Cangur 2017: molta participació i poc soroll!

Introducció... i mea culpa

He estat a punt de tornar a caure en el parany i començar aquesta entrada queixant-me de la poca atenció mediàtica a les proves Cangur! Seria una incongruència per part meva: la XXII Prova Cangur va tenir lloc el 16 de març d'enguany i m'he esperat al juliol –quan he mirat enrere i he vist que no em seguia ningú– per redactar aquest escrit.

M'estalvio la part de la introducció per a neòfits: si la paraula cangur només us evoca un marsupial o a la persona que se n'encarrega de la canalla (mainada, xicalla, quitxalla o criaturam) a falta d'altres irresponsables, faríeu bé de clicar la categoria Cangur d'aquest bloc, per tal d'entrar en matèria.


La participació... a falta de dades de la Guàrdia Urbana

Des que el Cangur abasta el darrer cicle de Primària i tota l'ESO, es força complicat afinar en les dades de participació. El Govern va emetre una nota de premsa el mateix dia de la prova (podeu clicar aquí), però, com que la inscripció la fem des dels mateixos centres educatius, i hi ha incidències diverses, podem dir que els números són aproximats, però grans!

Extracte de la nota de premsa del Govern de la Generalitat (16/03/17)

Podeu consultar també la notícia de la Comissió organitzadora: Puntuacions del Cangur 2017 i informació sobre la participació.


Del segon problema a la notícia

En d'altres edicions, mentre els participants estaven atrafegats en la resolució dels problemes, em llançava a fer-ne algun. Enguany he trigat força a posar-m'hi i – la inconsciència pròpia de l'edat– he començat per algunes qüestions de cinc punts de 2n de batxillerat. Vaig agafar el problema que segueix en segon lloc, però en homenatge a Mr Smullyan, en parlo tot seguit.

Cangur 2017, 2n de Batxillerat. Una pregunta de lògica de 5 punts

M'encanta l'enunciat i m'hi jugaria un pèsol que molts dels participants no van entendre la qüestió. El "més de 1000 habitants" i el "com a màxim" pressuposen una subtilesa i un nivell  de comprensió lectora cada vegada més rars en les nostres aules (i no parlo només de l'alumnat!).

Pareu aquí si us voleu enfrontar al repte, que ara ve l'spoiler.

• Pista: Es tracta d'asseure força "no mentiders" a taula. A tal efecte, hi ha una distribució en trio que funciona de meravella.
•  Solució: Com que no m'agrada repetir feines que d'altres han fet millor que jo, us enllaço l'explicació d'en Joan Parera (aquí) en el seu bloc 300 exercicis (explicats i resolts). Del mateix professor illenc, podeu consultar Cangur i companyia.
• La notícia: Per una vegada, un problema m'ha portat a una notícia. Quan vaig escriure la primera frase de l'enunciat en el cercador, vaig anar a parar a Les matemàtiques repten 100.000 estudiants en El Periódico. Per cert, parlant de periotristes, La Vanguardia, en la seva línia, ho va matar amb un ¿Eres capaz de resolver estos problemas matemáticos de 4º de ESO?

El primer problema que em va cridar l'atenció

De fet, quan vaig fullejar el quadernet del Cangur, em vaig fixar, de seguida, en un altre problema. Devia ser perquè l'enunciat era curt, anava de valors absoluts i em semblava "atacable".

Cangur 2017, 2n de Batxillerat. Va de valors absoluts!

Per poc que gaudiu solucionant problemes matemàtics, us emplaço a intentar-ho: paga la pena! Si no, tot seguit podeu llegir la solució.

---

Va de valors absoluts! (Solució) (+/- Mostra/Oculta)

Ara, quedaria molt bé si apliqués un mètode analític i molt reflexiu per explicar-vos com resoldre el problema. Però, si us sóc franc, després d'algunes consideracions sobre els signes possibles de les incògnites, em vaig llançar a fer una taula de valors, a representar les funcions associades a cada equació i a trobar, sense massa dificultats, la resposta. Ho vaig fer a mà, però quedarà més bonic amb GeoGebra:

La solució gràfica del problema de valors absoluts

Les incògnites agafen els valors x = 4 i y = -3; per tant, la resposta és que la suma és x + y = 1.

Fer notar que la primera equació és una funció constant si x agafa valors negatius (y = 5), que la segona equival a x = 10 per a valors positius de y i, per tant, que la solució ha de ser del tipus x > 0 i y < 0... i que això ens porta a solucionar el sistema:
\begin{cases}2x + y =5\\x-2y=10 \end{cases}
hauria estat més elegant. Però, jo no el vaig solucionar així!

---

 I, de torna, un tercer problema

El darrer problema que us exposaré avui, és merament "calculístic" si domineu, a nivell de batxillerat, la simbologia de les successions i no us feu un embolic amb les fraccions:

Cangur2017, 2n de Batxillerat. Una successió recurrent

Aquest sí que el deixarem aquí!

El Cangur 2015 ha estat un èxit..., però no pas mediàtic!

Un deute pendent

Començo pel mea culpa i parlant del nombre π , encara que no vingui a tomb. He deixat escapar el Dia de Pi més perfecte del segle, sense dedicar-li una entrada en el blog! La data i l'hora exacta eren el passat 14 de març a les 9 hores 26 minuts i 53 segons (3/14/15 at 9:26:53 a.m. en notació nord-americana, tal com podeu llegir en The Boston Globe). Efectivament, la data i l'hora concordaven amb el deu primers dígits d'aquest nombre irracional: π = 3,141592653... Mira que d'altres vegades havia arribat a temps a la commemoració (vegeu El dia de Pi (I). Una invitació) o havia fet una mica tard per lligar-ho amb el Cangur (Saltem! Del dia de Pi al Cangur 2013); però, enguany, he arribat a misses dites (i així començo i acabo el paràgraf, amb una locució d'origen religiós).


Saltem al Cangur 2015! Dades de participació

Com que això del Dia de Pi no deixa de ser una atracció per a "turistes falsament interessats en les matemàtiques" (com allò dels eclipsis solars del segle per a gent que rarament mira enlaire), passo a fer-vos cinc cèntims de la celebració del Cangur 2015 a casa nostra.

Vaig tenir la sort de no poder-ho sentir, però algú em va comentar que el 19 de març, de bon matí, una emissora de ràdio nostrada ens desinformava amb la notícia de "no sabem ben bé què" d'unes "olimpíades matemàtiques", anomenades Cangur, que servirien per comprovar el nivell de matemàtiques dels nostres estudiants; això sí, a partir de "problemes de la vida quotidiana"!

Deixem aquesta genteta dels micròfons i passem a la gentada! Tal com vaig escriure en l'entrada anterior (El Cangur es fa més gran... o més petit?), enguany la Societat Catalana de Matemàtiques convocava per primera vegada un Cangur per als alumnes de 5è i 6è de Primària. La participació en l'estrena del Canguret va ser nombrosa, uns disset mil participants. En l'edició local (Catalunya, Catalunya Nord i Andorra) del "Cangur gran", de 3r d'ESO a 2n de Batxillerat, hi havia més de vint-i-dos mil estudiants inscrits d'uns 650 centres educatius. Això vol dir que, al voltant del Cangur petit i el gran, es van aplegar  un total d'uns quaranta mil nois i noies. I hi podríem afegir les dades de participació de les Illes Balears (aquí) i del País Valencià!


Algunes notícies

Que les matemàtiques i el seu ensenyament rarament són notícia positiva, ja ho sabem. Sí que se'n parla per fer rebombori: els informes Pisa (o "informes Trepitja" en la versió de sa consellera Joana Maria Camps), les avaluacions diagnòstiques... En canvi, en els mitjans, aquest Cangur va passar força desapercebut. Cal dir que, quan s'organitzen aquestes activitats, potser necessitaríem "caps de premsa" i saber-nos vendre. Però costa demanar més a unes organitzacions, la del Cangur i la de tantes altres activitats matemàtiques, que es basen en el voluntariat més desinteressat.

A continuació, comparteixo amb vosaltres, un parell d'informacions periodístiques sobre el Cangur 2015.

A Barcelona Televisió ho van titular 20 edicions de la prova que busca despertar l’afició per les matemàtiques. Si feu clic en el títol anterior, podreu accedir al vídeo que van emetre (he desistit d'inserir-lo per problemes tècnics).

En una de les edicions locals de  La Vanguardia, també se'n feien ressò amb Les proves Cangur posen a prova l'habilitat en matemàtiques de més de 24.000 estudiants en el seu 20è aniversari.

I poca cosa més es va publicar en els mitjans més generalistes... La bona notícia es va quedar a les aules i va ser l'interès i la il·lusió de tants estudiants i professors per participar en unes Proves de contingut matemàtic. Vaja, que encara n'hi ha que gaudeixen pensant!

 

El Cangur es fa més gran... o més petit?

El Cangur de la Societat Catalana de Matemàtiques (SCM). En van vint!

El proper 19 de març està convocada la vintena edició de la Prova Cangur de matemàtiques que organitza la SCM (Cangur 2015). Bé, al País Valencià –per no coincidir amb festes més tradicionals– se celebrarà el 26 de març, una setmana més tard. En aquest blog n'hem parlat diverses vegades: la primera entrada dedicada a aquesta festa de les matemàtiques va ser Més de 18.000 alumnes catalans de secundària participen en la Prova Cangur 2010 (li podeu fer una ullada, sobretot si desconeixíeu l'existència de la ja veterana Prova).

Cartell oficial del Cangur 2015

En el cartell de la convocatòria els nombres de l'1 al 4 representen els 4 nivells del Cangur, que corresponen als quatre cursos als quals va adreçada la Prova: 3r d'ESO, 4 d'ESO, 1r de Batxillerat i 2n de Batxillerat (l'alumnat de cicles formatius també pot participar en els nivells 3 i 4).


1r Cangur de la SCM per a primària. El Cangur petit!

Enguany, a casa nostra, el Cangur es fa més gran i s'ha obert una convocatòria per a alumnes més petits: els de 5è i 6è de Primària (Cangur per a primària 2015). De fet, en d'altres països, el Cangur ja abastava un ventall més ampli d'edats, tal com comenta l'organització del Cangur en el seu web:

El concurs Cangur de la SCM arriba, l'any 2015, a la seva vintena edició. A casa nostra es fa per a alumnes dels darrers anys de la secundària però en molts altres països es convoca per a alumnes d'una franja d'edat molt més àmplia. A partir d'un suggeriment del Departament d'Ensenyament i amb l'impuls de la Fundació Cellex, la SCM ha decidit ampliar per a l'any 2015, amb caràcter experimental, l'abast de la convocatòria del Cangur per a alumnes del cicle superior de primària, i proposar la celebració del que en podem dir, familiarment, "el Canguret".

Això d'anomenar "el Canguret" el Cangur per als petits, sembla una bona idea, però pot crear confusions: a Vila-Real i a Castelló ja existeix una Prova Canguret per a l'alumnat de 1r i 2n d'ESO! Amb la inflació de concursos –cal dir que tots amb prou èxit – aviat haurem de fer una guia per a no perdre'ns en aquest guirigall. I encara ho compliquem més si fem servir el mateix nom per a coses diferents. L'ús de la paraula Olimpíada és paradigmàtic: tan aviat s'utilitza per una trobada d'alumnes de 2n d'ESO (XXV Olimpíada Matemàtica Espanyola. Catalunya 2014) com per a concursos d'alt nivell (50a Olimpíada Matemàtica).

Benvingut sigui aquest Cangur per a primària, però potser caldria estendre la iniciativa als nostres alumnes de 1r i 2n d'ESO que de moment no són "cangurables", tot i que tenen d'altres activitats matemàtiques al seu abast com l'EsTalMat o el Fem Matemàtiques.


Per posar-se a Prova

Amb bon criteri, la SCM ha penjat en el seu web uns enunciats d'entrenament per als participants en el nostre Canguret (els podeu veure aquí). Aquest enunciats, evidentment, també es poden utilitzar com a material de classe o per posar-nos a prova. En reprodueixo dos, a tall d'exemple:

Un problema d'entrenament per al Cangur de 5è de primària

Un problema d'entrenament per a 6è de primària

Espero que, si els intenteu resoldre, no hi patiu gaire! Si no us en sortiu, podeu preguntar a algun alumne de 5è o 6è!

Un problema de la Prova Cangur 2014: sumem!

Quan vaig redactar una de les darreres entrades (Miscel·lània: de la Prova CiMs al Cangur, passant per Pi), ja tenia al cap convidar-vos a solucionar algun dels problemes de l'edició del Cangur d'enguany. Si no ho he fet fins ara, ha estat perquè en el web de l'organització de la fase catalana, www.cangur.org, on ja fa dies que es poden consultar les solucions i les puntuacions dels concursants, encara es pot llegir: Els enunciats del Cangur 2014 no es poden publicar a la web fins el dia 25 d'abril. Suposo que aquest secretisme respon al fet, però no ho sé del cert , que els enunciats dels problemes s'utilitzen en les edicions d'altres països. Tot plegat és una mica absurd ja que, des del dia 20 de març en el qual es va celebrar la Prova en més d'un territori, els concursants han pogut fer públics els enunciats per la via que els hi hagi semblat més adient. Suposo que no cometo cap indiscreció si aquí us presento un problema del darrer Cangur. Estem a 4 de maig i els enunciats encara no s'han publicat en el web!

Ah, perdoneu! els que no enteneu de quina prova estic parlant (per cert, corre la llegenda urbana —jo me l'havia cregut— que Kangaroo vol dir "no t'entenc" en alguna llengua australiana i n'acabo de trobar més d'un desmentit, aquí per exemple), podeu llegir, si us abelleix, un dels primers escrits que va aparèixer en aquest blog: Més de 18.000 alumnes catalans de secundària participen en la Prova Cangur 2010. A propòsit dels 18.000, és curiós que, en aquesta era de la informació, la voluntariosa i eficient comissió organitzadora no hagi comunicat el nombre exacte de participants.


El problema triat

A casa nostra, el Cangur s'estructura en quatre nivells i en cadascun dels nivells hi ha 30 problemes. Disposo de 120 enunciats, la majoria molt ben pensats, per triar a quin li dedico l'entrada. Les preguntes més senzilles, valorades amb tres punts cadascuna, no acostumen a donar prou joc si les presentem per separat. Podríeu pensar que les qüestions més interessants estan en les preguntes de cinc punts del quadernet del 4t nivell (2n de Batxillerat)... A mi, en canvi em va semblar magnífic el darrer problema del 1r nivell (3r d'ESO).

---

Pregunta 30. Nivell 1 (Cangur 2014)

Les lletres de la paraula CANGUR tenen assignat un valor numèric cada una. Sabem que

\(\dfrac { 19 }{ C+1 } +\dfrac { 38 }{ A+2 } +\dfrac { 57 }{ N+3 } +\dfrac { 76 }{ G+4 } +\dfrac { 95 }{ U+5 } +\dfrac { 114 }{ R+6 } =2014\)

Digueu quin és el valor de la suma

\(\dfrac { C }{ C+1 } +\dfrac { A }{ A+2 } +\dfrac { N }{ N+3 } +\dfrac { G }{ G+4 } +\dfrac { U }{ U+5 } +\dfrac { R }{ R+6 }\) 

---

Aquesta pregunta té dificultat suficient per posar a prova, també, els alumnes de nivells superiors del Cangur. De fet, la vaig proposar a alguns alumnes de 2n de Batxillerat i vaig constatar, amb una relativa sorpresa, que alguns encertaven la resposta correcta pel mètode de descartar les altres, però sense trobar les operacions que hi portaven. Per aquest motiu no he deixat a la vista les cinc respostes possibles (la Prova té un format tipus test). És més interessant solucionar la qüestió sense conèixer les respostes que s'oferien; però, si teniu una vena més empírica o intuïtiva les podeu consultar tot seguit:

Respostes possibles (+/- Mostra/Oculta)

Des del curs passat, l'ordre amb el qual es presenten les possibles respostes varia d'un quadern a un altre per dificultar que els participants es passin els resultats. Cal dir que, almenys pel que jo he anat veient aquests anys, la conducta i la responsabilitat dels alumnes és exemplar i defugen "fer trampes". Us dono les respostes en l'ordre que figuren en el quadern que tinc al davant:

A) -100
B) -2013
C) 106
D) 1908
E) 100
  

Com a darrera pista, abans de desvetllar la solució, no caldria dir que allò que ens demanen és el valor de la suma i no pas que trobem els valors de cadascuna de les lletres!

I si no us en sortiu, feu clic per tal de mostrar la solució...

---

Solució (+/- Mostra/Oculta)

Hi ha diverses maneres de determinar el valor de la suma. Comento la que em sembla més elegant, però no és el primer mètode que se'm va acudir!
Els numeradors de la primera expressió són tots múltiples de 19. Si traiem 19 com a factor comú queda

\(19·\left(\dfrac { 1 }{ C+1 } +\dfrac { 2 }{ A+2 } +\dfrac { 2 }{ N+3 } +\dfrac { 4 }{ G+4 } +\dfrac { 5 }{ U+5 } +\dfrac { 6 }{ R+6 }\right)=2014\)

Dividim els dos membres de la igualtat per 19 (a la igualtat resultant l'anomenarem (1)):

\(\dfrac { 1 }{ C+1 } +\dfrac { 2 }{ A+2 } +\dfrac { 3 }{ N+3 } +\dfrac { 4 }{ G+4 } +\dfrac { 5 }{ U+5 } +\dfrac { 6 }{ R+6 } =106\)    (1)

Suposem que el valor de la suma de la segona expressió val S (indicarem aquesta igualtat com a (2)):

 \(\dfrac { C }{ C+1 } +\dfrac { A }{ A+2 } +\dfrac { N }{ N+3 } +\dfrac { G }{ G+4 } +\dfrac { U }{ U+5 } +\dfrac { R }{ R+6 } =S\)    (2)

Si efectuem la suma (1) + (2) membre a membre, obtenim

\(\dfrac { C+1 }{ C+1 } +\dfrac { A +2}{ A+2 } +\dfrac { N+3 }{ N+3 } +\dfrac { G+4 }{ G+4 } +\dfrac { U+5 }{ U+5 } +\dfrac { R+6 }{ R+6 }=106+S\)

Per tant:

\(6=106+S\)

i ja tenim que el valor de la suma és

\(S=6-106=-100\)

Crec que pocs alumnes de 3r d'ESO estan en disposició d'utilitzar aquest mètode ja que és més propi de demostracions formals que es fan es cursos més avançats, però col·locar aquesta pregunta com la darrera de les de més puntuació és un bon colofó. 
 

---

Espero que aquest problema us hagi agradat i que no us hagi semblat ni molt fàcil ni molt difícil...

Una vinyeta de Forges a propòsit d'un estudiant un pèl desorientat

Miscel·lània: de la Prova CiMs al Cangur, passant per Pi

Pròleg. A manera de disculpa

Els lectors, més o menys habituals, deveu pensar que tinc el blog abandonat! Enguany, m'havia plantejat ser més regular en la publicació d'entrades, però no me'n surto de fer compatible el dia a dia amb la redacció d'articles. I no serà per falta d'idees! L'anumèrica premsa d'aquest país ja dóna per redactar, si més no, un comentari setmanal: per exemple, tinc previst escriure quatre cosetes sobre probabilitat condicionada i proves de detecció de malalties o sobre les aplicacions de les matemàtiques i la física en la recerca d'avions perduts (un parell de diaris nacionals ho troben extraordinari i, a més, apunten que l'ús pràctic de l'efecte Doppler és innovador!). Per no parlar de temes que he anat apuntant i que resten pendents... Però hi ha molts escrits que requereixen una certa calma, són de cocció lenta i els descarto en certs moments del curs escolar.

Em sabria greu —i això ho recalco — que algunes persones que s'han adreçat al blog amb els seus comentaris, sempre benvinguts, o que s'han deixat caure per aquí a la recerca d'alguna informació, es trobessin amb una patètica falta d'activitat. L'estructura d'aquesta bitàcola digital fa, malauradament, que algunes intervencions recents i valuoses quedin amagades en entrades passades.

Per posar remei a tot plegat, i perquè hi ha més activitat matemàtica que no ens sembla, se m'ha acudit redactar aquesta miscel·lània —espero que no us sembli una macedònia per sortir del pas— al voltant de tres dates d'aquest mes de març.


8 de març. Proves de selecció de les beques CiMs-CELLEX

El segon dissabte del mes, els alumnes aspirants van efectuar les proves de selecció del programa CiMs-CELLEX. Ja he parlat diverses vegades d'aquest projecte (podeu clicar en la categoria corresponent en la columna de la dreta del blog per llegir-ne els articles). Com en anteriors edicions, alguns participants —suposo que, en part, per una certa opacitat informativa dels convocants— s'han passat per aquestes pàgines i ens han fet arribar preguntes i comentaris. Una de les participants, Lenok, ha tingut la gentilesa d'enviar-nos allò que recordava i li semblava rellevant dels continguts de les proves (ho podeu llegir en els comentaris de Cabres, gallines, coloms... i unes equacions diofàntiques!). Transcric i m'esplaio en un parell dels problemes que ens ha fet arribar Lenok. El primer és de mol fàcil solució; el segon... és una altra cosa!

---

Problema 1

Troba tots els valors naturals possibles per a i b si a·b = 22

Solució del problema 1 (+/- Mostra/Oculta)

La solució és tan evident que l'enunciat sembla pensat com un escalfament per al següent problema.

Descomponem 22:

  22 = 1·2·11.

Tenim quatre solucions per a (a, b): (1, 22), (22, 1), (2, 11) i (11, 2).

---

---

Problema 2

Lenok, després de enunciar-nos l'exercici que hem anomenat Problema 1, ens escriu: "el mateix" (entenc que les solucions han de ser naturals) per a:

\(\begin{cases}x · y + z^2 = 161\\x·z - y·z = 7\end{cases}\)

Solució (més aviat comentari) del problema 2 (+/- Mostra/Oculta)

Tempus fugit! He atacat el problema tal com ho faria un informàtic! I deixo per a més endavant una solució més raonada.

Si el sistema d'equacions és diofàntic, cal fixar-se en què 161 = 7·23 i que, si escrivim la segona equació traient factor comú:
\[z·(x -y) = 7\]
podem deduir que els únics valors naturals possibles per a z són 1 i 7; i, per tant, entre x i y la diferència ha de ser, respectivament, de set o una unitats. Amb això, un full de càlcul i amb un senzill i curt atac per força bruta diria que he descartat l'existència de nombre naturals que siguin solució del sistema. Cal dir que la ciència matemàtica optaria per demostrar la inexistència de solucions naturals per mètodes més rigorosos. Pot ajudar en alguna cosa el fet que el producte x·y ha de valdre o bé 160 o bé 112.

Per si encara no em mereixia la meva expulsió del paradís matemàtic, he utilitzat la calculadora Wiris i un simpàtic programa rus que parla (us en dono més referències després) que coincideixen en assenyalar per al problema dues solucions en el conjunt dels nombres reals:
\[x= \dfrac{\sqrt{161}}{23};  y = 0;  z = \sqrt{161}\\  x = -\dfrac{\sqrt{161}}{23};  y = 0;   z = -\sqrt{161}\]
No sé si Lenok ha comés alguna errada en la transcripció del problema o si els organitzadors s'han permès la llicència, tan matemàtica, de proposar un problema que no té solució, almenys en el conjunt dels nombres naturals.

---

Us comento breument, el programari que he citat en la solució del segon problema:

• De la calculadora Wiris, ja n'he parlat (aquí). M'ha sorprès favorablement que donés ràpidament les solucions.
• Desconeixia umsolver (el simpàtic programa matemàtic de procedència russa que parla i determina les solucions pas a pas). La versió completa és de pagament, però us podeu descarregar de franc la part del programa que soluciona equacions i sistemes d'equacions (aquí). L'he provat amb el sistema anterior i amb un sistema d'equacions lineals amb infinites solucions (compatible indeterminat). Funciona prou bé i és força curiós.

Aquests darrers dies de març i el 5 d'abril els alumnes preseleccionats per la Fundació CELLEX estan sent entrevistats per decidir quins seran admesos en el programa.

Nota del 19 d'abril respecte aquest Problema 2: En l'entrada posterior a aquesta Més CiMs: tema amb variacions, podreu llegir informació actualitzada entorn d'aquest enunciat


14 de març. Pi Day

D'altres anys havia dedicat alguna entrada a l'anglosaxó, i una mica nerd, Dia del nombre Pi (vegeu, per exemple El dia de Pi (I). Una invitació). Enguany la celebració m'hauria passat per alt si no hagués estat pels comentaris que un bloguer menorquí, el Capità Tiranya, va escriure en l'entrada que us acabo d'enllaçar. El Capità Tiranya és autor d'un bloc molt recomanable (Kbòries matineres) i va dedicar una enginyosa entrada (Oh hapπ day!) per tal de commemorar aquesta diada. Resto en deute amb el Capità perquè el seu escrit em va servir per posar una nota simpàtica, amb música inclosa, en algunes de les meves classes de secundària del dia 14.


20 de març. Proves Cangur

Potser no ho he sabut trobar, però diria que, aquest curs, els mitjans de comunicació han passat de puntetes i han dedicat molt poca atenció a aquesta festa de les matemàtiques que compta amb la participació de milers d'alumnes de Secundària. Deu ser que els de matemàtiques no ens sabem vendre!

La darrera entrada que vaig dedicar al Cangur va ser Saltem! Del dia de Pi al Cangur 2013. Pensava acabar aquest març, marçot proposant algun dels magnífics problemes d'aquesta edició del Cangur, però la Comissió organitzadora no farà públics els enunciats fins el dia 25 d'abril i trobo que no cal avançar-se. Els qui hi vau participar ja podeu, però, consultar les solucions en el web del Cangur.

I acabo amb una aglomeració de participants en les proves (la fotografia va aparèixer en El Diario de Mallorca i correspon a la convocatòria que es va efectuar a Palma):

Una gentada solucionant problemes de matemàtiques

Saltem! Del dia de Pi al Cangur 2013

1. El dia de Pi

El passat dijous m'hagués agradat dedicar algun breu escrit al Dia de Pi, però a la feina estàvem acabant el trimestre i els tancaments d'avaluació de secundària no són els millors moments per a la creativitat ni per a la lírica. Per als llecs en els calendaris cerimonials matemàtics, comentaré que el 14 de març —mig en broma— se celebra el Dia de Pi perquè, tal com s'indiquen les dates als Estats Units (mes/dia/any), 3/14 coincideix amb els tres primers dígits de Pi. El Senyor Pi em sabrà perdonar si té a bé considerar els molts escrits que ja li he dedicat (vegeu, per exemple, El dia de Pi (III). Posem-hi música).

D'altres, més destres, li van fer els honors que es mereix. Em permeto recomanar-vos tres enllaços:

L'algorisme de Chudnovsky

A Gaussianos, el meu web de capçalera, ens van parlar de l'algorisme dels germans Chudnovsky per calcular decimals del nombre Pi (El algoritmo de Chudnovsky, o cómo se calculan los decimales de Pi en el siglo XXI). Aquest impressionant algorisme permet calcular catorze decimals exactes d'aquest nombre irracional en cada "iteració" (sóc conscient que aquí utilitzo "iteració" en un sentit no massa rigorós). Ja havia explicat alguns mètodes de càlcul dels decimals de Pi en Com es poden calcular els decimals de Pi? i en El dia de Pi (II). El determinisme de l'atzar, però la potència del mètode dels Chudnovsky deixa enrera la majoria dels mètodes dels quals he parlat (que d'altra banda, són més fàcils de justificar teòricament).

Algunes propostes per al dia de Pi

A microsiervos adopten un to més festiu i, després de proposar algunes boges activitats per al dia de Pi (¡Feliz día de pi!), ens indiquen com podem aproximar Pi amb bales (de les de jugar! d'aquelles que en castellà en diuen "canicas" i a La Garriga, "caliues").

I que no falti la música!

Sense demanar perdó als melòmans, El espejo lúdico ens proposa una cançó a Feliz día de PI.

Per acabar aquest apartat, jo sí que demano perdó, si els he ofès en alguna cosa, als creients en Tau (The Tau Manifesto) que els heretges, corrent majoritari, coneixem com 'dosPi'.  


2. La Prova Cangur 2013

I fent un saltet, de cangur i de set dies, anem del Dia de Pi al dijous 21 de març que celebrarem a casa nostra la Prova Cangur. Com que d'aquesta  festa de les matemàtiques  n'he escrit a bastament en aquest bloc (o blog), us emplaço a que, si la desconeixeu, cliqueu en la categoria Cangur  per informar-vos, si us plau.

Cartell del Cangur 2013

Ah! i deixeu-me dir als milers d'alumnes de 2n cicle d'ESO i de Batxillerat de Catalunya que hi participaran: passeu-vos-ho bé! I si encara voleu fer una mica d'entrenament per a la prova, recordeu que en el web del Cangur hi ha, a part de les preguntes i solucions d'altres edicions, unes variades Propostes diverses per tal de practicar el raonament matemàtic. 

No us enfileu a la taula!

Aquest 31 d'agost, el diari La Vanguardia ha publicat la solució de l'últim repte matemàtic de la sèrie de problemes El Cervell matemàtic. D'aquest entreteniment diari, estiuenc i que té ja dos anys de vida, n'he parlat en l'entrada anterior a aquesta, on hi trobareu un enllaç a un dossier amb tots els reptes matemàtics de l'any passat i la promesa, que ara compliré, de disseccionar algun dels problemes apareguts enguany.

Problema: No us enfileu a la taula!

En general, els problemes proposats han estat senzills i han estat triats entre els de menys puntuació, i per tant dificultat, dels que s'inclouen en les Proves Cangur. Alguns, però, m'han fet una certa gràcia. Un dels que em van cridar l'atenció és el del 24 d'agost. M'he permès escanejar-lo barroerament  —fins passat un mes de la publicació, els comuns mortals (no suscriptors) no podrem accedir a la Hemeroteca digital de La Vanguardia per veure'l— i aquí el teniu:

El Cervell matemàtic (La Vanguardia, 24 d'agost de 2012)

He cercat aquesta pregunta en els enunciats del Cangur i l'he trobada, però en una versió lleugerament diferent:

Nivell 3 (Cangur 2012-Catalunya)

(podeu veure les dues imatges més grans si hi feu clic)

L'enunciat del Cangur és de la secció de preguntes de tres punts (les més senzilles) del nivell 3 que correspon als alumnes que estan cursant 1r de Batxillerat.Com podeu comprovar, abans de publicar-lo en el diari, se l'ha passat pel sedàs "políticament correcte" (els dos nens, Miquel i Albert, s'han convertit en nen i nena per allò de les quotes) i se li ha afegit un dibuix per allò de l'estètica i per evitar que els lectors hagin de fer un esforç d'imaginació.

A la majoria no us costarà gaire arribar a la resposta; però, per si de cas i per fer algun comentari:

Solució del problema: No us enfileu a la taula!
(+/- Mostra/Oculta)

Dels dos enunciats, soluciono el del Cangur i per de-formació professional, utilitzaré l'àlgebra:

Incògnites
La incògnita a indicarà l'alçada de l'Albert; la m, l'alçada d'en Miquel i la t, l'alçaria de la taula (totes en centímetres). Permeteu-me un consell general: assigneu a les incògnites, lletres que us facilitin la conversió del text en una equació i deixeu la x, la y i la z per escriure en polonès.

De l'enunciat, obtenim dues equacions:

a + t = m + 80

m + t = a + 100

Resolució
Ordenem les dues equacions, deixant les incògnites en el primer membre:

a - m + t = 80

-a + m + t = 100

Si les sumem, resulta que 2t  = 180. I per tant, la taula mesura 90 cm.

Comentari
Com que només tenim dues equacions per a tres incògnites, és impossible saber l'alçada de cadascun dels nois. Sí que es pot determinar que un fa 10 cm més que l'altre.

La solució de La Vanguardia
El diari evita la faramalla algebraica i dóna la següent solució escrita equivalent (heu de mirar el requadre de la dreta de la imatge, a l'esquerra hi ha un altre problema nen-nena):

El Cervell matemàtic (La Vanguardia, 25 d'agost de 2012)

Qui és més alt el nen o la nena? Si penseu de forma "políticament correcta", us estalviareu el càlcul!

Per acabar, si algú troba estrany, mal trobat o poc adequat el títol de l'entrada, penseu que ja s'acosta l'inici de l'any escolar i els professors ja estem pensant una normativa d'aula senzilla, raonable i entenedora. Hi ha escenes que queden molt bé a les pel·lícules (vegeu-ho), però, de vegades hem de reprimir els impulsos i no enfilar-nos a les taules!

—Cervell matemàtic, La Vanguardia?—Em sembla que s'equivoca!

Pot ser molest rebre una trucada de telèfon equivocada, sobretot si aquell que ens truca se salta qualsevol salutació i identificació i, a més, està convençut que l'errada no és seva:

—Encara no m'heu portat la rentadora!
—No li ha d'estranyar perquè aquesta és una adreça particular i no en venem!
—Que no parlo amb en Pere?
—Ho sento, però s'ha equivocat. Aquí no hi viu cap Pere.
—N'està segur?

Puc prometre que no m'he inventat el diàleg! Si hagués tingut una mica més de reflexos, podria haver acabat amb una referència a aquell acudit suat:

—D'acord, vosté no s'ha equivocat al marcar; sóc jo que hauré despenjat malament.  

El cercador Google és un bon especialista en fer "trucades equivocades". A tall d'exemple, 128 dels seus usuaris han arribat a aquest bloc després d'introduir "Sant Joan Baptista" com a paraules clau de cerca i uns altres 36 devots de l'art després de teclejar "la mare de Déu i Santa Anna". De fet el cercador no va errat i ho podeu comprovar fent clic aquí per trobar el Sant. Pitjor ho han tingut aquells que han arribat a aquestes pàgines després d'escriure en la barra de cerca "Blancaneus" o "com explicar les hores". L'únic que em fa patir és la possibilitatt que a algun internauta li agafi un atac d'ansietat quan es troba amb un bloc de matemàtiques.

Aquestes darreres setmanes, rebo visites cibernètiques de persones que cerquen referències del "cervell matemàtic" o del "cerebro matemático La Vanguardia", un passatemps d'estiu del diari La Vanguardia. L'implacable senyor Google els dirigeix, entre d'altres, a les entrades Els diaris i les matemàtiques per passar la tarda (I) i Els diaris i les matemàtiques per passar la tarda (II) que vaig escriure l'any passat.  En aquest escrits comentava la iniciativa de La Vanguardia de publicar passatemps matemàtics i la comparava amb activitats més reeixides de El País. Enguany en un raconet del diari del grup Godó hi tornareu a trobar els reptes matemàtics que proposa la Societat Catalana de Matemàtiques (SCM) i que no són res més que preguntes de les Proves Cangur, més o menys adaptades i sense indicar a quins grups d'edat van dirigides. Podria repetir les crítiques de l'any passat, tot i reconeixent l'aportació a la divulgació de les matemàtiques, però m'ho estalvio. Sí que vull remarcar que fer-ne una publicació digital o incloure les preguntes en l'edició en línia no hagués costat gaire, no hagués suposat cap pèrdua econòmica per al diari i els que en cerquen informació o les solucions s'evitarien caurà en les xarxes d'aquest bloc.

Per tal de rescabalar de la pèrdua de temps als internautes naúfrags, dono l'enllaç a totes les 42 qüestions plantejades (i les solucions explicades) en el Cervell Matemàtic de l'any passat. Feu clic en:

Aquest document forma part d'una sèrie de propostes entorn de les Proves Cangur preparades per la Societat Catalana de Matemàtiques. Les podeu veure totes si feu clic a Prova Cangur-Propostes diverses.

Espero que aquells que estan interessats en els reptes publicats enguany, frueixin del recull dels de l'any passat. Ah! i em guardo la dissecció d'algun problema aparegut aquest agost, per a una propera entrada.

Rigor (humor?) periodístic

La meva productivitat blocaire està baixant en picat! Fer una entrada, o post, d'aquelles diguem-ne serioses, porta el seu temps. Tot i que ja tinguis el tema al cap: cerca i contrasta la informació, decideix quins enllaços i imatges posar-hi, redacta. rellegeix i corregeix... I, ara mateix,  no tinc temps per a tot això, però no vull acompanyar l'aridesa d'aquest mes de març amb una sequera d'articles al bloc. On puc trobar un assumpte agraït i fàcil de desenvolupar? La resposta la tenia a la vora, en una carpeta amb algunes notícies retallades dels diaris. Ah, els diaris! Aquestes fonts inesgotables d'errades de naturalesa diversa, de confusions, de males interpretacions i de pitjors anàlisis. I si parlem del tractament que reben les ciències, en general, o les matemàtiques, en particular, dels nostrats periodistes! Quantes bestieses s'escriuen! Podria parlar de com s'ha informat dels resultats experimentals sobre la velocitat dels neutrins, però hi ha hagut tantes notícies inexactes i amb mostres evidents de "mal ofici" que em reservo les vacances per poder pair-ho i escriure'n un comentari.

Una imatge val més que...

Anem a un exemple evident, i cada dia més abundant de "mal ofici" periodístic: acudir a les imatges d'arxiu per acompanyar articles (no sigui que els lectors se'ns espantin amb tanta lletra). Recordo la carta enviada a un diari de renom per un pare ofès: una fotografia presa mesos enrere, on es veia el seu fill assegut en les escales de l'institut amb la seva colla (crec recordar que a l'estona de l'esmorzar), s'havia utilitzat per il·lustrar un article sobre la proliferació de les drogues entre el jovent i el fàcil accés a elles (és que comences amb el pa amb nocilla i no saps on acabes!). Si voleu un altre cas més "matemàtic", cliqueu damunt de la següent fotografia, així s'ampliarà, llegiu-ne el peu i penseu si hi ha alguna cosa que no lliga:

Aquesta foto apareixia en un article del Suplemento de Economía de La Vanguardia del 25 de setembre de 2011. El titular era Momento de volver a las aulas (podeu accedir-hi fent clic en el títol anterior) i parlava de la demanda de màsters i postgraus "especialitzats" (com si no ho fossin tots, d'especialitzats). El peu de la foto és genial: "Imagen de una clase en una escuela de formación de posgrado"; és tan significatiu i dóna tanta informació com "quatre exemplars d'Homo sapiens observen com un congènere fa guixarots en una pissarra". Heu observat què hi ha a la pissarra? Una esfera, part de l'expressió πr²h que ens dóna el volum d'un cilindre i la fórmula més habitual per solucionar equacions de segon grau. Si tal postgrau s'imparteix, demano públicament que es retornin els diners als pobres alumnes! Les dues expressions matemàtiques que apareixen en la pissarra, per molt que el suposat professor sembli un setciències, són continguts de l'educació secundària obligatòria (feu la prova, pregunteu-ho a qualsevol adolescent d'uns 14 anys i us ho confirmarà si aconseguiu que es tregui els auriculars o deixi de garrotejar amb els polzes el seu gadget preferit). Em quedo amb el dubte de si la imatge és una foto d'estudi "tot-terreny" que pot cubrir informacions diverses o una mà misteriosa ha aplicat el Photoshop a la pissarra.

El Cangur 2012, olímpic?

Un mal exemple més recent, és "EL PERIÓDICO acude a la olimpiada matemática de este año que reúne a cientos de estudiantes de toda Catalunya". Si accediu a l'enllaç anterior veureu en la seva salsa el següent vídeo:

Aquest vídeo formava part de l'article "La cantera matemática" (sic) del 16 de març d'enguany. En realitat no estan parlant de l'Olímpiada matemàtica, sinó de la prova Cangur 2012 que ni tenen el mateix abast ni els mateixos objectius (podeu llegir Sessions de preparació per a l'Olímpiada Matemàtica i d'altres escrits dedicats a aquest esdeveniment o al Cangur en aquest bloc). A més quan el nombre de participants ronda els 20.000, parlar de "centenars" és enganyós. No es tracta ni d'una "Olimpiada" ni d'aconseguir una "cantera" de matemàtics; però, tal com està el país, haurem de donar les gràcies als senyors d'El Periódico per la divulgació que fan d'activitats relacionades amb les matemàtiques.

Ja comentaré la present edició del Cangur, més endavant i amb més calma, i suposo que també hauré de tornar a aquest "humor periodístic" que de vegades em treu de polleguera. Ho deixo aquí i me'n vaig rabent a perseguir neutrins.

Els diaris i les matemàtiques per passar la tarda (I)

De tant en tant, la curiositat em porta a consultar quines són les paraules que han teclejat els internautes en el cercador abans d'accedir a aquest bloc. Em temo que, de vegades, tot i que intenten introduir una seqüència de paraules que creuen molt específica, el motor de cerca els mena a aquest lloc on no trobaran allò que desitgen. A tall d'exemple, els qui van teclejar dibuixos igualtat de gènere (el senyor Google, apartat imatges, va respondre amb un esquema de la construcció d'un rectangle auri!) o algú ha tingut problemes amb la doble correcció de la selectivitat a Catalunya (a aquest darrer li haurien d'explicar algunes de les subtileses de la cerca a la xarxa) no es van trobar amb la informació que volien. En d'altres ocasions, aquestes paraules clau m'han animat a escriure a alguna entrada i en aquest article concret m'han donat part del títol: no sé si una o dues persones van arribar aquí després de teclejar matemàtiques per passar la tarda o matemàtiques per passar una tarda.

Aquesta necessitat de trobar alguna activitat per passar la tarda, per passar el temps o, més radical encara, per matar el temps em sembla que és específicament humana (l'home deu ser l'únic animal que s'avorreix!). Així una de les seccions habituals que no pot faltar en la premsa escrita és la de Passatemps. A part dels habituals, mecànics i previsibles sudokus, enguany dos diaris de prestigi, La Vanguardia i El País, han volgut donar un toc de matemàtiques a les seves pàgines. De la iniciativa d'El País ja n'he parlat en Els desafiaments matemàtics d'El País. Comencem pels grafs. No sé si per mimetisme, La Vanguardia va iniciar, des del passat 24 de juliol, una reduïda secció diària titulada El cervell matemàtic que finalitzarà el 4 de setembre. M'agradaria comparar aquestes dues iniciatives perquè ens donen una pista del tractament de les matemàtiques en aquestes dues publicacions periòdiques.

Podeu consultar, l'exemplar del 24 de juliol de La Vanguardia en el servei d'Hemeroteca digital d'aquest diari (això sí, si no sou subscriptors, només en la seva versió castellana). Si voleu veure el primer article de la sèrie feu clic a El cerebro matemático i desplaceu-vos fins al final de la pàgina que s'obrirà. Us transcric el títol i la primera frase de la introducció a aquest passatemps en la seva versió catalana que he consultat en paper:

Un estiu amb passatemps matemàtics

Qui va dir que les matemàtiques són avorrides?

Ras i curt, ja van començar malament amb aquesta pregunteta retòrica i tòpica. Més endavant ens diuen:

Són passatemps extrets de les proves Canguro (sic, aquí els ha fallat la traducció automàtica).

Per resoldre'ls, més que càlculs i fórmules, fan falta enginy i intuïció.

Resumint, no patiu que són pseudo-matemàtiques de fàcil digestió. Em quedo amb el dubte de qui va dir que les matemàtiques són avorrides! Si consulteu els reptes proposats pel nostrat diari veureu que, com la majoria de les preguntes de les proves Cangur, es poden solucionar amb uns minutets sense avorrir-se, i tenim l'avantatge que l'endemà ens donen i expliquen la solució . Està bé que es dediqui un raconet a les matemàtiques i, més encara, que sigui en aquest diari, que havia tingut uns magnífics suplements de ciència, però que ja fa anys que ha perdut el nord pel que fa al periodisme científic, a la divulgació de les ciències i al tractament numèric i infogràfic de les notícies (us en donaria exemples, però m'indignaria escrivint-los i, tot plegat, és el pa de cada dia en la majoria de la premsa escrita o audiovisual). Com aspectes positius d'aquests passatemps apuntaria la col·laboració de la Societat Catalana de Matemàtiques amb un diari d'àmbit estatal i la divulgació dels reptes de les proves Cangur... ah! i si voleu participar en el Cangur, El cervell matemàtic us pot servir d'entrenament (en l'Hemeroteca digital que abans he esmentat podeu consultar qualsevol exemplar del diari quan ja han passat trenta dies de la seva publicació).

Com que l'escrit s'està fent llarg, parlarem d'El País, que guanya per golejada amb la seva secció de reptes matemàtics, en la propera entrada.

Macrobotellón... matemàtic: Prova Cangur 2011

Perdoneu-me la barreja d'idiomes del títol: segons ésAdir,  El portal lingüístic de la Corporació Catalana de Mitjans Audiovisuals (CCMA), no hem de traduir la paraula botellón (ho deuen considerar un fenomen antropològic propi d'altres cultures). De fet, el Macrobotellón de l'encapçalament vol ser una expressió d'èxit, una queixa i un esquer. Una expressió d'èxit, perquè el passat 17 de març una multitud de 18.464 alumnes catalans de secundària van participar en la Prova Cangur de matemàtiques d'enguany, demostrant una vegada més la bona salut d'aquesta experiència (podeu veure la notícia Més de 18.000 alumnes catalans de secundària participen en la Prova Cangur 2010 sobre l'edició de l'any passat). Una queixa, perquè de nou els mitjans de comunicació quasi no s'han fet ressó de tal diada i, en canvi, no els costa gaire parlar d'altres expressions culturals com "botellons" i "raves" (llegiu aquesta darrera paraula en anglès si us plau, no parlo d'hortalisses!). I un esquer, potser algun despistat cercador de "macrobotellons" a Google entra per equivocació a llegir aquesta entrada i allarguem la vida d'alguna de les seves sinapsis neuronals. Per altra banda, tinc l'esperança que, el fet d'incloure el mot Macrobotellón en el títol, augmentarà el nombre de lectors d'aquest bloc.

Anem pel ressó mediàtic. En una comunicació interna de l'associació de professors de matemàtiques ABEAM s'aportaven dos enllaços a notícies sobre el Cangur. Una era un breu ressenya al portal InfoK de TV3 amb un vídeo d'uns dos minuts que no té preu: els periodistes juguen amb la idea de com pot ser que algú es presenti voluntari a un examen de mates? Passarem per alt, l'ús de mates per matemàtiques —és més significatiu d'allò que pot semblar— i la cantarella pseudoinfantil dels cronistes. Un dels nois entrevistats justifica la seva presència amb un "et puja la nota i caus millor al profe" (ja sabem que el fet que t'agradin les matemàtiques o pensar no és megaxaxiguai i cal amagar-ho). Us asseguro que els alumnes de les meves classes que hi van participar no tindran una pujada col·lateral de la nota ni em cauran ni millor ni pitjor que abans d'anar-hi (tinc l'obligació professional que els alumnes "no em caiguin").  Més digne, equilibrat i sense currículum ocult, em sembla el tractament de la notícia al canal televisiu barceloní BTV: Les proves Cangur de matemàtiques busquen despertar l'interès de l'alumnat. El més gratificant per als que d'alguna manera participem en l'organització no és, però, que se'n parli públicament, sinó l'interès i seriositat amb què els concursants es prenen el Cangur.

A les Illes Balears, la Prova va tenir lloc el mateix dia 17 de març i la participació va ser de 4671 alumnes, com bé podeu llegir al web de Xeix (Societat Balear de Matemàtiques). Encertadament, Xeix ha fet un recull de Les Proves Cangur a la televisió, la ràdio i els diaris.  L'aspecte que presentava el Palma Arena amb 2471 participants mallorquins és una de les imatges singulars de la jornada:

Els més tocatardans van ser els nostres companys del País Valencià, amb més de 4300 participants (Cangur-2011 al País Valencià), que van celebrar la prova el 24 de març ja descansats de les falles. El canvi de data va obligar a utilitzar uns enunciats diferents dels de Catalunya, Balears i Andorra.

Podeu accedir a les solucions dels diferents nivells, llistes dels millors classificats, etc. fent clic a Prova Cangur 2011. Felicitats a tothom que hi ha participat!

Dos enunciats més de la Prova Cangur

A l'escrit anterior Prova Cangur 2011: comencem el compte enrere ja hi vaig incloure un problema de l'edició del Cangur de l'any passat. Els enunciats dels cangurs d'altres anys són, òbviament, un bon material per preparar aquesta prova amb els alumnes de secundària, però, a més, poden donar lloc a algunes reflexions interessants. En aquesta entrada us proposaré dos problemes més que, ho he comprovat en viu i en directe, provoquen el desconcert dels nostres alumnes. Si us sóc sincer, en algun d'aquests exercicis, he donat també més pals de cec dels estrictament necessaris.

Comencem amb una qüestió del nivell 3 (és a dir, per als alumnes de 1r de batxillerat) que no és objectivament complicada, però per als nostres estudiants pot ser motiu d'embolics i divagacions infructuoses:

Un problema d'angles i bisectrius (Cangur 2009)

Es tracta de calcular l'angle marcat amb un interrogant en el triangle del següent dibuix (els segments interiors són les bisectrius dels tres angles):

Si voleu veure l'enunciat original, feu clic per ampliar:

No us deixeu vèncer per la mandra, no consulteu de seguida la solució!

Solució del problema d'angles i bisectrius
(+/- Mostra/Oculta)

Amb la definició de bisectriu i sabent que, en geometria euclídea, la suma dels tres angles d'un triangle és de 180º, en teniu prou per solucionar el problema. Només cal una mica de vista, per a no utilitzar condicions o equacions que no són imprescindibles.

Anem per un altre repte, ara de nivell 2 (4t d'ESO). Us pot recordar un joc numèric ideat per Ignasi del Blanco que ja hem comentat aquí (Felicitacions? matemàtiques o no?).

Un problema de dividir en anglès (Cangur 2009)

Sabent que les lletres de la següent divisió indiquen xifres (com sempre, lletres diferents indiquen xifres diferents i una mateixa lletra indica una sola xifra):

Quants resultats diferents pot donar el producte T·H·R·E·E?

Com abans, feu clic per ampliar la següent imatge si voleu llegir l'enunciat original amb les possibles respostes:

En aquest cas, com que l'exercici s'ho val, apuntaré un parell de pistes abans de donar la solució. Penseu, però, que la satisfacció de solucionar-lo sense haver de recórrer a les pistes és superior. Feu-ne ús només en cas de desesperació manifesta.

Pista 1
(+/- Mostra/Oculta)

Suposo que no esteu intentant esbrinar el valor de cada lletra! Només ens demanen quants possibles valors té el producte T·H·R·E·E! Cal llegir amb calma i interpretar correctament els enunciats!

Pista 2
(+/- Mostra/Oculta)

Si ja heu comptat les lletres diferents, heu vist que n'hi ha deu. Per tant, en aquesta operació hi participen tots els dígits del sistema decimal del 0 al 9.

I si no hi ha més remei...

Solució del problema de dividir en anglès
(+/- Mostra/Oculta)

Si una de les lletres ha de ser el zero, no pot estar en el divisor (no podem dividir per zero!). Si és una de les lletres del dividend (E, I, G, H o T), aquest producte i el primer membre de la igualtat han de valdre 0. Per tant, el producte del segon membre també ha de ser zero (0 = 0). L'única lletra comuna de EIGHT i TWO és T, d'aquí deduïm que la T val zero. El producte T·H·R·E·E només pot donar un resultat ja que conté el zero: 0! La resposta correcta és la A. Un problema enginyós que no necessita càlculs complicats ni grans raonaments matemàtics! Si ho heu vist a la primera, felicitats!

Prova Cangur 2011: comencem el compte enrere

Aquest 17 de març, falta menys d'un mes, tindrà lloc l'edició d'enguany de la Prova Cangur. En aquest bloc ja hem dedicat un parell d'articles a aquest concurs de matemàtiques adreçat als alumnes de secundària (Més de 18.000 alumnes catalans de secundària participen en la Prova Cangur 2010 i Cangur 2010: les respostes i més detalls de l'organització) i, en d'altres escrits, hem utilitzat els enunciats d'alguns problemes proposats en el Cangur (el problema del format DIN i el problema dels mentiders).

El podeu trobar en d'altres llocs del bloc, però no me'n puc estar de donar-vos, una altra vegada, el següent enllaç:

www.cangur.org

A part de les sessions de preparació per als alumnes interessats que organitza la comissió que s'encarrega del Cangur, som moltes les escoles i instituts que programem trobades i classes amb els alumnes que volen participar en aquesta festa de les matemàtiques. Va ser en una d'aquestes classes, fora de l'horari lectiu, que alguns dels meus alumnes de 2n de batxillerat (nivell 4 del Cangur a casa nostra o nivell 6 en d'altres contrades) es van entrebancar amb el problema que us presentaré a continuació. Es tracta de calcular l'àrea ombrejada entre dos cercles concèntrics sabent que la longitud de la corda AB, tangent al cercle interior, és 16, veieu-lo (i el veureu millor, si feu clic damunt de l'enunciat):

Problema dels cercles concèntrics (Cangur 2010)

Valgui aquest exemple per il·lustrar el tipus de qüestions proposades i per fer-ne un tastet. No es requereixen grans coneixements matemàtics —en aquest cas, en tenim prou amb la geometria elemental de l'ESO—, però cal una mica de vista matemàtica (parlant de vista, Miguel de Guzmán, amb l'agudesa que el caracteritzava, és autor d'un meravellós llibret de geometria que porta l'encertat títol de Mirar y Ver).

Per acabar, tot i que no m'agrada donar les solucions mastegades, però n'estic segur que no consultareu la solució sense haver forçat una mica la vista o, en el millor dels casos, trobeu aquest càlcul elemental i només voleu comprovar-lo (quan obriu la solució, feu clic a la imatge si comenceu a tenir la vista cansada):

Solució del problema dels cercles concèntrics

(+/- Mostra/Oculta)

La lògica i el currículum (I)

Com a introducció d'aquest article, em permeto començar amb una pregunta de la Prova Cangur de 2009 (si ignoreu de quin tipus de prova estic parlant, feu clic a Més de 18.000 alumnes catalans de secundària participen a la prova Cangur 2010):

Problema dels mentiders (Cangur 2009)
En una illa remota unes quantes persones sempre diuen la veritat i les altres persones menteixen sempre. 25 persones d’aquesta illa estan col·locades en fila íındia. La primera persona de la cua diu que totes les altres són mentideres. Totes les altres persones de la cua diuen que la persona que tenen al davant és mentidera. Quantes persones mentideres hi ha a la cua?

A) 0     B) 12     C) 13     D) 24     E) És impossible saber-ho

Podeu veure que és un test de resposta múltiple i en tenim cinc de possibles. Abans de continuar i si esteu delerosos de saber la resposta cliqueu al "Mostra" que apareix més avall (només ho hauríeu de fer si heu intentat solucionar el problema i després d'uns minuts de reflexió):

Solució del problema dels mentiders

(+/- Mostra/Oculta)

La resposta correcta és la c. Hi ha tretze persones mentideres. És evident que la primera persona no diu la veritat perquè tota la resta no poden ser mentiders: un mentider no pot dir d'un altre mentider que ho és. Per tant, si la primera menteix, la segona diu la veritat i van alternant mentiders amb persones que diuen la veritat.

La mera presència d'aquesta pregunta en un examen de matemàtiques pot sorprendre a la majoria dels estudiants de secundària i del batxillerat actuals que identifiquen aquesta assignatura amb l'aritmètica, l'àlgebra, la geometria, l'anàlisi i un polsim de probabilitat i estadística. Encara que quatre de les respostes proposades són numèriques, el problema no és d'aritmètica, sinó de lògica (a més, de la més clàssica i aristotèlica lògica binària).

Tradicionalment la lògica s'ha considerat un camp d'estudi de la filosofia i, fins fa poc, el seu ensenyament als nostres joves ha estat en mans dels professors de filosofia de batxillerat (sense batxillerat, no hi havia continguts reglats de lògica). Hores d'ara i seguint el temari de Filosofia i Ciutadania (m'estalvio comentaris polèmics sobre el nom) de 1r de Batxillerat, el professorat d'aquesta matèria es pot estaviar els continguts més elementals de lògica formal. Com que a més els han castigat amb només dues hores de classe setmanals, ja us podeu pensar en quin estat tenim el raonament lògic. És clar que alguns ciutadans em poden replicar que en tenim prou amb el "sentit comú". Com que aquesta no serà la única entrada dedicada a Lògica i Metodologia — no se m'ha acudit cap altra etiqueta per tractar de la lògica i de la metodologia matemàtica— els deixarem, momentàniament, fruir de la perillosa inòpia intel·lectual en la qual viuen.

La lògica, no cal dir-ho, fonamenta també el coneixement científic i matemàtic. D'això i d'algunes anècdotes significatives a les aules, en parlarem més endavant.

Formats i proporcions: l'arrel de dos versus el nombre auri

Comencem per un aclariment lingüistic, em ve de gust fer-lo, i d'intenció sobre el títol d'aquesta entrada:
Versus és una preposició, sovint abreujada com vs., que indicava en llatí direccionalitat (la podem traduir com cap a o en direcció a, ja que la paraula que en deriva en català, vers, està restringida , cada vegada més, a contextos literaris). Versus va donar la preposició vers (idèntica en català i en francès) o verso en italià. Ja en el segle XV però, els anglesos la introdueixen en el seu llenguatge jurídic amb el significat de contra i així, més tard passa al llenguatge, sobretot esportiu, denotant combat o enfrontament més o menys incruent (Muhammad Ali vs. George Foreman o Argentina vs. Uruguai) i així ens va arribar a nosaltres, primer del castellà i sobretot a través de la premsa esportiva. Podia haver escrit en el títol: l'arrel de dos contra el nombre auri, però com que —misteris de la ment en vacances— m'ha vingut al cap el film Dracula vs. Frankenstein (1971) del director Al Adamson he optat per versus. Per als professors, les proporcions, √2 i Φ (el nombre auri) no són equiparables als monstres; però per alguns alumnes, potser sí. Els aficionats a les pel·lícules de sèrie B, aquelles de tarda i vespre de sessió doble, em poden recordar que el director espanyol Jesús Franco també va rodar una infame Drácula contra Frankenstein (1974) amb el contra al títol..., però ja és hora que acabem aquesta digressió.

Per introduir aquest tema ho farem amb un qüestió del nivell 3 (1r de batxillerat) de la prova Cangur de l'any 2005 (feu clic damunt de l'enunciat per poder-lo llegir amb més comoditat):

No és massa complicat de trobar la resposta, intenteu-ho i si desistiu consulteu l'enllaç DIN 476 on trobareu la solució i informació sobre la norma DIN 476 que és la que regula els formats dels fulls que generalment utilitzem. Haureu llegit en l'enllaç anterior que les regles per fixar-ne les dimensions són molt senzilles:

• Tots els fulls de la sèrie DIN tenen la mateixa proporció entre el seu costat gran i el seu costat petit.

• Dues grandàries de paper successives han de complir que l'àrea d'una ha de ser el doble de l'altra. Com hem vist en el problema, per exemple, ajuntant dos fulls DIN A4, tenim un  full DIN A3.

• Un full DIN A0 té una àrea d'un metre quadrat.

Les dues primeres condicions ens porten a una raó de proporcionalitat única: en tots els fulls de la sèrie DIN es compleix que la divisió del costat gran entre el costat petit és igual a l'arrel quadrada de dos. Evidentment a la pràctica el quocient de les dues dimensions és aproximadament igual a √2. Fins a quin punt arriba aquesta aproximació? Si agafem un full DIN A4, segurament el format més utilitzat, fa 21,0 cm x 29,7 cm. Fem la divisió:

29,7 ÷ 21,0 = 1,41428571428571428571428571428571...

Obtenim un decimal periòdic mixt amb un 4 com a primer decimal i un perìode de sis dígits, 142857, que es va repetint (en forma fraccionària aquest nombre és 99/70). Si comparem aquest nombre amb l'arrel de dos (√2 = 1,414213562373095048801688724209...), veiem que coincideixen en els primers quatre decimals. Recordem que quan vam intentar comprovar si les targetes de crèdit eren rectangles auris (El mite del nombre d'or) ja ens fallava el primer decimal. Abans de proclamar vencedora a √2 enfront de, o versus, Φ, almenys si analitzem la seva presència en formats nomalitzats, podem presentar alguna objecció. No és massa correcte comparar un full DIN A4 amb una targeta de crèdit, cal cercar el format DIN que més s'hi aproxima en magnitud. Aquest és el DIN A8 (52 mm x 74 mm), però si voleu podem provar també amb el DIN A7 (74 mm x 105 mm) (veieu Mida de paper).

DIN A8:  74 ÷ 52 = 1,4230769230769230769230769...

DIN A7: 105 ÷ 74 = 1,4189189189189189189189189...

Tal com era d'esperar, l'aproximació no és tan bona, però continua sent remarcable.

Per què els llibres de text i les pàgines web continuen insitint amb els rectangles auris quan parlen de proporcionalitat? √2 permet parlar amb rigor, dóna joc a parlar de formats de paper i de fotografia, d'ampliacions i reduccions..., però no té la poesia mítica de Φ!

Construcció d'un rectangle amb raó de proporcionalitat √2 

Com que ja vam explicar com dibuixar un rectangle auri en l'entrada anterior a aquesta (Com dibuixar rectangles auris), no seria just que no parléssim de com representar gràficament els rectangles que compleixen que costat major ÷costat menor  =  √2. El mètode és semblant i  molt més senzill en aquest cas.

Construïm un quadrat de costat b i tracem la seva diagonal (aprofitarem que en qualsevol quadrat el quocient entre la diagonal i el costat és √2). Amb el compàs traslladem la diagonal a l'horitzontal, tal com indica el dibuix, i ja hem acabat (b+a) ÷ b = √2!

Cangur 2010: les respostes i més detalls de l'organització

Si voleu consultar les respostes de la Prova Cangur 2010 ja ho podeu fer.
 
Si cliqueu en la imatge, us trobareu amb una pàgina amb un quadrat idèntic (mentre no en canviïn la ubicació). Feu clic a solucions, trieu el nivell i veureu les respostes de la prova. En data d'avui, els enunciats no estan disponibles a la xarxa. Ho estaran quan l'associació internacional que organitza el Cangur ho autoritzi. Per cert, en una entrada anterior donava l'enllaç a Le Kangourou des Mathématiques que és el nom de l'organització que va preparar la primera prova a Europa, concretament a França, i continua fent-se càrrec de l'operatiu en el país veí. Actualment l'organització internacional  va a càrrec de Kangourou sans Frontières.  El web d'aquesta darrera associació és molt institucional i no hi trobareu problemes matemàtics, però té el seu interès: hi podreu consultar estadístiques sobre els participants en els diferents països del món, en quines ciutats s'ha convocant les reunions anuals, les actes de les reunions, etc. (podeu fer la consulta en francès o anglès):

 

I un desig: estaria bé que alguna persona que hagi participat en el Cangur d'enguany, s'animés a fer algun comentari en aquest bloc.