Actualitat matemàtica... en diferit!

Tempus fugit

Si l'Ara que apareix en el nom d'aquest blog fos un simple adverbi de temps –en lloc d'una paraula que forma part d'una exclamació–, caldria eliminar-lo per mentider. Quan comento qualsevol notícia de l'actualitat matemàtica, ja han passat setmanes des que es va produir: vet aquí la paradoxa! Fa uns anys, encara aconseguia una certa promptitud en la redacció d'algunes entrades; però, darrerament, se m'acumulen les novetats i, quan en parlo, ja han deixat de ser-ho. Dec repapiejar, perquè això mateix ja ho he escrit d'altres vegades: si us passeu per Miscel·lània: de la Prova CiMs al Cangur, passant per Pi, ho comprovareu.

Qui no cerca cònsol és perquè no vol... i podria ser pitjor! En els enllaços recomanats, en la columna de la dreta del blog,  hi podeu trobar un  blog força correcte, anomenat Actualidad matemática, amb una darrera entrada del 21 de novembre de 2011. I a casa nostra tenim un diari que s'anomena Avui –que, evidentment i en el millor dels casos, dóna, les notícies d'ahir– i un altre, encara més agosarat, que es diu Ara (que competeix amb un servidor en les cerques de Google que contenen les paraules ara i matemàtiques). Clar que hi ha casos més eloqüents de "deixadesa temporal": La Vanguardia, que porta un nom que només es pot justificar per motius històrics, és capaç d'il·lustrar una notícia de l'Olimpíada matemàtica d'enguany amb un problema d'aquesta competició, però del 2012 (ja ho comentaré amb més detall).

Aquells que esteu amatents a les activitats i notícies que fan referència a les matemàtiques –feina àrdua en aquest país si ho heu de fer a través dels mitjans d'informació generalistes–  podeu trobar que el contingut d'aquest article ja ha caducat; però, per aquells altres que us interessen les matemàtiques, tot i no estar-hi directament implicats,  em sabria greu no deixar constància d'alguns fets rellevants del mes passat i del mes en curs.

Ara va de bo. Llistat de notícies i activitats (en ordre cronològic)

5 de març. CiMs-CELLEX: les inquietuds desateses

El 5 de març van tenir lloc les proves de selecció per a les beques que concedeix la fundació CELLEX a les quals poden optar els alumnes de 4t d'ESO (si desconeixeu de què estem parlant podeu consultar l'entrada del blog Les beques CiMs-CELLEX i una demostració trivial o anar directament a http://www.cims-cellex.cat/). Si no hagués conegut la convocatòria prèviament, me n'hauria adonat per les nombroses consultes que s'han produït en aquest blog a partir de les cerques relacionades amb les paraula CELLEX, i per algun comentari que m`ha arribat via digital a propòsit de les entrevistes que durant el mes d'abril tenen els alumnes preseleccionats. Jo hi he dedicat alguns articles, però alguna cosa falla en la comunicació d'aquesta fundació quan les persones interessades acaben anant a parar a aquest blog. La concreció del temari d'aquestes proves continua sent molt pobre, la transparència en els continguts dels exàmens és nul·la, etc. Crec que la inquietud i l'interès que desperta aquest programa es mereix una mica més d'atenció. Em sembla que es desaprofita una ocasió per promocionar les matemàtiques més enllà dels afortunats, espero, alumnes que accedeixen a cursar aquest Batxillerat Internacional. L'organització sí que ha donat a conèixer els estudis que cursen els alumnes que ja han acabat (feu clic a promocions anteriors).


14 de març. El dia de Pi (enguany, dels enginyers)

El 14 de març de cada any se celebra, de manera extraoficial (la ONU ens té abandonats), el dia de Pi. Si voleu saber el motiu d'aquesta festa tradicional, podeu consultar El dia de Pi (I). Una invitació. Si passem la data del 14 de març de 2016 (14-3-16) a la notació nord-americana 3-14-16 o 3,1416, podem dir que aquest any teníem un dia de Pi especial: 3,1416 és un dels arrodoniments d'aquest nombre irracional més utilitzats. Perdoneu-me la broma de dir que ha estat el dia de Pi dels enginyers, que en tenen prou amb les aproximacions.

No crec que els del Creamat hagin pensat en mi quan ho van publicar, però va bé saber que hi ha dies de Pi alternatius per si no estem al cas i no el celebrem com cal el dia 14:

Alternatives al dia de Pi (Font: Creamat)

15 de març. S'atorga el Premi Abel a Andrew Wiles

Andrew Wiles, un dels grans matemàtics contemporanis (sens dubte!), va aconseguir merescudament el Premi Abel. De Wiles i de la demostració de la conjectura de Fermat ja n'he escrit algunes entrades i ja he comentat com, per poc (quan es va confirmar la validesa de la seva demostració tenia una mica més quaranta anys), no va aconseguir la medalla Fields. El 15 de març es va fer pública la concessió del Premi a Wiles (vegeu-ho al web de The Abel Prize, us recomano que us hi passegeu una mica perquè hi ha informació interessant). Sorprenentment, ha estat l'únic premiat d'enguany: generalment hi ha més d'un guardonat. Quan he vist la foto de Wiles, que ja és grandet, m'ha sorprès una mica, com passa el temps! (De fet, el temps "no passa", però ara no entraré en el tema).

Sir Andrew J. Wiles (Font: The Abel Prize)

31 de març a 3 d'abril. 52a Olimpíada Matemàtica Espanyola

La fase espanyola de l'Olímpiada matemàtica es va celebrar a Barcelona (aquí teniu el web oficial). Aquesta vegada ha estat notícia per a la premsa nacional i, fins i tot, han publicat algun problema:

Un problema de successions (Font: La Vanguardia)

Clar que el títol de la notícia era digne de la premsa més nostrada (¿Serías capaz de resolver este problema matemático?), la majoria dels comentaris dels lectors ratllaven l'estupidesa més absoluta,  força habitual en aquesta publicació,  i el problema era de l'edició del 2012 (això ho vaig descobrir més tard); però, el problema em va semblar tan interessant que em vaig posar immediatament a gargotejar un intent de solució en el paper que tenia més a prop. Ja us n'informaré amb més detall...


7 d'abril. Unes Proves Cangur ben multitudinàries!

El Cangur 2016, que es va desenvolupar el 7 d'abril, ha abastat més cursos que mai, des de 5è de primària fins a segon de batxillerat i, a l'espera de les dades oficials, segur que la participació ha estat multitudinària. Espero fer-ne una anàlisi més detallada, però, mentrestant, us deixo un parell de fotografies que mostren que la diversitat d'escenaris de la prova tenen en comú la concentració dels participants.

Responent a la Prova Cangur en una de les sales de l'Institut d'Estudis Catalans

(Font: twitter de l'IEC)

El Cangur 2016 al Palma Arena (Font: twitter SBM-XEIX)

Espero poder aprofundir en alguna d'aquestes notícies més endavant... i que no sigui amb tanta dilació!

El Cangur 2015 ha estat un èxit..., però no pas mediàtic!

Un deute pendent

Començo pel mea culpa i parlant del nombre π , encara que no vingui a tomb. He deixat escapar el Dia de Pi més perfecte del segle, sense dedicar-li una entrada en el blog! La data i l'hora exacta eren el passat 14 de març a les 9 hores 26 minuts i 53 segons (3/14/15 at 9:26:53 a.m. en notació nord-americana, tal com podeu llegir en The Boston Globe). Efectivament, la data i l'hora concordaven amb el deu primers dígits d'aquest nombre irracional: π = 3,141592653... Mira que d'altres vegades havia arribat a temps a la commemoració (vegeu El dia de Pi (I). Una invitació) o havia fet una mica tard per lligar-ho amb el Cangur (Saltem! Del dia de Pi al Cangur 2013); però, enguany, he arribat a misses dites (i així començo i acabo el paràgraf, amb una locució d'origen religiós).


Saltem al Cangur 2015! Dades de participació

Com que això del Dia de Pi no deixa de ser una atracció per a "turistes falsament interessats en les matemàtiques" (com allò dels eclipsis solars del segle per a gent que rarament mira enlaire), passo a fer-vos cinc cèntims de la celebració del Cangur 2015 a casa nostra.

Vaig tenir la sort de no poder-ho sentir, però algú em va comentar que el 19 de març, de bon matí, una emissora de ràdio nostrada ens desinformava amb la notícia de "no sabem ben bé què" d'unes "olimpíades matemàtiques", anomenades Cangur, que servirien per comprovar el nivell de matemàtiques dels nostres estudiants; això sí, a partir de "problemes de la vida quotidiana"!

Deixem aquesta genteta dels micròfons i passem a la gentada! Tal com vaig escriure en l'entrada anterior (El Cangur es fa més gran... o més petit?), enguany la Societat Catalana de Matemàtiques convocava per primera vegada un Cangur per als alumnes de 5è i 6è de Primària. La participació en l'estrena del Canguret va ser nombrosa, uns disset mil participants. En l'edició local (Catalunya, Catalunya Nord i Andorra) del "Cangur gran", de 3r d'ESO a 2n de Batxillerat, hi havia més de vint-i-dos mil estudiants inscrits d'uns 650 centres educatius. Això vol dir que, al voltant del Cangur petit i el gran, es van aplegar  un total d'uns quaranta mil nois i noies. I hi podríem afegir les dades de participació de les Illes Balears (aquí) i del País Valencià!


Algunes notícies

Que les matemàtiques i el seu ensenyament rarament són notícia positiva, ja ho sabem. Sí que se'n parla per fer rebombori: els informes Pisa (o "informes Trepitja" en la versió de sa consellera Joana Maria Camps), les avaluacions diagnòstiques... En canvi, en els mitjans, aquest Cangur va passar força desapercebut. Cal dir que, quan s'organitzen aquestes activitats, potser necessitaríem "caps de premsa" i saber-nos vendre. Però costa demanar més a unes organitzacions, la del Cangur i la de tantes altres activitats matemàtiques, que es basen en el voluntariat més desinteressat.

A continuació, comparteixo amb vosaltres, un parell d'informacions periodístiques sobre el Cangur 2015.

A Barcelona Televisió ho van titular 20 edicions de la prova que busca despertar l’afició per les matemàtiques. Si feu clic en el títol anterior, podreu accedir al vídeo que van emetre (he desistit d'inserir-lo per problemes tècnics).

En una de les edicions locals de  La Vanguardia, també se'n feien ressò amb Les proves Cangur posen a prova l'habilitat en matemàtiques de més de 24.000 estudiants en el seu 20è aniversari.

I poca cosa més es va publicar en els mitjans més generalistes... La bona notícia es va quedar a les aules i va ser l'interès i la il·lusió de tants estudiants i professors per participar en unes Proves de contingut matemàtic. Vaja, que encara n'hi ha que gaudeixen pensant!

 

Miscel·lània: de la Prova CiMs al Cangur, passant per Pi

Pròleg. A manera de disculpa

Els lectors, més o menys habituals, deveu pensar que tinc el blog abandonat! Enguany, m'havia plantejat ser més regular en la publicació d'entrades, però no me'n surto de fer compatible el dia a dia amb la redacció d'articles. I no serà per falta d'idees! L'anumèrica premsa d'aquest país ja dóna per redactar, si més no, un comentari setmanal: per exemple, tinc previst escriure quatre cosetes sobre probabilitat condicionada i proves de detecció de malalties o sobre les aplicacions de les matemàtiques i la física en la recerca d'avions perduts (un parell de diaris nacionals ho troben extraordinari i, a més, apunten que l'ús pràctic de l'efecte Doppler és innovador!). Per no parlar de temes que he anat apuntant i que resten pendents... Però hi ha molts escrits que requereixen una certa calma, són de cocció lenta i els descarto en certs moments del curs escolar.

Em sabria greu —i això ho recalco — que algunes persones que s'han adreçat al blog amb els seus comentaris, sempre benvinguts, o que s'han deixat caure per aquí a la recerca d'alguna informació, es trobessin amb una patètica falta d'activitat. L'estructura d'aquesta bitàcola digital fa, malauradament, que algunes intervencions recents i valuoses quedin amagades en entrades passades.

Per posar remei a tot plegat, i perquè hi ha més activitat matemàtica que no ens sembla, se m'ha acudit redactar aquesta miscel·lània —espero que no us sembli una macedònia per sortir del pas— al voltant de tres dates d'aquest mes de març.


8 de març. Proves de selecció de les beques CiMs-CELLEX

El segon dissabte del mes, els alumnes aspirants van efectuar les proves de selecció del programa CiMs-CELLEX. Ja he parlat diverses vegades d'aquest projecte (podeu clicar en la categoria corresponent en la columna de la dreta del blog per llegir-ne els articles). Com en anteriors edicions, alguns participants —suposo que, en part, per una certa opacitat informativa dels convocants— s'han passat per aquestes pàgines i ens han fet arribar preguntes i comentaris. Una de les participants, Lenok, ha tingut la gentilesa d'enviar-nos allò que recordava i li semblava rellevant dels continguts de les proves (ho podeu llegir en els comentaris de Cabres, gallines, coloms... i unes equacions diofàntiques!). Transcric i m'esplaio en un parell dels problemes que ens ha fet arribar Lenok. El primer és de mol fàcil solució; el segon... és una altra cosa!

---

Problema 1

Troba tots els valors naturals possibles per a i b si a·b = 22

Solució del problema 1 (+/- Mostra/Oculta)

La solució és tan evident que l'enunciat sembla pensat com un escalfament per al següent problema.

Descomponem 22:

  22 = 1·2·11.

Tenim quatre solucions per a (a, b): (1, 22), (22, 1), (2, 11) i (11, 2).

---

---

Problema 2

Lenok, després de enunciar-nos l'exercici que hem anomenat Problema 1, ens escriu: "el mateix" (entenc que les solucions han de ser naturals) per a:

\(\begin{cases}x · y + z^2 = 161\\x·z - y·z = 7\end{cases}\)

Solució (més aviat comentari) del problema 2 (+/- Mostra/Oculta)

Tempus fugit! He atacat el problema tal com ho faria un informàtic! I deixo per a més endavant una solució més raonada.

Si el sistema d'equacions és diofàntic, cal fixar-se en què 161 = 7·23 i que, si escrivim la segona equació traient factor comú:
\[z·(x -y) = 7\]
podem deduir que els únics valors naturals possibles per a z són 1 i 7; i, per tant, entre x i y la diferència ha de ser, respectivament, de set o una unitats. Amb això, un full de càlcul i amb un senzill i curt atac per força bruta diria que he descartat l'existència de nombre naturals que siguin solució del sistema. Cal dir que la ciència matemàtica optaria per demostrar la inexistència de solucions naturals per mètodes més rigorosos. Pot ajudar en alguna cosa el fet que el producte x·y ha de valdre o bé 160 o bé 112.

Per si encara no em mereixia la meva expulsió del paradís matemàtic, he utilitzat la calculadora Wiris i un simpàtic programa rus que parla (us en dono més referències després) que coincideixen en assenyalar per al problema dues solucions en el conjunt dels nombres reals:
\[x= \dfrac{\sqrt{161}}{23};  y = 0;  z = \sqrt{161}\\  x = -\dfrac{\sqrt{161}}{23};  y = 0;   z = -\sqrt{161}\]
No sé si Lenok ha comés alguna errada en la transcripció del problema o si els organitzadors s'han permès la llicència, tan matemàtica, de proposar un problema que no té solució, almenys en el conjunt dels nombres naturals.

---

Us comento breument, el programari que he citat en la solució del segon problema:

• De la calculadora Wiris, ja n'he parlat (aquí). M'ha sorprès favorablement que donés ràpidament les solucions.
• Desconeixia umsolver (el simpàtic programa matemàtic de procedència russa que parla i determina les solucions pas a pas). La versió completa és de pagament, però us podeu descarregar de franc la part del programa que soluciona equacions i sistemes d'equacions (aquí). L'he provat amb el sistema anterior i amb un sistema d'equacions lineals amb infinites solucions (compatible indeterminat). Funciona prou bé i és força curiós.

Aquests darrers dies de març i el 5 d'abril els alumnes preseleccionats per la Fundació CELLEX estan sent entrevistats per decidir quins seran admesos en el programa.

Nota del 19 d'abril respecte aquest Problema 2: En l'entrada posterior a aquesta Més CiMs: tema amb variacions, podreu llegir informació actualitzada entorn d'aquest enunciat


14 de març. Pi Day

D'altres anys havia dedicat alguna entrada a l'anglosaxó, i una mica nerd, Dia del nombre Pi (vegeu, per exemple El dia de Pi (I). Una invitació). Enguany la celebració m'hauria passat per alt si no hagués estat pels comentaris que un bloguer menorquí, el Capità Tiranya, va escriure en l'entrada que us acabo d'enllaçar. El Capità Tiranya és autor d'un bloc molt recomanable (Kbòries matineres) i va dedicar una enginyosa entrada (Oh hapπ day!) per tal de commemorar aquesta diada. Resto en deute amb el Capità perquè el seu escrit em va servir per posar una nota simpàtica, amb música inclosa, en algunes de les meves classes de secundària del dia 14.


20 de març. Proves Cangur

Potser no ho he sabut trobar, però diria que, aquest curs, els mitjans de comunicació han passat de puntetes i han dedicat molt poca atenció a aquesta festa de les matemàtiques que compta amb la participació de milers d'alumnes de Secundària. Deu ser que els de matemàtiques no ens sabem vendre!

La darrera entrada que vaig dedicar al Cangur va ser Saltem! Del dia de Pi al Cangur 2013. Pensava acabar aquest març, marçot proposant algun dels magnífics problemes d'aquesta edició del Cangur, però la Comissió organitzadora no farà públics els enunciats fins el dia 25 d'abril i trobo que no cal avançar-se. Els qui hi vau participar ja podeu, però, consultar les solucions en el web del Cangur.

I acabo amb una aglomeració de participants en les proves (la fotografia va aparèixer en El Diario de Mallorca i correspon a la convocatòria que es va efectuar a Palma):

Una gentada solucionant problemes de matemàtiques

Saltem! Del dia de Pi al Cangur 2013

1. El dia de Pi

El passat dijous m'hagués agradat dedicar algun breu escrit al Dia de Pi, però a la feina estàvem acabant el trimestre i els tancaments d'avaluació de secundària no són els millors moments per a la creativitat ni per a la lírica. Per als llecs en els calendaris cerimonials matemàtics, comentaré que el 14 de març —mig en broma— se celebra el Dia de Pi perquè, tal com s'indiquen les dates als Estats Units (mes/dia/any), 3/14 coincideix amb els tres primers dígits de Pi. El Senyor Pi em sabrà perdonar si té a bé considerar els molts escrits que ja li he dedicat (vegeu, per exemple, El dia de Pi (III). Posem-hi música).

D'altres, més destres, li van fer els honors que es mereix. Em permeto recomanar-vos tres enllaços:

L'algorisme de Chudnovsky

A Gaussianos, el meu web de capçalera, ens van parlar de l'algorisme dels germans Chudnovsky per calcular decimals del nombre Pi (El algoritmo de Chudnovsky, o cómo se calculan los decimales de Pi en el siglo XXI). Aquest impressionant algorisme permet calcular catorze decimals exactes d'aquest nombre irracional en cada "iteració" (sóc conscient que aquí utilitzo "iteració" en un sentit no massa rigorós). Ja havia explicat alguns mètodes de càlcul dels decimals de Pi en Com es poden calcular els decimals de Pi? i en El dia de Pi (II). El determinisme de l'atzar, però la potència del mètode dels Chudnovsky deixa enrera la majoria dels mètodes dels quals he parlat (que d'altra banda, són més fàcils de justificar teòricament).

Algunes propostes per al dia de Pi

A microsiervos adopten un to més festiu i, després de proposar algunes boges activitats per al dia de Pi (¡Feliz día de pi!), ens indiquen com podem aproximar Pi amb bales (de les de jugar! d'aquelles que en castellà en diuen "canicas" i a La Garriga, "caliues").

I que no falti la música!

Sense demanar perdó als melòmans, El espejo lúdico ens proposa una cançó a Feliz día de PI.

Per acabar aquest apartat, jo sí que demano perdó, si els he ofès en alguna cosa, als creients en Tau (The Tau Manifesto) que els heretges, corrent majoritari, coneixem com 'dosPi'.  


2. La Prova Cangur 2013

I fent un saltet, de cangur i de set dies, anem del Dia de Pi al dijous 21 de març que celebrarem a casa nostra la Prova Cangur. Com que d'aquesta  festa de les matemàtiques  n'he escrit a bastament en aquest bloc (o blog), us emplaço a que, si la desconeixeu, cliqueu en la categoria Cangur  per informar-vos, si us plau.

Cartell del Cangur 2013

Ah! i deixeu-me dir als milers d'alumnes de 2n cicle d'ESO i de Batxillerat de Catalunya que hi participaran: passeu-vos-ho bé! I si encara voleu fer una mica d'entrenament per a la prova, recordeu que en el web del Cangur hi ha, a part de les preguntes i solucions d'altres edicions, unes variades Propostes diverses per tal de practicar el raonament matemàtic. 

El dia de Pi (III). Posem-hi música

El 14 de març d'enguany vam encetar una sèrie d'escrits dedicats al nombre Pi. En el primer (El dia de Pi (I). Una invitació), a més d'explicar perquè el 14 de març se santifica, extraoficialment, el nombre π, ens vam posar uns quants deures. Alguns ja han estat acomplerts (El càlcul dels decimals del nombre Pi mitjançant mètodes en els quals hi intervé l'atzar, per exemple, el vam comentar a El dia de Pi (II). El determinisme de l'atzar), però ens quedava pendent, entre d'altres:

• El nombre Pi i la música. Un divertimento sense solta ni volta: Com sonen, o com podem fer sonar, els decimals de Pi?

Amb això de sense solta ni volta ja us aviso que no us trobareu una entrada de rigorosa matemàtica, però, si més no, espero que us sembli entrentinguda i curiosa. A més no hi ha festa ni diada assenyalada, sense música.

Em sembla —no ho puc assegurar— que la primera vegada que vaig sentir els decimals de π va ser en una conferència de Claudi Alsina. El sorprenent professor de matemàtiques va prémer el botó d'un vell magnetòfon i van començar a sonar unes atzaroses notes que corresponien (en el sentit de correspondència matemàtica) als decimals del nombre π. El mètode era molt senzill: a cada dígit del 0 al 9 li feiem correspondre sempre la mateixa nota i els decimals anaven sonant tots amb la mateixa durada. Podeu reproduir  aquesta experiència clicant en l'enllaç Pi10k. El funcionament d'aquest programa és molt senzill: només heu de fer clic a Begin π i després triar escala, triar deu notes o deixar que l'atzar decideixi quines deu notes representaran cada dígit (Randomize). El resultat (podeu "sentir" els primers 10.000 decimals del nombre, d'aquí ve el nom Pi10k) és escassament artístic: el fet que la distribució numèrica sigui aleatòria i totes les notes tinguin la mateixa durada no pot donar un producte gaire melòdic!

Amb més sentit estètic, el músic Lars Erickson, als inicis del noranta del segle passat, va compondre una Pi Symphony on, a més, hi va embolicar un altre nombre trascendent, el nombre e. Podeu trobar una breu explicació de l'estructura de la simfonia en el web d'un altre músic, Michael John Blake (Michaeljohnblake), vegeu Explanation of Pi Symphony en Youtube o en el web de Blake. El mateix Blake ha utilitzat alguns fragments en el divertit, quasi infantil, What Pi sounds like.

Posats a triar em quedo, però, amb la inquientant A piece of Pi (violin music for Pi Day), us recomano que l'escolteu.

I no acabaríem! A The world of Pi hi ha un apartat com aquest:

I un altre apartat amb continguts semblants el podeu trobar a The Joy of π.

En alguns dels exemples que he posat, els més elaborats, els decimals del nombre π s'han utilitzat com a motiu numèric. Els motius, generalment més les lletres que els nombres, s'han utilitzat recurrentment en música. El mateix Johann Sebastian Bach es va permetre jugar amb la correspondència de les lletres del seu cognom B-A-C-H que en notació musical alemanya equivalen a si bemoll (B), la (A), do (C) i si natural (H) (motiu Bach). Clar que de la seva inspiració i proesa tècnica va treure de B-A-C-H, per exemple, el Contrapunctus XIV de l'Art de la Fuga (Die Kunst der Fuge) i no una "riuada" (valgui l'acudit, si sabeu alemany) de notes sense sentit.

Ah, no me n'havia adonat però avui és dia 14 i fa tres mesos exactes del dia de Pi!

El dia de Pi (II). El determinisme de l'atzar

En l'article que vam dedicar el passat 14 de març al dia de Pi (El dia de Pi (I). Una invitació), ja avançàvem, entre diversos temes que volíem tractar, el càlcul dels decimals del nombre Pi mitjançant mètodes en els quals hi intervé l'atzar. Van ser nombrosos els articles apareguts en la blogosfera dedicats a Pi en el seu dia i alguns parlaven de la relació d'aquest nombre amb l'atzar. Us recomano, per exemple i per curiosa, l'entrada Cómo encontrar a π en una baldosa (espero que no feu massa cas de l'advertència de Sant Agustí que hi apareix) que va participar en el Carnaval de Matemáticas explicant algunes curiositats del mètode aleatori per calcular Pi conegut com l'agulla de Buffon.

El mètode de Buffon és força interessant, però jo me n'aprecio més un altre —va ser una de les primeres simulacions que vaig programar, i funcionava!— que es basa en fer un recompte de punts disposats aleatòriament en una figura geomètricament molt senzilla (un cercle inscrit en un quadrat). Com que la probabilitat que un punt estigui en el cercle depèn de la raó entre les àrees del cercle i  del quadrat, amb els càlculs adequats i un bon nombre de punts, podem tenir una aproximació de Pi. Per consultar els detalls d'aquest càlcul i comprovar-ne la bondat de l'estimació (que dirien els estadístics), podeu consultar la pàgina web de José María Gómez Aroca (si voleu accedir directament a la secció que s'ocupa d'aquest tema feu clic a Cálculo de Pi con probabilidades). Més bèl·lica és la simulació i l'explicació de Luis Pabón que trobareu a Calculando Pi a cañonazos.

Calculando Pi a cañonazos

Que l'atzar es pugui utilitzar per obtenir bones aproximacions numèriques, pot arribar a sorprendre a més d'un. Però més sorprenent pot semblar — sobretot per als que creuen en la sort i en les casualitats afortunades—  que molts professors de matemàtiques, quan volem exemplificar que la probabilitat d'obtenir una cara en una moneda no trucada és 0,5, convidem als alumnes a llançar una moneda unes desenes de vegades per tal que vegin que la freqüència relativa de cares s'aproxima a 0,5 (un 50%). No en conec cap que pensi, abans de realitzar l'experiència, "a veure si avui no em surt bé i obtenim una freqüència de cares de 0,75". Perdoneu-me la paradoxa i l'abús semàntic, però d'això en diria el determinisme de l'atzar (ja sé que n'hauria de dir Llei dels grans nombres).

Amb aquesta breu entrada obro en aquest blog una nova categoria o etiqueta de Probabilitat i Estadística. Els més saberuts potser hauríeu preferit que hagués parlat de si existeix un atzar ontològic i un altre d'epistemològic o de, si no fóssim uns ignorants, la física hauria de ser determinista (Einstein dixit) o de quin paper juga la teoria del caos en el dilema atzar-determinisme. Però m'ha fet una mandra...

El dia de Pi (I). Una invitació

Espero que hagueu passat un molt bon dia de Pi! Posats a celebrar festivitats que ens vénen de fora: Sant Valentí, Halloween, etc. —sempre amb un vessant comercial—, no veig perquè no hauríem de dedicar una diada a honorar Pi. No té res a veure amb la festa que té lloc a Centelles (en un comentari a un article d'aquest bloc, l'amic Frederic ja ens va proporcionar unes magnífiques fotografies de la Festa del Pi), ara estem parlant del nombre, de π.

Si coneixeu com es donen les dates en el món anglosaxó, té una fàcil explicació el fet que avui trobem una excusa per parlar de π. En lloc d'escriure les dates seguint el nostre esquema dia/mes/any, nord-americans, britànics i associats utilitzen mes/dia/any. Tots els catorze de març els escriuen 3/14 i, com que π ≈ 3,14, ja està tot explicat. No sé com va començar aquesta curiosa animalada —si m'heu anat llegint, ja sabreu que sóc bastant crític, però tolerant, amb les festivitats per sincronitzar la tribu (caps d'any, per exemple)—, però aquesta em sembla una ocurrència divertida. En vaig tenir notícia a través de Gaussianos, que enguany li torna a dedicar un article (Celebrando el día de Pi con matemáticos nacidos ese mismo día).

Quan vaig parlar del Pi Day en una de les meves classes, un alumne em va comentar que el dia de Pi del 2015 seria especial (3/14/15 i π = 3,1415...). Em sap greu no haver estat prou ràpid per contestar-li que més especial va ser el 14 de març de 1592 (3/14/1592 i π = 3,141592..).

Hagués desitjat fer una entrada més reeixida en una jornada com aquesta, havia pensat escriure bàsicament d'algunes qüestions com:

• El càlcul dels decimals del nombre Pi mitjançant mètodes en els quals hi intervé l'atzar (els matemàtics en parlen de mètodes de Monte Carlo).
• El nombre Pi i la música. Un divertimento sense solta ni volta: Com sonen, o com podem fer sonar, els decimals de Pi?

Però com que sóc un desafortunat mortal de temps escàs, ho deixarem per més endavant. De moment, permetem que Pi ens lliuri una targeta  d'invitació a la seva festa, mostrant-nos els seu encants (que són il·limitats):

Si feu clic damunt de la imatge, copsareu millor els detalls.

I volia parlar de més coses inútils:

• Tots els dígits tenen la mateixa freqüència en els decimals de Pi? És a dir, és un nombre normal?
• Algunes de les seves propietats depenen de la base de numeració que utilitzem. És possible expressar-lo de manera que puguem alliberar-lo de les esclavituds de les bases de numeració?
• ...

Ho haurem de deixar per a una altra ocasió i ja m'ho faré venir bé per a no haver d'esperar el dia de Pi de l'any vinent!

*He etiquetat aquesta entrada com Humor. No perquè faci riure, però es ben anecdòtica —tot i que hi ha algun apunt matemàtic seriós— i no vull crear una categoria com Bestieses diverses.

Falses demostracions: som competents utilitzant l'àlgebra?

Una coneguda anècdota, no sabem si certa o inventada i amb diverses variants, explica que algú li va preguntar al filòsof i matemàtic Bertrand Russell (veieu també Bertrand Russell a MacTutor) si, a partir d'una falsedat com 2 + 2 = 5, podia demostrar qualsevol cosa. Sir Russell, segons aquesta història, va provar, amb 2 + 2 = 5 com a premissa, que ell era el Papa de Roma (demostració de la "Papabilitat" de Russell). Aquest article tracta de demostracions matemàtiques falses i de la falsa seguretat que tenen molt estudiants utilitzant l'àlgebra. Cal, per començar, un aclariment semàntic: la paraula àlgebra i els seus derivats han esdevingut tan polisèmics (àlgebra abstracta, àlgebra lineal, topologia algebraica...) que haurem de començar dient que aquí tractarem de l'àlgebra elemental (de l'àlgebra d'Al-Khwarízmi, si voleu).

Per molt que els professors de secundària s'esforcin en explicar els fonaments del llenguatge i les equacions algebraiques, els alumnes, i els científics!, acaben aplicant allò de "si està sumant, passa restant" i "si està multiplicant, passa dividint" (com si els termes de les equacions tinguessin la imperiosa necessitat, pròpia dels ciutadans dels països desenvolupats, d'anar de viatge). Fins i tot, operant de maneres més ortodoxes hi ha perills evidents. Comproveu-ho amb la següent demostració de 1 = 2 o de 2 = 1 (si apliquem la propietat commutativa, o és la reflexiva?):

Trobar l'equivocació, no us hauria de costar: és la més comuna en les demostracions algebraiques errònies.

En el següent exemple, l'origen de la falsedat és més subtil. Demostrarem que π = 3:

Podeu veure l'exemple anterior en la seva salsa digital original (aquí) o primigènia (allà). Si us ha cridat l'atenció l'encapçalament de la imatge anterior, 1 Kings 7:23, fa referència al versicle del bíblic 1r Llibre dels Reis que, de vegades, s'utilitza per afirmar que els antics hebreus creien que π era igual a 3. Aquesta polèmica és divertida perquè enfronta encesos fonamentalistes bíblics amb encesos ateus recalcitrants (amb més d'un matemàtic irònic que en parla de passada), podeu consultar:

• La peor aproximación histórica de Pi de Javier Vidal Postigo
• Aproximación de Pi en la Bíblia a Gaussianos 

Us estalvio les fonts més fonamentalistes, però pareu atenció als comentaris dels enllaços.

Tornant a les dues falses demostracions, no podreu dir que sabeu àlgebra elemental si no hi detecteu cap pas erroni. Penseu que en d'altres camps de les matemàtiques, localitzar les falsedats es fa més difícil. Consulteu, per exemple, la demostració de π = 4 que he conegut gràcies, una altra vegada, a un article de Gaussianos.

Continuem amb els decimals de Pi: Universo matemático i d'altres

Quan vaig publicar l'article immediatament anterior a aquest, Com es poden calcular els decimals de Pi?, em vaig guardar, per a una altra ocasió, algunes informacions i comentaris que em semblaven interessants. En aquests temps postmoderns en els quals vivim, on les grans novel·les han estat substituïdes pels reculls de contes (breus, no sigui que se'ns cansi la vista), un text extens és, per definició, defectuós. I si parlem d'un bloc, es valoren més les petites i digestives píndoles textuals que un reguitzell de paràgrafs. M'agrada nedar contracorrent, però cal fer-se el mort de vegades, i ja comprovareu que  aniré desenvolupant els mateixos temes sota de diferents títols (i, de moment, em resisteixo al "leer más" del blogger, però ja hi cauré). Vull dir, en resum, que veig convenient, estilísticament i per que és costum, no fer entrades massa llargues, però que això m'obliga a fer sèries d'articles i lligar-los. Bé, anem per feina!

Televisió espanyola (RTVE) va produir l'any 2000 una sèrie anomenada Universo matemático (fins i tot, Wikipedia en parla) de deu documentals encabida dins del programa La aventura del saber. Desconec l'hora d'emissió, però el més probable és que acompanyés les migdiades o els cops de cap, de després de sopar o de l'entrada de la matinada, dels nostres conciutadans.Un dels capítols portava l'ocurrent títol de Historias de Pi (feu-hi clic i podreu veure aquest episodi, que no arriba a la mitja hora, en el web oficial, no sigui que la gent de EGEDA se'ns enfadi). El documental, que no és cap prodigi de producció audiovisual, està força bé en quant a continguts i guió: parla de Srinivasa Ramanujan (de l'anècdota del 1729, de la sèrie de Ramanujan per calcular decimals de π...), d'Arquimedes (aproximacions de π, càlcul d'àrees i volums...), dels avenços en el càlcul de més i més decimals d'aquest nombre, etc. L'únic contingut que posaria en dubte és que la raó entre la longitud d'un riu i la distància en línia recta des del seu naixement fins al mar s'aproxima a π. El documental parla de rius llargs i que és la mitjana d'aquesta raó de longituds, calculada per a rius d'aquesta característica, que s'hi aproxima (quan afirmem una falsedat o no som massa rigorosos, el millor es rodejar-ho de totes les prevencions possibles).

I més: Gaussianos informava el 8 d'agost d'enguany d'un nou rècord en el càlcul de decimals de π. El 2 d'agost Shigeru Kondo i els seus col·laboradors van aconseguir calcular 5 bilions de decimals d'aquest nombre irracional. Sembla que en aquesta ocasió no hi ha hagut la freqüent errada de traducció de l'anglès i els 5 bilions són cinc milions de milions (one billion en anglès són, només, mil milions).

La notícia més estranya que he llegit últimament sobre els decimals de π és que un investigador de Yahoo, Nicholas Sze, ha calculat el decimal que ocupa el lloc dos mil bilions, és un zero, i alguns decimals propers. Resulta interessant que per calcular-los no ha necessitat llistar tots els decimals anteriors (podeu llegir-ho a Microsiervos).  Aviso que, en aquest cas, no he contrastat la informació, cosa que és una obligació de tothom —i en particular, d'aquesta espècie en perill d'extinció, que s'anomena bon periodista. He llegit el mateix en diversos webs, però es veu que s'han limitat a copiar-se. Confeso que els meus dubtes, es deuen a això de "un investigador de Yahoo" . Us convido a investigar-ho pel vostre compte i agrairia qualsevol comentari al respecte. Ah! i no us perdeu, perdoneu-me la repetició, Historias de Pi.

Com es poden calcular els decimals de Pi?

Fa poc, una companya de docència em comentava que uns alumnes li havien preguntat com es calculaven els decimals de π. Aquests tipus de preguntes no són gaire freqüents, les més habituals acostumen a ser del caire de:

• quant falta per acabar la classe? (molts alumnes no porten rellotge: el mòbil fa de rellotge, de calculadora, d'àngel de la guarda...)
• això entra a l'examen? (s'acostuma a fer en el moment de màxima emoció del professor quan, per exemple, està comentant que els pitagòrics tenien prohibit menjar faves)
• que puc anar al lavabo? (Groucho Marx explica en un dels seus llibres que, un dia, quan la seva petita filla Melinda acabava d'arribar d'escola, ell li va preguntar: — què heu fet avui?; — pipí i dibuixos, papa!)

De vegades, però, es manifesta la curiositat natural de la nostra espècie —aquesta curiositat  que hem de maldar en mantenir— i se'ns pregunta pels decimals de π. Quan vaig sentir el comentari, els meus pensaments es van dirigir als polinomis o sèries de Taylor i a les fraccions contínues; però, evidentment, no és el camí a seguir per respondre als nostres alumnes de secundària i, malauradament, tampoc és la drecera que entendrien la majoria dels nostres llicenciats universitaris (perdó, volia dir graduats).

En aquest cas, el que sembla un primer intent seriós de contestar aquesta pregunta, històricament parlant, és també el més senzill d'entendre. Arquimedes de Siracusa (c. 287 AC – c. 212 AC) va aplicar el mètode d'exhaustió per calcular aproximadament el valor de π. Un incís: en català sovint dubtem entre Arquímedes, paraula esdrúixola,  i la plana Arquimedes. Aquesta darrera opció és la més correcta i la més fidel al nom grec original (vegeu, si us plau, la ressenya que fa Francesc J. Cuartero del llibre La transcripció dels noms propis grecs i llatins de Joan Alberich i Montserrat Ros).

Arquimedes (a Viquipèdia, en català)

Archimedes (A MacTutor, en anglès)





Com que π és la raó o quocient entre la longitud o perímetre d'una circumferència i el seu diàmetre, mitjançant polígons regulars inscrits i circumscrits i augmentant-ne els costats, Arquimedes va aconseguir bones aproximacions del nombre que ens ocupa. A internet hi ha una munió de documents que expliquen amb més o menys detall i rigor aquest mètode. N'he triat alguns que m'han semblat interessants i que contenen d'altres detalls de la història de π:

• El número π: de la Geometría al Cálculo Numérico. L'autor és Roberto Rodríguez del Río. La pàgina 5 d'aquest document explica d'una manera breu i entenedora, a grans trets, els càlculs d'Arquimedes. Si sou alumnes desvagats, doneu una ullada a aquesta pàgina 5 per fer-vos una idea (poso en negreta la frase per tal que us sigui més fàcil de localitzar si llegiu en diagonal).

• Historia de las fórmulas y algoritmos para π de Jesús Guillera Goyanes. Article aparegut a la molt recomanable Gaceta de la RSME.

• Història del nombre π. A la inevitable Viquipèdia. Consell: feu clic per passar-vos a la versió anglesa que és molt més completa o consulteu Numerical approximations of π també a Wikipedia. Per evitar els esbufecs dels nacionalistes més aïrats d'una banda i de l'altra, diré que la versió anglesa és millor i, amb aquesta extensió i profunditat, no hi ha, ara mateix, versió castellana.

•  Sobre la longitud de la circunferencia y el área del círculo a Gacetilla Matemàtica . Explica bé algun dels càlculs d'Arquimedes.

I això no és tot, però ja hi tornarem un altre dia.

El nombre Pi, el nombre e i el nombre i. Una estranya relació?

A Youtube podeu trobar força vídeos interessants de matemàtiques i, no cal dir-ho, alguns sobre els nombres trascendents Pi i e (i la seva relació amb el nombre i en una mateixa expressió). Però per demostrar aquesta expressió necessitem certs coneixements sobre els nombres complexos, i això sí que ho deixarem per a un altre dia.