Una coma letal! La importància de la posologia, de la bona lletra...

Una trista introducció

El to de l'entrada immediatament anterior a aquesta, Notació matemàtica: el punt, la coma i la ratlleta, era més aviat enjogassat i no em va semblar adequat incloure-hi una notícia luctuosa, ja llunyana en el temps, que està relacionada amb l'escriptura dels nombres decimals. Un nen de dos anys, Dariel Aldaz, va morir el 2007 com a conseqüència d'una dosificació equivocada d'un medicament que s'utilitza en quimioteràpia. L'any 2011, posant en evidència l'administració de justícia, el cas encara cuejava! Us transcric un fragment de la notícia Una coma letal, apareguda en La Vanguardia del 5 de febrer de 2011 (per cert, si cliqueu l'enllaç anterior i llegiu el text complet, comprovareu que el periodista s'equivoca i anomena al nen, Daniel i, més endavant, David!):

Según la versión del Ministerio Público, el oncólogo erró en la dosis de quimio que debían dar al pequeño, afectado por un tumor de Wilms: en lugar de 16,5 miligramos de doxorrubicina le suministraron 165. Se olvidaron de poner la coma entre los números 6 y 5. Lo peor es que, una vez consciente del error, el médico intentó alterar las pruebas para evitar la acusación, según el fiscal.

Després de cercar informació, no me'n puc estar de dir  que el tumor de Wilms és un càncer renal que acostuma a tenir un bon pronòstic, que els efectes secundaris de la doxorrubicina són més que coneguts (més informació sobre aquesta substància, ara en castellà, aquí) i que hi ha d'altres casos estranyament semblants (aquest, per exemple). Faig un apart, per advertir-vos que, en una primera lectura (si em feu el favor de lectures posteriors), no cal que aneu clicant tots els enllaços que proposo perquè perdreu el fil de tot plegat.

En la sentència del cas per la mort de Dariel, la jutgessa assenyalava que “no estamos ante una prescripción de medicación efectuada en su totalidad de modo erróneo, sino ante un error de cálculo matemático” (vegeu Pena de un año a 2 médicos por la muerte de Dariel —de fet, un dels condemnats no era metge, sinó farmacèutic). No he pogut accedir a la sentència, però massa ben raonada no deu estar quan, almenys en la darrera notícia que he enllaçat, s'afirma que "La magistrada considera probado que el oncólogo prescribió correctamente la medicación a administrar al menor, teniendo en cuenta todos los datos antropométricos -peso, masa corporal-, aunque el resultado final, la dosis, fue errónea".Em quedo amb el dubte de quin significat té per a la justícia espanyola "error de cálculo matemàtico" si el metge va fer la prescripció correcta tenint en compte les dades del pacient. Segurament, l'encerta més el diari ABC (vegeu La vida se le fue a Dariel en una coma) quan parla de "cadena de errores". Sobre aquesta cadena d'errors i els aspectes de la pràctica mèdica que els poden generar, vull escriure. Per descomptat que la casuística va més enllà dels errors de càlcul (podeu llegir-ho a Errors de prescripció més freqüents , per exemple  i, amb més detall i en un context concret, en l'estudi Errores frecuentes en la administración de medicamentos intravenosos en pediatría).


La posologia: el càlcul de les dosis

Generalment, els càlculs que s'han de fer per tal d'esbrinar la dosi de medicament, d'acció coneguda, que li correspon a un pacient no requereixen grans coneixements matemàtics: n'hi ha prou amb unes nocions de proporcionalitat i en no menystenir les unitats de mesura. És cert que l'anàlisi detallada de l'acció de la subtància en el temps pot ser complicada i és objecte d'estudi de la farmacocinètica (vegeu també El objetivo es administrar la dosis óptima de un medicamento al niño), però la necessitat d'una formació matemàtica específica s'ha vist necessària, fins i tot, en els estudis d'infermeria (El cálculo de dosis y el razonamiento proporcional en estudiantes de Enfermería).

En el cas del nen Dariel, el fet que se li administressin 165 mg de medicació, en lloc de 16,5 mg, fa sospitar una possible deixadesa o un error en la conversió d'unitats (els dígits estan bé, però falta la coma).


Estimacions numèriques, atenció i responsabilitat

El metge es va deixar la coma, però ni el farmacèutic de l'hospital ni la persona que va administrar la doxorrubicina, per via intravenosa, van advertir l'error de magnitud en el càlcul (ja he escrit sobre estimacions numèriques, en un altre sentit, a Estimacions numèriques: prodigis atlètics, Fermi i els afinadors de piano). Segons ABC,  abans ja he donat l'enllaç a la notícia, els únics que van intuir l'errada van ser els pares: 

Tampoco el ATS responsable de su administración se percató de lo elevado de la dosis. «La bolsa de quimio que le dieron a Dariel era inmensa, anormal. Antes de conectársela, ya dije al personal de La Fe que me parecía rara. Estuvo desde las nueve de la mañana hasta la seis para que se la suministraran, mucho más tiempo que las otras veces», recuerdan Octavio y Mari Cruz. (...)

Por su parte, el otro especialista acusado, el responsable de comprobar la prescripción del fármaco realizada al menor fallecido, asegura que «fue un error y no lo vi». «No sé lo que pasó, pero no comprobé si era correcta la dosis con el paciente».

Una mort, una trista conseqüència d'allò que alguns anomenen "errades tontes" o "falta de concentració".


La proverbial "lletra de metge"

Abans de continuar  — no m'agradaria que això que explico en aquesta entrada s'agafés com una generalització—, deixeu-me dir que valoro moltíssim la feina dels soferts i malpagats professionals sanitaris del nostre país; però, si hi ha un tret que identifica a la majoria dels llicenciats en medicina, és la lletra difícilment intel·ligible (¿Por qué los médicos tienen mala letra?). Posats a quantificar, algunes dades semblen indicar que la mala lletra pot provocar morts, però no sabem quantes (Cause of Death: Sloppy Doctors, La mala letra de los médicos causa 1.500 muertes al año en EE UU  l'any 2000?, La mala escritura de los médicos mata a 7000 personas al año en EE.UU l'any 2007?). No hauria de passar, però de vegades la prescripció mèdica és illegible:

Sembla que aquí hauríem de llegir Digoxina! (la imatge ha estat extreta d'aquesta font)

I la lectura es complica més quan, en lloc del nom del medicament, hem d'intuir nombres i unitats!

Mil·ligrams? 5 mg o 0,5 mg? (trobareu comentada aquesta prescripció aquí)

Conclusió

No em vull allargar més i em deixo en el tinter els problemes que provoca el galimaties dels noms comercials dels productes farmacèutics: substàncies diferents amb noms semblants o noms que varien d'un país a un altre.
 
Tot i que les seves errades i mala lletra no sempre tenen conseqüències fatals, m'agradaria dedicar aquest article a tots aquells que no s'esforcen en fer una lletra mínimament intel·ligible, que no paren atenció a allò que fan, que escriuen els quatres com els nous, i els uns com els sets, a aquells que els és igual grams que quilograms i que  —i aquest és el pecat capital —  no es fan responsables dels seus actes i sempre troben alguna circumstància per excusar-se. Sempre hi sou a temps de rectificar. A poc a poc i bona lletra!

Estimacions numèriques: prodigis atlètics, Fermi i els afinadors de piano

En el llibre "El hombre anumérico", el matemàtic i divulgador John Allen Paulos assenyala, com a símptoma de l'analfabetisme matemàtic ("mathematical illiteracy"), la dificultat per estimar o comprendre la magnitud de les grans i petites quantitats. De fet, he pogut comprovar que molts alumnes de secundària tenen problemes greus per fer estimacions numèriques, o "fer-se una idea", de magnituds relativament modestes. Com que la majoria de professors els hem acostumat als problemes de resultat únic i exacte, no ens hauria d'estranyar aquesta circumstància. Avanço ja que, en aquest escrit, no parlaré estrictament d'estimacions numèriques i que se'm podrà objectar que confonc estimació, apreciació i visualització. Si som rigorosos, del concepte matemàtic, més tècnic, d'estimació, no en parlaré (vegeu la definició d'estimació numèrica o d'estimació estadística). De fet, el meu objectiu és comentar alguns procediments sovint oblidats a les classes de física o matemàtiques.

Mesurar el temps o la longitud a ull ("a ojo de buen cubero" que dirien en castellà)

Recordo que quan cursava algun dels darrers cursos de l'extingida EGB, en una classe que no devia ser de matemàtiques, el mestre ens va proposar la següent activitat: ens havíem de treure i guardar el rellotge, si en portàvem (comento per als més joves que el rellotge era un aparell que servia per a mesurar el temps i que els únics mòbils que coneixíem, alguns, eren els d'Alexander Calder), esperar la seva indicació per iniciar l'experiència i aixecar-nos de la cadira quan consideréssim que havia passat un minut des del seu senyal. La majoria ens vam alçar quan havia transcorregut, més o menys, mig minut, en una clara demostració que érem culs de mal seient (en català és preferible parlar de ser o semblar el cul d'en Jaumet). L'estimació del temps és, però, un assumpte per parlar-ne amb calma i hi ha estudis que indiquen que aquesta apreciació varia, entre d'altres factors, amb l'edat.

Ens hauria de sorprendre més la dificultat que tenen moltes persones (i, en particular, tots els àrbitres de futbol quan, en una falta, han de col·locar la tanca defensiva a 9,15 metres de la pilota) per estimar mesures de longitud. Alguna vegada he fet les següents preguntes a l'aula:

• L'atleta cubà Javier Sotomayor té l'actual record de salt d'alçada masculí (des del 1993!): 2,45 metres (veure vídeo). Si hagués fet aquest salt en aquesta classe, s'hauria estampat contra el sostre? (no totes les aules tenen la mateixa alçada, però en tot cas els alumnes queden sorpresos, quan fan l'esforç d'imaginar-s'ho, per la "magnitud" del salt).

• El nord-americà Mike Powell va fer una marca de 8,95 metres en salt de longitud l'any 1991 (i encara és el record mundial!) (veure vídeo). Algú pot indicar, sense aixecar-se, dos punts de l'aula que distin, aproximadament, uns 9 metres?

Cubiquem! Quants litres d'aigua caldrien per...?

Cubicar és, entre d'altres accepcions, "determinar el volum d'un cos coneixent les seves dimensions". En la següent qüestió que es pot portar a l'aula hi intervenen els conceptes de volum i capacitat i els canvis d'unitats:

• Quantes ampolles d'aigua d'un litre caldrien per omplir un volum equivalent al d'aquesta classe?

Totes les vegades que he plantejat aquesta pregunta en una aula de secundària, preferentment en les primeres classe d'un curs de primer de batxillerat, i de forma oberta (hi ha d'altres maneres de fer-ho més adequades, pedagògicament parlant) he observat, entre d'altres, els següents fenòmens:

1. Alguns alumnes contesten immediatament sense parar-se a pensar i acostumen a equivocar-se greument en l'ordre de magnitud (en tenen prou amb uns pocs milers d'ampolles); la majoria, sorpresos, deixen la feina per als impulsius i per a aquells que habitualment sempre l'encerten i, aquests darrers, són els únics que fan alguns càlculs preliminars i donen el resultat aproximat.
2. La dificultat, bastant generalitzada, de treballar amb les unitats de volum i de passar de les unitats de volum a les de capacitat (1 litre és equivalent a 1 dm³; 1 m³ equival a 1000 litres).

Els problemes de Fermi: Quants afinadors de piano hi ha a Chicago?

El físic d'origen italià Enrico Fermi (1901-1954) proposava als seus alumnes universitaris problemes del tipus: Quants afinadors de piano hi ha a Chicago? La qüestió s'havia de resoldre dins de l'aula i sense cercar més informació que la que els estudiants coneixien (la població aproximada de la ciutat on vivien) o podien estimar (quants pianos hi ha a la ciutat). Actualment aquest tipus de preguntes es coneixen amb el nom de problemes o qüestions de Fermi (problema de Fermi).

Enrico Fermi

(Per cert, a propòsit de la fotografia anterior, si voleu veure més fotografies de físics eminents feu clic a A Picture Gallery of Famous Physicists)

Quan ens enfrontem amb un problema d'aquests tipus no pretenem trobar el resultat exacte sinó encertar el seu ordre de magnitud. Una de les anècdotes més conegudes de Fermi té a veure amb una estimació: va calcular l'energia despresa per una explosió nuclear a partir del desplaçament d'uns trossets de paper que va deixar anar quan li va arribar l'ona expansiva (vegeu l'informe de les observacions de Fermi després de l'explosió de la bomba a la prova Trinity en la darrera pàgina de Fermi Questions de Joyce Byun o la detallada explicació com a activitat d'aula avançada o universitària en El soplo de la bomba atómica).

Podeu consultar també:

• ¿Cuántos afinadores de piano hay en Nueva York? on em sembla que l'autor sobrevalora els pianos que hi ha a la ciutat quan diu que podem suposar que una de cada cinc famílies en té un.
• Los problemas de Fermi en el sempre interessant bloc Curioso pero inútil.

Per acabar vull agrair l'interès dels alumnes que, quan plantejo qüestions del tipus que he presentat aquí, en comptes de pensar que "el profe està boig", que potser també, es llancen a intentar esbrinar la resposta o cerquen per internet l'origen i significat de les preguntes. De fet, dos del enllaços que dono en aquest escrit me'ls han proporcionat ells. Vaja, que l'escola no sempre mata la curiositat!

La proporció àuria, la bellesa, els rostres i el treball de recerca

En un comentari a l'entrada immediatament anterior a aquest article, l'Anna, una alumna de primer de batxillerat, ens comunica que està fent el seu treball de recerca sobre la "possible" presència de la proporció àuria en la bellesa facial humana. El treball de recerca (TR) és un dels fets diferencials del sistema educatiu català: tots els alumnes de Catalunya l'han de fer obligatòriament i val un 10% de la nota de batxillerat (cosa que em sembla raonable, però l'alumnat d'altres comunitats autònomes se l'estalvien!).

Ja he dedicat d'altres entrades al nombre auri. A hores d'ara, els escrits més consultats d'aquest bloc són, per aquest ordre:

Com dibuixar rectangles auris

La Gioconda, enigmàtica?

L'Home de Vitruvi

Tots tres fan referència a la raó àuria! Cal dir que no tothom ha arribat a aquests escrits, suposo, cercant informació sobre la proporció, però em sembla que és significatiu i una demostració que el mite del nombre d'or és dels més estesos dels mites matemàtics. En aquest sentit, m'hauria agradat més que el rànquing dels més llegits estigués encapçalat per El mite del nombre d'or on hi ha un enllaç a un article periodístic d'imprescindible lectura (El mito del número de oro).

Demano disculpes, abans de continuar, a alguns llegidors habituals d'aquest bloc (si no han desistit encara) perquè en un comentari a L'Home de Vitruvi  ja se'm fa saber (amb música de Bob Dylan) que:

Quantes entrades caldrà dedicar al nombre auri
Abans d'engegar a pastar fang els seus impostors

Espero que la vehemència dels versos no faci defallir l'Anna o a d'altres alumnes que dediquen el seu TR a la divina proporció: un bon TR no acaba, necessàriament, validant la hipòtesi.

En qualsevol investigació, un dels passos imprescindibles és la recerca documental: no podem començar de zero ni tornar a fer el mateix camí que ja ha estat recorregut. Els investigadors professionals  ja saben que car es paga el fet d'arribar segon o d'obviar informació que ja han aportat d'altres. En el cas que ens ocupa —diguem-ne d'iniciació a la recerca—  podem començar per consultar Mr Google: proposo les paraules clau "treball de recerca" auri OR auria (les cometes i l'OR són importants). Ens assegurem així de poder comprovar si s'han fet recerques semblants en aquest nivell. Trobem, per exemple, que Camille Ausseill (La proporció àuria i la seva aplicació en les proporcions humanes) en les seves conclusions hi fa constar un significatiu i ocurrent "no es oro todo lo que reluce".

També cal dedicar molta atenció a la metodologia. No podem començar a mesurar rostres sense unes nocions básiques d'antropometria. Sense dedicar-hi massa temps i a la xarxa (recomano biblioteques i especialistes!), he trobat:

Antropometría aplicada (I). Generalidades  No parla gens de rostres, però està bé per entrar en matèria.

Estructuración y estandarización de la antropometría facial en función de proporciones  No és un escrit tan generalista com sembla pel títol, però els especialistes en cirurgia estètica tenen el seu punt de vista.

No em puc estar d'indicar algunes dificultats que té aquesta recerca (en alguns comentaris ja les he citat). El nombre auri (Φ) és irracional i, forçosament, les mesures que prenem nosaltres són racionals, com podem distingir a la pràctica Φ de cinc terços o de vuit cinquens? És mesurable la bellesa? Hi ha unes proporcions objectivament belles? El concepte de rostre bell depèn de les cultures, ha anat variant en el temps i la variabilitat externa dels humans és considerable. Unes imatges a tall d'exemple: 

Hyo-Sun Lim

Batoma Diallo

Quin rostre té unes proporcions més perfectes? El de la pianista coreana Hyo-Sun Lim o el de Batoma Diallo, cantant de Mali? Des del nostre eurocentrisme, a algú li pot semblar que Lim té els ulls petits i Diallo els llavis massa molsuts. Si en lloc de fer referència al rostre, parlem de craniometria, que és més proporcionat un crani dolicocèfal, un de mesocèfal o un braquicèfal?

Ah, i una cara quadrangular, molt allunyada dels nostres ovals occidentals:

Una altra dificultat recau en què el concepte de bellesa, modes i cultures a part, té una part individual i biogràfica intransferible. El filòsof racionalista Descartes es va enamorar de petit d'una noia guenya o estràbica (he ratllat la primera paraula, no sigui que la policia d'allò politícament correcte em denunciï) i, sempre més, va trobar atractius els rostres que tenien aquest mateix defecte. Si us sembla estrany a Balzac i als antics maies (a tots!?), diuen que els passava el mateix.

S'ha postulat que determinades característiques del rostre sí que tindrien un valor universal que els faria més agradables. Aquí hauríem de citar la simetria i l'aspecte saludable (sigui el que sigui aquesta darrera cosa). De totes maneres, no hi cap cara totalment simètrica i l'excés de simetria provoca efectes perversos (A Study of Asymmetry of Faces).

Ara hauríem de passar a dissenyar el treball de camp...

Sé, perquè he atutorat uns quants TR, que les consideracions, dubtes, crítiques i preguntes incomoden els estudiants, però la ciència es construeix a partir d'incerteses (allò del dubte metòdic que diria Descartes) i d'afirmacions falsables (que diria Karl Popper). Catalans i catalanes (que diria qualsevol polític actual) que curseu el batxillerat, ànim i que tingueu un bon treball de recerca!

L'Home de Vitruvi

Marc Vitruvi Pol·lió va ser un arquitecte i enginyer romà del segle I aC. Va escriure un tractat d'arquitectura (De Architectura Libri) que va ser reeditat a Roma cap el 1486 i més tard a d'altres ciutats, ara italianes, quan els renaixentistes es van interessar i inspirar en l'art clàssic de Grècia i Roma. Leonardo da Vinci va fer, cap el 1492, un famós i difós dibuix que es coneix com L'Home de Vitruvi. El dibuix es titula Estudi de les proporcions humanes segons Vitruvi.

Si en voleu veure una reproducció en metall, només cal que agafeu una moneda d'un euro encunyada a Itàlia.

Portem ja uns quants articles dedicats al nombre auri i ja hem parlat de la secció àuria en l'obra de Leonardo da Vinci (vegeu La Gioconda, enigmàtica?).  En el cas de la Gioconda, la presència volguda del nombre auri és més que dubtosa: aquesta setmana, quan en una classe de primer de batxillerat, mostrava una reproducció d'aquest quadre amb els suposats rectangles auris de la composició, més d'un alumne va notar que els rectangles s'havien dibuixat d'una manera totalment subjectiva i sense criteris rigorosos (podeu donar una ullada a El mite del nombre d'or). La defensa de la presència del nombre auri en aquest dibuix de Leonardo que ara ens ocupa, també és aferrissada. Per exemple, el matemàtic Manuel Sada, que té uns excel·lents videotutorials sobre el programa de geometria dinàmica GeoGebra, en dedica un a trobar la secció àuria en aquesta obra (vegeu-lo: El Hombre de Vitrubio).

Com el Quixot, una mica fart de "desfazer entuertos", l'autor d'aquest bloc, sense massa temps i aclaparat per la repetició de tesis sense fonaments, us proposa una recerca:

• En quin dels deu llibres del tractat de Vitruvi es parla de les proporcions anatòmiques?

• Un romà com Vitruvi és poc sospitós d'utilitzar els nombres irracionals en els seus cànons. Curiosament, si llegiu els articles de Viquipèdia en llengües diferents, veureu que en alguns parlen de la secció àuria i en d'altres, no:

         L'Home de Vitruvi (en català)

         El Hombre de Vitruvio (en castellà)

         Vitruvian Man (en anglès)

         L'Homme de Vitruve (en francès)

        En què quedem? Vitruvi parla del nombre auri o no?

• En l'obra de Vitruvi ja apareix la secció àuria? No apareix, però Leonardo la incorpora en el seu dibuix? Si és així, Leonardo és conscient que la incorpora o ho fa inconscientment al treballar amb un quadrat i una circumferència?

Us pot servir llegir un post del bloc Screen Circles (L'Homme de Vitruve).

Tot  i que els educadors (mestres, professors i afins) som els únics que ens dediquem a fer preguntes de les quals ja coneixem la resposta, us asseguro que, en aquest cas, no és així.

La Gioconda, enigmàtica?

Aquest article continua la sèrie d'escrits que vam encetar amb El mite del nombre d'or. En tots ells tractem d'esbrinar si el nombre auri és tan present en la natura i en les activitats humanes com molts creuen o aquesta afirmació no té fonament científic. Avui li toca el torn a una de les obres, junt amb les "mutilades" Venus de Milo i Victòria de Samotràcia, que omplen el parisenc Museu del Louvre de turistes que veuen el món a través del visor o de la pantalleta de les seves càmeres i mòbils. Dan Brown ha tingut el dubtós honor d'afegir, a les tres populars obres de visita "ineludible" i fotografia "inexcusable",  la Piràmide, i la seva germaneta invertida, inaugurada pel president Miterrand el 1989.

La Gioconda o Mona Lisa és una de les obres més conegudes de l'artista florentí Leonardo da Vinci (1452-1519). Segurament és un  dels quadres que ha generat més "literatura", teories i comentaris (la majoria fantasiosos, truculents i sense base). S'ha dit que era un autoretrat del propi Leonardo, que l'obra oculta enigmàtics missatges... Aquí només ens ocuparem de dos dels comentaris més populars: la presència de la proporcionalitat àuria en el retrat i de si el somriure de la Gioconda és tan únic i enigmàtic com diuen. El segon assumpte no té res a veure amb les matemàtiques, però farts de sentir-ne parlar posarem punt final a l'entrada amb algunes preguntes al respecte (de vegades, les preguntes aclareixen més les coses que les afirmacions).

Quan es parla de la secció àuria en aquesta obra s'acostuma a acompanyar el text amb il·lustracions com la següent:

En aquest cas, l'autor almenys hi ha fet constar algunes longituds. En la majoria de casos però, es limiten a repetir que el rostre està enquadrat en un rectangle auri  —qui va ser el creador d'aquesta història?—  i que la resta de les faccions mostren també la divina proporció. Si ens fixem en el rectangle vermell de la imatge anterior, la hipòtesi àuria no s'aguanta per enlloc: per què els seus quatre vèrtexs s'han situat en aquests punts tan difícilment objectivables? Si els movem una mica, podem enquadrar la cara en un rectangle que ja no serà auri. L'única manera de defensar la hipòtesi seria demostrar que en els primers esboços, Leonardo es va dedicar a quadricular la taula per obtenir aquesta proporcionalitat o que el pintor coneixia i utilitzava Φ. Si algú en té alguna notícia i ens ho comunica, podrem matisar el notre escepticisme. Pensant en alguns comentaris previsibles, em permeto avançar que de l'Home de Vitruvi ja en parlarem en una altra ocasió.

Si passem al somriure, més aviat rictus,... no sé si cal començar pel somriure arcaic dels koúroi grecs. Ja tenim somriures enigmàtics, o no tan enigmàtics, en l'art grec (650 al 550 aC)! Per altra banda, tan enigmàtica és l'expressió de la Gioconda? En d'altres pintures del mateix Leonardo trobem expressions i cares semblants i se n'ha parlat molt menys:

Sant Joan Baptista
 (imatge extreta del web Gallery of Art)

La mare de Déu i l'infant amb Santa Anna
 (imatge extreta del web Gallery of Art)

Aquestes dues obres també es troben en el Louvre (si feu clic al damunt, podreu veure-les millor) i no han de suportar tantes aglomeracions al seu davant (posats a triar, els gustos són subjectius, m'agrada més La mare de Déu i l'infant amb Santa Anna que no pas La Gioconda). Els somriures s'assemblen i, fins i tot, ens podem preguntar: Santa Anna i la Gioconda no són la mateixa persona? Per cert, podreu trobar imatges d'altres obres de Leonardo, ¿amb el mateix somriure?, i de moltíssims pintors més en la magnífica i recomanable Web Gallery of Art d'on he tret aquestes dues darreres fotografies digitals.

Proporcions en l'art: racionals o irracionals?

En d'altres ocasions ja hem parlat de les dimensions i de les propocions, sobretot en relació al nombre auri, la secció àuria o com vulgueu anomenar al nombre Φ. No tractarem aquí d'una manera general el tema de les proporcions en l'art. Entre d'altres motius, perquè si consulteu algunes de les enciclopèdies més conegudes dedicades exclusivament a l'art, tot i que poden tenir un nombre considerable de volums, veureu com pràcticament no hi són presents qüestions com les proporcions, les mesures o les tècniques artístiques — com si el fet de parlar-ne, rebaixés el nivell "humanístic i espiritual" de les obres que hi consten. De fet, ja m'ha costat contrastar les quatre coses que explicarem aquí i cal dir que he trobat discrepàncies en algunes ocasions (és el cas, per exemple, del cànon de l'escultor grec Lisip, que comentarem més endavant, que tan aviat és de "vuit caps" com de "set caps i mig").

Comencem doncs per l'escultura de l'Àntiga Grècia. Per als amants de l'austera bellesa actual d'aquestes obres, hem de dir que la majoria d'elles estaven pintades total o parcialment: ¿de quin to rosa era la pell de la Venus de Milo? Sembla que els escultors grecs estaven molt interessats en la qüestió de la proporcionalitat anatòmica. Policlet (segle V aC) va escriure un tractat sobre aquest tema, però no se'n conserva cap còpia. Sí que es conserva una còpia, l'original en bronze no s'ha trobat, de l'escultura on posava a la pràctica el seu cànon estètic: el Dorífor (del grec δορυφόρος, doryforos, 'el que porta la llança'). Sembla que va ser realitzada entre el 450-440 aC. A través dels historiadors romans, ens ha arribat la notícia que el Dorífor o Cànon era utilitzat pels artistes aprenents i Plini deia de Policlet que era l'únic artista que havia incorporat tot l'art en una sola obra. El cànon de Policlet es coneix com de "set caps" perquè el cap del Dorífor és la setena part de la seva altura.

El segle IV aC, Lisip, un altre escultor grec, empetiteix els caps — s'ha dit que per donar més sensació de grandesa.El cànon de Lisip sembla ser de "vuit caps" (el cap és una vuitena part del cos) encara que no m'he entretingut a comprovar-ho i en alguna lloc es parla, com hem dit, de "set caps i mig". L'obra "canònica" de Lisip és l'Apoxiòmenos (cap el 330 aC) de la qual tampoc no en tenim l'original. Apoxiòmenos seria, traduït literalment al català, "aquell que es rasca": es tracta d'un atleta (pugilista?) que es treu les restes d'oli, els greco-romans s'untaven per fer esport, amb un aparell anomenat estrígil.

Evidentment els cànons eren més complexos i no feien referència nomes a la proporcionalitat del cap, sinó a la relació entre tots els punts importants de l'anatomia externa (veieu les il·lustracions del següent enllaç: Apoxiomenos). Sigui com sigui i tal com era d'esperar, aquest dos cànons i d'altres que es podrien citar i comentar són perfectament expressables en fraccions i han estat concebuts com a fraccions: no apareix cap irracional i, per tant, podem prescindir del nombre auri. En un enllaç que hem donat en un paràgraf anterior (cànon estètic) podeu llegir, per exemple, que la proporcionalitat que aplica l'italià Sandro Botticelli (1445-1510) en la seva coneguda pintura El naixement de Venus no té res a veure amb els irracionals.

¿I la Gioconda de Leonardo? Segons alguns d'enigmàtic somriure, plena de rectangles auris i portadora d'hermètics missatges... En parlarem en la propera entrada, però de moment aquí us la deixo (en blanc i negre i la cara feta un quadro):

Formats i proporcions: el DNI

El document nacional d'identitat (DNI) es va crear arran d'un decret del franquisme de 1944, però no es va començar a expedir fins el 1951 (com a curiositat diré que n'hi havia de quatre categories segons la situació econòmica del sol·licitant!). Amb anterioritat han existit a l'Estat documents d'identificació diversos, però la obligació de posseir-ne un, va arribar bastant més tard del 1951 (deu ser pel mateix motiu que a Espanya no hi ha monuments al Soldat Desconegut, aquí ens coneixem tots!). Podeu veure imatges dels diferents documents que han existit en el següent pdf elaborat pel Ministerio del Interior (Imágenes_dni_histórico) i una mica d'història en un article de la revista Dintel (El DNI: Orígenes y antecedentes). Navegant o surfejant es troba força informació sobre aspectes històrics, anecdòtics i numèrics del DNI: com s'assigna la lletra a cada nombre del DNI (es fa a partir de dividir el nombre per 23 i calcular-ne el residu, n'haurem de parlar), que els nombres més baixos corresponen a DNIs que s'han atorgat més d'una vegada (els DNIs del morts, una llegenda urbana!), que en el document hi ha un nombre que correspon al nombre de persones que es diuen igual que nosaltres (una altra llegenda poc imaginativa), etc. Si en canvi, cerquem informació sobre les proporcions dels diferents formats de DNI no trobem la mateixa diversitat i abundància de fonts. Sembla que bàsicament han existit dos formats, tot i que hi ha hagut molts més canvis en la informació que en cada moment si ha fet constar: un format "gran" (en un diari de 1947 ja he trobat que parlava de 11 cm x 7 cm) i un format "petit" posterior que és el dels carnets actuals, siguin electrònics o no, i que correspon exactament a les dimensions de les targetes de crèdit de les quals ja n'hem parlat (El mite del nombre d'or).

Els que ja tenim més d'una edat hem pogut veure la nostra fotografia en un carnet dels de format gran i color blau (amb el consol  de la frase: ningú no és tan lleig com a la seva foto del carnet). Per als més joves, l'aspecte de la cara anterior del document era aquesta:

A l'esquerra hi anava la foto amb una empremta digital intercalada i en el requadre de la dreta una altra empremta digital. Ja hem dit que les dimensions en centímetres eren enteres 11 cm x 7 cm i d'això en resulta una raó de proporcionalitat de 11 ÷ 7 = 1,571428571428... ben allunyada del nombre auri. Però aquestes dimensions són amb la coberta de plàstic! he mesurat el document en si, sense el folre, i la constant de proporcionalitat que en resulta és 1,615... Algú del Ministerio va fer esforços per introduir la proporcionalitat àuria al document? (una de les moltes teories conspiratives) .

A partir del 1990 el document minva en les seves dimensions:

A part de comprovar que Leonardo era espanyol, podeu veure que, qui ha fet les mesures, les ha arrodonit (superposeu a casa el DNI amb una targeta de crèdit i veureu que coincideixen).

Amb el programa de geometria dinàmica GeoGebra i una mica de paciència (d'aquella que es té quan no hi ha massa feina) em vaig proposar el següent exercici: com s'han de modificar les dimensions d'un DNI actual per convertir-lo en un rectangle auri? I els resultats són aquests (si hi feu clic, ho veureu amb més detall):

Figura 1 Hi afegim un rectangle vertical

Figura 2 Retallem un rectangle horitzontal

Cal indicar que la principal lliçó pràctica que en podem extreure és la utilitat dels programes informàtics de geometria dinàmica. Les longituds dels segments i operacions que hi apareixen han estan calculats pel mateix programa (amb una aproximació de dos decimals que m'ha semblat suficient i amb el centímetre com a unitat de longitud). En la figura1, he mantingut l'altura del rectangle i la franja vermella és el rectangle vertical que hi hauríem d'afegir per aconseguir, amb una aproximació suficient, un rectangle auri. En la figura 2, mantenint la longitud de la base del document, hauríem de retallar per la línia DE per aconseguir la divina proporció.

Algú podria dir que ni falta ni sobra massa per aconseguir rectangles auris, però evidentment qui ha decidit aquest format o el de les targetes de crèdit no tenia pas el nombre auri al cap. Sí que hem vist que en els formats DIN dels fulls, hi estava directament implicada l'arrel de dos (Formats i proporcions: l'arrel de dos versus el nombre auri). La clau està en respondre a la pregunta: quina proporcionalitat o quina idea hi ha darrera dels formats dels DNIs actuals i de les targetes de crèdit?

Formats i proporcions: l'arrel de dos versus el nombre auri

Comencem per un aclariment lingüistic, em ve de gust fer-lo, i d'intenció sobre el títol d'aquesta entrada:
Versus és una preposició, sovint abreujada com vs., que indicava en llatí direccionalitat (la podem traduir com cap a o en direcció a, ja que la paraula que en deriva en català, vers, està restringida , cada vegada més, a contextos literaris). Versus va donar la preposició vers (idèntica en català i en francès) o verso en italià. Ja en el segle XV però, els anglesos la introdueixen en el seu llenguatge jurídic amb el significat de contra i així, més tard passa al llenguatge, sobretot esportiu, denotant combat o enfrontament més o menys incruent (Muhammad Ali vs. George Foreman o Argentina vs. Uruguai) i així ens va arribar a nosaltres, primer del castellà i sobretot a través de la premsa esportiva. Podia haver escrit en el títol: l'arrel de dos contra el nombre auri, però com que —misteris de la ment en vacances— m'ha vingut al cap el film Dracula vs. Frankenstein (1971) del director Al Adamson he optat per versus. Per als professors, les proporcions, √2 i Φ (el nombre auri) no són equiparables als monstres; però per alguns alumnes, potser sí. Els aficionats a les pel·lícules de sèrie B, aquelles de tarda i vespre de sessió doble, em poden recordar que el director espanyol Jesús Franco també va rodar una infame Drácula contra Frankenstein (1974) amb el contra al títol..., però ja és hora que acabem aquesta digressió.

Per introduir aquest tema ho farem amb un qüestió del nivell 3 (1r de batxillerat) de la prova Cangur de l'any 2005 (feu clic damunt de l'enunciat per poder-lo llegir amb més comoditat):

No és massa complicat de trobar la resposta, intenteu-ho i si desistiu consulteu l'enllaç DIN 476 on trobareu la solució i informació sobre la norma DIN 476 que és la que regula els formats dels fulls que generalment utilitzem. Haureu llegit en l'enllaç anterior que les regles per fixar-ne les dimensions són molt senzilles:

• Tots els fulls de la sèrie DIN tenen la mateixa proporció entre el seu costat gran i el seu costat petit.

• Dues grandàries de paper successives han de complir que l'àrea d'una ha de ser el doble de l'altra. Com hem vist en el problema, per exemple, ajuntant dos fulls DIN A4, tenim un  full DIN A3.

• Un full DIN A0 té una àrea d'un metre quadrat.

Les dues primeres condicions ens porten a una raó de proporcionalitat única: en tots els fulls de la sèrie DIN es compleix que la divisió del costat gran entre el costat petit és igual a l'arrel quadrada de dos. Evidentment a la pràctica el quocient de les dues dimensions és aproximadament igual a √2. Fins a quin punt arriba aquesta aproximació? Si agafem un full DIN A4, segurament el format més utilitzat, fa 21,0 cm x 29,7 cm. Fem la divisió:

29,7 ÷ 21,0 = 1,41428571428571428571428571428571...

Obtenim un decimal periòdic mixt amb un 4 com a primer decimal i un perìode de sis dígits, 142857, que es va repetint (en forma fraccionària aquest nombre és 99/70). Si comparem aquest nombre amb l'arrel de dos (√2 = 1,414213562373095048801688724209...), veiem que coincideixen en els primers quatre decimals. Recordem que quan vam intentar comprovar si les targetes de crèdit eren rectangles auris (El mite del nombre d'or) ja ens fallava el primer decimal. Abans de proclamar vencedora a √2 enfront de, o versus, Φ, almenys si analitzem la seva presència en formats nomalitzats, podem presentar alguna objecció. No és massa correcte comparar un full DIN A4 amb una targeta de crèdit, cal cercar el format DIN que més s'hi aproxima en magnitud. Aquest és el DIN A8 (52 mm x 74 mm), però si voleu podem provar també amb el DIN A7 (74 mm x 105 mm) (veieu Mida de paper).

DIN A8:  74 ÷ 52 = 1,4230769230769230769230769...

DIN A7: 105 ÷ 74 = 1,4189189189189189189189189...

Tal com era d'esperar, l'aproximació no és tan bona, però continua sent remarcable.

Per què els llibres de text i les pàgines web continuen insitint amb els rectangles auris quan parlen de proporcionalitat? √2 permet parlar amb rigor, dóna joc a parlar de formats de paper i de fotografia, d'ampliacions i reduccions..., però no té la poesia mítica de Φ!

Construcció d'un rectangle amb raó de proporcionalitat √2 

Com que ja vam explicar com dibuixar un rectangle auri en l'entrada anterior a aquesta (Com dibuixar rectangles auris), no seria just que no parléssim de com representar gràficament els rectangles que compleixen que costat major ÷costat menor  =  √2. El mètode és semblant i  molt més senzill en aquest cas.

Construïm un quadrat de costat b i tracem la seva diagonal (aprofitarem que en qualsevol quadrat el quocient entre la diagonal i el costat és √2). Amb el compàs traslladem la diagonal a l'horitzontal, tal com indica el dibuix, i ja hem acabat (b+a) ÷ b = √2!

Com dibuixar rectangles auris

En una entrada anterior (El mite del nombre d'or) comentava que la proporcionalitat àuria no és tan ubiqua com molts articles de divulgació matemàtica ens volen fer creure. Torno a indicar que un rectangle s'anomena rectangle auri si la raó, quocient o divisió, entre els seus costats, major entre menor, és igual al nombre auri que s'indica amb la lletra grega Φ. Aquest nombre és igual a (1 + √5)÷2; per tant, és un nombre irracional i podem donar un llistat d'i·limitats decimals amb la impossibilitat de trobar-hi cap periodicitat :
Φ  = 1,618033988749894848204586834365...

En aquell article vam dividir les dimensions de les targetes de crèdit (85,60 mm x 53,98 mm), que alguns textos donen com exemple de rectangles auris, i el quocient s'apartava de la raó àuria (85,60÷53,98 = 1,585772508336...). Com que cal ser crític i per ser-ho cal començar per els propis raonaments, deixeu-me que comenci tirant pedres a la meva teulada:

• En primer lloc, cal dir que els instruments de mesura (regles, peus de rei, balances, rellotges, etc.) tenen sempre una precisió determinada. Per tant quan mesurem, obtenim un nombre finit de decimals; és a dir, obtenim un nombre racional. Això vol dir que a la pràctica, com que la divisió de dos racionals és també un nombre racional, fent la divisió de dues mesures de longitud no obtindrem mai exactament el nombre Φ que és irracional; sinó, com a molt, una aproximació (1,6; 1,62; 1,618; etc.).

• Que sigui impossible l'obtenció exacta de Φ com a quocient de mesures obtingudes a la realitat, no vol dir que no puguem donar un mètode gràfic, amb regla i compàs, per construir un rectangle auri ideal. Passa el mateix que amb  √2 (un altre nombre irracional famós): en un quadrat d'1 m de costat, la diagonal mesura √2 m, només cal aplicar el Teorema de Pitàgores per comprovar-ho. Ara, tots els quadrats 1 m x 1 m que podem construir o dibuixar a la realitat s'aproximaran, més o menys, al quadrat ideal depenent de la metodologia, aparells utilitzats... 

Construcció d'un rectangle auri

Comentem amb més detall aquest segon punt, per això necessitarem el següent dibuix:

Si, tal com passa en el dibuix,  es compleix la igualtat de la dreta del gràfic, els segments b i a guarden la divina proporció o la proporció àuria (de fet la definició de raó àuria es fa a partir de la proporcionalitat de segments, per passar després als rectangles) . Per a qualsevol persona que sàpiga solucionar equacions de segon grau, és fàcil demostrar que de la igualtat dels dos quocients (la suma de segments a + b entre el segment major, b, és proporcional al quocient del segment major entre el menor) és dedueix que la raó o constant de proporcionalitat és Φ. Per tant, el rectangle de base b + a i altura b és un rectangle auri.

Com podem construir un rectangle auri? Només ens calen conceptes molt senzills de dibuix. Cal construir primer un quadrat de costat b (n'ometo els detalls, però només cal regla i compàs, i un llapis és clar!). Tal com es veu en el dibuix anterior, en dividim la base per la meitat (tracem la mediatriu del segment b) i tracem la diagonal que va de la meitat de la base al vèrtex superior del quadrat. Traslladant amb el compàs aquesta diagonal sobre l'horitzontal obtindrem la base del rectangle (b+a) i quasi ja tindrem la feina acabada. Els que sabeu representar nombres irracionals damunt de la recta real, podeu observar que, encara que la construcció no és la única possible, si b és la unitat, b + a = Φ.
 
Que aquesta construcció sigui tan senzilla de fer i tan poc rebuscada, podria recolzar la idea que des de l'antiguitat els pintors, dibuixants, arquitectes, etc. l'hagin utilitzat a dojo...

El mite del nombre d'or

Podeu comprovar que la primera entrada d'aquest bloc va estar dedicada al nombre auri (El nombre auri i el senyor Disney) i que vam recuperar i ampliar la mateixa temàtica en una altra entrada (El nombre auri i la successió de Fibonacci). En un comentari a Ovelles, rigor i matemàtiques, apuntava però: " ... perquè els aficionats a les matemàtiques i alguns divulgadors volen veure el nombre auri pertot arreu?". Ara hi tornarem, però des del punt de vista que indicava aquest comentari; cal dir-ho, per desmitificar — les matemàtiques quan volen interpretar la realitat poden caure en el mite— la presència ubiqua d'aquest nombre en fenòmens naturals, artístics, econòmics...

La inspiració i les ganes d'escriure aquests paràgrafs em van arribar llegint un excel·lent article aparegut el 27 de juny d'aquest any en el diari Faro de Vigo. L'article en qüestió és de l'economista i matemàtic Juan José R. Calaza i es titula El mito del número de oro (feu clic en el títol i accedireu al seu contingut del qual en recomano una lectura atenta). Cal dir que vaig arribar a aquest escrit a través d'un bloc dedicat exclusivament a recollir notícies de premsa relacionades amb les ciències exactes:

Si cerqueu informació sobre el nombre d'or, veureu que l'embolic ja comença a l'hora de posar-se d'acord en la denominació: nombre d'or o auri, proporció o raó àuria, divina proporció... De moment, Viquipèdia es decanta per Secció àuria. Per cert,  un exercici interessant consisteix en comparar els articles de Wikipedia en els diferenst idiomes i, sobretot, clicar a la pestanya Discussió i comprovar si hi ha alguna polèmica entre els articulistes d'aquesta enciclopèdia digital. En quant a la simbologia, aquest nombre s'acostuma a indicar amb la lletra grega fi majúscula (Φ)o amb la fi minúscula (φ).

Per què és complicada i discutible la comprovació que Φ (pronuncieu, sense afectació,  fi) és present en algun fenomen o estructura natural, en una obra d'art, ...? Per començar, Φ és un nombre irracional, això vol dir que té il·limitats decimals no periòdics:

Φ = (1 + √5)/2 =1,6180339887498948482045868343656381177203...

Si no ens cal l'exactitud matemàtica (de fet, a la pràctica és impossible), el podem aproximar a algun nombre racional (81/50 = 1,62; 8/5 = 1,6), però d'aquí als excessos que s'han donat hi ha un bon tros! Arribat a aquest punt, confesso que també m'he deixat portar per afirmacions gratuïtes que han fet i segueixen fent els llibres de text i les publicacions digitals i que —mea culpa— amb els alumnes de secundària ens hem dedicat a mesurar les dimensions del DNI, de les targetes de crèdit o, davant de la trista absència d'aquestes, del carnet del Club Super 3... també hem dividit la longitud de la falange distal de l'índex per la seva amplada, etc. Abans de continuar, he de dir que un rectangle s'anomena rectangle auri o rectangle d'or si, al fer la divisió de la longitud del costat major entre la del menor, ens dóna Φ. I aquí es presenta el problema, donades les imprecisions de les mesures i la il·lusió que la divina proporció faci acte de presència, inevitablement acaba apareixent. Com que corro el risc que això es converteixi en un megapost —perdoneu el neologisme híbrid del grec i de l'anglès— i la qüestió donarà per més, em centro en les targetes de crèdit.

No cal agafar el regle ja que les seves dimensions estan normalitzades per l'ISO 7810, fan 85,60 mm x 53,98 mm. Si feu la divisió de les dues longituds, dóna un nombre racional amb un període de 62 decimals: 1,58577250833642089662838088180807706557984438680992960355687291 (i torna a començar). Per cert, la fracció generatriu d'aquest nombre és 4280/2699. Si arrodonim les longituds (86 mm x  54 mm), i fem la divisió 86/54, obtenim 1,59... Aquest no és el cas més flagrant i algú em pot replicar que 1,59, arrodonit a un decimal, és 1,6 i que  Φ ≈ 1,6. Però si voleu, feu la prova amb uns regles dels habituals, unes quantes persones mesurant i a veure quants quocients diferents obteniu! A continuació, parleu del nombre d'or, de la seva harmonia estètica i convideu-los a tornar a fer la mesura i la divisió...

En properes entrades parlarem de: les dimensions del document nacional d'identitat (DNI) a Espanya, de com han anat canviant les proporcions i de com, curiosament, es continua utilitzant com exemple de proporcionalitat àuria; dels cànons de bellesa en les arts plàstiques i... Ep! Ara no us penseu que Φ no apareix enlloc.