La proporció àuria, la bellesa, els rostres i el treball de recerca

En un comentari a l'entrada immediatament anterior a aquest article, l'Anna, una alumna de primer de batxillerat, ens comunica que està fent el seu treball de recerca sobre la "possible" presència de la proporció àuria en la bellesa facial humana. El treball de recerca (TR) és un dels fets diferencials del sistema educatiu català: tots els alumnes de Catalunya l'han de fer obligatòriament i val un 10% de la nota de batxillerat (cosa que em sembla raonable, però l'alumnat d'altres comunitats autònomes se l'estalvien!).

Ja he dedicat d'altres entrades al nombre auri. A hores d'ara, els escrits més consultats d'aquest bloc són, per aquest ordre:

Com dibuixar rectangles auris

La Gioconda, enigmàtica?

L'Home de Vitruvi

Tots tres fan referència a la raó àuria! Cal dir que no tothom ha arribat a aquests escrits, suposo, cercant informació sobre la proporció, però em sembla que és significatiu i una demostració que el mite del nombre d'or és dels més estesos dels mites matemàtics. En aquest sentit, m'hauria agradat més que el rànquing dels més llegits estigués encapçalat per El mite del nombre d'or on hi ha un enllaç a un article periodístic d'imprescindible lectura (El mito del número de oro).

Demano disculpes, abans de continuar, a alguns llegidors habituals d'aquest bloc (si no han desistit encara) perquè en un comentari a L'Home de Vitruvi  ja se'm fa saber (amb música de Bob Dylan) que:

Quantes entrades caldrà dedicar al nombre auri
Abans d'engegar a pastar fang els seus impostors

Espero que la vehemència dels versos no faci defallir l'Anna o a d'altres alumnes que dediquen el seu TR a la divina proporció: un bon TR no acaba, necessàriament, validant la hipòtesi.

En qualsevol investigació, un dels passos imprescindibles és la recerca documental: no podem començar de zero ni tornar a fer el mateix camí que ja ha estat recorregut. Els investigadors professionals  ja saben que car es paga el fet d'arribar segon o d'obviar informació que ja han aportat d'altres. En el cas que ens ocupa —diguem-ne d'iniciació a la recerca—  podem començar per consultar Mr Google: proposo les paraules clau "treball de recerca" auri OR auria (les cometes i l'OR són importants). Ens assegurem així de poder comprovar si s'han fet recerques semblants en aquest nivell. Trobem, per exemple, que Camille Ausseill (La proporció àuria i la seva aplicació en les proporcions humanes) en les seves conclusions hi fa constar un significatiu i ocurrent "no es oro todo lo que reluce".

També cal dedicar molta atenció a la metodologia. No podem començar a mesurar rostres sense unes nocions básiques d'antropometria. Sense dedicar-hi massa temps i a la xarxa (recomano biblioteques i especialistes!), he trobat:

Antropometría aplicada (I). Generalidades  No parla gens de rostres, però està bé per entrar en matèria.

Estructuración y estandarización de la antropometría facial en función de proporciones  No és un escrit tan generalista com sembla pel títol, però els especialistes en cirurgia estètica tenen el seu punt de vista.

No em puc estar d'indicar algunes dificultats que té aquesta recerca (en alguns comentaris ja les he citat). El nombre auri (Φ) és irracional i, forçosament, les mesures que prenem nosaltres són racionals, com podem distingir a la pràctica Φ de cinc terços o de vuit cinquens? És mesurable la bellesa? Hi ha unes proporcions objectivament belles? El concepte de rostre bell depèn de les cultures, ha anat variant en el temps i la variabilitat externa dels humans és considerable. Unes imatges a tall d'exemple: 

Hyo-Sun Lim

Batoma Diallo

Quin rostre té unes proporcions més perfectes? El de la pianista coreana Hyo-Sun Lim o el de Batoma Diallo, cantant de Mali? Des del nostre eurocentrisme, a algú li pot semblar que Lim té els ulls petits i Diallo els llavis massa molsuts. Si en lloc de fer referència al rostre, parlem de craniometria, que és més proporcionat un crani dolicocèfal, un de mesocèfal o un braquicèfal?

Ah, i una cara quadrangular, molt allunyada dels nostres ovals occidentals:

Una altra dificultat recau en què el concepte de bellesa, modes i cultures a part, té una part individual i biogràfica intransferible. El filòsof racionalista Descartes es va enamorar de petit d'una noia guenya o estràbica (he ratllat la primera paraula, no sigui que la policia d'allò politícament correcte em denunciï) i, sempre més, va trobar atractius els rostres que tenien aquest mateix defecte. Si us sembla estrany a Balzac i als antics maies (a tots!?), diuen que els passava el mateix.

S'ha postulat que determinades característiques del rostre sí que tindrien un valor universal que els faria més agradables. Aquí hauríem de citar la simetria i l'aspecte saludable (sigui el que sigui aquesta darrera cosa). De totes maneres, no hi cap cara totalment simètrica i l'excés de simetria provoca efectes perversos (A Study of Asymmetry of Faces).

Ara hauríem de passar a dissenyar el treball de camp...

Sé, perquè he atutorat uns quants TR, que les consideracions, dubtes, crítiques i preguntes incomoden els estudiants, però la ciència es construeix a partir d'incerteses (allò del dubte metòdic que diria Descartes) i d'afirmacions falsables (que diria Karl Popper). Catalans i catalanes (que diria qualsevol polític actual) que curseu el batxillerat, ànim i que tingueu un bon treball de recerca!

L'Home de Vitruvi

Marc Vitruvi Pol·lió va ser un arquitecte i enginyer romà del segle I aC. Va escriure un tractat d'arquitectura (De Architectura Libri) que va ser reeditat a Roma cap el 1486 i més tard a d'altres ciutats, ara italianes, quan els renaixentistes es van interessar i inspirar en l'art clàssic de Grècia i Roma. Leonardo da Vinci va fer, cap el 1492, un famós i difós dibuix que es coneix com L'Home de Vitruvi. El dibuix es titula Estudi de les proporcions humanes segons Vitruvi.

Si en voleu veure una reproducció en metall, només cal que agafeu una moneda d'un euro encunyada a Itàlia.

Portem ja uns quants articles dedicats al nombre auri i ja hem parlat de la secció àuria en l'obra de Leonardo da Vinci (vegeu La Gioconda, enigmàtica?).  En el cas de la Gioconda, la presència volguda del nombre auri és més que dubtosa: aquesta setmana, quan en una classe de primer de batxillerat, mostrava una reproducció d'aquest quadre amb els suposats rectangles auris de la composició, més d'un alumne va notar que els rectangles s'havien dibuixat d'una manera totalment subjectiva i sense criteris rigorosos (podeu donar una ullada a El mite del nombre d'or). La defensa de la presència del nombre auri en aquest dibuix de Leonardo que ara ens ocupa, també és aferrissada. Per exemple, el matemàtic Manuel Sada, que té uns excel·lents videotutorials sobre el programa de geometria dinàmica GeoGebra, en dedica un a trobar la secció àuria en aquesta obra (vegeu-lo: El Hombre de Vitrubio).

Com el Quixot, una mica fart de "desfazer entuertos", l'autor d'aquest bloc, sense massa temps i aclaparat per la repetició de tesis sense fonaments, us proposa una recerca:

• En quin dels deu llibres del tractat de Vitruvi es parla de les proporcions anatòmiques?

• Un romà com Vitruvi és poc sospitós d'utilitzar els nombres irracionals en els seus cànons. Curiosament, si llegiu els articles de Viquipèdia en llengües diferents, veureu que en alguns parlen de la secció àuria i en d'altres, no:

         L'Home de Vitruvi (en català)

         El Hombre de Vitruvio (en castellà)

         Vitruvian Man (en anglès)

         L'Homme de Vitruve (en francès)

        En què quedem? Vitruvi parla del nombre auri o no?

• En l'obra de Vitruvi ja apareix la secció àuria? No apareix, però Leonardo la incorpora en el seu dibuix? Si és així, Leonardo és conscient que la incorpora o ho fa inconscientment al treballar amb un quadrat i una circumferència?

Us pot servir llegir un post del bloc Screen Circles (L'Homme de Vitruve).

Tot  i que els educadors (mestres, professors i afins) som els únics que ens dediquem a fer preguntes de les quals ja coneixem la resposta, us asseguro que, en aquest cas, no és així.

La Gioconda, enigmàtica?

Aquest article continua la sèrie d'escrits que vam encetar amb El mite del nombre d'or. En tots ells tractem d'esbrinar si el nombre auri és tan present en la natura i en les activitats humanes com molts creuen o aquesta afirmació no té fonament científic. Avui li toca el torn a una de les obres, junt amb les "mutilades" Venus de Milo i Victòria de Samotràcia, que omplen el parisenc Museu del Louvre de turistes que veuen el món a través del visor o de la pantalleta de les seves càmeres i mòbils. Dan Brown ha tingut el dubtós honor d'afegir, a les tres populars obres de visita "ineludible" i fotografia "inexcusable",  la Piràmide, i la seva germaneta invertida, inaugurada pel president Miterrand el 1989.

La Gioconda o Mona Lisa és una de les obres més conegudes de l'artista florentí Leonardo da Vinci (1452-1519). Segurament és un  dels quadres que ha generat més "literatura", teories i comentaris (la majoria fantasiosos, truculents i sense base). S'ha dit que era un autoretrat del propi Leonardo, que l'obra oculta enigmàtics missatges... Aquí només ens ocuparem de dos dels comentaris més populars: la presència de la proporcionalitat àuria en el retrat i de si el somriure de la Gioconda és tan únic i enigmàtic com diuen. El segon assumpte no té res a veure amb les matemàtiques, però farts de sentir-ne parlar posarem punt final a l'entrada amb algunes preguntes al respecte (de vegades, les preguntes aclareixen més les coses que les afirmacions).

Quan es parla de la secció àuria en aquesta obra s'acostuma a acompanyar el text amb il·lustracions com la següent:

En aquest cas, l'autor almenys hi ha fet constar algunes longituds. En la majoria de casos però, es limiten a repetir que el rostre està enquadrat en un rectangle auri  —qui va ser el creador d'aquesta història?—  i que la resta de les faccions mostren també la divina proporció. Si ens fixem en el rectangle vermell de la imatge anterior, la hipòtesi àuria no s'aguanta per enlloc: per què els seus quatre vèrtexs s'han situat en aquests punts tan difícilment objectivables? Si els movem una mica, podem enquadrar la cara en un rectangle que ja no serà auri. L'única manera de defensar la hipòtesi seria demostrar que en els primers esboços, Leonardo es va dedicar a quadricular la taula per obtenir aquesta proporcionalitat o que el pintor coneixia i utilitzava Φ. Si algú en té alguna notícia i ens ho comunica, podrem matisar el notre escepticisme. Pensant en alguns comentaris previsibles, em permeto avançar que de l'Home de Vitruvi ja en parlarem en una altra ocasió.

Si passem al somriure, més aviat rictus,... no sé si cal començar pel somriure arcaic dels koúroi grecs. Ja tenim somriures enigmàtics, o no tan enigmàtics, en l'art grec (650 al 550 aC)! Per altra banda, tan enigmàtica és l'expressió de la Gioconda? En d'altres pintures del mateix Leonardo trobem expressions i cares semblants i se n'ha parlat molt menys:

Sant Joan Baptista
 (imatge extreta del web Gallery of Art)

La mare de Déu i l'infant amb Santa Anna
 (imatge extreta del web Gallery of Art)

Aquestes dues obres també es troben en el Louvre (si feu clic al damunt, podreu veure-les millor) i no han de suportar tantes aglomeracions al seu davant (posats a triar, els gustos són subjectius, m'agrada més La mare de Déu i l'infant amb Santa Anna que no pas La Gioconda). Els somriures s'assemblen i, fins i tot, ens podem preguntar: Santa Anna i la Gioconda no són la mateixa persona? Per cert, podreu trobar imatges d'altres obres de Leonardo, ¿amb el mateix somriure?, i de moltíssims pintors més en la magnífica i recomanable Web Gallery of Art d'on he tret aquestes dues darreres fotografies digitals.

Proporcions en l'art: racionals o irracionals?

En d'altres ocasions ja hem parlat de les dimensions i de les propocions, sobretot en relació al nombre auri, la secció àuria o com vulgueu anomenar al nombre Φ. No tractarem aquí d'una manera general el tema de les proporcions en l'art. Entre d'altres motius, perquè si consulteu algunes de les enciclopèdies més conegudes dedicades exclusivament a l'art, tot i que poden tenir un nombre considerable de volums, veureu com pràcticament no hi són presents qüestions com les proporcions, les mesures o les tècniques artístiques — com si el fet de parlar-ne, rebaixés el nivell "humanístic i espiritual" de les obres que hi consten. De fet, ja m'ha costat contrastar les quatre coses que explicarem aquí i cal dir que he trobat discrepàncies en algunes ocasions (és el cas, per exemple, del cànon de l'escultor grec Lisip, que comentarem més endavant, que tan aviat és de "vuit caps" com de "set caps i mig").

Comencem doncs per l'escultura de l'Àntiga Grècia. Per als amants de l'austera bellesa actual d'aquestes obres, hem de dir que la majoria d'elles estaven pintades total o parcialment: ¿de quin to rosa era la pell de la Venus de Milo? Sembla que els escultors grecs estaven molt interessats en la qüestió de la proporcionalitat anatòmica. Policlet (segle V aC) va escriure un tractat sobre aquest tema, però no se'n conserva cap còpia. Sí que es conserva una còpia, l'original en bronze no s'ha trobat, de l'escultura on posava a la pràctica el seu cànon estètic: el Dorífor (del grec δορυφόρος, doryforos, 'el que porta la llança'). Sembla que va ser realitzada entre el 450-440 aC. A través dels historiadors romans, ens ha arribat la notícia que el Dorífor o Cànon era utilitzat pels artistes aprenents i Plini deia de Policlet que era l'únic artista que havia incorporat tot l'art en una sola obra. El cànon de Policlet es coneix com de "set caps" perquè el cap del Dorífor és la setena part de la seva altura.

El segle IV aC, Lisip, un altre escultor grec, empetiteix els caps — s'ha dit que per donar més sensació de grandesa.El cànon de Lisip sembla ser de "vuit caps" (el cap és una vuitena part del cos) encara que no m'he entretingut a comprovar-ho i en alguna lloc es parla, com hem dit, de "set caps i mig". L'obra "canònica" de Lisip és l'Apoxiòmenos (cap el 330 aC) de la qual tampoc no en tenim l'original. Apoxiòmenos seria, traduït literalment al català, "aquell que es rasca": es tracta d'un atleta (pugilista?) que es treu les restes d'oli, els greco-romans s'untaven per fer esport, amb un aparell anomenat estrígil.

Evidentment els cànons eren més complexos i no feien referència nomes a la proporcionalitat del cap, sinó a la relació entre tots els punts importants de l'anatomia externa (veieu les il·lustracions del següent enllaç: Apoxiomenos). Sigui com sigui i tal com era d'esperar, aquest dos cànons i d'altres que es podrien citar i comentar són perfectament expressables en fraccions i han estat concebuts com a fraccions: no apareix cap irracional i, per tant, podem prescindir del nombre auri. En un enllaç que hem donat en un paràgraf anterior (cànon estètic) podeu llegir, per exemple, que la proporcionalitat que aplica l'italià Sandro Botticelli (1445-1510) en la seva coneguda pintura El naixement de Venus no té res a veure amb els irracionals.

¿I la Gioconda de Leonardo? Segons alguns d'enigmàtic somriure, plena de rectangles auris i portadora d'hermètics missatges... En parlarem en la propera entrada, però de moment aquí us la deixo (en blanc i negre i la cara feta un quadro):

Formats i proporcions: el DNI

El document nacional d'identitat (DNI) es va crear arran d'un decret del franquisme de 1944, però no es va començar a expedir fins el 1951 (com a curiositat diré que n'hi havia de quatre categories segons la situació econòmica del sol·licitant!). Amb anterioritat han existit a l'Estat documents d'identificació diversos, però la obligació de posseir-ne un, va arribar bastant més tard del 1951 (deu ser pel mateix motiu que a Espanya no hi ha monuments al Soldat Desconegut, aquí ens coneixem tots!). Podeu veure imatges dels diferents documents que han existit en el següent pdf elaborat pel Ministerio del Interior (Imágenes_dni_histórico) i una mica d'història en un article de la revista Dintel (El DNI: Orígenes y antecedentes). Navegant o surfejant es troba força informació sobre aspectes històrics, anecdòtics i numèrics del DNI: com s'assigna la lletra a cada nombre del DNI (es fa a partir de dividir el nombre per 23 i calcular-ne el residu, n'haurem de parlar), que els nombres més baixos corresponen a DNIs que s'han atorgat més d'una vegada (els DNIs del morts, una llegenda urbana!), que en el document hi ha un nombre que correspon al nombre de persones que es diuen igual que nosaltres (una altra llegenda poc imaginativa), etc. Si en canvi, cerquem informació sobre les proporcions dels diferents formats de DNI no trobem la mateixa diversitat i abundància de fonts. Sembla que bàsicament han existit dos formats, tot i que hi ha hagut molts més canvis en la informació que en cada moment si ha fet constar: un format "gran" (en un diari de 1947 ja he trobat que parlava de 11 cm x 7 cm) i un format "petit" posterior que és el dels carnets actuals, siguin electrònics o no, i que correspon exactament a les dimensions de les targetes de crèdit de les quals ja n'hem parlat (El mite del nombre d'or).

Els que ja tenim més d'una edat hem pogut veure la nostra fotografia en un carnet dels de format gran i color blau (amb el consol  de la frase: ningú no és tan lleig com a la seva foto del carnet). Per als més joves, l'aspecte de la cara anterior del document era aquesta:

A l'esquerra hi anava la foto amb una empremta digital intercalada i en el requadre de la dreta una altra empremta digital. Ja hem dit que les dimensions en centímetres eren enteres 11 cm x 7 cm i d'això en resulta una raó de proporcionalitat de 11 ÷ 7 = 1,571428571428... ben allunyada del nombre auri. Però aquestes dimensions són amb la coberta de plàstic! he mesurat el document en si, sense el folre, i la constant de proporcionalitat que en resulta és 1,615... Algú del Ministerio va fer esforços per introduir la proporcionalitat àuria al document? (una de les moltes teories conspiratives) .

A partir del 1990 el document minva en les seves dimensions:

A part de comprovar que Leonardo era espanyol, podeu veure que, qui ha fet les mesures, les ha arrodonit (superposeu a casa el DNI amb una targeta de crèdit i veureu que coincideixen).

Amb el programa de geometria dinàmica GeoGebra i una mica de paciència (d'aquella que es té quan no hi ha massa feina) em vaig proposar el següent exercici: com s'han de modificar les dimensions d'un DNI actual per convertir-lo en un rectangle auri? I els resultats són aquests (si hi feu clic, ho veureu amb més detall):

Figura 1 Hi afegim un rectangle vertical

Figura 2 Retallem un rectangle horitzontal

Cal indicar que la principal lliçó pràctica que en podem extreure és la utilitat dels programes informàtics de geometria dinàmica. Les longituds dels segments i operacions que hi apareixen han estan calculats pel mateix programa (amb una aproximació de dos decimals que m'ha semblat suficient i amb el centímetre com a unitat de longitud). En la figura1, he mantingut l'altura del rectangle i la franja vermella és el rectangle vertical que hi hauríem d'afegir per aconseguir, amb una aproximació suficient, un rectangle auri. En la figura 2, mantenint la longitud de la base del document, hauríem de retallar per la línia DE per aconseguir la divina proporció.

Algú podria dir que ni falta ni sobra massa per aconseguir rectangles auris, però evidentment qui ha decidit aquest format o el de les targetes de crèdit no tenia pas el nombre auri al cap. Sí que hem vist que en els formats DIN dels fulls, hi estava directament implicada l'arrel de dos (Formats i proporcions: l'arrel de dos versus el nombre auri). La clau està en respondre a la pregunta: quina proporcionalitat o quina idea hi ha darrera dels formats dels DNIs actuals i de les targetes de crèdit?

Formats i proporcions: l'arrel de dos versus el nombre auri

Comencem per un aclariment lingüistic, em ve de gust fer-lo, i d'intenció sobre el títol d'aquesta entrada:
Versus és una preposició, sovint abreujada com vs., que indicava en llatí direccionalitat (la podem traduir com cap a o en direcció a, ja que la paraula que en deriva en català, vers, està restringida , cada vegada més, a contextos literaris). Versus va donar la preposició vers (idèntica en català i en francès) o verso en italià. Ja en el segle XV però, els anglesos la introdueixen en el seu llenguatge jurídic amb el significat de contra i així, més tard passa al llenguatge, sobretot esportiu, denotant combat o enfrontament més o menys incruent (Muhammad Ali vs. George Foreman o Argentina vs. Uruguai) i així ens va arribar a nosaltres, primer del castellà i sobretot a través de la premsa esportiva. Podia haver escrit en el títol: l'arrel de dos contra el nombre auri, però com que —misteris de la ment en vacances— m'ha vingut al cap el film Dracula vs. Frankenstein (1971) del director Al Adamson he optat per versus. Per als professors, les proporcions, √2 i Φ (el nombre auri) no són equiparables als monstres; però per alguns alumnes, potser sí. Els aficionats a les pel·lícules de sèrie B, aquelles de tarda i vespre de sessió doble, em poden recordar que el director espanyol Jesús Franco també va rodar una infame Drácula contra Frankenstein (1974) amb el contra al títol..., però ja és hora que acabem aquesta digressió.

Per introduir aquest tema ho farem amb un qüestió del nivell 3 (1r de batxillerat) de la prova Cangur de l'any 2005 (feu clic damunt de l'enunciat per poder-lo llegir amb més comoditat):

No és massa complicat de trobar la resposta, intenteu-ho i si desistiu consulteu l'enllaç DIN 476 on trobareu la solució i informació sobre la norma DIN 476 que és la que regula els formats dels fulls que generalment utilitzem. Haureu llegit en l'enllaç anterior que les regles per fixar-ne les dimensions són molt senzilles:

• Tots els fulls de la sèrie DIN tenen la mateixa proporció entre el seu costat gran i el seu costat petit.

• Dues grandàries de paper successives han de complir que l'àrea d'una ha de ser el doble de l'altra. Com hem vist en el problema, per exemple, ajuntant dos fulls DIN A4, tenim un  full DIN A3.

• Un full DIN A0 té una àrea d'un metre quadrat.

Les dues primeres condicions ens porten a una raó de proporcionalitat única: en tots els fulls de la sèrie DIN es compleix que la divisió del costat gran entre el costat petit és igual a l'arrel quadrada de dos. Evidentment a la pràctica el quocient de les dues dimensions és aproximadament igual a √2. Fins a quin punt arriba aquesta aproximació? Si agafem un full DIN A4, segurament el format més utilitzat, fa 21,0 cm x 29,7 cm. Fem la divisió:

29,7 ÷ 21,0 = 1,41428571428571428571428571428571...

Obtenim un decimal periòdic mixt amb un 4 com a primer decimal i un perìode de sis dígits, 142857, que es va repetint (en forma fraccionària aquest nombre és 99/70). Si comparem aquest nombre amb l'arrel de dos (√2 = 1,414213562373095048801688724209...), veiem que coincideixen en els primers quatre decimals. Recordem que quan vam intentar comprovar si les targetes de crèdit eren rectangles auris (El mite del nombre d'or) ja ens fallava el primer decimal. Abans de proclamar vencedora a √2 enfront de, o versus, Φ, almenys si analitzem la seva presència en formats nomalitzats, podem presentar alguna objecció. No és massa correcte comparar un full DIN A4 amb una targeta de crèdit, cal cercar el format DIN que més s'hi aproxima en magnitud. Aquest és el DIN A8 (52 mm x 74 mm), però si voleu podem provar també amb el DIN A7 (74 mm x 105 mm) (veieu Mida de paper).

DIN A8:  74 ÷ 52 = 1,4230769230769230769230769...

DIN A7: 105 ÷ 74 = 1,4189189189189189189189189...

Tal com era d'esperar, l'aproximació no és tan bona, però continua sent remarcable.

Per què els llibres de text i les pàgines web continuen insitint amb els rectangles auris quan parlen de proporcionalitat? √2 permet parlar amb rigor, dóna joc a parlar de formats de paper i de fotografia, d'ampliacions i reduccions..., però no té la poesia mítica de Φ!

Construcció d'un rectangle amb raó de proporcionalitat √2 

Com que ja vam explicar com dibuixar un rectangle auri en l'entrada anterior a aquesta (Com dibuixar rectangles auris), no seria just que no parléssim de com representar gràficament els rectangles que compleixen que costat major ÷costat menor  =  √2. El mètode és semblant i  molt més senzill en aquest cas.

Construïm un quadrat de costat b i tracem la seva diagonal (aprofitarem que en qualsevol quadrat el quocient entre la diagonal i el costat és √2). Amb el compàs traslladem la diagonal a l'horitzontal, tal com indica el dibuix, i ja hem acabat (b+a) ÷ b = √2!

Com dibuixar rectangles auris

En una entrada anterior (El mite del nombre d'or) comentava que la proporcionalitat àuria no és tan ubiqua com molts articles de divulgació matemàtica ens volen fer creure. Torno a indicar que un rectangle s'anomena rectangle auri si la raó, quocient o divisió, entre els seus costats, major entre menor, és igual al nombre auri que s'indica amb la lletra grega Φ. Aquest nombre és igual a (1 + √5)÷2; per tant, és un nombre irracional i podem donar un llistat d'i·limitats decimals amb la impossibilitat de trobar-hi cap periodicitat :
Φ  = 1,618033988749894848204586834365...

En aquell article vam dividir les dimensions de les targetes de crèdit (85,60 mm x 53,98 mm), que alguns textos donen com exemple de rectangles auris, i el quocient s'apartava de la raó àuria (85,60÷53,98 = 1,585772508336...). Com que cal ser crític i per ser-ho cal començar per els propis raonaments, deixeu-me que comenci tirant pedres a la meva teulada:

• En primer lloc, cal dir que els instruments de mesura (regles, peus de rei, balances, rellotges, etc.) tenen sempre una precisió determinada. Per tant quan mesurem, obtenim un nombre finit de decimals; és a dir, obtenim un nombre racional. Això vol dir que a la pràctica, com que la divisió de dos racionals és també un nombre racional, fent la divisió de dues mesures de longitud no obtindrem mai exactament el nombre Φ que és irracional; sinó, com a molt, una aproximació (1,6; 1,62; 1,618; etc.).

• Que sigui impossible l'obtenció exacta de Φ com a quocient de mesures obtingudes a la realitat, no vol dir que no puguem donar un mètode gràfic, amb regla i compàs, per construir un rectangle auri ideal. Passa el mateix que amb  √2 (un altre nombre irracional famós): en un quadrat d'1 m de costat, la diagonal mesura √2 m, només cal aplicar el Teorema de Pitàgores per comprovar-ho. Ara, tots els quadrats 1 m x 1 m que podem construir o dibuixar a la realitat s'aproximaran, més o menys, al quadrat ideal depenent de la metodologia, aparells utilitzats... 

Construcció d'un rectangle auri

Comentem amb més detall aquest segon punt, per això necessitarem el següent dibuix:

Si, tal com passa en el dibuix,  es compleix la igualtat de la dreta del gràfic, els segments b i a guarden la divina proporció o la proporció àuria (de fet la definició de raó àuria es fa a partir de la proporcionalitat de segments, per passar després als rectangles) . Per a qualsevol persona que sàpiga solucionar equacions de segon grau, és fàcil demostrar que de la igualtat dels dos quocients (la suma de segments a + b entre el segment major, b, és proporcional al quocient del segment major entre el menor) és dedueix que la raó o constant de proporcionalitat és Φ. Per tant, el rectangle de base b + a i altura b és un rectangle auri.

Com podem construir un rectangle auri? Només ens calen conceptes molt senzills de dibuix. Cal construir primer un quadrat de costat b (n'ometo els detalls, però només cal regla i compàs, i un llapis és clar!). Tal com es veu en el dibuix anterior, en dividim la base per la meitat (tracem la mediatriu del segment b) i tracem la diagonal que va de la meitat de la base al vèrtex superior del quadrat. Traslladant amb el compàs aquesta diagonal sobre l'horitzontal obtindrem la base del rectangle (b+a) i quasi ja tindrem la feina acabada. Els que sabeu representar nombres irracionals damunt de la recta real, podeu observar que, encara que la construcció no és la única possible, si b és la unitat, b + a = Φ.
 
Que aquesta construcció sigui tan senzilla de fer i tan poc rebuscada, podria recolzar la idea que des de l'antiguitat els pintors, dibuixants, arquitectes, etc. l'hagin utilitzat a dojo...

El mite del nombre d'or

Podeu comprovar que la primera entrada d'aquest bloc va estar dedicada al nombre auri (El nombre auri i el senyor Disney) i que vam recuperar i ampliar la mateixa temàtica en una altra entrada (El nombre auri i la successió de Fibonacci). En un comentari a Ovelles, rigor i matemàtiques, apuntava però: " ... perquè els aficionats a les matemàtiques i alguns divulgadors volen veure el nombre auri pertot arreu?". Ara hi tornarem, però des del punt de vista que indicava aquest comentari; cal dir-ho, per desmitificar — les matemàtiques quan volen interpretar la realitat poden caure en el mite— la presència ubiqua d'aquest nombre en fenòmens naturals, artístics, econòmics...

La inspiració i les ganes d'escriure aquests paràgrafs em van arribar llegint un excel·lent article aparegut el 27 de juny d'aquest any en el diari Faro de Vigo. L'article en qüestió és de l'economista i matemàtic Juan José R. Calaza i es titula El mito del número de oro (feu clic en el títol i accedireu al seu contingut del qual en recomano una lectura atenta). Cal dir que vaig arribar a aquest escrit a través d'un bloc dedicat exclusivament a recollir notícies de premsa relacionades amb les ciències exactes:

Si cerqueu informació sobre el nombre d'or, veureu que l'embolic ja comença a l'hora de posar-se d'acord en la denominació: nombre d'or o auri, proporció o raó àuria, divina proporció... De moment, Viquipèdia es decanta per Secció àuria. Per cert,  un exercici interessant consisteix en comparar els articles de Wikipedia en els diferenst idiomes i, sobretot, clicar a la pestanya Discussió i comprovar si hi ha alguna polèmica entre els articulistes d'aquesta enciclopèdia digital. En quant a la simbologia, aquest nombre s'acostuma a indicar amb la lletra grega fi majúscula (Φ)o amb la fi minúscula (φ).

Per què és complicada i discutible la comprovació que Φ (pronuncieu, sense afectació,  fi) és present en algun fenomen o estructura natural, en una obra d'art, ...? Per començar, Φ és un nombre irracional, això vol dir que té il·limitats decimals no periòdics:

Φ = (1 + √5)/2 =1,6180339887498948482045868343656381177203...

Si no ens cal l'exactitud matemàtica (de fet, a la pràctica és impossible), el podem aproximar a algun nombre racional (81/50 = 1,62; 8/5 = 1,6), però d'aquí als excessos que s'han donat hi ha un bon tros! Arribat a aquest punt, confesso que també m'he deixat portar per afirmacions gratuïtes que han fet i segueixen fent els llibres de text i les publicacions digitals i que —mea culpa— amb els alumnes de secundària ens hem dedicat a mesurar les dimensions del DNI, de les targetes de crèdit o, davant de la trista absència d'aquestes, del carnet del Club Super 3... també hem dividit la longitud de la falange distal de l'índex per la seva amplada, etc. Abans de continuar, he de dir que un rectangle s'anomena rectangle auri o rectangle d'or si, al fer la divisió de la longitud del costat major entre la del menor, ens dóna Φ. I aquí es presenta el problema, donades les imprecisions de les mesures i la il·lusió que la divina proporció faci acte de presència, inevitablement acaba apareixent. Com que corro el risc que això es converteixi en un megapost —perdoneu el neologisme híbrid del grec i de l'anglès— i la qüestió donarà per més, em centro en les targetes de crèdit.

No cal agafar el regle ja que les seves dimensions estan normalitzades per l'ISO 7810, fan 85,60 mm x 53,98 mm. Si feu la divisió de les dues longituds, dóna un nombre racional amb un període de 62 decimals: 1,58577250833642089662838088180807706557984438680992960355687291 (i torna a començar). Per cert, la fracció generatriu d'aquest nombre és 4280/2699. Si arrodonim les longituds (86 mm x  54 mm), i fem la divisió 86/54, obtenim 1,59... Aquest no és el cas més flagrant i algú em pot replicar que 1,59, arrodonit a un decimal, és 1,6 i que  Φ ≈ 1,6. Però si voleu, feu la prova amb uns regles dels habituals, unes quantes persones mesurant i a veure quants quocients diferents obteniu! A continuació, parleu del nombre d'or, de la seva harmonia estètica i convideu-los a tornar a fer la mesura i la divisió...

En properes entrades parlarem de: les dimensions del document nacional d'identitat (DNI) a Espanya, de com han anat canviant les proporcions i de com, curiosament, es continua utilitzant com exemple de proporcionalitat àuria; dels cànons de bellesa en les arts plàstiques i... Ep! Ara no us penseu que Φ no apareix enlloc.

El nombre auri i la successió de Fibonacci

En un article anterior ja vam parlar de El nombre auri i el senyor Disney. El vídeo que podeu veure en aquell article està força bé, però obvia la relació del nombre auri amb la successió de Fibonacci. El vídeo El número de oro, phi , la divina proporción, a banda de més rigorós, aclareix la relació entre aquest nombre i la famosa successió:

Per cert, per als que teniu problemes de comprensió amb la versió portuguesa del vídeo de Disney de l'entrada del 20 de gener, aquí teniu la versió en castellà:

El nombre auri i el senyor Disney

En un web de matemàtiques no pot faltar un vídeo sobre el nombre auri. Aquest que us presento aquí és de la factoria Disney (no us perdeu l'aparició estelar de l'ànec Donald). Algú ha comentat que Walt Disney estava interessat en el nombre auri pel fet de pertànyer a la maçoneria. Disney era maçó, però no crec que produís vídeos com aquest per difondre la causa (suposo que deu ser una altra llegenda urbana sobre aquest personatge). Per cert el vídeo està doblat al portuguès, però s'entén força bé i així ens permet disfrutar de la sonoritat d'aquesta llengüa. Si algú el troba en castellà o, ja seria un miracle, en catalá, feu-m'ho saber.