Continuem amb els decimals de Pi: Universo matemático i d'altres

Quan vaig publicar l'article immediatament anterior a aquest, Com es poden calcular els decimals de Pi?, em vaig guardar, per a una altra ocasió, algunes informacions i comentaris que em semblaven interessants. En aquests temps postmoderns en els quals vivim, on les grans novel·les han estat substituïdes pels reculls de contes (breus, no sigui que se'ns cansi la vista), un text extens és, per definició, defectuós. I si parlem d'un bloc, es valoren més les petites i digestives píndoles textuals que un reguitzell de paràgrafs. M'agrada nedar contracorrent, però cal fer-se el mort de vegades, i ja comprovareu que  aniré desenvolupant els mateixos temes sota de diferents títols (i, de moment, em resisteixo al "leer más" del blogger, però ja hi cauré). Vull dir, en resum, que veig convenient, estilísticament i per que és costum, no fer entrades massa llargues, però que això m'obliga a fer sèries d'articles i lligar-los. Bé, anem per feina!

Televisió espanyola (RTVE) va produir l'any 2000 una sèrie anomenada Universo matemático (fins i tot, Wikipedia en parla) de deu documentals encabida dins del programa La aventura del saber. Desconec l'hora d'emissió, però el més probable és que acompanyés les migdiades o els cops de cap, de després de sopar o de l'entrada de la matinada, dels nostres conciutadans.Un dels capítols portava l'ocurrent títol de Historias de Pi (feu-hi clic i podreu veure aquest episodi, que no arriba a la mitja hora, en el web oficial, no sigui que la gent de EGEDA se'ns enfadi). El documental, que no és cap prodigi de producció audiovisual, està força bé en quant a continguts i guió: parla de Srinivasa Ramanujan (de l'anècdota del 1729, de la sèrie de Ramanujan per calcular decimals de π...), d'Arquimedes (aproximacions de π, càlcul d'àrees i volums...), dels avenços en el càlcul de més i més decimals d'aquest nombre, etc. L'únic contingut que posaria en dubte és que la raó entre la longitud d'un riu i la distància en línia recta des del seu naixement fins al mar s'aproxima a π. El documental parla de rius llargs i que és la mitjana d'aquesta raó de longituds, calculada per a rius d'aquesta característica, que s'hi aproxima (quan afirmem una falsedat o no som massa rigorosos, el millor es rodejar-ho de totes les prevencions possibles).

I més: Gaussianos informava el 8 d'agost d'enguany d'un nou rècord en el càlcul de decimals de π. El 2 d'agost Shigeru Kondo i els seus col·laboradors van aconseguir calcular 5 bilions de decimals d'aquest nombre irracional. Sembla que en aquesta ocasió no hi ha hagut la freqüent errada de traducció de l'anglès i els 5 bilions són cinc milions de milions (one billion en anglès són, només, mil milions).

La notícia més estranya que he llegit últimament sobre els decimals de π és que un investigador de Yahoo, Nicholas Sze, ha calculat el decimal que ocupa el lloc dos mil bilions, és un zero, i alguns decimals propers. Resulta interessant que per calcular-los no ha necessitat llistar tots els decimals anteriors (podeu llegir-ho a Microsiervos).  Aviso que, en aquest cas, no he contrastat la informació, cosa que és una obligació de tothom —i en particular, d'aquesta espècie en perill d'extinció, que s'anomena bon periodista. He llegit el mateix en diversos webs, però es veu que s'han limitat a copiar-se. Confeso que els meus dubtes, es deuen a això de "un investigador de Yahoo" . Us convido a investigar-ho pel vostre compte i agrairia qualsevol comentari al respecte. Ah! i no us perdeu, perdoneu-me la repetició, Historias de Pi.

Com es poden calcular els decimals de Pi?

Fa poc, una companya de docència em comentava que uns alumnes li havien preguntat com es calculaven els decimals de π. Aquests tipus de preguntes no són gaire freqüents, les més habituals acostumen a ser del caire de:

• quant falta per acabar la classe? (molts alumnes no porten rellotge: el mòbil fa de rellotge, de calculadora, d'àngel de la guarda...)
• això entra a l'examen? (s'acostuma a fer en el moment de màxima emoció del professor quan, per exemple, està comentant que els pitagòrics tenien prohibit menjar faves)
• que puc anar al lavabo? (Groucho Marx explica en un dels seus llibres que, un dia, quan la seva petita filla Melinda acabava d'arribar d'escola, ell li va preguntar: — què heu fet avui?; — pipí i dibuixos, papa!)

De vegades, però, es manifesta la curiositat natural de la nostra espècie —aquesta curiositat  que hem de maldar en mantenir— i se'ns pregunta pels decimals de π. Quan vaig sentir el comentari, els meus pensaments es van dirigir als polinomis o sèries de Taylor i a les fraccions contínues; però, evidentment, no és el camí a seguir per respondre als nostres alumnes de secundària i, malauradament, tampoc és la drecera que entendrien la majoria dels nostres llicenciats universitaris (perdó, volia dir graduats).

En aquest cas, el que sembla un primer intent seriós de contestar aquesta pregunta, històricament parlant, és també el més senzill d'entendre. Arquimedes de Siracusa (c. 287 AC – c. 212 AC) va aplicar el mètode d'exhaustió per calcular aproximadament el valor de π. Un incís: en català sovint dubtem entre Arquímedes, paraula esdrúixola,  i la plana Arquimedes. Aquesta darrera opció és la més correcta i la més fidel al nom grec original (vegeu, si us plau, la ressenya que fa Francesc J. Cuartero del llibre La transcripció dels noms propis grecs i llatins de Joan Alberich i Montserrat Ros).

Arquimedes (a Viquipèdia, en català)

Archimedes (A MacTutor, en anglès)





Com que π és la raó o quocient entre la longitud o perímetre d'una circumferència i el seu diàmetre, mitjançant polígons regulars inscrits i circumscrits i augmentant-ne els costats, Arquimedes va aconseguir bones aproximacions del nombre que ens ocupa. A internet hi ha una munió de documents que expliquen amb més o menys detall i rigor aquest mètode. N'he triat alguns que m'han semblat interessants i que contenen d'altres detalls de la història de π:

• El número π: de la Geometría al Cálculo Numérico. L'autor és Roberto Rodríguez del Río. La pàgina 5 d'aquest document explica d'una manera breu i entenedora, a grans trets, els càlculs d'Arquimedes. Si sou alumnes desvagats, doneu una ullada a aquesta pàgina 5 per fer-vos una idea (poso en negreta la frase per tal que us sigui més fàcil de localitzar si llegiu en diagonal).

• Historia de las fórmulas y algoritmos para π de Jesús Guillera Goyanes. Article aparegut a la molt recomanable Gaceta de la RSME.

• Història del nombre π. A la inevitable Viquipèdia. Consell: feu clic per passar-vos a la versió anglesa que és molt més completa o consulteu Numerical approximations of π també a Wikipedia. Per evitar els esbufecs dels nacionalistes més aïrats d'una banda i de l'altra, diré que la versió anglesa és millor i, amb aquesta extensió i profunditat, no hi ha, ara mateix, versió castellana.

•  Sobre la longitud de la circunferencia y el área del círculo a Gacetilla Matemàtica . Explica bé algun dels càlculs d'Arquimedes.

I això no és tot, però ja hi tornarem un altre dia.

Les arrels no europees de les matemàtiques

El llibre The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics de George Gheverghese Joseph va ser publicat, en l'anglès original, el 1991. L'autor va néixer a la ciutat índia de Kerala, però és va traslladar a Kènia amb la seva família de ben petit, més tard va rebre formació universitària en  l'anglesa ciutat de Leicester i va treballar a les universitats de Manchester i Toronto. A més, com comenta en el prefaci del llibre, entre els seus avantpassats hi ha cristians siris ortodoxos: aquesta herència i formació variada justifiquen, segons ell, la passió que l'impulsa a escriure aquesta obra que ara ens ocupa.

The Crest of the Peacock va ser publicat en castellà per Ediciones Pirámide, del grup Anaya, el 1996. Van respectar força el títol, el van traduir com La cresta del pavo real: Las matemáticas y sus raíces no europeas. L'estranya referència al  pavo real s'entèn perfectament quan es llegeix un text vèdic que apareix després de la dedicatòria en les pàgines inicials. Aquest text compara les matemàtiques amb la cresta d'aquest ocell.

El llibre ofereix una perspectiva alternativa a les històries de les matemàtiques que el autor anomena eurocèntriques. Amb les següents figures extretes del llibre, entendrem millor què vol dir "visions eurocèntriques" de la història de les matemàtiques:

Tant en una trajectòria com en l'altra, les matemàtiques neixen a l'Antiga Grècia. En la segona, ara la més habitual en molts textos, s'admeten les aportacions secundàries d'Egipte, de Mesopotàmia i dels àrabs. Cal aclarir que quan l'autor parla d'Europa o de la matemàtica europea no ho fa en un sentit estrictament geogràfic: així, per entendre'ns, els japonesos Goro Shimura (1930) i Yutaka Taniyama (1927-1958), autors del teorema que porta el seu nom (Teorema de Taniyama-Shimura), són matemàtics de tradició i mètode europeu.

La trajectòria que proposa George Gheverghese Joseph per a una de les etapes crucials és més rica i complexa:

El llibre, de 494 pàgines, és una joia, però no admet una lectura lineal i ràpida, comú en d'altres llibres de divulgació. És més una petita enciclopèdia amb capítols independents on es revisa la matemàtica de l'Amèrica precolombina, de l'antic Egipte i Babilònia, de l'Índia, de la Xina i del món àrab clàssic.

Que jo sàpiga no hi ha cap més obra d'aquest autor disponible en castellà. La Societat Catalana de Matemàtiques, però, va tenir el bon criteri de convidar-lo, el 2004, a la Setena Trobada Matemàtica que versava sobre Matemàtica: unitat i diversitat i vam poder assistir a una brillant ponència amb el títol de Medieval Kerala Calculus, its possible transmission to Europe and the Jesuit conduit (fent clic podreu veure els resums de les conferències d'aquesta Setena Trobada).

La matemática en sus personajes

Com que ja ha passat la Diada de Sant Jordi d'enguany, amb aquest article no corro el risc de modificar els rànquings dels llibres més venuts. Per cert, no sé perquè insisteixen en classificar els llibres pel nombre d'exemplars suposadament venuts i no pels beneficis obtinguts (els preus varien força i els marges comercials crec que també). Un paràmetre interessant a mesurar seria quants llibres es llegeixen realment i la satisfacció de l'usuari, però ja entraríem en el camp de la ciència-ficció, del marquèting o de l'estadística. A més, com que ja fa uns anys que han aparegut els llibres "mediàtics", expressament pensats per aquesta Diada, i els "no-llibres" per regalar a la gent que no els agrada llegir, qualsevol discurs sobre aquest tema no ens portaria enlloc i que Salvador Espriu ens perdoni a tots.

La matemàtica en sus personajes és una col·lecció de biografies de matemàtics que l'editorial Nivola (no sé si els hereus d'Unamuno podrien presentar demanda pel nom manllevat) fa anys que publica. Aquesta arriscada tasca des del punt de vista comercial es mereix totes les lloances, però tampoc m'he dedicat a esbrinar qui hi ha darrera de l'editorial i si es refia de vendre llibres de temàtica científica o matemàtica per poder portar el plat a taula. La redacció dels diferents títols, tot i que mantenen una certa unitat d'edició i estil, s'han encarregat a diferents persones, generalment de nacionalitat espanyola, relacionades amb el món de la matemàtica. N'he llegit uns quants, i n'he fullejat més, i els puc recomanar per a tots aquells que gaudeixin amb la història de la matemàtica o que necessitin una aproximació biogràfica fiable per a la redacció d'algun treball a l'educació secundària. El nivell de coneixements necessaris per seguir-los amb comoditat varia d'un títol a l'altre i l'extensió també és variable: el volum 2 dedicat a Fermat té 106 pàgines i, en canvi, el 6 sobre Euler en té 280. Aquest darrer és l'únic volum, que sàpiga, que ha estat traduït de l'anglès i no és un encàrrec de l'editorial. Si voleu saber els títols que formen la col·lecció, cliqueu a la imatge del llibre que la va començar:

Els llibres es poden llegir de manera independent i els podeu trobar en moltes llibreries. Si no us voleu rascar la butxaca (no tinc comissió de l'editorial), també estan disponibles en biblioteques públiques i en algunes biblioteques escolars.

Ja que ha sortit el nom d'Euler no me'n puc estar de dir que és preocupant el desconeixement general de la seva importància. Ho podríem començar a arreglar pronunciant correctament el seu cognom: no digueu e-u-l-e-r! Quan tingueu dubtes en la pronúncia de qualsevol paraula o nom estranger, una bona solució que trobareu a la xarxa és Forvo. Un web de San Sebastián (!?) on podreu sentir a parlants nadius de diversos idiomes.

 

Si voleu sentir com sona Leonhard Euler en alemany, cliqueu en el seu retrat i entrareu en una pàgina on sentireu que el seu cognom comença per "oi" i que no cal dir l'erra final (podeu fer tranquil·lament una vocal neutra catalana). És veritat que, suposo que per no semblar pedants o per influència del castellà, molts matemàtics catalanoparlants pronuncien l'erra.

MacTutor: Història de les matemàtiques i biografies

Hi ha excel:lents llibres i col·leccions on podem consultar la història de les matemàtiques o les biografies de matemàtics destacats i en parlarem, segur, en més d'una entrada. Però quan es tracta d'obtenir informació fiable a la xarxa, un dels millors webs que he trobat és The MacTutor History of Mathematics archive de l'escocesa University of St. Andrews. Conté un índex de biografies que permet la cerca alfabètica o cronològica i abasta també els matemàtics contemporanis (informació més difícil de trobar en format paper). Té també un complet índex de History Topics i, fins i tot un, índex de corbes "famoses". Diria que és de consulta imprescindible per l'estudiant que ha de redactar un treball d'un cert rigor o per l'aficionat a les Ciències Exactes (si encara les podem anomenar d'aquesta manera). Això sí, requereix el domini de l'idioma anglès, però no he trobat cap web que li faci la més mínima ombra ni en català ni en castellà (si m'equivoco, us agrairia que m'ho féssiu saber).

Cliqueu a les imatges per accedir al MacTutor o  a l'School of Mathematics and Statistics de la Univ. de St. Andrews:






 


 
Vaig descobrir aquest web gràcies al també excel·lent , i aquest en català, Aquí Matemàtiques! on podeu trobar d'altres enllaços d'interès sobre història i biografies.

Els Elements d'Euclides

La majoria de llibres de text de secundària passen de puntetes per la història de les matemàtiques i no es molesten en descriure el mètode d'aquesta ciència. No n'he fet un estudi seriós, però suposo que els matemàtics de l'Antiga Grècia que hi són més citats són Tales de Milet i Pitàgores (de fet apareixen en els programes de l'assignatura només perquè donen nom als teoremes que els hi són atribuïts). Si en cerqueu informació biogràfica veureu com les diferents fonts difereixen en els anys de naixement i mort, la majoria de les vegades sense citar en què es basen. Feu la prova a Viquipèdia amb Pitàgores: mireu la data de naixement i mort i tot seguit aneu canviant l'idioma, veureu com en els diferents articles les dates ballen, en molts casos sense cap explicació (i el mateix passa en webs especialitzades i enciclopèdies en paper). Sigueu prudents i crítics, per tant, quan digueu que Pitàgores va néixer el 569, 570 o 582 aC o que Tales va néixer el 624 aC (millor si dieu cap al 630 aC).

Comento tot això perquè en aquest article vull parlar d'Euclides, en particular de la seva obra Els Elements, i hauríem de començar explicant que Euclides, nascut el 365 aC o el 325 aC o..., es bastant posterior als seus companys d'afició, que no d'ofici. Ningú s'atreviria a afirmar que Beethoven i The Beatles van ser contemporanis, però quan es tracta dels savis grecs hi ha gent que se'ls imagina tots menjant olives en la mateixa taula.  Euclides en els tretze llibres d'Els Elements fa un compendi escollit de les matemàtiques gregues, però ho fa seguint un mètode axiomàtic i deductiu i d'aquesta manera posa els fonaments al mètode que tots els matemàtics actuals segueixen. De fet Els Elements es van utilitzar com a llibre de text d'introducció a la geometria durant molts segles.

Si voleu donar una ullada a aquesta obra ho podeu fer en línia i amb un modern applet de geometria (heu de tenir activat Java al navegador) a www.euclides.org. Si voleu accedir directament a la versió catalana, cliqueu a la següent imatge:

Per cert, la imatge és un detall del quadre L'Escola d'Atenes de Rafael (1483-1520). Els estudiosos no es posen d'acord en si el personatge principal representat és Euclides o Arquimedes.

Un enigma

La Setmana de la Ciència que se celebra anualment és més una festa de les ciències inductives (o hauria de dir hipotètico-deductives o experimentals?) que no pas de les ciències deductives o formals. L'any 2004 (com passen els anys!), dins de les activitats que es van proposar per commemorar la Setmana a l'escola on treballo, es va efectuar un concurs de preguntes de temàtica científica. Hi vaig contribuir amb el següent enigma que us transmeto amb lleugeres modificacions:

"La solució d'un enigma va ajudar força a la victòria dels aliats sobre els alemanys  en la Segona Guerra Mundial. Un matemàtic britànic hi va contribuir decisivament; però, tot i les semblances, el final de la història no va ser tan feliç com el conte de Blancaneus. Quin o què era aquest enigma? Com es deia aquest matemàtic? Blancaneus, què hi té a veure en tot això?" 

L'enigma resta obert. I ja és el segon d'aquest bloc! (Veieu Qui és el personatge del quadre?) N'anirem afegint més i encara que no sempre es corresponguin exactament amb el sentit estricte de la paraula enigma, els trobareu en la categoria Enigmes.

Qui és el personatge del quadre? La invisibilitat dels matemàtics

L'il·lustre personatge del qual heu d'endevinar el nom és el que apareix en el quadre més gran (cliqueu a la fotografia si la voleu ampliar). La foto és un muntatge que he fet amb l'ajuda de Photofunia. En aquest web podeu aconseguir efectes interessants amb les vostres fotografies d'una manera molt senzilla.

Amb aquest repte és fàcil demostrar que els científics i els matemàtics, encara més, són invisibles i inexistents pels mitjans de comunicació i la societat en general. Si sabeu la resposta o voleu provar sort, envieu els vostres comentaris.