEX estan sent entrevistats per decidir quins seran admesos en el programa.

Nota del 19 d'abril respecte aquest Problema 2: En l'entrada posterior a aquesta Més CiMs: tema amb variacions, podreu llegir informació actualitzada entorn d'aquest enunciat


14 de març. Pi Day

D'altres anys havia dedicat alguna entrada a l'anglosaxó, i una mica nerd, Dia del nombre Pi (vegeu, per exemple El dia de Pi (I). Una invitació). Enguany la celebració m'hauria passat per alt si no hagués estat pels comentaris que un bloguer menorquí, el Capità Tiranya, va escriure en l'entrada que us acabo d'enllaçar. El Capità Tiranya és autor d'un bloc molt recomanable (Kbòries matineres) i va dedicar una enginyosa entrada (Oh hapπ day!) per tal de commemorar aquesta diada. Resto en deute amb el Capità perquè el seu escrit em va servir per posar una nota simpàtica, amb música inclosa, en algunes de les meves classes de secundària del dia 14.


20 de març. Proves Cangur

Potser no ho he sabut trobar, però diria que, aquest curs, els mitjans de comunicació han passat de puntetes i han dedicat molt poca atenció a aquesta festa de les matemàtiques que compta amb la participació de milers d'alumnes de Secundària. Deu ser que els de matemàtiques no ens sabem vendre!

La darrera entrada que vaig dedicar al Cangur va ser Saltem! Del dia de Pi al Cangur 2013. Pensava acabar aquest març, marçot proposant algun dels magnífics problemes d'aquesta edició del Cangur, però la Comissió organitzadora no farà públics els enunciats fins el dia 25 d'abril i trobo que no cal avançar-se. Els qui hi vau participar ja podeu, però, consultar les solucions en el web del Cangur.

I acabo amb una aglomeració de participants en les proves (la fotografia va aparèixer en El Diario de Mallorca i correspon a la convocatòria que es va efectuar a Palma):

Una gentada solucionant problemes de matemàtiques

Cabres, gallines, coloms... i unes equacions diofàntiques!

Introducció. La tercera edició del Programa CiMs-CELLEX

Potser trobareu que no ve massa a tomb, i que aquesta introducció no lliga amb el títol de l'article, però començaré parlant del Programa CiMs-CELLEX. Aquest Programa ofereix la possibilitat de cursar un Batxillerat Internacional científic a l'alumnat de Catalunya. Enguany es convoca la 3a edició del procés per accedir a les beques d'aquests estudis i, per als interessats, cal dir que el període d'inscripció a les proves de selecció va del 23 de gener al 23 de febrer (trobareu la informació de primera mà en el web www.cims-cellex.cat). El curs passat ja vaig escriure un parell d'entrades on explicava aquest projecte i proposava algun problema per als nois i noies que vulguin prendre-hi part (vegeu Les beques CiMs-CELLEX i una demostració trivial  i CiMs-CELLEX: un problema de quadrats; però, de moment, no llegiu els comentaris que apareixen al peu del segon article perquè hi desvetllo algunes pistes d'un parell de problemes que us proposaré tot seguit).

Per descomptat que em sembla un projecte digne d'elogis i necessari, però l'organització ofereix una infomació molt minsa i poc concreta del temari de les proves. Podeu accedir al document original fent clic aquí; però, com que suposo que, en algun moment, la seva aparença i contingut vergonyant farà que se'n corregeixi el format i es detallin degudament el conceptes, n'he fet una captura de pantalla:

El temari de les proves de selecció de les Beques CiMs-CELLEX

A tall d'exemple, ¿algú em pot contestar si el Teorema de Bayes i la probabilitat condicionada entren en l'apartat "Nocions bàsiques de probabilitat i estadística"? En la secundària obligatòria no s'acostuma a treballar de forma sistemàtica aquest contingut, la probabilitat condicionada, però l'any passat sí que va caure un problema, cal dir que bastant clàssic, d'aquest tipus. Clar que això ho sé gràcies a les informacions que m'han fet arribar alguns participants. Desconec si es publiquen les proves ja realitzades, però estaria bé que fossin públiques!

Un temari més detallat i algun manual d'entrenament (com el que es disposa, per exemple, per a la preparació de l'Olímpiada Matemàtica), orientaria els participants i serviria per a fomentar la cultura matemàtica, fins i tot, d'aquells que no acabin participant en el projecte. Mentrestant, molts joves interessats van donant pals de cec i una prova és que, quan reviso quines paraules clau de cerca porten als internautes a aquest blog, em trobo amb molts "CiMs-CELLEX". Una altra prova de càrrec són els comentaris que podeu llegir en els articles que he dedicat a aquesta iniciativa de la Fundació CELLEX: la majoria, d'estudiants de secundària, però, també, d'alguna mare raonablement angoixada. En l'entrada CiMs-CELLEX: un problema de quadrats (ep! recordeu de no llegir-ne la part dels comentaris), un dels interlocutors, en Jofre, estudiant de secundària que vol preparar l'accés a les beques, ens proposava un problema interessant.


Un problema de cabres, gallines i coloms (versió 1)

El problema del qual n'ignoro la font escrita, fa el pes per a proposar-lo en les proves de selecció. Diu així: 

Un home va anar a vendre al mercat cabres, gallines i coloms que en total feien 100 animals venuts. Si les cabres les venia a 25 €; les gallines, a 5 € i els coloms, a 0,20 €, i en total va fer 500 €, ¿quants animals va vendre de cada tipus?

Com la majoria de vegades que presento un problema, us recomano que l'intenteu resoldre abans de clicar la solució. No sigueu gallines i intenteu-ho!

Té raó l'autor del blog Mateolivares quan qualifica aquesta gallina de quasimatemàtica

---

Solució del problema de cabres, gallines i coloms (versió 1) (+/- Mostra/Oculta)

Si x és el nombre de cabres; y, el de les gallines i z, el dels coloms, podem expressar l'enunciat en dues equacions:

\(\begin{cases}x + y + z = 100\\25x + 5y + 0,20z = 500\end{cases}\)

La primera equació expressa el nombre total d'animals i la segona, el seu preu.

El sistema d'equacions pot ser una mica sorprenent per als estudiants de l'ESO: té tres incògnites i només dues equacions A més, les solucions només poden ser nombres naturals (el nombre de cabres, gallines o coloms no pot ser negatiu, fraccionari o irracional).

Per començar a solucionar el problema aïllem una incògnita de la primera equació:

\(z = 100 - x -y\)

Passem aquest valor a la segona equació i operem:

\(25x + 5y + 0,20 (100 - x - y) = 500\)

\(25x + 5y + 20 - 0,20x - 0,20 y =500\)

\(24,80x + 4,80y  = 480\)

No és necessari —però entenc que té un cert valor pedagògic i permet entendre millor el problema—, el fet d'escriure aquesta darrera equació amb coeficients enters; multipliquem per 10 i després dividim pel mínim comú múltiple 8:

\(248x + 48y  = 4800\)

\(31x + 6y  = 600\)

En aquesta darrera expressió aïllem y:

\(y  = \dfrac { 600 - 31 x }{ 6 } = \dfrac{600}{6} - \dfrac{31x}{6} = 100 - \dfrac{31x}{6}\)

I aquesta darrera equació és la clau per a resoldre el problema! Si la relació entre y i x és

\(y = 100 - \dfrac{31x}{6}\)

i ambdues incògnites només poden prendre valors enters, els valors de x han de ser múltiples de 6.

Descartant x = 0 que significaria que hi ha 100 gallines, sense cabres ni coloms; només hi ha tres solucions amb els tres nombres enters positius (el nombre de coloms es calcula sabent que la suma total d'animals ha de ser 100):

Per a x = 6 cabres, tenim 69 gallines i 25 coloms.

Per a x = 12 cabres, tenim 38 gallines i 50 coloms.

Per a x = 18 cabres, tenim 7 gallines i 75 coloms.

A partir de 24 cabres, sortirien 24 gallines negatives, les solucions deixen de tenir sentit per a aquest enunciat!
 

---

Un problema de cabres, gallines i coloms (versió 2)

Quan tot cofoi vaig comunicar la solució al proposant del problema, aquest em va escriure "ui, perdó, m'he equivocat, el preu dels coloms no era 0,20 €, sinó 0,25 €". No passa res, ara tenia dos problemes pel preu d'un! Mantenint la resta de dades, ¿com afecta l'encariment del preu dels coloms al problema?

---

Solució del problema de cabres, gallines i coloms (versió 2) (+/- Mostra/Oculta)

El canvi de preu pot incomodar als compradors, però modifica ben poc el procés per a solucionar el problema. El sistema d'equacions és ara:

\(\begin{cases}x + y + z = 100\\25x + 5y + 0,25z = 500\end{cases}\)

Us estalvio els passos a seguir que són idèntics als de la primera versió. Arribaríem ara a l'equació:

\(99x + 19y  = 1900\)

Com en el cas anterior, aïllem la  y i tenim:

\(y = 100 - \dfrac{99x}{19}\)

i si x i y han de ser nombres naturals, els valors de x han de ser múltiples de 19.

Tornant a descartar x = 0 que significaria que hi ha 100 gallines, sense cabres ni coloms; només hi ha una solució amb els tres nombres enters positius (una altra vegada, el nombre de coloms es calcula sabent que la suma total d'animals ha de ser 100):

Per a x = 19 cabres, tenim 1 solitària gallina i 80 caganers coloms.

Per a x = 38 cabres, sortirien 98 gallines negatives, les solucions deixen de tenir coherència en el context del problema.

Suposo que l'existència d'una única solució deixa més tranquils a la majoria d'estudiants, però trobo més interessant i didàctica la primera versió de l'exercici.
 

---

Hem resolt equacions diofàntiques!

En l'àmbit amtemàtic s'anomenen equacions diofàntiques aquelles equacions les solucions de les quals només poden ser nombres enters. Les equacions diofàntiques pràcticament no estan presents en l'ensenyament secundari i és més habitual trobar-se equacions on les solucions fraccionàries o irracionals són benvingudes. Les dues versions del problema que acabem de resoldre ens portava a un sistema d'equacions diofàntiques. Ja heu pogut comprovar que, en aquest cas, no calia gaire coneixement dels algorismes per a solucionar aquest tipus d'equacions, però si teniu ganes de saber-ne més, us proposo alguns enllaços:

• Cómo resolver ecuaciones diofánticas. Com no, en el web Gaussianos!

• Ecuaciones diofánticas. Equacions diofàntiques lineals explicades pel professor F. J. González de la Universitat de Cádiz

• Métodos de resolución de ecuaciones diofánticas. L'autor és el professor Christam Huertas i tracta d'equacions diofàntiques no lineals (només per a aprenents valents)

Notes finals

Com que malgrat la crítica feta, que espero que s'entengui com a constructiva, desitjo que el projecte CiMs-CELLEX duri molts anys, he afegit l'etiqueta CiMs-CELLEX en l'índex de categories del blog que podeu llegir en la columna de la dreta. Ja hi anirem afegint entrades!

M'ompliria de satisfacció ("de honda satisfacción") el fet que alguns estudiants de secundària —no cal que siguin majoria—  hagin entès l'acudit de la gallina quasimatemàtica. Per què no és una gallina matemàtica del tot?

CiMs-CELLEX: un problema de quadrats

Si desconeixeu el significat del CiMs-CELLEX que apareix en el títol, podeu acudir a una altra entrada d'aquest blog: Les beques CiMs-CELLEX i una demostració trivial.

Em temo que els continguts de les proves per accedir a aquestes beques no es fan públics, cosa que seria desitjable per als possibles candidats de properes edicions. Alguns es podrien preparar millor els continguts que es demanen en el procés de selecció; d'altres, potser, descartarien la seva participació. De totes maneres, m'han arribat, a través del boca-orella, algun dels exercicis matemàtics proposats. Avui us presentaré, pel seu interès, un d'aquests problemes. Faig, però, dos advertiments previs: desconec el redactat exacte de la qüestió (és el que té el boca-orella) i, per altra banda, no feu clic immediatament en els enllaços que consten en el següent apartat (Enunciat(s) del problema) si voleu reflexionar-hi una mica, perquè la majoria inclouen la solució..

---

Enunciat(s) del problema

Més o menys, devia fer així:

El quadrat d'un nombre té quatre xifres. Les dues primeres són iguals i les dues darreres són iguals (perquè sigui més clar, podem dir que, a l'elevar el nombre al quadrat, resulta un nombre del tipus aabb).Quin és el nombre original i quant val el seu quadrat?

Sense entrar en valoracions de la seva oportunitat, la pregunta és escassament original, tot i que pot sorprendre als nostres estudiants de secundària. No he fet una cerca exhaustiva, però a la xarxa se'n poden trobar versions més literàries. En reprodueixo una, textualment:

Dos amigos, que saben muchas matemáticas, paseando tranquilamente por la calle observan un accidente y el coche se da a la fuga. No recuerdan la matrícula (de cuatro cifras) pero sí que las dos primeras cifras eran iguales, las dos últimas también eran iguales y que el número era un cuadrado perfecto. Con estos datos, ¿cómo pudieron reconstruir la matrícula?
(No utilizaron ordenadores ni calculadoras)

Aquesta darrera versió és de la Gacetilla matemática i la podeu llegir (atenció, com he indicat abans, si voleu dedicar una estona a pensar-hi, no feu, ara, clic en tots aquests enllaços perquè també contenen la solució) en La matrícula del coche. Un redactat semblant, en castellà i en eusquera, el teniu a La matrícula de mi coche o Nere automobilaren matrikulak (és el problema dos del pdf):

Nere automobilaren matrikulak daukan lau zifratako zenbakia karratu perfektu da, bere bi lehen zifrak berdinak dira eta azken biak berdinak dira ere. Zein da zenbakia?

I, per no cansar-vos, acabo amb aquest llistat de Problemas on també hi figura un enunciat semblant (amb el títol La matrícula i l'any 1998 com a data de la proposta).

---

Cliqueu si voleu accedir a la solució comentada (+/- Mostra/Oculta)

Eines i solució

El problema es pot resoldre, sense massa dificultat, per "força bruta". Proveu-ho, per exemple, en un full de càlcul, només cal que feu un llistat dels nombres del 32 al 99 (que són els que tenen quadrats de quatre xifres) i n'obtingueu els quadrats. Però suposo que això no és el que volien els examinadors!

Es pot arribar a la solució utilitzant algunes "eines" matemàtiques elementals i d'ús habitual quan es treballa amb problemes numèrics d'aquest tipus. En atenció als alumnes de secundària, ho aniré detallant.


1. Com es pot expressar algèbricament un nombre escrit en base 10?

Em permeto un exemple introductori en honor dels matemàtics Hardy i Ramanujan:

1729 = 1·1000 + 7·100 + 2· 10 + 9

Per tant, un nombre qualsevol xyzt es podrà escriure com 1000·x + 100·y  + 10·z + t.

I el nombre aabb del problema que ens ocupa serà: 1000·a + 100·a + 10·b + b


2. Utilitzem els criteris de divisibilitat

Amb la generalització de l'us de la calculadora, molts estudiants han deixat d'aplicar els criteris de divisibilitat i s'han passat al mètode d'"anem provant". Però, ara veureu la utilitat d'aquests criteris. Si operem l'expressió algèbrica del nostre quadrat:

n² = 1000·a + 100·a + 10·b + b = 1100·a + 11·b = 11·(100·a + b)

Observem que 100·a + b és un nombre del tipus a0b que, a més, ha de ser múltiple d'11 ja que, si és un quadrat perfecte, n² = 11·(100·a + b) = 11² · k²  (tornarem a utilitzar aquesta igualtat en l'apartat 4). Com que és un múltiple d'11, la suma de les xifres alternes a i b ha de ser 11 (repasseu el criteri de divisibilitat per 11). Per tant, ja tenim que:

 a + b = 11

3. En quines xifres pot acabar un quadrat perfecte?

El quadrat d'un nombre enter només pot acabar en 0, 1, 4, 5, 6 i 9. És impossible que l'últim dígit de n² sigui 2, 3, 7 o 8 (per a més informació, vegeu, per exemple, Números cuadrados). Per tant, els possibles valors de b són:  0, 1,  4, 5, 6, 9. Com que, a més, sabem que a + b = 11. Les possibilitats que tenim són:

a	b	n2 (aabb)	a0b	a0b/11
11	0	absurd
10	1	absurd
7	4	7744	704	64
6	5	6655	605	55
5	6	5566	506	46
2	9	2299	209	19

4. n² ha de ser el producte de dos quadrats perfectes!

Ara és fàcil de calcular, després de tota aquesta garbellada, quin dels quatre nombres que ens resten (2299, 5566, 6655 i 7744) és el nostre quadrat. Si afinem una mica més, com que n² és múltiple d'11 i la seva arrel quadrada és entera, ha de ser múltiple de 11² i d'un altre quadrat perfecte; és a dir, tornem-hi, n² = 11² · k².
Si mireu la darrera columna de la taula anterior, 7744 = 11² · 8² és l'únic nombre que compleix el requisit, i  el nombre n és 11 · 8 = 88. Vet aquí la solució, 88² = 7744. Una estranya matrícula per a un cotxe!

Darreres observacions i agraïments

He intentat donar una explicació detallada perquè els raonaments que he utilitzat, tot i  ser elementals, de vegades són desconeguts i es poden aplicar en d'altres problemes. La llarga explicació  no hauria de donar la falsa impressió que l'enigma era llarg de resoldre. Un "solucionador" amb una certa pràctica i experiència hauria de fer tot el raonament anterior de forma ràpida i automàtica.

Els coneixements que hem hagut d'aplicar són propis de l'ensenyament secundari i els lectors més experts ho poden trobar trivial. Ni tan sols hem hagut d'utilitzar "armes de calibre mitjà" de la Teoria de nombres (verbigràcia, l'aritmètica modular i les congruències). Una altra cosa, és que aquest tipus d'exercicis no són massa freqüents a les aules.

Per acabar, vull fer palès el meu reconeixement a tots els estudiants de secundària que porten el seu interès per les matemàtiques uns mica més enllà del currículum i participen en iniciatives com aquesta de les beques CiMs-CELLEX. I en particular, agrair la informació dels continguts de les proves i del seu desenvolupament que m'han fet arribar alguns dels participants.

L'anumerisme de Homer Simpson

Les beques CiMs-CELLEX i una demostració trivial

Des del curs passat, la fundació privada CELLEX, presidida pel químic i empresari Pere Mir (si en desconeixeu l'obra, podeu llegir "Mecenas en el hospital" i Mecenes per a la Ciència), ofereix el Programa CiMs-CELLEX que atorga una beca a 24 alumnes de secundària de Catalunya que els permet cursar un Batxillerat Internacional en Ciències i Tecnologia en el centre Aula Escola Europea (Barcelona) o en l'Institut Jaume Vicens Vives (Girona). Em sembla un projecte interessant ja que, a part d'oferir un batxillerat 'avançat' en ciències i matemàtiques per a estudiants que el poden, i volen, aprofitar, inclou estades d'estiu en centres de recerca. El diari La Vanguardia va publicar, el 13 de gener d'enguany, la notícia "Aventureros matemáticos" on es parlava del lliurament de les beques als alumnes del curs actual i de la convocatòria del procés de selecció per al curs vinent. TV3 també es va fer ressó de la notícia, ho podeu comprovar en el vídeo Beques a l'excel·lència.

Si heu fet clic en el darrer enllaç i heu vist el vídeo, permeteu-me una digressió. Quan he passat aquestes imatges en alguna de les meves classes, passant diverses vegades per l'entrada del professor a l'aula (només per provocar), alguns alumnes m'han dit "Que vols que ens aixequem quan entris?". Evidentment, no crec que aquesta qüestió formal sigui important, però el rerefons és un altre. Tal com va indicar un professor de secundària en una carta al director —crec que en La Vanguàrdia (en una polèmica, a propòsit del tractament de vostè, l'aixecar-se al començament de les sessions de classe, etc.), però no he pogut trobar la referència—, és impossible que els alumnes es posin dempeus perquè per fer-ho, haurien d'estar asseguts i atents a l'entrada d'algú, i això no acostuma a passar.

Tornem al tema principal! Si sou alumnes de 4t d'ESO i voleu optar a alguna d'aquestes escasses beques, encara hi sou a temps! Us podeu inscriure, de fet ho han de fer els vostres pares, fins el 24 de febrer. Compte, però, que sembla que les proves són exigents —no podria ser d'una altra manera. Una alumna de batxillerat que va partipar en el procés de l'any passat, recordava que li van demanar la següent demostració:

---

Els nombres imparells i els múltiples de vuit

Demostreu que, si al quadrat de qualsevol nombre imparell li restem 1, el nombre resultant és múltiple de vuit.

Demostració (28 de febrer de 2013) (+/- Mostra/Oculta)

Com que ja han passat deu dies des de la publicació de l'entrada, procedeixo a donar la demostració.

Els nombres imparells es poden indicar, algèbricament, de la següent manera: 2n + 1, amb n = 0, 1, 2, 3...

Els múltiples de 8 prenen la forma 8k, amb k = 0, 1, 2, 3...

(1) Volem demostrar que (2n + 1)² – 1 =  8k

(2) Desenvolupem el quadrat: 4n² + 4n + 1 – 1 = 8k

(3) Dividim l'expressió resultant per 4: n² + n  = 2k

(4) Traiem n factor comú, en el primer membre: n · (n + 1) = 2k

La majoria d'alumnes de secundària es queden "enganxats" en aquest darrer pas i, de fet, no cal fer cap més operació! Només hem de raonar!

Si la igualtat (4) és una identitat (és a dir, és certa per a qualsevol valor de n), com que totes les igualtats són equivalents (un matemàtic les podria enllaçar amb el símbol ⇔), podem tornar cap amunt, anar de (4) a (1), i, per tant, (1) també serà certa per a tot valor de n.

I és evident que (4) és una identitat! n · (n + 1) és el producte de dos nombres consecutius (el primer ha de ser parell i l'altre senar o a l'inrevés) i 2k és un nombre parell. L'expressió (4) ens indica, ni més ni menys, que el producte de dos nombres consecutius és un nombre parell. Com que això és cert sempre, (1) també ha de ser-ho, quod erat demonstrandum
.

Una altra demostració (29 de juliol de 2013) (+/- Mostra/Oculta)

Podeu llegir una altra demostració en un dels comentaris d'aquesta entrada. Me l'ha enviat un tal Ferdinand, amb data 29 de juliol, i la trobo senzilla i elegant. Com que és possible que en l'apartat de comentaris us passi desapercebuda, la incloc, amb data 3 d'octubre de 2013, en el cos de l'article.

(1) Desenvolupem l'expressió (2n + 1)² – 1:

(2n + 1)² – 1 = 4n² + 4n + 1 – 1  =  4n² + 4n = 4n · (n + 1)

(2) Tal com explica Ferdinand, procedim a la distinció de casos:

• Si n és parell, 4n · (n + 1) és múltiple de 8 (4n ho és).
• Si n és imparell, 4n · (n + 1) és múltiple de 8 (4 (n + 1) ho és).

I de nou, quod erat demonstrandum!
   

---

A mi, la demostració em sembla senzilla, quasi trivial. Però, quan em vaig parar a pensar amb més deteniment, em vaig adonar d'una mena d'estafa continuada de l'educació matemàtica a secundària: la majoria dels nostres adolescents no s'han hagut d'enfrontar a classe amb una pregunta semblant. Fem matemàtiques, però no els deixem gaudir del mètode matemàtic, ni en el seu nivell més senzill. He proposat aquesta qüestió a alumnes de 4t d'ESO i la primera reacció és de sorpresa. Ho hem de demostrar per a TOTS els nombres imparells! Després alguns són çapaços d'avançar-hi força, utilitzant el llenguatge algèbric, però incapaços d'arribar al final perquè se'ls escapa una evidència que tenen davant del nas.

Com que no us vull privar, almenys, de l'intent, deixaré passar uns dies abans de donar-vos una demostració. M'agradaria rebre comentaris d'aquells que ho aconsegueixen o es troben en un atzucac. Si us plau, no sigueu massa explícits i no expliqueu detalls importants del vostre mètode.

Nota bene: El temari d'enguany en la prova de selecció d'aquestes beques sembla que es restringeix al temari oficial de l'ESO (ho podeu veure en el web CiMs- CELLEX en l'apartat temari). Segurament això voldria indicar que quedarien descartades qüestions semblants a aquesta que us he proposat.